高等光學例題解析

高等光學----第三章例題講解clearcloseallbesselj1=@(x)besselj(1,x);forn=1:10z(n)=fzero(besselj1,[(n-1)n]*pi);endx=0:pi/100:10*pi;y=besselj(1,x);plot(z,zeros(1,10),'o',x,y,'-')line([010*pi],[00],'color','black')axis([010*pi-0.51.0])xlabel('U')ylabel('J_1(U)')[(1:n)'z']MATLAB程序：例3.1求解一階貝塞爾函數(shù)前10個零點并標注，做函數(shù)曲線1.匿名函數(shù)直接調(diào)用格式besselj1=@(x)besselj(1,x);2.for循環(huán)體Forindex=[matrix](定義索引矩陣)

commandstobeexecuted（執(zhí)行命令）End3.fzero查找一元連續(xù)函數(shù)的零點x=fzero(f,x0)%查找f函數(shù)在x0附近的零點4.zeros返回一個零矩陣zeros(n,m)返回一個n行m列的零矩陣5.line畫線函數(shù)line([X1X2],[Y1Y2],S)，就是在點A(X1,Y1)和點B(X2Y2)之間畫一條直線，S為其它屬性（顏色，線的粗細等）。6.axis（x1x2y1y2）設(shè)置坐標軸范圍知識點講解：結(jié)果顯示：一階貝塞爾函數(shù)零點數(shù)值解：一階貝塞爾函數(shù)曲線及其標注零點：functionxp=FindZeroOfBesselj(m,n)xp=zeros(n,1);x0=m+2.5;xp(1)=fzero(@(x)besselj(m,x),x0);

if(n>1.5)xp(2)=fzero(@(x)besselj(m,x),xp(1)+pi);end

if(n>2.5)forii=3:nxp(ii)=fzero(@(x)besselj(m,x),2*xp(ii-1)-xp(ii-2));endendx=linspace(0,ceil(xp(end)),1000);y=besselj(m,x);plot(xp,zeros(1,n),'o',x,y,'-')%`作出m階貝賽爾函數(shù)曲線并標記其零點`line([0ceil(xp(end))],[00],'color','black')axis([0ceil(xp(end))-0.51.0])xlabel('U')ylabel('J(U)')title(['m='num2str(m)',n='num2str(n)])求解m階貝塞爾函數(shù)的前n個根MATLAB程序1.Function用來定義一個函數(shù)，Xp是輸出變量，(m,n)是輸入變量，F(xiàn)indZeroOfBesselj是函數(shù)名，在MATLAB的命令窗口中調(diào)用FindZeroOfBesselj(m,n)就可得到對應(yīng)解。2.根據(jù)表3.5知道m(xù)階貝塞爾函數(shù)的第1個根在哪個數(shù)值附近，再用fzero求精確的貝塞爾函數(shù)的根，根據(jù)求的前n個根不同，所以需要確定在不同的x值附近求精確的貝塞爾函數(shù)的根3.

Linespace（x1,x2,N）用于產(chǎn)生x1,x2之間的N點行矩陣4.Ceil函數(shù)是在朝正無窮的方向取整知識點講解：結(jié)果顯示：10階貝塞爾函數(shù)曲線及其前15個標注零點：10階貝塞爾函數(shù)零點數(shù)值解：例3.2MATLAB程序：clearcloseallticVmax=10;N=100;forj=1:NV(j)=j/N*Vmax;Vtemp=V(j);Utemp=NaN;i=0;while(isnan(Utemp)&&i<N+1)

init=Vtemp*(i+1)/N-eps;

tryUtemp=fzero(@(Utemp)...besselj(0,Utemp)/(Utemp*besselj(1,Utemp))-...besselk(0,sqrt(Vtemp^2-Utemp^2))/...(sqrt(Vtemp^2-Utemp^2)*besselk(1,sqrt(Vtemp^2-Utemp^2))),init);catchendi=i+1;

end

U(j)=Utemp;end求解零LP01模的特征方程，做V-U、V-W的關(guān)系曲線W=sqrt(V.^2-U.^2);Ymax=ceil(max([U,W]));figuresubplot(1,2,1)plot(V,U,'r');axisequalaxis([0Vmax0Ymax])xlabel('V')ylabel('U')title('LP_{01}V-U')MATLAB程序：subplot(1,2,2)plot(V,W,'r');axisequalaxis([0Vmax0Ymax])xlabel('V')ylabel('W')title('LP_{01}V-W')toc知識點：1.NaN是NotaNunmber的意思，相當于將空值賦值給Utemp2.Isnan函數(shù)返回一個與A相同維數(shù)的數(shù)組，若A的元素為NaN（非數(shù)值），在對應(yīng)位置上返回邏輯1（真），否則返回邏輯0（假）3.&&邏輯運算符，相當于與運算4.eps(a)是|a|與大于|a|的最小的浮點數(shù)之間的距離，距離越小表示精度越高。init=Vtemp*(i+1)/N-eps，

此處用-eps表示要將后面的小數(shù)點去掉5.try的作用是讓Matlab嘗試執(zhí)行一些語句,執(zhí)行過程中如果出錯,則執(zhí)行catch部分的語句try

