廣西南寧第三中學2024-2025學年高三上學期11月考試數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁南寧三中2025屆高三年級上學期11月考試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先應用復數(shù)的乘法化簡得出，最后應用共軛復數(shù)定義即可求解.【詳解】因為復數(shù)，則.故選：C.2.某地鐵1號線的開通運營極大地方便了市民的出行.某時刻從A站駛往B站的過程中，10個車站上車的人數(shù)統(tǒng)計如下：70，50，60，55，60，45，35，30，30，10.這組數(shù)據(jù)的第90%分位數(shù)為（）A.50 B.55 C.60 D.65【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求法求第90%分位數(shù).【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序為，而，故第90%分位數(shù).故選：D3.（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】用誘導公式化角，然后由兩角和正弦公式求值．【詳解】.故選：A．4.已知，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性得出不等式，再結合單調(diào)性列不等式，最后解絕對值不等式即可.【詳解】由題意知函數(shù)定義域為，關于原點對稱，因為，所以fx為偶函數(shù)，所以，當單調(diào)遞增，所以,所以或,所以或.所以解集為.故選：A.5.已知的三個內(nèi)角分別為A、B、C，若A、B、C成等差數(shù)列，且，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角形內(nèi)角和及等差數(shù)列性質得，再應用余弦定理和基本不等式求得，最后由面積公式求三角形面積最大值.【詳解】由，又A、B、C成等差數(shù)列，即，可得，由，所以，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為.故選：B6.若點P是直線上的一動點，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A、B，當最小時，的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應用圓切線的性質，將問題化為求最小，再由點線距離公式、三角函數(shù)定義、倍角公式求的余弦值.【詳解】由題設，可畫如下示意圖，其中，且，要使最小，即最小，而，若，則，此時，故.故選：C7.“函數(shù)的圖象關于對稱”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用正切函數(shù)的性質結合集合間的基本關系判定充分、必要條件即可.【詳解】當函數(shù)的圖象關于對稱時，有，，得，，易知，，所以“函數(shù)的圖象關于對稱”是“，”的必要不充分條件．故選：B．8.已知函數(shù)的定義域為，，為奇函數(shù)，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過條件可得是周期為4的函數(shù)，由為奇函數(shù)得，通過給賦值可計算出，利用函數(shù)的周期性可得結果【詳解】因為①，所以，所以，所以的周期為4，，令，由①得，所以，因為為奇函數(shù)，所以②，令，得，結合①，得③，令，由②得，所以，由③得，所以，令，由③得，所以，由函數(shù)的周期性得，.故選：B.【點睛】結論點睛：函數(shù)的對稱性與周期性：（1）若，則函數(shù)關于中心對稱；（2）若，則函數(shù)關于對稱；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知正方體的棱長為2，點M在線段上運動，則（）A.直線與直線是異面直線B.三棱錐的體積為定值C.直線與平面所成角的正弦值為D.點到平面的距離為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正方體結構特征，及異面直線定義判斷A；面，結合棱錐體積公式判斷B；先證面，再根據(jù)線面角定義確定平面角，即可求大小判斷C；應用等體積法求點面距判斷D.【詳解】A：根據(jù)正方體的結構，易知直線與直線是異面直線，對；B：根據(jù)正方體的結構，易證面，即面，又點M在線段上運動，所以M到面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，對；C：根據(jù)正方體結構，易知面，面，則，由，都在面內(nèi)，故面，若，所以直線與平面所成角為，所以，錯；D：由，若點到平面的距離為，又，故，對.故選：ABD10.已知點是橢圓的左、右頂點，點，分別為C的左、右焦點，點O為原點，點是橢圓上關于原點對稱的兩點，且不與重合，則（）A.PF1B.C.以線段為直徑的圓被直線截得的弦長為D.直線與直線的斜率之積【答案】AD【解析】【分析】利用焦半徑公式計算可判定A，利用橢圓的對稱性及定義可判定B，利用點到直線的距離公式及弦長公式計算可判定C，利用兩點斜率公式計算可判定D.