河北省邯鄲市三龍育華中學2024-2025學年高二上學期第三次月考數(shù)學試卷（實驗班）

2024-2025學年度第一學期第三次月考數(shù)學卷（實驗班）考試時間：120分鐘；滿分：150分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1．，，若，則的值為（）．A．4 B．5 C．6 D．72．已知直線過定點，則定點的坐標為（）．A． B． C． D．3．已知拋物線，則拋物線的焦點到準線的距離是（）．A．4 B． C．2 D．4．方程表示橢圓的充要條件是（）．A． B．或C． D．5．已知圓，求圓關于直線的對稱圓方程（）．A． B．C． D．6．已知過橢圓中心的直線交橢圓于、兩點，是橢圓的一個焦點，則的周長的最小值為（）．A．7 B．8 C．9 D．107．數(shù)學家歐拉1765在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點分別為，，，則的歐拉線方程是（）．A． B．C． D．8．設橢圓的左、右焦點分別為，，直線過點．若點關于的對稱點恰好在橢圓上，且，則的離心率為（）．A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．9．設直線，的交點為，則（）．A．恒過定點 B．C．的最大值為 D．點到直線的距離的最大值為510．已知橢圓，，分別為它的左右焦點，點是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（）．A．橢圓離心率為 B．C．若，則的面積為9 D．最小值為11．已知曲線，則下列說法正確的是（）．A．B．曲線關于直線對稱C．曲線圍成的封閉圖形的面積不大于D．曲線圍成的封閉圖形的面積隨的增大而增大第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知雙曲線的漸近線方程為，兩頂點間的距離為6，則雙曲線的方程是________．13．拋物線的焦點為，準線為，過焦點且斜率為的直線與交于點，為上一動點，則周長的最小值為________．14．過橢圓上一點作圓的兩條切線，切點為，，當最大時，點的縱坐標為________．四、解答題15（13分）．已知直線，圓．（1）求與直線平行且與圓相切的直線方程；（2）設直線，且與圓相交于，兩點，若，求直線的方程．16（15分）．已知拋物線的焦點為．（1）求拋物線的焦點坐標和準線方程；（2）過焦點的直線與拋物線交于、兩點，若，求線段的長．17（15分）．如圖，平面平面，為正方形，是直角三角形，且，、、分別是線段、、的中點．（1）求證：面面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求點到面的距離．18（17分）．已知雙曲線的離心率為，實軸長為6，為雙曲線的左頂點，設直線過定點，且與雙曲線交于，兩點．（1）求雙曲線的方程；（2）證明：直線與的斜率之積為定值．19（17分）．已知橢圓的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為，斜率為的直線與橢圓相交于兩個不同點、．（1）求橢圓的方程；（2）若坐標原點到直線的距離為，求的面積的最大值；（3）若線段的垂直平分線過點，求的取值范圍．

高二數(shù)學第三次月考答案參考答案：題號12345678910答案ADBBDDCBABDBCD題號11答案ABD1．A【分析】根據(jù)空間向量的平行性質(zhì)，列出方程組，解出，的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)，則存在一個常數(shù)使得，所以可得，解之可得．故選：A2．D【分析】利用直線過定點可得結果．【詳解】易知直線恒過定點．故選：D3．B【分析】根據(jù)拋物線方程求出，由拋物線定義可得解．【詳解】由拋物線可得，所以，，故拋物線的焦點到準線的距離是．故選：B4．B【分析】借助橢圓的標準方程與充要條件的定義計算即可．【詳解】若表示橢圓，則，解得或．故選：B．5．D【分析】設對稱圓的圓心，解方程組即得解．【詳解】圓的圓心為，設對稱圓的圓心為，依題意得，解得，又圓的半徑與對稱圓的半徑相等，所以對稱圓的方程為．故選：D．6．D【分析】根據(jù)橢圓的定義求出，再由，即可求解．