【題型方法解密】專題09 數(shù)列6類?？碱}型(原卷及答案)-高考數(shù)學常考點 重難點復習攻略（新高考專用）

專題09數(shù)列6類?？碱}型

目錄

一常規(guī)題型方法.......................................................1

題型一等差數(shù)列的基本量計算與性質(zhì)........................................1

題型二等比數(shù)列的基本量計算與性質(zhì)........................................4

題型三等差數(shù)列與等比數(shù)列的應用..........................................6

題型四等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明..........................................7

題型五數(shù)列的通項........................................................9

題型六數(shù)列的求和.......................................................10

二針對性鞏固練習....................................................12

練習一等差數(shù)列的基本量計算與性質(zhì).......................................12

練習二等比數(shù)列的基本量計算與性質(zhì).......................................13

練習三等差數(shù)列與等比數(shù)列的應用.........................................14

練習四等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明.........................................15

練習五數(shù)列的通項.......................................................15

練習六數(shù)列的求和.......................................................16

常規(guī)題型方法

題型一等差數(shù)列的基本量計算與性質(zhì)

【典例分析】

典例1-1.（湘豫名校聯(lián)考2022-2023學年高三上學期11月一輪復習診斷考試（二）

數(shù)學（文科）試題）已知公差不為零的等差數(shù)列｛q｝中，％+6=14,且4,火，出

成等比數(shù)列，則數(shù)列｛6｝的前9項的和為（）

A.IB.2C.81D.80

典例12（2021?陜西?無高二期中（理））已知等差數(shù)列｛&｝的前〃項和為S.，若今=6,

則興的值為（）

012

A—B—C—D-

,17,10.14?8

典例1-3.（2022?江蘇省震澤中學高二階段練習）已知S”,7；分別是等差數(shù)列｛q｝與｛2｝

的前"項和，且是=相（"=12），則徐+儡=（）

A.AlB.￡C.SD.嶗

20788242

典例1-4.（2022?北京?北師大實驗中學高三期中）若等差數(shù)列｛q｝滿足

%+%+%＞。，/+%0V。，則當｛q｝的前〃項和的最大時，〃的值為（）

A.7B.8C.9D.8或9

典例1-5.（2022?陜西?咸陽市高新一中高三開學考試（文））已知等差數(shù)列｛4｝的前

〃項和為工，且4＞幾＞兀，則滿足J＞0的正整數(shù)〃的最大值為（）

A.11B.12C.21D.22

典例1-6.（2023?全國?高三專題練習）已知是等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和，若4/=

A.-4040B.-2020C.2020D.4040

【方法技巧總結】

1.技巧：等差數(shù)列的基本量計算分為通法和巧法，通法是將條件或問題都化為首相

和公差利用方程組的方法來進行求解，巧法是結合等差數(shù)列的性質(zhì)和一些結論公式

可以更快的做出結果。

2.性質(zhì)：

⑴對于等差數(shù)列也〃｝,若tnIn=pIq=2kt則a）n+%=ap-I-aq=2ak.

⑵若數(shù)列｛《J與MJ為等差數(shù)列，則｛paH+qb“）仍為等差數(shù)列.

⑶奇數(shù)項和：S2〃_|=（2"-1）?！?，偶數(shù)項和：S2n=，（即+冊+1）?

（4）等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，則S"，S獷S”,Sin-S2n成等差數(shù)列.

⑸若等差數(shù)列｛〃”｝的前2〃-1項的和為52小，等差數(shù)列也,｝的前2〃-1項的和為42,則

$2”1_an

（6）2=&〃+（4-4）是關于〃的一次式或常數(shù)函數(shù)，則｛2｝也是一個等差數(shù)列.

n22n

【變式訓練】

1.（2022?甘肅?蘭州市外國語高級中學高三階段練習（文））已知數(shù)列｛/｝滿足

2q=61+47（〃-2）,。2+。4+4=12,4+/+6=9,則4+%等于（）

A.6B.7C.8D.9

2.（2022?黑龍江?哈爾濱市第六中學校高二期末）在等差數(shù)列上｝中，其前〃項和為S”,

若S?]:S?=6:1,貝I]=（）

A.16:1B.6:1C.12:1D.10:3

3.（2022?全國?高三專題練習）設等差數(shù)列也｝與等差數(shù)列低｝的前〃項和分別為S“，

C*。11

人若對于任意的正整數(shù)〃都有貝＜）

in3〃T與

A35n3131n35

A.—B.—C.—D.—

52504846

4.（2022?安徽?六安一中高三階段練習）已知｛%｝為等差數(shù)列，3為也｝的前〃項和.

