光電成像器件計算機輔助設(shè)計(CAD)講義

光電成像器件計算機輔助設(shè)計（CAD）基礎(chǔ)知識及課程設(shè)計指導(dǎo)書（第三版）倪國強北京理工大學(xué)2002年5月前 言《光電成像器件計算機輔助設(shè)計（CAD）》課程設(shè)計是我光電工程系電子科學(xué)和技術(shù)專業(yè)主干專業(yè)課程之一《光電成像原理》的重要組成部分，也是該課程重要的后續(xù)設(shè)計實踐課程。其主要任務(wù)是結(jié)合比較接近實際情況的像管設(shè)計計算課題，綜合運用《光電成像原理》課程中有關(guān)基本原理及其它有關(guān)知識，將本課程設(shè)計基本理論所給出的光電成像器件電子光學(xué)系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計的物理模型與數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為可以實際進行數(shù)值計算的CAD程序軟件系統(tǒng)，以達到培養(yǎng)綜合運用知識的能力，編制、調(diào)試、開發(fā)實際工程軟件的能力，提高運用現(xiàn)代設(shè)計方法與手段及計算機應(yīng)用開發(fā)能力的目的。課程設(shè)計時間安排為5周，每周計20學(xué)時。適當(dāng)減少少量設(shè)計計算內(nèi)容，也可安排4周。若對非本專業(yè)學(xué)生開展本課程設(shè)計實踐教學(xué)，可考慮修改設(shè)計計算內(nèi)容，課程設(shè)計時間安排為2～3周。課程設(shè)計的具體任務(wù)是計算某種電子光學(xué)系統(tǒng)的空間電場分布及其它有關(guān)內(nèi)容。要求每個學(xué)生在規(guī)定的時間內(nèi)，獨立完成CAD設(shè)計各項任務(wù)，獨立完成符合要求的設(shè)計技術(shù)報告，提交設(shè)計計算程序文本，提交計算結(jié)果（打印文件）。為加強全面素質(zhì)教育，課程采用開放式教學(xué)方法，鼓勵學(xué)生在進行設(shè)計理論學(xué)習(xí)、編程、上機調(diào)試、撰寫設(shè)計報告等過程中，充分討論、相互啟發(fā)，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，真正學(xué)有所獲。同時要求學(xué)生要獨立完成課題任務(wù)，堅決杜絕不勞而獲、抄襲程序與報告文本的學(xué)術(shù)腐敗作風(fēng)與不端行為。作為一門獨立的教學(xué)實踐課程，課程設(shè)計成績單獨評定，單獨記載學(xué)分。評定成績的主要依據(jù)為：1．是否在規(guī)定的時間內(nèi)獨立完成規(guī)定的任務(wù)，并提交正確的計算結(jié)果；2．是否獨立按要求、高質(zhì)量地撰寫設(shè)計技術(shù)報告；3．是否做到：程序設(shè)計思想合理新穎，符合要求，文本簡潔明了、邏輯清晰，編排規(guī)范，打印格式整齊等；4．是否遵守紀律，遵守上機規(guī)則。

目錄1計算旋轉(zhuǎn)對稱電場的有限差分法1.1計算電場的拉普拉斯（Laplace）方程1.2有限差分方程的建立1.3連續(xù)超張弛迭代法（SOR法）1.4最佳迭代加速因子的求取1.5連續(xù)超張馳迭代法計算步驟1.6非封閉邊界的處理及域內(nèi)節(jié)點電位初值的給定1.7誤差分析1.8等位線的計算1.9旋轉(zhuǎn)對稱電場中的電位鞍點1.10拉格朗日（Lagrange）插值法1.11其他1.12靜電場的三個基本定理2課程設(shè)計任務(wù)書3課程設(shè)計技術(shù)報告撰寫要求4程序編制與上機5總結(jié)與答辯要求1計算電場的有限差分法《光電成像原理》課程已涉及了光電成像器件中電子光學(xué)系統(tǒng)的基本原理。