大學資料HUST-Invictus-矩陣論-矩陣論 楊明 華中科技大學 課后習題答案

習題一

1.判斷下列集合對指定的運算是否構成R上的線性空間

(1)Vl={A=(a..)ftXfl|￡%=0),對矩陣加法和數乘運算；

?=1

nKr

(2)V2={A\AeR\A=-A}f對矩陣加法和數乘運算;

(3)匕=內；對中向量加法和如下定義的數乘向量：ya￡R3,kwR,ka=0；

(4)V；={/(x)|f(x)>0},通常的函數加法與數乘運算。

解：

(1)、(2)為R上線性空間

(3)不是，由線性空間定義，對VawO有l(wèi)a=a,而題(3)中1。=0

(4)不是，若k<0,則妙(幻《(),數乘不滿足封閉性。

2.求線性空間V={AG/T”|Ar=A}的維數和一組基。

解：一組基

dimW=n(n+l)/2

3.如果5和5都是線性空間V的子空間，若dimUi=dimU2,而且〃1七，證明：0產5。

證明：因為dimU產dimS，故設

{?,火，…，令}為空間必的一組基，{4血，…血}為空間S的一組基

V/Gt/2，有

y=(片A……4)Xy

而

(qa??.)=(,4A…仇)C,c為過渡矩陣，且可逆

于是

7=(4A........4)Xy=(%心?,…a,)。"=(4%.........%)ZGU\

由此，得

%"

又由題設GqU2，證得3=3。

口1P

4.設4=213,討論向量。=(2,3,為71是否在R⑷中。

、315，

」11|2、<111|2、

解：構造增廣矩陣(A|0=213|3->0-11I-1

、31514,No0I0;

矩陣4與其增廣矩陣秩相同，向量a可由矩陣4的3個列向量線性表示，a在列空間R(4)

中。

32y2

5.討論線性空間P4[x]中向量P,=x+x4-x+l,P]=2x-x+3x,

/>=4x3+x2+5x+2的線性相關性。

U02、

/、一135

解：([P2￡)=(lxf丁)

1—I1

J24,

而

所以向量組2產2/3線性相關。

6.設A€R'，，x，',證明dim/?(4)+dimA/(4)=no

證明：R(A)=L[Ai9A29?,4},N(A)={X|AX=O,XER”}

假定dimR(4)=r,且設A，A2,,4.為R(4)的一組基

則存在品&，…&G=r+l,-,n),其中&，&2"…&不全為零

使即A+04++kriAi.+4=0(z=r+1,

顯然

上述n-r個向量線性無關，而化,《7,1,0,?0)\s<r不為N(A)中的向量，否則與

A，…,4線性無關矛盾，故

d'\mN(A)=n-r

所以

dim/?(^)+dim/V(4)=n

‘1-130、

7.設A=-21-21,求矩陣A的列空間R(4)和零空間M4)。

CT52，

解：通過矩陣的行初等變換將矩陣人化為行階梯形

矩陣4的秩為2,從A中選取1、2列(線性無關)作為/?伊)的基，于是

R(A)=￡](1-21-if)

由AX=O,X=a，/，孫”4)，，rank(4)=2,有

x1-x2=-3X3

一々二—4.q-x4

分別取為=1,￡=0和七=O,,q=1,求得齊次方程AX=0解空間的一組基

(141Of,(110if

所以4的零空間為

N(A)=U(141Of,(110ifj

10.設a,=(1,2,1,0/,a2=(-1,1,1,1/,=(2,-1,0,1/,#2=(LT，3,7尸，

Wi=span{ax,a2],W2=span{/3},/72},求叱c嗎和叱+嗎。

解：設/EWICW”則

/=為%+x2a2且/=當4+xJ3?