若標＞0,%+%＜。，則當S”取最大值時，〃的值為（）

A.3B.4C.5D.6

5.（2022?福建省福州第八中學高三期中）設等差數(shù)列｛4｝的公差為"，其前〃項和

為S.，且$5=幾，/+%＜（）,則使得鼠＜0的正整數(shù)〃的最小值為（）

A.16B.17C.18D.19

6.（2022?全國?高三專題練習）等差數(shù)列｛q,｝的前〃項和為S“，若焉=篇+］且

4=3,則（）

A.凡=2〃+1B.an=n+\

22

C.Sn=2n+〃D.Sn=4/z-n

題型二等比數(shù)列的基本量計算與性質(zhì)

【典例分析】

典例2-1.（2022?陜西?寶雞中學高三階段練習（理））已知S”為等比數(shù)列｛q｝的前〃

S

項和，若%-%=12,4-a=24,則一（）

A.15B.—14C.—D.一~—

88

典例2?2.（2022?全國?高三練習）設等比數(shù)列｛6｝的前〃項和為工，若S6：S,=1:2,

則S9'.S3=（）

A.1:2B.2:3C.3:4D.1:3

典例2-3.（2022?江西贛州?高三期中（理））設公比為9的等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為

S”，前〃項積為力,，且4>1,02gm>1,&*CO,則下列結論正確的是（）

a2022T

A.4>1B.S2021s2022-1>°

c.7”是數(shù)列億｝中的最大值D.數(shù)列億｝無最大值

變式24（2022?全國?高二）已知等比數(shù)列也｝共有32項，其公比9=3,且奇數(shù)項

之和比偶數(shù)項之和少60,則數(shù)列｛凡｝的所有項之和是（）

A.30B.60C.90D.120

【方法技巧總結】

1.技巧：等比數(shù)列的基本量計算也分為通法和巧法，通法是將條件或問題都化為首

相和公比利用方程組的方法來進行求解，巧法是結合等比數(shù)列的性質(zhì)和一些結論公

式可以更快的做出結果，

2.性質(zhì)：

（1）在等比數(shù)列中，若m+〃=p+q,則4”

⑵在等比數(shù)列中，若團+〃=23貝!la,”

⑶若｛〃”｝與也｝是等比數(shù)列，貝忖｝,｛而也｝和［等］（4。0）仍是等比數(shù)

qJ2.

列.

（4）若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，S”是其前〃項的和，S“，S2〃,S3,分別為｛4｝的前〃項

和，前2〃項和，前3〃項和，則S〃，S2n-sn,S.-2“成等比數(shù)列（〃是偶數(shù)，q=—l

時不成立）

【變式訓練】

1.（2022?甘肅?民勤縣第一中學高二期中）已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，若％=8,

&=9S,,則《=（）

A.yB.1C.2D.4

2.（2022?全國?高二）設等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為鼠，若S8=2S一則赍-的值是

入一04

（）

A.—4B.3C.—3D.4

3.（2020?全國?高三專題練習）設等比數(shù)列｛叫的公二匕為心其前〃項和為3.，前〃項

積為，，并且滿足條件則下列結論正確的是（）

A.q>iB.0<?,<1C.S”的最大值為S?D.。的最大值為八

4.（2022?全國?高三專題練習）已知等比數(shù)列｛〃”｝中，4=1,4+4++?！?L85,

。2+q++a2k=42，貝心=（）

A.2B.3C.4D.5

題型三等差數(shù)列與等比數(shù)列的應用

【典例分析】

典例3-1.（2022?全國?高三專題練習）在中國古代詩詞中，有一道“八子分綿”的名題：

“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”.題意是

把996斤綿分給8個兒子做盤纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個

兒子分到的綿是（）

A.65斤B.82斤C.167斤D.184斤

典例32（2022?四川資陽?一模（理））“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載

埴最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.“十二平均

律”是將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一

個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比均為常數(shù)，且最后一個單音的頻率為第

一個單音頻率的2倍.如圖，在鋼琴的部分鍵盤中，小這十三個鍵構

成的一個純八度音程，若其中的4（根音），％（三音），/（五音）三個單音溝成

了一個原位大三和弦，則該和弦中五音與根音的頻率的比值為（）

D.V?

【方法技巧總結】

1.技巧：將實際問題轉(zhuǎn)為等差、等比數(shù)列的基本量計算問題。

2.注意：文言文的題型只需看譯文部分即可，生活實際問題需結合一些常識來轉(zhuǎn)換

為數(shù)列問題。

【變式訓練】

1.（2022?江蘇?常州市第一中學高三開學考試）我國古代數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記

載了二十四節(jié)氣與愚長的關系：每個節(jié)氣的唇長損益相同.愚是按照日影測定時刻的

儀器，唇長即為所測量影子的長度，如圖1所示，損益相同，即相鄰兩個節(jié)氣唇長

減少或增加的量相同，且周而復始.二十四節(jié)氣及淤長變化如圖2所示.已知谷雨時節(jié)

唇長為5.5尺，霜降時節(jié)唇長為9.5尺，則二十四節(jié)氣中唇長的最大值為（）

外逐漸坐

V春分會

雨生驚儉0清明蒙

A.14.5B.13.5C.12.5D.11.5

2.(2022?河北?三河市第三中學高三階段練習)中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有

這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到

其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還其意思為：有一個人走378里路，第一

天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的

地，請問第三天走了()

A.192里B.96里C.48里D.24里

題型四等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明

【典例分析】

典例4-1.(2022?全國?高二課時練習)己知數(shù)列｛叫滿足4=1,且4=2，*+2”(〃22).