本課程設(shè)計進而專門討論電子光學(xué)系統(tǒng)的計算機輔助設(shè)計的有關(guān)問題并提供初步設(shè)計實踐的機會。我們知道，要確定電子光學(xué)系統(tǒng)的成像參量并進行像質(zhì)評定，必須先確定電子運動的軌跡。而為此，又必須首先確定器件中場的分布。通常確定場分布與電子軌跡有3種方法：解析法，實驗測量法，數(shù)值計算法。解析求解法雖然精確且解的形式十分完美，但在實際的電磁場系統(tǒng)中，邊界條件的復(fù)雜性常使解很難甚至根本無法求出，只有極少數(shù)特殊情況才能求解。實驗法雖直觀簡便，但精度不高。而由于大容量﹑高速度計算機的廣泛使用以及計算方法和計算技術(shù)的迅速發(fā)展，使數(shù)值計算法尤其成為精度高、速度快的方法。從上世紀六十年代后期開始，特別是進入八十年代以來，計算機輔助設(shè)計方法一直廣泛應(yīng)用于電子光學(xué)系統(tǒng)的計算與設(shè)計。這使經(jīng)典的電子光學(xué)理論與研制電子光學(xué)器件﹑儀器和裝置的實際技術(shù)更緊密的結(jié)合起來，并因此而取得巨大的進展，很快就成為電子光學(xué)系統(tǒng)的最主要的計算與設(shè)計手段。上世紀八十年代中后期，伴隨著個人計算機的廣泛使用，更極大地推動了計算機輔助設(shè)計方法的推廣普及，并使得其進一步向優(yōu)化設(shè)計與自動設(shè)計方向發(fā)展，取得了長足的進展，開拓了一個嶄新的學(xué)術(shù)領(lǐng)域。通常，電子光學(xué)系統(tǒng)的計算機輔助設(shè)計方法可以用來解決以下問題：1．計算系統(tǒng)的電場和磁場分布，包括旋轉(zhuǎn)對稱聚焦場、偏轉(zhuǎn)場等；2．計算電子在電磁場中運動的軌跡；3．計算成像器件電子光學(xué)系統(tǒng)的成像參量（成像系統(tǒng)的像面位置、放大率等）和偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)的偏轉(zhuǎn)靈敏度等；4．計算系統(tǒng)的像差，包括各級幾何像差（球差、彗差、場曲、像散、畸變等）和色差，陰極透鏡的近軸像差，偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)的偏轉(zhuǎn)像差等；5．計算電子光學(xué)系統(tǒng)的像質(zhì)評定指標(biāo)——電子光學(xué)鑒別力和傳遞函數(shù)等。結(jié)合本課程設(shè)計的具體情況和任務(wù)要求，這里將重點講述電子光學(xué)系統(tǒng)計算機輔助（CAD）設(shè)計的一種算法及其程序思想，即計算電場的有限差分法（FiniteDifferentialMethod—FDM）及其迭代算法，并介紹一些與課程設(shè)計任務(wù)有關(guān)的問題。1．1計算電場的拉普拉斯（Laplace）方程在真空中，當(dāng)無空間電荷時，靜電場的電位j滿足拉普拉斯方程： （1-1）即在圓柱坐標(biāo)系（z，r，q）中，有 （1-2）對旋轉(zhuǎn)對稱場，這時電位與方位角q無關(guān)，則上式成為： （1-3）該方程是橢圓型偏微分方程，求解時必須用到電位所滿足的不同類型（一般分為3類）的封閉邊界條件。通常都是給定區(qū)域G的邊界Г上的電位，即給定每一電極的電位及其他非電極的邊界上的電位。這類問題稱為第一類邊界值問題，或稱狄里赫萊（Dirichilet）問題。由微分方程理論可知，這時方程有唯一確定的解。本節(jié)介紹一種求解這類問題的數(shù)值計算方法，即有限差分法。其基本思想是：在旋轉(zhuǎn)對稱場的半子午面（z，r）上用離散的點列來代替區(qū)域內(nèi)的連續(xù)平面點集，這稱為離散化過程。這樣處理后，拉普拉斯方程中的偏微分便可以用相鄰點的差分代替，相應(yīng)的偏微分方程也就由對應(yīng)的差分方程代替。