于是，有

+x2a2-大郃、-X4/32=0

[01-1-7J10000

?。?1,得

%=-l,x2=4,X3=-3,X4=1

所以

叱c嗎=L{—1%+4%}=4—3"+用}

由于rank{/4)=3

則叱+叱

11.在矩陣空間RM中，子空間

（x（10]

1

={A=-\xi-x2+x3-x4=0},V2=L{B}yB2],其中4二

<x3"J123,

fO一21,

民=八，，求

■loU

（1）%的基和維數：

（2）乂+K和he匕的維數。

x-x+xX,11、-10u0、

解：（1）匕中，A=234十%

玉玉、00,<01,

」rf-10、rl0、

令A=，4=,可驗證4,4,小線性無關，它們構成空間

、oo,0><0"

%的一組基，空間VI的維數dimVi=3。

（2）匕=乂片，4｝中，81與82線性無關，它們是心的一組基,故dim吻=2,而

Ui+U2=L{4AA}+“81,82}=L{4/2/3,81,82}

在R2X2的標準基％,E12,￡21，&2下，4/2,48,82對應的坐標為必用*4為排成矩陣

^-1110、"1-1110

1000-201-1-1-2

(Xx2X3x4x5)=f

0102000132

,00131,,0000-1

于是dim（次十U2）=4,由維數定理

dim(匕c匕)=dimV]+dimV2—dim(V^+%)=3+2—4=1

12.設叱和VV2為匕的子空間，叱=｛a=（M,々z）,IZXi=0｝，

；=!

r十

W2={a=(x^x2,,xn)\xi=x2==x”},證明匕=叱叱。

證明：對W1，由Xl+/+―+X”=0，解得

X產勺（一11000）「+&（T010--0）/+000

顯然Wi的維數dimW產不1,而向最組

a,=(-l100...010...0)[.?&7=(一1000-if

為W1的一組基。

對W/?，由-V)=%2==Xq,解得

X2=k(l1I1???小

%的基為夕=(1111if,dimW2=l

于是

叱+叱=L{aI,a2,---,aH_1}+L{^}=L{ap

這里

-1-1??-11

1001

0101工0

00...11

所以%,%，，%.1，4為W1+W2的基，則dim（Wi+W2）=n,由維數定理可知

dim（叱c嗎）=0,故有

匕=叱十嗎

13.R”中,a=（%%，?'4）,，。=（0\,仇,,仇了，判別下面定義的實數Q0是否

為內積。

⑴（?,/?）=XMh

1=1

（2）（/萬）=》%￡；

/=1

（3）（a,0=a74,其中4為正定矩陣。

解：⑴不是/?"上的內積。設a=（4%…%=（〃；&…4y

夕=3b2?-?b，S

于是

他+%萬）=￡|（q+q'）M=EkA+^l4￡|M|+石岫卜（“/）+（生/）

r=li=l

內枳的線性性不滿足。

（2）與（3）是川上的內積。可驗證對稱性、線性性及正定性都滿足。

13.設｛［，邑，,4｝是火的標準正交基，又％=與+/，4=與一/+J，

%=2々+邑+?，求W=〃%，%,4｝的標準正交基。

解：W的標準正交基

14.在歐氏空間R，中，求子空間卬=〃(11,-1』)7',(1,-1,-1,1)7'}的正交補子空間W二

1

解：設X=(xx2七xjeW-

令4=(ii-i-1-ii)r

由

Xla},Xia,

得

x+x-x+x=0

Vt234

x(-x2-x3+x4=0

解得

00

X=,

10

所以

W，=U(101o)r,(-l00i)r|

15.判斷下列變換哪些是線性變換

(1)R2中，丁(%,％)7=&+1名尸；

rT

(2)R3中，T(xt,x2,x3)=(^+x2,xt-X2,2X3)；

(3)R〃x”中，A為給定n階方陣，PXsR，7(X)=AX+A；

(4)R2X2中，T(A)=4,A?為A的伴隨矩陣。

解：(1)不是，該變換為非線性變換

設

%二(?￡*2)，,%=(凹乃)/

則

T(al+a2)=T(x]+y1再+功,=(百+、+1&+砌'巾+1()丁+()1+10=啊)+啊)

(2)是線性變換

(3)不是，因有丁(0)工0

(4)是線性變換

(abA

VA二,8=

3oJ

而

%+A?+b-a-b

7(A+B)=r6+44422-?2=A*+8*=T(A)+T(B)

6+&-4+6)E4,

T(M)=TkM*=kTiA)

16.設R3中，線性變換7"為:「生=力，卬,3,其中a=(1,0,—1)1%=(2,1,1)"

a3=(1,1,1/,4=(0,1,1)"^2=(-1,1,0/,氏=(1,2,1)、求

(1)7?在基｛%,%,四｝工的矩陣；

(2)r在標準正交基卜的矩陣。

a。2。3)=(片PlA)