(1)求生，。3；

(2)證明：數(shù)列悖｝是等差數(shù)列；

(3)求數(shù)列｛〃,｝的通項公式外.

典例4-2.（2020?山東省青島第十七中學高二期中）已知數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S”,

且滿足4=-2S￡T（〃之2）.

（1）求證：數(shù)列！是等差數(shù)列.

（2）求凡.

典例4-3.（2022?四川綿陽?一模（理））已知數(shù)列｛q｝滿足：4=；,%=1,

（）.

（|）證明：數(shù)列m.「數(shù)是等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛qr｝的通項公式.

【方法技巧總結】

1.技巧：證明題有兩套方法，第一種：構造法，通過對條件的處理，最后構造為所

證數(shù)列的遞推式關系，從而證明為等差或等比；第二種：定義法：把所證數(shù)列按定

義寫出遞推關系式，通過條件（整理）帶入，達到消元的效果從而化簡為常數(shù)，即

公差或公比。

2.注意：構造法和定義法各有優(yōu)點，構造法很多時候速度更快一些，但不同的題構

造的方向和方法都不盡相同，所以需要非常全面的構造能力才可以。定義法也是萬

能法，對于所有證明題方法流程都一樣，不需要構造的能力，雖然速度不快，但流

程固定，不需要很強的理解能力。

【變式訓練】

9

1.(2021?湖北?石首市第一中學高二階段練習)數(shù)列?｝滿足4=6———〃之2).

an-\

⑴求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

(2)若4=6,求數(shù)列｛q｝的通項公式

2.(2021?湖北?武漢市洪山高級中學高二階段練習)設S”為數(shù)列｛4｝的前〃項和，且

5=|￡“=2-2

(1)證明：數(shù)列［小力是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式.

3.(2021.重慶市長壽中學校高二階段練習)已如數(shù)列｛4｝滿足4=1,，叼*=2(〃+1)%.

(1)求證:標｝是等比數(shù)列.

(2)求凡.

題型五數(shù)列的通項

【典例分析】

典例5-1.（2022?山東?濟寧市育才中學高三開學考試）設S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和，

且4==S”,〃eN\則an=.

典例5-2.（2022?寧夏?吳忠中學高二期中（理））已知數(shù)列｛?！埃凉M足q=18,4"+「q=2〃,

則工的最小值為.

n

典例5-3.（2022?全國?高三專題練習）己知數(shù)列｛%｝滿足，4=3,且%+產(chǎn)癮T，則數(shù)

列｛q｝的通項公式為“產(chǎn).

典例5-4.（2022?上海市晉元高級中學高一期末）設數(shù)列｛q｝滿足卬=1,且

%=X->+4（此2）,則數(shù)列"｝的通項公式為4=.

【方法技巧總結】

1.方法：利用Sn求斯通項、累加法，累乘法、構造法（同除法，待定系數(shù)法），

2.技巧：利用5n求冊通項時需注意檢驗首項，累加法與累乘法不難理解，但最容易

做題時忘記這兩方法，因而一定要熟悉他們的適用情況，構造法也是需要熟悉各自

適用的模型，進而選擇同除法或是待定系數(shù)法。待定系數(shù)法三種模型如下：

（1）形如%+|=P%+q的解析式

設%+4=〃（q+丸）,求出兄，則｛4+2｝是公比為〃的等比數(shù)列

（2）形如。用=4q+8。型

可化為見向+2-C"M=A（4+4?C〃）的形式.構造出一個新的等比數(shù)列，然后再求.特

別的，當A=C時我們往往也會采取另一種方法,即左右兩邊同除以,重新構造數(shù)列，

來求an.

（3）形如隔=Aa“+Bn+C的解析式

可化為qm+45+1）+4=4風+4〃+4）的形式來求通項.

【變式訓練】

1.（2022?全國?高三專題練習）已知數(shù)列也｝滿足獷制++金=號（〃0

則氏=.

2.（2022?福建?莆田一中高二期中）已知數(shù)列｛4｝滿足45.=（2〃+1）4+1（〃61＜）,則4=

3.（2022?全國?高三練習）數(shù)列｛叫滿足％“=5a”+3x5”\4=6,則數(shù)列｛叫通項公

式為?