而對后者可用數(shù)值計算方法求解，其解可作為邊值偏微分方程的數(shù)值形式的近似解。1．2有限差分方程的建立用差分法解偏微分方程的邊值問題，一個重要的問題是如何在區(qū)域內(nèi)劃分足夠密集的網(wǎng)格，以選取最經(jīng)濟的網(wǎng)格數(shù)，又能滿足給定的精度要求。圖1-1是某典型像增強器的半子午面。z軸與像管的對稱軸重合，其與陰極面的交點選為系統(tǒng)的原點。作平行于徑向r和軸向z的兩族直線，將該半子午面劃分成等距或不等距的網(wǎng)格，它們的交點為網(wǎng)格節(jié)點。這兩族直線足夠密集，它們兩兩鄰接的間距都可以認為是一階小量。圖1-1子午面上的電極邊界和網(wǎng)格的劃分h步長，×域外點，·域內(nèi)不規(guī)則點，其它網(wǎng)格點為一般內(nèi)點。下面推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)對稱場“十”字形不等距五點差分公式（見圖1-2）。設(shè)任意網(wǎng)格點0的坐標(biāo)為（z0，r0），其電位為j0；相鄰的四點1，2，3，4與它的間距分別為h1，h2，h3，h4（均取絕對值），各點的電位分別為j1，j2，j3，j4。利用泰勒（Taylor）公式將這些電位在（z0，r0）點附近展開，并忽略高階小量項（間距步長h1～h4的高階項），便有： （1-4）式中下標(biāo)的0表示在（z0，r0）點取值，由此得到在0點（z0，r0）處的偏導(dǎo)數(shù)： （1-5）將上述各式代入（1-3）式，即得“十”字形五點差分公式： （1-6）此式中各系數(shù)是相鄰的1，2，3，4點網(wǎng)格間距（步長）及r0的函數(shù)： （1-7） （1-8） （1-9）當(dāng)0點（z0，r0）在軸上時，上述推導(dǎo)不適用，即r0=0時，（1-5）式中最后一式、（1-6）式、（1-8）式無意義。對軸上點r0=0，利用洛必達（Hospctal）法則，有（1-10）因此軸上點的拉普拉斯方程為（1-11）把（1-5）式的前兩式代入上式，便得到軸上點的差分公式。其形式雖然與（1-6）式相同，且其系數(shù)c1，c2也與（1-7）式相同，但c3，c4不同： （1-12）當(dāng)然c0也不同： （1-13）在h1=h2=h3=h4=h的正方形網(wǎng)格情況下，可得“十”字形等距五點（見圖1-3）的差分公式。對軸外點有 （1-14）對軸上點則有 （1-15）0z43142201rhhhhhhh對于實際網(wǎng)格點，對軸外點，，，，，，（對等距網(wǎng)格），其中i，j分別為0點所在處的行好和列號。對于軸上點，0z43142201rhhhhhhh4zr02113421h1h44zr02113421h1h4h2h3可以看出，上述差分公式就是將區(qū)域內(nèi)任何點的電位與其周圍相鄰點的電位聯(lián)系起來的線性代數(shù)方程，且方程的系數(shù)c0，c1，c2，c3，c4在電子光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尺寸確定以及網(wǎng)格一旦劃定后都是已知的。如果在電場區(qū)域內(nèi)，自軸線開始，沿z軸方向逐點逐點地、按r方向逐行逐行地（即在z方向從左到右、在r方向從下到上），把區(qū)域網(wǎng)格點電位依次編為φ1，φ2，…，φn，…，φN（網(wǎng)格點總數(shù)為N），就可以在所有網(wǎng)格點上都建立起相應(yīng)的差分方程。于是便得到一個N元一次線性方程組：（1-16）即[A][φ]=[B] （1-17）其中常數(shù)矩陣[B]不為零矩陣，是因為將邊界處的電位值常數(shù)代入的緣故。一般說來，求解N階線性代數(shù)方程組，可用克萊姆（Cramer）行列式法、逆矩陣法、主元素法等方法。但這些方法都只適用于N較小的情況。光電成像器件的電子光學(xué)系統(tǒng)的網(wǎng)格數(shù)N一般都相當(dāng)大，達幾千甚至上萬。