解：(1)由丁(1a2%)=(?z%)A及r(a

得

(%4%)A=(月AA)

于是

，12i’0-ii、，011

A二(四生生尸(4AA)=o1i112-1-3-2

-111。b244

/\

(2)W中標準基正交基4=0oo"=(o10)「,%=(001)7

由

丁(q4%)=(q4少

=Pi?i=1,2,3

得

丁4=7(%4(S)(1oT),=(q

1)7=佃%e)Aa=P

Ta2=T(q44)(2i322

1)『=(6e?e)Aa=/J

Tay=T(q%ej(l333

因為

(q4q)=4

故有

人心44)=("PiA)

于是

A=9AA)(?.a?

17.設線性變換R4fR\有

TT

T(X^X2,X3,X4)=(X-x2+x3+z，X|+2X2-X4,X}+X2+3X3-x4),求N(T)和R(T)。

解：由N（r）={X|T（X）=0,X=（N，w，XpX4）7},得下述齊次方程組

X1-x2+x3+x4=0

，xA4-2X2-x4=0

x}+%+3&-x4=0

解得X=&(一2314)「

所以

N⑺={X=k(-2314)7}

由/?(T)={y|y=7XX),X=(%,X2，X3，W)T)，得

西一石+占+%

Y=X+2X2-X4=x.

或R(T)=ia=k]

18.在歐氏空間父中，設有兩組基…,4，與注，62,…,瓦，滿足關系式

（凡兒，，凡）=（%，%，，%）P，PER”"

證明：（1）若藥,與四,四，…,凡都是標準正交基，則P是正交陣;

（2）若即見，…，%是標準正交組，P是正交陣，則用,4,…，瓦是標準正交組。

證明：（1）將矩陣P按列分塊，有

（片、B?、…，見）=%a”）（Pl，〃2，…，P”）

其中

Pi=（?）&…a,）Pi,i=l,2,…，〃

于是

（力血）="氏=P-（藥…4）/（四4）1.=2=｛；'；二;

故矩陣p為正交矩陣。

（2）與（1）證明過程類似，可證明片，尸2,?一，片是標準正交基。

習題二

1.設A、8為〃階方陣，4,4,，??,4,是A的特征值，證明

(1)tr(AB)=tr(BA)；

(2)=(不)=力膘:

r=l

(3)若尸則〃-(A)=〃(6)=X4。

1=1

證明：(1)設A=(%)，B=g,則

\JJnxr\J/n^n

"(AB)=￡=力力力%=tr(BA)

i=lL>'J>1Li=l-

22

(2)因為AXj=4Xj,AX,=A(AX,)=AiAXi=^X.,…,A*Xf=^Xf

故M，若,,若為配的特征值，于是

〃?(1)=￡彳

r=l

(3)由結論(1),得

tr(B)=次(kAP)=次［k(叫］="(")p］=tr(A)

2.設，階方陣A=且豆⑷<1，上12M證明力的每一個特征值;I的絕對值內<lo

j=i

證明：設有4X=2X,X=(xx2…x〃),，并設⑷=max(|xj\x2\…同)

對AX=2X中第k個方程

J=I

于是

⑷聞=￡%U應%同

j=l7=1

即有

nr.ln

;=!\xkIj=l

3.設三階方陣

‘1-11、

A=x4y

1-3-35>

的二重特征值4=2對應有兩個線性無關特征向量,

(1)求x與y；

(2)求P,使。"4尸=八。

解：(1)因齊次方程(2/-A)X=O的解空間維數為2,則矩陣(2/—A)的秩為1

而

r1

（2/-A）=-x

、3

因rank（21—>4）=1

故有x=2,y=-2。

‘1-11'

（2）A=24-2

3—35j

人的特征多項式|2/-/|=(/1-2)2(^-6)

特征值4=4=2,4=6

由（2/-A）X=0,求得特征向量4=（1-10），4=（1o1）7

由（6/—A）X=0,求得特征向量%=（1-23）’

于是

；111]

P=-10-2

、。13;