（Y+l

4.（2022?全國?高三專題練習）已知在數(shù)列｛4｝中，《=入5，.=也I+舊1，則/=

3\乙）

題型六數(shù)列的求和

【典例分析】

典例6-1.（2023屆高三一輪復習聯(lián)考（三）全國卷理科數(shù)學試題）已知數(shù)列｛q｝滿

足羽+2?為+-++2&=（2w-3）-2M+,+6.

⑴求｛4｝的通項公式；

（2）若bn=2%+4,求數(shù)列也｝的前〃項和7。.

典例6?2.（2021?四川?南江縣小河職業(yè)中學高三期末）已知數(shù)列｛〃”｝為公差不為。的

等差數(shù)列，生=3,且lcg2q,log2a3,log2a7成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛〃”｝的通項公式：

⑵若數(shù)列出｝滿足"二一一,求數(shù)列｛優(yōu)｝的前〃項和.

Gnan^\

典例6-3.（2022?陜西?虢鎮(zhèn)中學高二期中）在①2q「S.=l；②q=1,5向-25“=1；③

a">0,q=l，d.「64.產(chǎn)2〃〉這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答所

給問題.已知數(shù)列｛4｝的前幾項和為Sn,且滿足________.

⑴求《，與S”；

⑵記2=⑵一1）%，求數(shù)列也｝的前〃項和Tn.

【方法技巧總結】

1.方法：分組求和、裂項相消、錯位相減。

2.技巧：分組求和：數(shù)列由兩個會求和的簡單數(shù)列相加或相減組成。可分別求和再

相加或相減；裂項相消要注意相消的規(guī)律，需要多背一些模型；錯位相減：特征為

一個等差數(shù)列乘或除一個等比數(shù)列，流程比較固定。裂項相消的一部分模型如下:

I11I1

⑴4〃==a=---------=一(-)------

nn+\〃(〃+2n)2nn+2

111

a=---------=—(-----------)

nn(n+k)knn+k

2"T11

⑵?！?

(2W-,i1)(2Mi1)2n_,I1Ti1

4/

⑶q=(-1)"=(R(----+-----)

(2"—1)(2〃+1)2n-i2n+1

2湍"1

j2”+

⑸%=—j=~~7==4

3.注意：并項求和、奇偶求和、倒序相加等其他求和方法會在第二篇里訓練。

【變式訓練】

1.(2022?廣西貴港?高三階段練習(理))已知在等比數(shù)列｛〃”｝中，4+%=4,且外,

生+2,%成等差數(shù)列，數(shù)列他｝滿足差>0力=1,%->=2(%+數(shù)).

(1)求｛q｝的通項公式；

(2)設q,=,求數(shù)列匕,｝的前〃項和7；.

2.(湘豫名校聯(lián)考2022-2023學年高三上學期11月一輪復習診斷考試(二)數(shù)學(文

科)試題)己知數(shù)列｛叫的各項均為正數(shù)，且對任意的〃eN都有言+墨++墨=”.

(I)求數(shù)列｛見｝的通項公式；

(2)設。…〃("NJ,且數(shù)列他,｝的前〃項和為7；，問是否存在正整數(shù)加，

(〃+I)IOg2

對任意正整數(shù)〃有金恒成立？若存在，求出川的最大值；若不存在，請說明

理由.

3.(2022?安徽?蒙城第一中學高三階段練習)已知數(shù)列乩｝的前.〃項和為

S”,q=3,(〃-l)S“=〃S,i+/-〃(心2).

(I)求數(shù)列｛q｝的通項公式；

⑵令2喙，求數(shù)列低｝的前f項和小

針對性鞏固練習

練習一等差數(shù)列的基本量計算與性質(zhì)

1.(2022?山東?微山縣第二中學高三期中)己知數(shù)列｛4｝成等差數(shù)列，其前〃項和為

S”，若4=5，邑=Sg,則不=()

A.7B.6C.5D.4

2.（2022?全國?高二課時練習）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S.，若邑=9,§6=63,

則為+%+。9等于（）

A.63B.71C.99D.117

3.（2022?安徽宿州?高二期中）已知兩個等差數(shù)列｛《,｝和他,｝的前幾項和分別為4和

crA,2〃+1r,A+a

紇,且瓦,則I^二（）

A.yB.普C.SD.

