2024-2025學(xué)年山東省日照市校際聯(lián)考高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年山東省日照市校際聯(lián)考高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知向量a=(k,1,2)，b=(k,0,?2)，且a⊥b，則kA.?2 B.2 C.±2 D.±42.直線x+3y?1=0的傾斜角為A.π3 B.π6 C.2π33.直線l：bx+2y+3=0過橢圓C：x210+y2A.?1 B.12 C.?1或1 D.?14.復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為(1,2)，(?1,3)，則|zA.22 B.12 C.15.已知直線l的一個方向向量為m=(?1,?4,2)，平面α的一個法向量為n=(x,?2,1)，若直線l⊥平面α，則x=(

)A.12 B.10 C.?126.已知圓C：x2+y2?4x?2y+1=0及直線l：y=kx?k+2(k∈R)，當(dāng)直線l與圓C相交所得弦長最短時，直線A.x+y?3=0 B.x?y+3=0 C.x+y?1=0 D.x?y+1=07.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過A.3 B.5 C.78.如圖，二面角α?l?β的大小為π3，棱l上有A，B兩點，線段AC?α，AC⊥l，BD?β，BD⊥l.若AC=3，BD=4，CD=7，則線段AB的長為(

)A.5 B.6 C.7 D.8二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知曲線C：mx2+nA.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上

B.若m=n>0，則C是圓，其半徑為n

C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±?mnx

D.若10.下列四個命題中正確的是(

)A.過點(?10,10)且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍的直線的方程為x+2y?10=0

B.向量a=(4,3)是直線3x?4y?3=0的一個方向向量

C.直線x+y?1=0與直線2x+2y+1=0之間的距離是2

D.圓C111.已知正方體ABCD?A′B′C′D′的棱長為1，平面α與對角線AC′垂直，則(

)A.正方體的每條棱所在直線與平面α所成角均相等

B.平面α截正方體所得截面面積的最大值為324

C.當(dāng)平面α與正方體各面都有公共點時，其截面多邊形的周長為定值32

D.直線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若zz?1=1+i，則z=______．13.已知正三棱錐的棱長都為2，則側(cè)面和底面所成二面角的余弦值為______．14.已知雙曲線C：y2a2?x24=1(a>0)的上、下焦點分別為F2，F(xiàn)1，點P在C上，且PF2⊥y軸，過點F2作∠四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知圓C過點O(0,0)，A(3,3)，圓心C在直線2x+y?5=0上．

(1)求圓C的方程；

(2)過點B(0,?2)的直線l交圓C于M，N兩點，且|MN|=32，求直線l的方程．16.(本小題15分)

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，AF⊥平面ABCD，EF//AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，點P為棱DF的中點．

(1)求直線DF與平面APC所成角的正弦值；

(2)求點E到平面BCF的距離．17.(本小題15分)

已知等腰梯形ABCD中，AB/?/CD，AB=2AD=2CD=4，P為AB的中點，AC與DP交于點O(如圖1).將△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得二面角D′?AC?P為直角(如圖2)．

(1)求平面ABD′與平面BD′C所成角的余弦值；

(2)設(shè)點Q為線段PD′上的動點(包含端點)，直線CQ與平面ABD′所成角為θ，求sinθ的取值范圍．18.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若以x軸為折痕，將直角坐標(biāo)平面折疊成互相垂直的兩個半平面(如圖所示)，則稱此時點P，Q在空間中的距離為“點P，Q關(guān)于x軸的折疊空間距離”，記為Z(PQ)．

(1)若點A，B，C在平面直角坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(?2,3)，C(3,?4)，求Z(AB)，Z(AC)的值；

(2)若點D，P在平面直角坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)分別為D(0,?1)，P(x,y)，已知點P滿足Z(DP)=2，求點P在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡方程；

(3)若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點E(?1,3)是橢圓y212+x219.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(0,2)、B(0,?2)、C(6,2)、D(6,0)，若動點R、S滿足OR=λOD，CS=λCD(λ∈R)，直線BR與直線AS相交于點P．

(1)求P點的軌跡方程；

(2)已知過點E(?2,0)的直線m(與x軸不重合)和點P軌跡交于M、參考答案1.C

2.D

3.C

4.A

5.C

6.D

7.C

8.B

9.ACD

10.BD

11.ACD

12.1?i

13.1314.215.解：(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x?a)2+(y?b)2=r2，