【詳解】由橢圓的對稱性可知，，兩點關于原點對稱，設橢圓的另一個交點為，則四邊形為平行四邊形，由橢圓的定義可知：，又，，所以，又直線過原點，所以，所以的周長的最小值為：．故選：D7．C【分析】求出重心坐標，求出邊上高和邊上高所在直線方程，聯(lián)立兩直線可得垂心坐標，即可求出歐拉線方程．【詳解】由題可知，的重心為，可得直線的斜率為，則邊上高所在的直線斜率為，則方程為，直線的斜率為，則邊上高所在的直線斜率為2，則方程為，聯(lián)立方程可得的垂心為，則直線斜率為，則可得直線方程為，故的歐拉線方程為．故選：C．8普．B【分析】利用點差法求得，關系，再利用橢圓的離心率公式可得答案．【詳解】設，兩點坐標分別為，，因為且的中點為，所以，，因為，在橢圓上，所以①，兩式相減，得，根據(jù)，，上式可化簡為，整理得，又，所以，即，所以．故選：B．8實．B【分析】利用橢圓的定義結合余弦定理求解出，結合求解出離心率的值．【詳解】如圖，由已知可得，，，由橢圓定義，得，在中，由余弦定理得，所以，又，整理得，又橢圓的離心率，所以，解得或（舍去），所以的離心率．故選：B．9．ABD【分析】由直線過定點即可判斷A，由兩直線垂直列出方程即可判斷B，聯(lián)立兩直線方程求出交點坐標，代入計算即可判斷C，結合題意可知點到直線的距離的最大值即為點到定點的距離，即可判斷D．【詳解】對于選項A，因為直線，即，令，解得，所以恒過定點，故A正確；對于選項B，因為直線，滿足，所以，故B正確；對于選項C，聯(lián)立兩直線方程，解得，所以，則，令，則，所以，，且在上單調(diào)遞增，當時，，所以，故C錯誤；對于選項D，由A可知，直線恒過定點，則點到直線的距離的最大值即為點到定點的距離，即，故D正確；故選：ABD10．BCD【分析】由橢圓方程得到，，的值，根據(jù)離心率的公式可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由基本不等式可判斷D．【詳解】由橢圓方程可知，，，，所以橢圓的離心率，故A錯誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因為，所以，∴，解得，所以的面積為，故C正確；∵，∴，當且僅當時取等號，∴最小值為，故D正確．故選：BCD．11普．ABD【分析】對A，根據(jù)雙曲線方程結合離心率為，列式求解；對B，根據(jù)兩漸近線垂直斜率關系列式求解；對C，由雙曲線定義結合勾股定理列式運算；對D，結合雙曲線定義求出的周長，利用基本不等式求解判斷．【詳解】對于A，由題可得，，，∴，解得，所以實軸長為2，故A正確；對于B，雙曲線的漸近線為，兩漸近線垂直，則，解得，故B正確；對于C，因為，所以，又，則，兩式相減可得，，故C錯誤；對于D，由，，兩式相加得，又，所以的周長為，當且僅當，即時等號成立，故D正確．故選：ABD．11實．ABD【分析】利用曲線的方程得到關于的不等式可判斷A；利用點關于直線的對稱點判斷得曲線的對稱性，從而判斷B；分析曲線與曲線上的兩個橫坐標相同的點的縱坐標大小關系，從而得到曲線圍成的封閉圖形的面積情況，從而判斷CD．【詳解】對于A，因為曲線，所以，解得，故A正確；對于B，因為曲線，可化為，設點是曲線上任一點，則其關于對稱的點為，將代入曲線方程，得，所以曲線關于直線對稱，故B正確；對于CD，因為，所以，則，設點是曲線上任一點，則，點是曲線上的一點，則，則，，故，易知當時，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以（當且僅當或時，等號成立），故，又在上單調(diào)遞增，所以，故當增大時，橫坐標相同的點的縱坐標的絕對值會大于或等于原來的，又曲線圍成的圖形為封閉圖形，所以該圖形會比原來的大，即曲線圍成的封閉圖形的面積隨的增大而增大，故D正確，又當時，曲線為，即其圖形是半徑為1的圓，此時其面積為，則曲線圍成的封閉圖形的面積不小于，故C錯誤．故選：ABD．【點睛】關鍵點點睛：本題CD選項解決的關鍵在于，分析得兩曲線與上的點的情況，從而得到其圍成的封閉圖形的面積情況，由此得解．12．或【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求雙曲線方程．【詳解】當雙曲線的焦點在軸上時，設雙曲線的方程為，則解得，則雙曲線的方程為；當雙曲線的焦點在軸上時，設雙曲線的方程為，則解得雙曲線的方程為．