3391957

4.（2022?廣東?高三學業(yè)考試）數(shù)列｛%｝前〃項和為3，且q=-10,6rn+1=%+3（〃wN*）,

則S“取最小值時，〃的值是（）

A.3B.4C.5D.6

5.（2022?四川成者B?高一期中（理））已知等差數(shù)列的前〃項和為S.,若q>0,

且兀=九，則使S”>。成立的最大〃值為（）

A.13B.14C.26D.27

6.（2022?河北?河間一中高三開學考試）在等差數(shù)列｛〃"｝中，4=-2021,其前〃項和

為加若親T=2,則S?⑼等于（）

10o

A.2021B.-2021C.-2020D.2020

練習二等比數(shù)列的基本量計算與性質(zhì)

7.（2022?天津市寶垠區(qū)第一中學高三期中）已知等比數(shù)列｛%｝的公比為心前4項

的和為4+14,且令%+1嗎成等差數(shù)列，則好（）

A.2或gB.\C.1或-1D.1

8.（2022?陜西?武功縣普集高級中學高二階段練習）設等比數(shù)列｛%｝中，前〃項和為

S“，已知星=8,S6=7,則生+%+%等于（）

A.1B.-1C.?D.?

8888

9.（2023?全國?高三專題練習）設等比數(shù)列｛q｝的公比為9,其前〃項和為S”，前〃項

積為并且滿足條件4＞1,即%＞1,叫＜（）,則下列結論正確的是（）

A.6例＞1B.。＜夕＜1C.3的最大值為S7D.，的最大值為4

10.（2022?全國?高三專題練習）已知項數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列｛凡｝的首項為1,奇數(shù)項

之和為21,偶數(shù)項之和為10,則這個等比數(shù)列的項數(shù)為（）

A.5B.7C.9D.II

練習三等差數(shù)列與等比數(shù)列的應用

11.（2022?黑龍江?哈爾浜市阿城區(qū)第一中學校高一階段練習）干支紀年法是中國歷

法上自古以來就一直使用的紀年方法、干支是天干和地支的總稱，甲、乙、丙、丁、

戊、己、庚、辛、壬、癸為天干：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未，申、西、戌、

亥為地支.把十天干和十二地支依次相配，如甲對子、乙對丑、丙對寅、…癸對寅，

其中天干比地支少兩位，所以天干先循環(huán)，甲對戊、乙對亥、…接下來地支循環(huán),

丙對子、丁對丑、.，以比用來紀年，今年2022年是壬寅年，那么共青團成立時的

1922年是（）

A.戊辰年B.壬戌年C.庚午年D.辛子年

12.（2022?北京順義?高二期末）中國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一個問題：

今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬、"馬主日：“我馬食

半牛，”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛，馬，羊吃了別人的禾

苗，禾苗主人要求賠償5斗粟，羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主

人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例償還，他們各應償還多少？試

問；該問題中牛主人應償還（）斗粟

練習四等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明

13.（2022?江蘇?泰州中學高二開學考試）已知數(shù)列｛q｝中，q=2,

%=2-一—（?>2,HG^）,設h=—!—（//wN

n、.

H-1

（1）求證:數(shù)列也｝是等差數(shù)列;

⑵求｛《,｝的通項公式.

s

14.（2022?福建?莆田一中高二期末）設數(shù)列｛4｝的前〃項和S.,滿足5向=正式，

且％=1.

（1）證明：數(shù)歹I」］"為等差數(shù)歹IJ;

（2）求｛勺｝的通項公式.

15.（2022?湖南岳陽一模）數(shù)列｛%｝滿足％=1,S.T=4%+3.

⑴求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛qj的通項公式.

練習五數(shù)列的通項

16.（2021?山西大附中高三階段練習（文））已知數(shù)列｛4｝滿足條件

；四十營%+M%++/4-2〃+5,則數(shù)列｛4｝的通項公式為,

17.（2022?上海市進才中學高二階段練習）若4=1,—i=〃eN,則““二

18.(2022?黑龍江.建三江分局第一中學高二期中)己知數(shù)列｛q｝滿足4=1,且

4討=含.貝I數(shù)歹心勺｝的通項公式為4=.

19.(2020?河南河南?二模(文))數(shù)列｛%｝中，q=l,且4M=q+3〃+1,則通項公

式.

練習六數(shù)列的求和

20.(2022?廣東佛山?高三階段練習)已知數(shù)列｛〃“｝為非零數(shù)列，且滿足

kAai)\aJUJ

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式：

(2)求數(shù)歹小卜〃?的前，!項和S”

21.(2022?山東?濟寧市育才中學高三開學考試)已知數(shù)列｛冊｝的前〃項和為5?，且

4s0=(2〃-l)q田+1,%=1.