且有

’200、

piAP=020

06,

4.設%與生是Ai的兩個不同特征值，且有

“4/一4)+r(2/-A)=n

證明矩陣4可對角化。

證明：設rank(a}I-A)=i\rank(a2l-A)=n-r

對于(4/一A)X=0有〃-r個線性無關特征向量

對于(生/-4)X=0有，個線性無關特征向量

于是矩陣4有〃個線性無關特征向量，所以矩陣人可對角化。

r3

5.設N中，a=(xpx2,^)G/?,線性變換了

丁（工],%T

2，.）'=0+2X2+2X3,2xt+x2+2X3,2xt+2x2+x3）

求一組基，使丁在此基下的矩陣為對角陣，并求出此對角陣。

解：取二中的一組標準基0，々，小，則有

1

（七、'X+2X2+2xy]f22YX,

X=2

=（￡]￡2?）A12xi+x2+2X3

X

<3>k2x）+2X2+馬

得線性變換了在基與,￡2*3下的矩陣

I22、

A=212

221,

4的特征多項式憶/->4|=(2+l)2(/l-5)

特征值4=4=7,4=5

由(―/—4)X=0,解得特征向量%=(-110)',4=(-101)

由(5/—A)X=0,解得特征向量%=(111),

于是

矩陣P為從基馬,與，三到所求基。芻,當的過渡矩陣，于是

—-1r

信務&)=(■無3=?o?

1011J

J1]

線性變換了在基。42，4下的矩陣為T。

、5,

6.求可逆矩陣P及人使尸=其中

「2-1-1

A=2-1-2

、T12,

解：4的特征多項式./一川=—(4-1)3

特征值為4=4=4=1

1

再由(/-A)X=-22

i1-1

解得特征子空間匕=1的一組基1二(110)/，％=(01-if

特征向量a=+攵2a2=(Kk\+k?-k2f

,k2、

由(/-A)[=a=k[+k2

<k)

r-l11

得增廣矩陣—222

」-1-1

若方程組(/一4)4=。有解(相容，rank(I-A)=rank(/-A|a)),則有k產k?。

取代=幻=1，得二=(12—l)7

由(/一⑷4二(12-if

解得廣義特征向量4=(100)7

(\11]

取。二(?a0)=120

、0-10,

則有

q、

P]AP=11=J

7.設卬=乂，,此',產爐,/'}為函數向量產,此,?2",021生成的4維空間，7為導數變換,

(1)求7"在基下的矩陣；

(2)找一組基，使7?在此基下為Jordan標準形。

解：(1)T=—,于是

dx

\100、

T(e'xe'x2e'*)=("d+M2xe'+?e'2e2i)=(e'xe'e21}0120

If1'I700I0

、0002,

U1()()、

0120

7■在基"，此',爐?爐,/?x下的矩陣人二00]0

,0002,

0

0o'

0

000

(2)P-'AP=

000

2

0

0

值2a1)=(e'x"X“/”二卜wlx2^e[

(\0

00

線性變換7■在基2看3，1下的矩陣為

000

<00

8.在多項式空間6口］中，7?為是匕次］的一個導數變換，證明了在任一基下的矩陣不可對角

化。

證明：T=L于是

’01

00

r(lXV/)='(1Xr-k)=(0I2x5-1)婷)=(1A-X2.f)0

’0

002

0

0

、0

矩陣A的特征值為4=4=…=4=0

而小〃"(4)=〃-1,故A僅有一個特征向量,所以A不可對角化C

‘2-1-1、

9.設A=2-1-2,求A00。

「112，

解：由題(6),有

取g(4)=7°°

nW)100

J=l屋⑴]/、

g⑴廠〔1，

于是

r101-100-100、

A100=200-199-200

、一100100101)

10.設A為〃階方陣,證明:

(1)若A2-A-/=O,則4可對角化:

(2)若A*=/,k為大于1的整整數，則人可對角化。

證明：(1)因為*一4一/=0,則A的化零多項式0a)=；l2-/l+2=(4+2)(/l-l)

無重根，人的最小化零多項式可整除任意A的化零多項式，故人的最小多項式無重根，于是

A可對角化。

(2)因為4"=/,得4的化零多項式0(/1)二萬一1

即

°(71)=Ak—1=(/1—1)(/1*1+A*2H---1-A+1)

而0(團=0無重根,干是人的最小多項式無重根,所以矩陣A可對角化c

習題三

22

1.設A=4-46

(6-78

(1)求A的LOU分解;