【詳解】易知，對于A，設Px0,則，故A正確；對于B，易知四邊形為平行四邊形，即，故B錯誤；對于C，易知以線段為直徑的圓其圓心為原點，半徑為，則圓心到直線的距離為，則相應弦長為，故C錯誤；對于D，易知，故D正確.故選：AD11.函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.當時，函數(shù)只有一個零點B.若函數(shù)的對稱中心為，則C.若函數(shù)在上為減函數(shù)，則D.當時，設的三個零點分別為，，曲線在點，，處的切線斜率分別記為，，，則【答案】ABD【解析】【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值可判定A；利用函數(shù)對稱性的充要條件可判定B；利用函數(shù)單調(diào)性判定導函數(shù)的符號，參變分離計算參數(shù)可判定C；利用零點將函數(shù)式變形，通過導數(shù)計算斜率之間的關系，化簡計算即可.【詳解】對于A，時，，令，令，即y=fx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則y=fx的極大值為，極小值，又，即函數(shù)y=fx只有一個零點，在區(qū)間?1,1內(nèi)，故A正確；對于B，若函數(shù)的對稱中心為，則有，即，所以，故B正確；對于C，可知，若函數(shù)在上為減函數(shù)，則有在上恒成立，分離參數(shù)得在上恒成立，結合對勾函數(shù)的性質可知：，故，故C錯誤；對于D，當時，，令，令，即y=fx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則y=fx的極大值為，極小值，又，即函數(shù)y=fx有一個零點，分別在區(qū)間內(nèi)，則有，故，所以，，則，故D正確.故選：ABD【點睛】思路點睛：對于函數(shù)零點個數(shù)的判定可通過研究其單調(diào)性與極值、最值結合圖形分析；對于三次函數(shù)的對稱性，除了利用對稱性的充要條件待定系數(shù)計算，也可以利用二階導函數(shù)的零點計算；已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可利用導數(shù)的符合化為恒成立問題參變分離計算；對于D項，利用零點變形函數(shù)式，再求導，轉化三個零點對應切線斜率之間的關系是關鍵.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知拋物線的焦點為F，點M在拋物線C上且到x軸的距離為3，則______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)題設可得、，再由拋物線定義求結果.【詳解】由題設，則，而，根據(jù)拋物線的定義知，.故答案為：513.函數(shù)(，且)，若對成立，則實數(shù)的取值范圍是___________________.【答案】【解析】【分析】對分和0<a<1兩種情況，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分參，利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可求解.【詳解】解:當時，，設，則在上是減函數(shù)，所以.故.當0<a<1時，，設，則在上均為減函數(shù)，所以，所以，此不等式組無解.綜上，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.14.已知向量，，令，當時，則實數(shù)t的取值范圍是______；對任意和，滿足恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】①.②.【解析】【分析】化簡得到，結合三角函數(shù)的性質，求得的取值范圍；再由向量得到，利用完全平方公式結合向量模的坐標表示將不等式轉化為或對任意恒成立，從而利用函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】第一空，由，因為，可得，當，即時，；當時，即時，，所以實數(shù)取值范圍為；第二空，當時，可得，當，即時，；當或時，即或時，，所以實數(shù)的取值范圍為，又由，可得，由向量，，可得，因為，所以，對任意恒成立，注意到，有，即恒成立，所以，則，即或，即或對任意恒成立，因為在上單調(diào)遞增，所以，因為在上單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以或，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：；.【點睛】方法點睛：對于平面向量與三角、不等式的綜合問題的求解策略：1、若題目的條件中給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量的坐標運算公式，得到三角函數(shù)的關系式，進而求解；2、若題目條件中給出三角函數(shù)表示向量的坐標，要求的是向量的數(shù)量積或向量的模，或者其他向量的表達形式，解題思路是結合向量的運算，利用三角函數(shù)的圖象與性質，以及有界性，進而求解；3、對于向量的最值與范圍的求法方法：①幾何法：充分利用幾何圖形的特征，結合向量的線性運算和向量的數(shù)量積的運算解決；②代數(shù)法：將平面向量的最值或范圍轉化為坐標運算，結合目標函數(shù)，利用代數(shù)方法求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設有甲、乙兩個不透明的箱子，每個箱子中裝有除顏色外其他都相同的小球，其中甲箱有4個紅球和3個白球，乙箱有3個紅球和2個白球.