(1)求數(shù)列｛Q,｝的通項公式；

13

(2)設a=-7T=,數(shù)列｛原｝的前〃項和為幾，證明(＜彳.

a

nV，2

22.(2022?江西?南昌二中高三階段練習(理))已知首項為2的正項數(shù)列?。凉M足

(I)求數(shù)列｛勺｝的通項公式；

⑵若2=31og2《「l,求數(shù)列｛《/“｝的前〃項和

專題09數(shù)列6類?？碱}型

目錄

一常規(guī)題型方法.......................................................1

題型一等差數(shù)處的基本量計算與性質(zhì)........................................1

題型二等比數(shù)列的基本量計算與性質(zhì)........................................7

題型三等差數(shù)列與等比數(shù)列的應用.........................................12

題型四等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明.........................................15

題型五數(shù)列的通項.......................................................21

題型六數(shù)列的求和.......................................................25

二針對性鞏固練習....................................................32

練習一等差數(shù)列的基本量計算與性質(zhì).......................................32

練習二等比數(shù)列的基本量計算與性質(zhì).......................................35

練習三等差數(shù)列與等比數(shù)列的應用.........................................37

練習四等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明.........................................38

練習五數(shù)列的通項.......................................................40

練習六數(shù)列的求和.......................................................42

常規(guī)題型方法

題型一等差數(shù)列的基本量計算與性質(zhì)

【典例分析】

典例1-1.（湘豫名校聯(lián)考2022-2023學年高三上學期11月一輪復習診斷考試（二）

數(shù)學（文科）試題）己知公差不為零的等差數(shù)列｛4｝中，/+%=14,且⑷，電，為

成等比數(shù)列，則數(shù)列｛q｝的前9項的和為（）

A.1B.2C.81D.80

【答案】C

【分析】由題知4=7,嫉=。用，進而根據(jù)等差數(shù)列通項公式解得4=2,再求和即

可.

【詳解】因為6+6=14,所以24=14,解得《=7.

又％,%，生成等比數(shù)列，所以城=4%.設數(shù)列｛叫的公差為乙

則（4-%）2=（%-34）（《+4）,即（7-2"『=（7-34）（7+4）,整理得2d=0.

因為dwO,所以d=2.

所以也&山=設21=81.

22

故選:C.

典例1-2.（2021?陜西?無高二期中（理））已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S.,若率=6,

則3的值為（）

°12

A.—B.—C.—D.I

1710148

【答案】B

【分析】根據(jù)題意S3，S6-S3，S）-S6，7-S9成等差數(shù)列，設s『k凡=6k,即可求出.

【詳解】因為｛叫為等差數(shù)列，所以邑,56-53應-56，與-59成等差數(shù)列,

因為含=6、設S、=k、Sq=6k,

i2（S6-S3）=S3+（S9-S6）,即2（S6-Z）=Z+（6Z—S6）,則工=3火，

所以兀-邑=43所以％=10%,

-3

所以耳？一而，

故選:B.

典例13（2022?江蘇省震澤中學高二階段練習）己知S”,7；分別是等差數(shù)列｛%｝與也｝

的前〃項和，且率=蕓（〃=1,2,）,貝|石*+房=（）

T.4/7-24+48%+々5

A.?B.2C.黃D.生

20788242

【答案】B

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：4+九=4+九，將所求的式子化簡，再利用等

差數(shù)列前.〃項和即可求解.

【詳解】因為數(shù)列也｝是等差數(shù)列，所以4+%=4+如，

所以一+』一=紐四，

八瓦十%4+生a十九

又因為S.Z分別是等差數(shù)列｛為｝與電｝的前〃項和，且是二答|（〃=1,2,）,

斯Dj4。?即=4（：+4“=4+.2。一S"=2x20+1=41

"+九—R+九一4+%一4-4x20—2-78,

故選：B.

典例14（2022?北京北師大實驗中學高三期中）若等差數(shù)列｛q｝滿足

%+%+%>0.%+%<0,則當｛%｝的前〃項和的最大時，〃的值為（）

A.7B.8C.9D.8或9

【答案】B

【分析】首先明確當｛q｝的前〃項和的最大時,?！?。《向《0；再根據(jù)等差數(shù)列的下標

性質(zhì)，找出滿足上述條件的〃的值即可.

【詳解】因為%+勾+%=3%>。，所以外>。，

因為e+4o=6+q<0,所以&<0.

所以當｛%｝的前.〃項和的最大時，〃的值為8.

故選：B.

典例1-5.（2022?陜西?咸陽市高新一中高三開學考試（文））己知等差數(shù)列的｝的前

〃項和為3,且L>%>兀，則滿足篦>0的正整數(shù)〃的最大值為（）

A.11B.12C.21D.22

【答案】C

【分析】由S“>Sio>S12可知%>0,42<。，41+42<0，則可知S2i>O,S23<O,S22<。，由

此即可選出答案.

【詳解】因為解

$-幾=4>0

所以1兀-耳］=%<0

&=止衿1〉0

4+%[=2《|>0

s”=叱誓<0,

所以?q+出3=2%<0故，

4+aa+Cl

22~\\\l<°S（4+%）22<0

-2

所以滿足s.>0的正整數(shù)〃的最大值為21.

故選：C.

典例1-6.（2023?全國?高三專題練習）已知S〃是等差數(shù)列｛即｝的前〃項和，若。/=

-2018,益一*=6,則S202。等于()

A.-4040B.-2020C.2020D.4040

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)，結合等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.