(2)設〃=(10Z)71，用LDU分解求解方程組AX=b°

解：⑴

r2210022；10022100

(*/)=4-46010->0-22：10.0210

、6800(0-42；010-2

100、2-12

令，P=-210,則PA=0-22

1-2b00-2j

這里矩陣P為行初等變換矩陣=PiP2A=PA

22100100

令U=PA=0-22-210210

1°0-911一2(32

于是

I1

10())(2-12、"10()丫22

A=LU=2100-22=21001=LDV

2IJI。。2<321]

3-2J001

(2)[t]AX=b

得LDVX=b

令DVX=Z,則有

LZ=b

令vx=y,則有

DY=Z

由LZ=〃

100、41

即2I0z?0

3212

解得

(Zlz2Z3)，=(l-23)，

T(\

(y%%)1_3)

再由vx=y

解得

x七),2

(ia

2.求下列矩陣的滿秩分解

’()0P」23()

(1)211,i二口⑵021-1

12-0)

J02I

解：⑴

0

1

0

矩陣第1列和第3列線性無關，于是滿秩分解為

r0or

2ii2

2()人。0I

(2)

」021、

U230、<1230、,1230、11

021-1021-1T021-1T01-——

22

21-2-10000

J°z10z、0000,

于是滿秩分解為

」230](\

021-1=0

J021J

(X丫]

3.設AeC'"〃，A的分塊為從二,其中XwC』rank(A)=rank(X)=r,

(zW)

W=ZX-[Y,證明A有如下形式的滿秩分解

A='IJXV),4=(zx-〃(XY)

X

證明：因為⑶成(A)=%成(X)=r,矩陣八的前r個列是4的極大無關列，人的后

3「X、

n-r個列可由線性表示，即

YXYXH

H，

J。

故有

XYXY、X

A=,億IX'y)

【Z4zM(Zzxr>

X

11

A=(/r|X^YzxWX'3"”一)

13

4.陣A=3-53的譜分解。

I6-6

解；矩陣4的特征多項式fGli2)2(24)

對應特征值4=4=-2的特征向量，由下述方程求得

‘3-31°〕

（A+27）X=0,即3-30

、6-6

解得特征向量4=(110)7,%=（-10I）,

對應特征值4=4的特征向量，由下述方程求得

'-3-3

（A-4/）X=0,即3-9

、6-6

解得特征向量%=(112)丁

3V

」-11'2~2

于是尸=10110

、012）

<222>

故有矩陣人的譜分解

5.明反對稱矩陣Aw/T^A7'=—A)和反Hermite矩陣8￡二一3)的特征值為0

和純虛數。

證明：設AT=—A,4為矩陣人的特征值，即有

AX=AX

XTAT=AXr

-XTAX=AXTX

-AXTX=AXTX

得

—A=A,?所以為=0

設出一B,2為矩陣8的特征值，即有

BX=AX

XHBH=AXH

-XHBX=AXHX

-A,XHX=AXhX

得

—A,令2=a+ib

則有-a-ib=a-ib,得a=0

所以4為純虛數。

6.4與B為正規(guī)矩陣，證明4與8酉相似的充分必要條件是A與B的特征值相同。

證明：

（1）充分性

設4與8為正規(guī)矩陣，且特征值相同，則對4與8分別存在西矩陣U1和。2,使

二c〃ag（4,4，，4t）

U?BU2=diag（A，4,…&）

故有U：BU2=U：AU\

即B=U2U^AU=

所以4與8相似

（2）必要性

設幺與8相似，則有

B=UHAU

于是

|2Z-B|=|2Z-UHAU\=\AUHU-UHAU\=|t7h'||2Z-川叫=|2Z-A|

故4與8的特征值相同。

7設斗￡丁

（1）證明A〃A與AA〃的非零特征值相同；

（2）設A〃A的非零特征值4,辦,…,兒.對應的正交特征向量為則AA”的

特征值4,4，，4對應的特征向量為4%，A%，,.且它們也是正交向量組。

證明：（1）

AHX一A")

取,有

1()I,一I。J(07

AHZ〃AA〃00

因為

、A0叩.0

I。中7

于是

"AHA0、r00、

<A0,

故有

AHA01r00

AAAH

即

若義/0,則有

H

o\AIm-AA\=0

所以A"A與A4"的非零特征值相同。

(2)設A，"%=4%，i=h2,,r

于是

(AAH)Aa,=4(A%)