從甲箱中隨機摸出2個球放入乙箱，再從乙箱中隨機摸出1個球.（1）求從乙箱中摸出白球的概率；（2）若從乙箱中摸出白球，求從甲箱中摸出2個紅球的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用獨立乘法公式、全概率公式求從乙箱中摸出白球的概率（2）應用條件概率的求法求從甲箱中摸出2個紅球的概率.【小問1詳解】由題意，從甲摸出2紅球概率為，此時從乙摸出白球概率為，從甲摸出2白球概率為，此時從乙摸出白球概率為，從甲摸出紅白球各一個的概率為，此時從乙摸出白球概率為，所以從乙箱中摸出白球的概率為.【小問2詳解】由（1）知，從乙箱中摸出白球情況下，甲箱中摸出2個紅球的概率為.16.如圖，在正四棱臺中，，，E是的中點.（1）求證：直線平面；（2）已知直線與平面所成的角為，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正四棱臺的特征，建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量證明線面關系即可；（2）利用空間向量計算線面夾角得出棱臺的高，再結合空間向量研究二面角即可.【小問1詳解】連接棱臺上下底面的對角線，交點分別為，由于棱臺為正四棱臺，易知與上下底面均垂直，且，故可以以O為中心建立如圖所示的空間直角坐標系，設棱臺高為h，則，，所以，設平面的一個法向量為m=x,y,z，則，令，即，易知，又平面，所以直線平面；【小問2詳解】易知，而底面的一個法向量為，因為直線與平面所成的角為，所以，則，又，設平面的一個法向量為n2=a,b,c則，令，即，由上知，所以，由圖形可知二面角的平面角為銳角，所以其余弦值為，故其正弦值為.17.已知動點到定點的距離與它到定直線的距離之比是.（1）求動點P的軌跡方程；（2）記動點P的軌跡為C，若過點的直線與C交于M，N兩點，的面積為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)距離公式列出等式，化簡后可得到軌跡方程.（2）先設出直線的方程,分斜率存在與不存在討論，斜率不存在時不符合三角形面積條件舍去，直線斜率存在時，與雙曲線方程聯(lián)立，得到關于的一元二次方程，利用韋達定理求出和，再根據(jù)弦長公式求出，根據(jù)點到直線距離公式求出原點到直線的距離，由三角形面積公式求出直線斜率，從而得到直線方程.【小問1詳解】由已知.兩邊平方得.展開化簡得.則這就是動點的軌跡方程.【小問2詳解】當斜率不存在時，直線與曲線沒有交點，不滿足題意.當斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立，將代入得.展開整理得，，設，，由韋達定理（），.根據(jù)弦長公式先求.所以.原點到直線的距離.已知.即.化簡得.兩邊平方整理得，即.得，因為，所以，.也滿足.所以直線的方程為.18.已知函數(shù).（1）當時，求在點處的切線方程；（2）當時，討論的單調(diào)性；（3）證明：當時，只有一個零點.【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義計算即可；（2）利用分類討論的思想，根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性計算即可；（3）利用（2）結論，含參分類討論函數(shù)的極值與0的大小關系，對于含參極值通過構造函數(shù)求導結合零點存在性定理計算即可.【小問1詳解】當時，則，所以，所以在點1,f1處的切線方程為：，即；【小問2詳解】易知，因為，若，則在R上單調(diào)遞增；若，令，，即此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，令，，即此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：時，在R上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問3詳解】①由（2）可知時，在R上單調(diào)遞增，則在R上單調(diào)遞增，而，即只有一個零點為0；②若，由（2）可知此時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則極大值為，極小值為，不妨令，則，此時單調(diào)遞減，又，，即只有一個零點，在區(qū)間0,1上；③若，由（2）可知此時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故極大值為，極小值為，不妨令，則，顯然時有，此時單調(diào)遞增，而時有，此時單調(diào)遞減，易知，所以，又，即只有一個零點，在區(qū)間上；綜上，當時，只有一個零點.19.已知數(shù)列，對于任意的，都有，則稱數(shù)列為“凹數(shù)列”.（1）已知數(shù)列，的前項和分別為，，且，，試判斷數(shù)列，數(shù)列是否