此時這些方法難于使用。注意到差分方程組的系數(shù)矩陣[A]是稀疏矩陣，即每個方程最多只出現(xiàn)五個未知數(shù)，其他絕大多數(shù)系數(shù)為零，且按上述順序排列，矩陣中非零元素基本上集中在主對角線附近，兩側(cè)絕大部分為零，即具有“主對角線優(yōu)勢”。對于這類方程組，一般采用迭代法求出近似解。1．3連續(xù)超張弛迭代法（SOR法）所謂迭代法（Iteration），是把方程組的解看作是某種極限過程的極限，而在實現(xiàn)這一極限過程的每一步的結(jié)果是把前一步所得結(jié)果作為計算前提、施行相同的演算步驟而得到的。為此對差分公式 （1-18）按照已知邊界條件所給定的邊界上的電位分布，在區(qū)域內(nèi)任意假定一個嘗試性的零次近似分布： （1-19）其中用帶方括號的上標(biāo)表示迭代次數(shù)，其一般表達符號為[k]，k=0，1，2，…。將（1-19）式所表示的場分布代入（1-18）式，便得到第一次迭代近似分布： （1-20）其中下標(biāo)“邊”表示邊界點。因為邊界點電位由外界電源供給，是常數(shù)，所以不參加迭代。這樣繼續(xù)迭代k次，可得到第k+1次迭代結(jié)果的近似分布： （1-21）可以證明，在這類像管電場的計算問題中，上述迭代過程是收斂的，即一般說來，每次迭代結(jié)果比前一次的結(jié)果更好地逼近線性方程組的真解。這種迭代過程稱為高斯（Gauss）迭代法，或稱同步迭代法，也有稱張馳法（Relaxation）的。它是把所有網(wǎng)格點上的第k次近似值都求出來，代入差分方程再求出所有網(wǎng)格點上的第k+1次近似解。這種方法要求計算機有大量的內(nèi)存，因為它需要存儲所有網(wǎng)格點前后兩次迭代值，而且收斂較慢。另一種迭代法叫賽德爾-黎伯曼（Seidel-Liebmann）迭代法。這種方法在求第k+1次近似解時，在差分方程（1-21）式右端盡量采用最新選代得到的電位（即第k+1次近似值）去代替上次（第k次）的近似值。因為在求時，按上述迭代順序，該點鄰接的左右上下四點中，其左、下兩點的第k+1次近似解已經(jīng)求出。無疑，當(dāng)k較大時，第k+1次近似解比第k次近似解更接近差分方程之真解。以圖1-2或圖1-3所示的五點網(wǎng)格為例，當(dāng)?shù)涡蛟趜方向是從左到右、在r方向是從下到上時，賽德爾-黎伯曼迭代公式是 （1-22）這種方法能節(jié)省計算機內(nèi)存量（只需存儲所有迭代點當(dāng)前所得的一次迭代值），并加快迭代過程，提高收斂速度，稱為連續(xù)（逐步）張弛法（SuccessiveRelaxationMethod），也有稱為異步迭代法的。前后兩次迭代過程中各網(wǎng)格點電位的差值，稱為殘差（實際是偽殘差）： （1-23）為了進一步提高迭代的收斂速度，楊氏（Young）和富蘭開爾（Frankel）等人對賽德爾-黎伯曼迭代法作了進一步改進，提出了連續(xù)（逐次）超張弛法（SuccessiveOverRelaxationMethod，簡記為SOR法）：將上述殘差乘以一個加速因子ω（1≤ω＜2）再疊加到上作為正式的0點電位的第k+1次近似值，而把先前賽德爾-里伯曼迭代法求得的作為第k+1次的“歷史”近似值，即 （1-24）即非邊界點的迭代公式為： （1-25）這就是五點不等距差分的SOR公式，ω稱為超張弛迭代因子。對于狄里赫萊問題，從理論上可以證明，當(dāng)0＜ω＜2時，SOR迭代過程是收斂的。當(dāng)ω＞2時，SOR迭代將發(fā)散；若1＜ω＜2時，收斂過程加速，即為上述的超張弛迭代過程，并在此范圍內(nèi)存在ω的最佳值ωm，使收斂過程顯著加快；若0＜ω＜1，則收斂減速，稱為亞張弛（低張弛）過程。當(dāng)ω=1，則（1-24）與（1-25）式又變成賽德爾-黎伯曼迭代過程。為什么加速因子ω能改變迭代收斂速度呢？