所以A/(/=1,2,,r)為AA”的特征向量。

(A%)”(A%)=a"AHAaj=a：(乙％)=入產:%=0,(Jwj)

故特征向量組為人囚，人見，，Aar正交向量組。

8.求下列矩陣的奇異值分解

'()00、

40、000

(1)01(2)100

<1L001

解：⑴

01=

lo11J112；

\11/

磯一(；；]=(小)("3)

特征值4=3,4=1,奇異值為O]=J3,4=1

由

((2⑼/、/

3/-?0=n解得特征向量％=(11)

((2@/、丁

1/-1O二八解得特征向量％=(1-1)

由此得正交矩陣

，11

_fL

五

1

V=

&1

J

1&

于是

—

1

fz2質

</z、

-l(rlo

1o11oi—

----

w血

l0il1%Ill—

\_&LkF

,。

k

I斯

設夕-a

由，_L1和尸1%,得

%+W+2&=0

菁一&=()

解得尸=(11-if

1

標準化后，得〃3=

耳「I

奇異值分解為

111

一

6一r

r\(G、

o)1VW2V13O_fL-L

i一o1

-一

6石V12

lOO

I1一

7I上

2。/I

一

一72

V6>/3

2

rzooo

rzoolO\ooo/loOA

"

oooO1ooooO

■一

oII一oI

ooIoo1o7

xk/L

rloO、

ooO2\2

-=-7

ooI

I，

特征值4=i，4=o，奇異值為0=1,%=o

由

解得特征向量a=(01of

解得特征向量%=(io0）二%=（001）,

00、

V=001

\010;

fo00、

00

00

01

r

設分=（Mx,.x4）

由6-L?1,/，〃2，得

￡=0

x4=0

解得〃3=(1000)',u4=(010of

奇異值分解為

fo00"1z、/、

八八八(0010Y100、/

000<100

八八0001010

100=001

八八1000000

001Io10

(0100人00

\/

9.證明一個正規(guī)矩陣若是三角陣，則一定是對角陣。

證明：設矩陣Aw尸""為上三角陣，則有

由因矩陣4為正規(guī)矩陣，則有=

即

矩陣A"A,A4"第/行第i列元素為

j=i

(“%=1町+f|%|

得知=0(i工力

所以4為對角陣。

10.設A￡C""的奇異值是外巴,…,。〃，證明|det(A)|二立,。

證明：矩陣4的奇異值分解為

&、

A=UqVH

<巴"

這里UW為。階酉矩陣

|det(C/)|=1,|det(Vw)|=1

于是

|det(X)|=|det(U)||det(diag(cr”…,b")||det(V")|="5

i=i

習題四

r-102i、

l.A=3+i51+i0,x=

<2/2-4,

計算：ML，MU加周國2』項。

解：Ml1=max13+Vio64+V251=3+Vio

ML=max{4VW+V2+59}=7104-V2+5

Ar=(27-i-2+6Z)7

加|L=2+V50+x/40

IIM=夜

悶L=病

2.設4,4，…，?！ň鶠檎龑崝担蛄縓=(芭X2…X”)建,證明由

1

(〃Y

||x||=-定義的非負實數是父空間的一個向量范數。

\1=1>

證明：

(1)正定性：||x||>0,若國=0,則有x=O

（2）齊次性：悶=產之西一=網性謫2=悶國

\i=l7\*=17

（3）三角不等式：

卜+W=Z4a+%）2=（片+2%戊+￡）?Z%a：+y；）+2

i=\i=\:=\/=1

=卜『+陰+2%/?

i=\

由Cauchy不等式，得

22

復"?=￡（向0（向K）工力（百可）吃（肉丫）2="『13『

1=11=1<=|1=1

所以

k+W?M+llW+2|WI|IH=（Hl+||y||）2

故有

1歸+引引4+帆

3.判別下列定義的實函數是否為C"""的矩陣范數。

,,x>>

(1)設A=(%)€C,定義實函數值Mil=max同；

1,JU

(2)設4=（%）￡C"X"，定義實函數值MH=J嬴max\ah|o

T10L0、1000

000L0000

解：（1）取4=，B=

MMMLM

<000L0>