【詳解】???5〃是等差數(shù)列｛加｝的前〃項和，，數(shù)列｛&｝是等差數(shù)列.

n

?：at=-2018,9_紜=6,

20192013

???數(shù)列｛與｝的公差d=g=l,首項為-2018,

n6

.,.^-=-2018+2019x1=1,

2020

§202。=2020.

故選：C.

【方法技巧總結】

1.技巧：等差數(shù)列的基本量計算分為通法和巧法，通法是將條件或問題都化為首相

和公差利用方程組的方法來進行求解，巧法是結合等差數(shù)列的性質(zhì)和一些結論公式

可以更快的做出結果。

2.性質(zhì)：

(1)對于等差數(shù)列｛4｝,若>n+n=p+q=2k,貝|Ja,”十，“一%,+%=2ak.

⑵若數(shù)列｛att｝與｛bn｝為等差數(shù)列，貝心paH+qb,,｝仍為等差數(shù)列.

(3)奇數(shù)項和:S2M=(2〃-1)可，偶數(shù)項和：S2n=:(即+*1).

(4)5“，邑“，S3fl分別為他〃｝的前〃項和，前2〃項和，前3〃項和，…則5〃,

S2.-S,,s—s?”成等差數(shù)列.

⑸若等差數(shù)列｛4｝的前2〃-1項的和為Szz，等差數(shù)列｛2｝的前2〃-1項的和為,則

S2n7_an

T2n",

（6）i=-,7+（a,--）是關于〃的一次式或常數(shù)函數(shù)，則｛8｝也是一個等差數(shù)列.

〃22n

【變式訓練】

1.（2022?甘肅?蘭州市外國語高級中學高三階段練習（文））已知數(shù)列也｝滿足

2?！?。,1+4+1（幾?2）,生+〃4+4=12,4+6+4=9,則等于（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】先判斷數(shù)列為等差數(shù)列，結合等差數(shù)列的性質(zhì)可求結果.

【詳解】???〃=*+,（〃1），?.?｛%｝是等差數(shù)列.

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得出+4+4=3卬=%,q+%+4=3%=9,

，4=4,%=3,生+為=。3+。4=3+4=7.

故選：B.

2.（2022.黑龍江.哈爾濱市第六中學校高二期末）在等差數(shù)列｛《J中，其前〃項和為S“,

若%：§7=6:1,則與:九二（）

A.16:1B.6:1C.12:1D.10:3

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)求解即可

【詳解】由等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)可得，與加鵬島-差島7費成等差數(shù)列,

設則％=6$,艮］$,14一$,6S-跖成等差數(shù)歹1」，故2（S|4—S）=S+6S—S”儺得

，4=3$,故S7，Sj4-S7，S2]-S]4，S28-S2i即s,2s,3s,4s,故$28-6$=4$,528=105,故

SM:S14=10:3

故選：D

3.（2022,全國?高三專題練習）設等差數(shù)列｛4｝與等差數(shù)列出｝的前〃項和分別為S.，

若對于任意的正整數(shù)〃都有二二07，貝＜）

A?魯B.C.D.g

52504846

【答案】B

【分析】先設邑=（2〃+1）“，7＞（3〃-1）川，由4=$8$2=7；-7；直接計算向即

可.

【詳解】設S.=（2〃+l）%7＞（3〃-1）“，…0.貝l]/=S8-S7=136-105f=31」,

31

d=『7；=234-184，=50f,所以詈=云.

A；5（）

故選：B.

4.（2022?安徽?六安一中高三階段練習）已知也｝為等差數(shù)列，3為｛%｝的前〃項和.

若s“＞0,6+%＜0,則當S”取最大值時，〃的值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的距=11必＞。=%＞0,且生+%=4+%＜。，由此可以得到

%＜0,結合條件結論即可得到.

【詳解】在等差數(shù)列中，因為S“=業(yè)宇衛(wèi)=114＞。，

所以〃6＞0，又4+4＜（）,所以4+%＜（），所以的＜。，

所以有該等差數(shù)列首項%＞。，公差，＜0,所以（￡Ja

故選:D.

5.（2022?福建省福州第八中學高三期中）設等差數(shù)列｛4｝的公差為4,其前〃項和

為S“，且邑=席，4+也＜。，則使得5“＜。的正整數(shù)〃的最小值為（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及已知分別判斷如、九、兒的符號即可.

【詳解】由S5=S13，得％+%+L+"]2+"13，

因為｛4｝是等差數(shù)列，所以。6+63=。，&+44=2%CV。，即）＜0,

。6+〃14=。6+43+"=''<°，2%=4+1】2>4+《2+〃=〃6+《3=°，4>°，

IQ

所以，9=5(6+q9)=19即)V0，

18

兒=~(^1+/)=9(4+&)=。

17

力=5(%+%)=17%>。

使得s”＜。的正整數(shù)〃的最小值為19.