這里作一概略的說明：在賽德爾-黎伯曼迭代法中，隨著迭代次數(shù)的增加，迭代解逐漸逼近差分方程之真解。在迭代初期的幾遍，其近似解可能有跳動現(xiàn)象，但當(dāng)k較大時，不妨設(shè)則一般可估計到仍有即一般說來，絕大多數(shù)網(wǎng)格點上的迭代殘差在以后迭代過程中符號不變，且其絕對值改變很小，故迭代收斂很慢（如圖1-4所示）。若在上加上一個比殘差要略大一點之值，作為正式的，代替“歷史”的，自然會加速收斂；反之，ω〈1，會使收斂變慢。圖1-4迭代過程示意圖目前在弱流電子光學(xué)系統(tǒng)（即電子束流作為空間電荷的作用可以忽略不計的系統(tǒng)）場分布的計算中，廣泛地采用SOR迭代法。1．4最佳迭代加速因子的求取上面已經(jīng)說過，SOR因子ω選取是否得當(dāng)，對于收斂速度有很大影響。對于任何一個特定的電子光學(xué)系統(tǒng)及特定的網(wǎng)格劃分，都存在著一個最佳因子ωm。引用它在理想情況下可使迭代效率大大提高，使迭代次數(shù)下降為采用簡單迭代法的幾分之一、十幾分之一甚至幾十分之一。但在迭代求解之前，ωm一般是不能精確知道的。ωm一般可按下述步驟求?。涸O(shè)任一網(wǎng)格點在k和k+1這兩次迭代中的殘差都由（1-23）式給出，則殘差的平均值就是 （1-26）兩者的比值為 （1-27）如果在k次迭代時迭代因子為，則有 （1-28）其中 （1-29）于是在k+1次迭代中，ωm采用下述經(jīng)驗公式求得： （1-30）1．5連續(xù)超張馳迭代法計算步驟實際計算時，是按卡瑞（Carre）提出的、在迭代過程中能不斷獲得并不斷加以改進修正的加速因子的估值方法進行的。其步驟如下：1．首先，第一輪取ω0=1，迭代1次；2．再取ω為另一值ω1（仍較?。┳鞯诙喌娜舾纱蔚▽Υ丝ㄈ鸾ㄗh取ω1=1.375，迭代12次），再引用其最后3次的迭代結(jié)果計算出l值；3．用ω1和l，由（1-28）式和（1-29）式，初步估算加速因子ωl，式中；4．按（1-30）式修正ωm；5．用ωm代替原來的ω1，作第三輪12次迭代，并繼續(xù)用上述2．～4．三個步驟求改進的。6．反復(fù)這個過程，直到連續(xù)兩個輪次求得的和ωm之值滿足如下不等式 （1-31）時為止。這時，估計值與理論上的最佳迭代因子值相差約為0.01~0.02，從而可把固定，繼續(xù)迭代；7．判斷所有域內(nèi)網(wǎng)格節(jié)點前、后兩次迭代所得到的電位值是否滿足以下收斂判別準(zhǔn)則： （1-32）或 （1-33）其中e1、e2是預(yù)先給定的允許精度誤差。滿足，則認為迭代已達到預(yù)定的精度指標(biāo)，退出迭代，并把第k+1次迭代結(jié)果作為場分布的近似解。否則，繼續(xù)按上述步驟迭代。實際計算時，一般經(jīng)過幾個輪次迭代計算，即可求得ω的最佳值的估計值。上述過程中ω初值的選取，每輪迭代次數(shù)以及（1-31）式的精度控制常數(shù)，均可靈活掌握。1．6非封閉邊界的處理及域內(nèi)節(jié)點電位初值的給定在求解狄里赫萊問題時，要求所計算區(qū)域的邊界是封閉的。實際的系統(tǒng)中，電極并不封閉，這樣在電極之間的邊界線（例絕緣材料）上電位分布是未知的。這種缺口稱為非封閉邊界。非封閉邊界的存在使其鄰接的域內(nèi)節(jié)點的差分公式中有不確定因素，迭代計算就無法進行。為此須在適當(dāng)?shù)奈恢蒙涎a加上邊界，使之封閉，即必須給需要封閉的非封閉邊界節(jié)點賦電位值，作“補充邊界線”。例如，在（z，r）平面上，在等半徑雙圓筒電極之間，再加上沿z方向的水平補充邊界；在不等半徑雙圓筒電極端面之間，可加沿r方向的垂直補充邊界，在平行圓孔闌平板電極之間加平行于孔闌軸線的補充邊界，等等（見圖1-5中各例圖中的虛線）。jj1 j(z)j2z1zz2 zj1r1 r r2j(r)j2zz圖1-5補充邊界示意圖（一）邊界的封閉處理有兩條原則：一是補充邊界線的位置應(yīng)選取在遠離電子通過之區(qū)域，以減小其誤差傳遞對關(guān)鍵場區(qū)的影響；二是盡可能使賦值反映實際邊界場的分布。