嘗試執(zhí)行語句塊catch

出錯后執(zhí)行語句塊LP模的本征方程：數(shù)理知識點：V、U、W之間的關(guān)系：結(jié)果顯示：程序運行的時間結(jié)果：V-U和V-W曲線LP01模對應(yīng)的V、U、W的數(shù)值解例3.3根據(jù)3.2得到的結(jié)果，擬合區(qū)間的V和W線性關(guān)系式，并給出擬合得到數(shù)值最大的誤差MATLAB程序:NN=15:24;x=V(NN);y=W(NN);p=polyfit(x,y,1);f=polyval(p,x);maxerr=max(y-f);figureplot(x,y,'o',x,f,'-')xlabel('V')ylabel('W')1.polyfit函數(shù)用作線性擬合polyfit（x,y,1)其中x表示源數(shù)據(jù)點對應(yīng)的橫坐標，y表示源數(shù)據(jù)點對應(yīng)的縱坐標，1表示擬合階數(shù)2.polyval函數(shù)用作求擬合得到的數(shù)值polyval返回n次多項式p在x處的值polyval(p,x)3.max表示返回數(shù)組中的最大值知識點：結(jié)果顯示：V和W線性擬合曲線：擬合系數(shù)和最大誤差：例3.4在MATLAB中作圖，給出LP01模在V分別是0.8、1.6、2.4時，電場分量E相對歸一化直徑Ra的歸一化曲線MATLAB程序：clearcloseallV=[0.80001.60002.4000];U=[0.79741.36701.6453];W=[0.06400.83151.7473];Ra1=-1:0.01:1;Ra2=[-5:0.01:-1];Ra3=[1:0.01:5];E1=zeros(length(V),length(Ra1));E2=zeros(length(V),length(Ra2));E3=zeros(length(V),length(Ra3));fori=1:length(V)E1(i,:)=besselj(0,U(i)*Ra1);E2(i,:)=besselj(0,U(i)).*besselk(0,W(i).*abs(Ra2))./besselk(0,W(i));E3(i,:)=besselj(0,U(i)).*besselk(0,W(i).*abs(Ra3))./besselk(0,W(i));endR=[Ra2Ra1Ra3];E=[E2E1E3];plot(R,E)xlabel('R_a=r/a')ylabel('E')holdonplot([-1-1],[01],'b--',[11],[0,1],'b--')知識點：1.Length求數(shù)組長度函數(shù)Length（x）求x行或者列中最大長度2.E1(I,:)

MATLAB中"："的使用非常靈活，簡單的說就是代表矩陣中的全行或全列元素.E1矩陣的第i行的所有元素。數(shù)理知識點：1.LP01模在纖芯區(qū)和包層區(qū)的歸一化電場分布結(jié)果顯示：電場E相對歸一化直徑Ra的歸一化曲線V=0.8V=1.6V=2.4例3.5clearcloseallV=2.4000;U=1.6453;W=1.7473;Npoint=21;Rx=2;Ry=2;x=linspace(-Rx,Rx,Npoint);y=linspace(-Ry,Ry,Npoint);X=meshgrid(x,y);Y=meshgrid(y,x);Y=Y';R=sqrt(X.^2+Y.^2);E1=besselj(0,U*R);E2=besselj(0,U).*besselk(0,W.*R)./besselk(0,W);E=E1;pos=find(R>=1);E(pos)=E2(pos);imagesc(x,y,E);colormap(gray),colorbarxlabel('x'),ylabel('y'),title('E')figurecontour(x,y,E),colorbaraxisequalxlabel('x'),ylabel('y'),title('E')figure[px,py]=gradient(E);contour(X,Y,E),holdonquiver(X,Y,px,py),holdoffaxisequalMATLAB程序：LP01模在V=2.4時，歸一化電場分量E相對歸一化直徑Ra的二維分布圖知識點：Meshgrid數(shù)據(jù)集成繪圖meshgrid（x，y）的作用是分別產(chǎn)生以向量x為行，向量y為列的兩個大小相同的矩陣2.Find函數(shù)用于返回所需要元素的所在位置find(R>=1)返回R>=1的數(shù)值位置3.imagesc(x,y,A)x,y分別為二維向量，Matlab會在[x1,x2]*[y1,y2]范圍內(nèi)染色。4.用colormap來定義圖像顯示用的顏色查找表，比如用colormap(pink)，可以把黑白圖像顯示成帶粉紅色的圖像，很有趣的5.[Fx,Fy]=gradient(F)，其中Fx為其水平方向上的梯度，F(xiàn)y為其垂直方向上的梯度，F(xiàn)x的第一列元素為原矩陣第二列與第一列元素之差，F(xiàn)x的第二列元素為原矩陣第三列與第一列元素之差除以2，以此類推：Fx(i,j)=(F(i,j+1)-F(i,j-1))/2。最后一列則為最后兩列之差。同理，可以得到Fy。6.contour是等高線繪制函數(shù)contour(X,Y,Z),contour(X,Y,Z,n),contour(X,Y,Z,v)繪制Z的等高線。X,Y限制在x,y軸上的范圍。7.

quiver(x,y,u,v)該函數(shù)使用箭頭來直觀的顯示