由題意可得(0?a)2+(0?b)2=r2(3?a)2+(3?b)2=r22a+b?5=0，解得a=2，b=1，r=5，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?2)2+(y?1)2=5；

(2)圓心C(2,1)到直線l的距離為d=r2?(12|MN|)2=16.解：(1)以A為坐標(biāo)原點，AB,AD,AF方向分別為x，y，z軸正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,2,0)，F(xiàn)(0,0,1)，A(0,0,0)，P(0,1,12)，C(1,2,0)，

∴DF=(0,?2,1)，AC=(1,2,0)，AP=(0,1,12)，

設(shè)平面APC的法向量n=(x,y,z)，

則AC⊥nAP⊥n，則AC?n=x+2y=0AP?n=y+12z=0，令z=2，解得：x=2，y=?1，n=(2,?1,2)，

∴|cos?DF,n?|=|DF?n||DF|?|n|=45×3=4515，

17.解：(1)等腰梯形ABCD中，AB/?/CD，AB=2AD=2CD=4，

P為AB的中點，AC與DP交于點O(如圖1)，

將△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得二面角D′?AC?P為直角(如圖2)，

如圖1，連接PC，∵AP//CD且AP=CD，∴APCD是平行四邊形，

而AD=CD，從而APCD是菱形，∴AC⊥DP，

同理DPBC是平行四邊形，∴DP=BC=AD=AP，△APD是等邊三角形，

DO=OP=1,AO=3=OC，

圖2中，D′O⊥AC，PO⊥AC，

∵平面D′AC⊥平面PAC，平面D′AC∩平面PAC=AC，D′O?平面D′AC，

∴D′O⊥平面PAC，

以O(shè)為原點，OA，OP，OD′為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(3,0,0),P(0,1,0),C(?3,0,0),B(?3,2,0),D′(0,0,1)，

AP=(?3,1,0)，PD′=(0,?1,1)，BD′=(3,?2,1)，BC=(0,?2,0)，

設(shè)平面ABD′的一個法向量是m=(x1,y1,z1)，

則m?AP=?3x1+y1=0m?PD′=?y1+z1=0，取x1=1，則m=(1,3,3)，

設(shè)平面BCD′的一個法向量是n=(x2,y2,18.解：(1)若點A，B，C在平面直角坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)分別為

A(1,2)，B(?2,3)，C(3,?4)，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則點A，B，C在空間中的坐標(biāo)分別為A′(0,1,2)，B′(0,?2,3)，C′(4,3,0)，

∴Z(AB)=(0?0)2+(?2?1)2+(3?2)2=10；

Z(AC)=(4?0)2+(3?1)2+(0?2)2=26．

(2)證明：由題意可知，點D在空間中的坐標(biāo)為D′(1,0,0)，對P點分類討論，

①當(dāng)點P在x軸的上半平面，即y≥0時，點P在空間中的坐標(biāo)為P′(0,x,y)，

∴Z(DP)=(0?1)2+(x?0)2+(y?0)2=2，化簡得：x2+y2=1，(y≥0)，

因此，在平面直角坐標(biāo)中，點P在x軸的上半平面的軌跡為以為圓心，以1為半徑的半圓．

②點P在x軸的下半平面，即y<0時，點P在空間中的坐標(biāo)為P′(?y,x,0)，

Z(DP)=(?y?1)2+(x?0)2+(0?0)2=2化簡得：x2+(y+1)2=2，(y<0)，

∴點P的軌跡方程為：x2+y2=1，(y≥0)或x2+(y+1)2=2，(y<0)

(3)①當(dāng)直線MN不與y軸垂直時，設(shè)直線MN的方程為：x=my+t，

M(x1,y1)，N(x2,y2)，kEM=y1?3x1+1,kEN=y2?3x2+1，

聯(lián)立方程x=my+ty212+x24=1?(3m2+1)y19.解：(1)依題意，A(0,2)、B(0,?2)、C(6,2)、D(6,0)，

若動點R、S滿足OR=λOD，CS=λCD(λ∈R)，直線BR與直線AS相交于點P，

設(shè)點P(x,y)，R(xR,0)、S(6,yS)，

可得點R(6λ,0)，點S(