綜上，雙曲線的方程是或．故答案為：或13．【分析】過作直線的垂線，垂足為，分析出為正三角形，求出；再通過軸對稱求出，即可得周長的最小值．【詳解】設準線交軸于點，過作直線的垂線，垂足為，連接，由題知，焦點，，．因為，直線的斜率為，所以為正三角形，所以，，記關于直線的對稱點為，則．當，，三點共線時，，所以周長的最小值為．故答案為：14．【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的切線長定理、結合四邊形及三角形面積轉(zhuǎn)化為求最大值問題．【詳解】圓的圓心，半徑，由，切圓于點，知，，則，因此最大，當且僅當最大，設，，則，當且僅當時取等號，所以點的縱坐標為．故答案為：15．（1）或；（2）或【分析】（1）根據(jù)題意假設所求直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求得，從而得解；（2）根據(jù)題意假設直線的方程，利用圓的弦長公式求得圓心到直線的距離，進而利用點線距離公式列式即可得解．【詳解】（1）依題意，設所求直線方程為，因為所求直線與圓相切，且圓心為，半徑為，∴，解得或，∴所求直線方程為或；（2）依題意，設直線的方程為，因為直線與圓相交于，兩點，，∴圓心到直線的距離為，∴，解得或，∴直線的方程為或．16．（1）焦點坐標，準線方程為；（2）．【分析】（1）由題意，根據(jù)所給拋物線的方程進行求解即可；（2）先根據(jù)定義求出點的橫坐標，進而可得點的縱坐標，設出直線的方程，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理和焦半徑公式求解即可．【詳解】（1）因為，解得，則拋物線的焦點坐標，準線方程為；（2）不妨設，，因為，所以，當時，解得，不妨令，，此時直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理得，則．17．（1）見解析（2）（3）【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量證明線線垂直即可得線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直；（2）利用向量法求異面直線所成角的余弦值；（3）根據(jù)點面距離的向量公式求解即可．【詳解】（1）因為平面平面，交線為，，平面所以平面，又，平面，所以，，故，，兩兩垂直，以為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，．∵，，，∴，，∴，，又∵，平面，且，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）∵，，∴，故異面直線所成角的余弦值為．（3）設平面的法向量為則，令，則，，所以，又，所以點到面的距離．18普．（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意求解雙曲線方程即可；（2）聯(lián)立直線和雙曲線方程，通過判別式大于0，及，求解即可．【詳解】（1）雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，設雙曲線的方程為由，可得，由雙曲線過點，可得，解得，則雙曲線的標準方程為；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，化簡得，則，假設，，則，解得．18實．（1）（2）證明見詳解【分析】（1）由實軸長為6，得，由離心率為，得，再由得，即可得到雙曲線的方程；（2）設，，直線，直線與雙曲線聯(lián)立方程得，根據(jù)韋達定理得，，根據(jù)斜率公式得，最后代入化簡計算即可得證．【詳解】（1）因為雙曲線的實軸長為6，所以，因為雙曲線的離心率為，所以，解得，由，得，則的方程為．（2）設，，因為直線過定點，顯然直線不垂直于軸，則設直線，聯(lián)立方程組，消去得，由，得，則，，因為為雙曲線的左頂點，所以，直線的斜率，直線的斜率，所以，即直線與的斜率之積為定值．【點睛】關鍵點點睛：第二問的關鍵在于設出直線的方程，然后直曲聯(lián)立，利用韋達定理，代入的表達式，化簡即可得到定值．19．（1）（2）（3）【分析】（1）由離