故選:D.

6.（2022?全國?高三專題練習）等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若黑=糕+1且

6=3,則（）

A.q=2〃+1B.an=n+\

22

C.Sn=2n+nD.Sn=4n-n

【答案】A

【分析】等差數(shù)列前〃項和工構成的數(shù)列｛與｝為等差數(shù)列，公差為原數(shù)列公差的一

n

半.

【詳解】設｛4｝的公差為",

?..邑=叫+眠〃

.?.,=q+〃一1

2

即1$｝為等差數(shù)列，公差為(

../?(3+2n+l),

故a-2/2+1,S=---------------=n'+In-

n"n2

故選：A.

題型二等比數(shù)列的基本量計算與性質(zhì)

【典例分析】

典例2-1.(2022?陜西?寶雞中學高三階段練習(理))已知S.為等比數(shù)列｛《,｝的前

項和，若%一見=12,4-4=24,則'=()

Cl4

A.15B.-14C.-D.一■—

88

【答案】C

【分析】兩式聯(lián)立，可求出首項和公比，代入求解即可.

【詳解】設｛4｝公比為今顯然#1,由己知得，『一”二1，

&一%=24

所以4=%"4=2,故%-%=166-4%=12,即％=1,

%(1-力

所以，S4_\-q15

a44g,8

故選：c.

典例2-2.(2022?全國?高三專題練習)設等比數(shù)列｛端的前〃項和為S,，若錄0=1:2,

則Sg：S3=()

A.1:2B.2:3C.3:4D.1:3

【答案】C

【分析】利用等比數(shù)列前〃項和的性質(zhì)s*,S”-工，％-S…s4A-su,L成等比數(shù)

列求解.

【詳解】解：因為數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，則S3,S6-S3,$9-邑成等比數(shù)列，

設S3=〃L則則S6-S3=-￡,

故S6s3=1_1=_；,所以S一$6=；,得到$9=，，所以今=1.

故選：C.

典例2-3.(2022?江西贛州?高三期中(理))設公比為9的等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為

a—1

S”,前〃項積為且外41,^2021^2022＞1，=\，0,則下列結論正確的是()

42022T

A.“＞IB.S2021sM2-1＞。

c.G22是數(shù)列｛1｝中的最大值D.數(shù)列5｝無最大值

【答案】B

【分析】由題分析出。＜夕＜】，可得出數(shù)列｛&｝為正項遞減數(shù)列，結合題意分析出正

項數(shù)列｛為｝前2021項都大于1,而從第2022項起都小于1,進而可判斷出各選項的正

誤.

【詳解】當夕＜0時，則見⑼生022⑼4V。，不合乎場意；

當時，對任意的〃wN?，%=%產(chǎn)＞0,且有竽="1,可得隔

可得「認⑼"O'此時肅二>。，與題干不符'不合乎題意;

故Ovqvl,故A錯誤；

對任意的〃wN?，q=%尸>0,且有上”1,可得見+心外,

此時，數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞減數(shù)列，則~21>%>22，

結合/021~~7,?？傻?V^2022<1<^2021?

42n22-1

結合數(shù)列的單調(diào)性可得4>1(〃42021),0<4<1(〃1022)

故%>2021*>2021>1,

S?M2=S'M+。?022>202I>1,

??S'2022>S'?1>1=S2022s曲1-1>°，

故B正確;

(⑼是數(shù)列億｝中的最大值，故CD錯誤

故選：B.

變式2-4.(2022?全國?高二)已知等比數(shù)列｛q｝共有32項，其公比9=3,且奇數(shù)項

之和比偶數(shù)項之和少60,則數(shù)列｛q｝的所有項之和是()

A.30B.60C.90D.120

【答案】D

【解析】設等比數(shù)列｛《』的奇數(shù)項之和為，，偶數(shù)項之和為，$，則&=3$,$+60=,,,

則可求出5^2,值，從而得出答案.

【詳解】設等比數(shù)列｛q｝的奇數(shù)項之和為e，偶數(shù)項之和為S2，

則5]=4+〃3+4++。31，^2=a2+aA+a6++/2=。卜4+%+%++如)=3耳

又E+60=S2，則工+60=3、，解得5=30,-2=90,

故數(shù)列M的所有項之和是30+90=120.

故選：D

【方法技巧總結】

1.技巧：等比數(shù)列的基本量計算也分為通法和巧法，通法是將條件或問題都化為首

相和公比利用方程組的方法來進行求解，巧法是結合等比數(shù)列的性質(zhì)和一些結論公

式可以更快的做出結果，

2.性質(zhì)：

(1)在等比數(shù)列中，若“+〃=〃+夕,則4

(2)在等比數(shù)列中，若6+〃=22,則