當(dāng)然，補充邊界之賦值，可用實驗測定法；也可以在形狀簡單的絕緣管壁上均勻涂敷一層高阻半導(dǎo)體，利用其泄漏之微小電流自動形成一段邊界，完成封閉化處理。以上方法稱為物理賦值法。但在計算時最重要、最常用的方法是插值法。按不同情況，可采用不同的插補計算法。通常有：補充邊界線沿z方向，可作線性插值： （1-34）補充邊界線沿r方向，可作對數(shù)插值： （1-35）補充邊界線沿同心球電容器半徑方向，可按同心球電場處理，作以下形式插值： （1-36）上述3式中各量的物理意義，見圖1-5與圖1-6。關(guān)于區(qū)域內(nèi)節(jié)點電位初值（n=1，2，…，N）的給出，從理論上講，是可以任意的，總可以經(jīng)反復(fù)迭代計算而得到收斂于線性代數(shù)方程組的真解的近似解。但問題在于，若給定初值較接近于迭代終值，則迭代次數(shù)可以少些。然而，由于實際系統(tǒng)電極形狀各異，結(jié)構(gòu)繁簡不一，若要對域內(nèi)各點都給出較理想的初值，勢必造成程序編制上的困難。所以，初值的給出應(yīng)適當(dāng)選取，但毋需追求過于精確。初值的給出方法很多，例如可采用線性插值結(jié)合網(wǎng)格折半的措施，也可采用4/3次方分布公式代替線性分布公式，等等。這里不加贅述，有興趣的同學(xué)可查閱有關(guān)文獻。本課程設(shè)計中，也可采用給所有域內(nèi)點初值賦零的方法來作簡單處理。圖1-6補充邊界示意圖（二）1．7誤差分析差分方程的最終解與微分方程的真解之間總會有一定的差別，稱為截斷誤差。它是決定計算結(jié)果準(zhǔn)確度的系統(tǒng)誤差，它與場結(jié)構(gòu)和網(wǎng)格劃分方式及網(wǎng)格間距（步長）有關(guān)。若將（1-4）式泰勒展開式保留更高階的項，在以后的差分公式中都將出現(xiàn)步長的更高階項。顯然，這時截斷誤差將減小。也很容易證明，對同一網(wǎng)格點，當(dāng)采用不同的差分格式，截斷誤差也會有所不同。例“十”字形五點差分格式（圖1-3）與“田”字形五點差分格式（圖1-7），由于它們的差分公式系數(shù)不盡一致，它們的截斷誤差縱然有相當(dāng)?shù)碾A次，但還會有所不同。這說明，計算結(jié)果的準(zhǔn)確度直接與差分格式有關(guān)。需要指出，上述分析是對某一點的周圍網(wǎng)格點電位值都取正確值而言的。實際上的截斷誤差要復(fù)雜的多。但上述分析的截斷誤差仍不失是一個重要指標(biāo)，仍常常用來表示解差分方程組所得的結(jié)果與拉普拉斯方程的真解之差。另外，當(dāng)用迭代法求解差分方程組時，只能按給定的控制精度，以計算機允許的一定數(shù)位進行有限次迭代。這樣在迭代近似解和差分方程組真解之間又存在著另一類誤差，即所謂“殘差”。所以實際迭代近似解與拉普拉斯方程真解之差，應(yīng)為上述截斷誤差與殘差的代數(shù)和。殘差可以通過增加迭代次數(shù)和增加有效數(shù)字位數(shù)的方法而減至足夠小，并保持各點電位值相互間的內(nèi)在協(xié)調(diào)。這在高速、大容量計算機上是容易實現(xiàn)的。但截斷誤差是固有的系統(tǒng)誤差（原理誤差），因而是場分布計算中的主要誤差。圖1-7“田”字形等距五點差分格式 圖1-8等距九點差分格式為減小截斷誤差，可以采用以下方法：1．采用涉及較多網(wǎng)格點的差分格式，例等距九點（“田”字形或“十”字形）差分格式（見圖1-82．減小步長h。因網(wǎng)格加密意味著離散化的量化階梯趨小，自然更能逼近連續(xù)化，而且也更能充分反映邊界的實際情況。從極限觀點看，當(dāng)h→0時，則截斷誤差→0。但步長不能太小，否則，由于節(jié)點數(shù)成倍增長，迭代收斂顯著變慢，這樣會受計算機內(nèi)存容量和計算時間的限制，往往使迭代次數(shù)不夠，使殘差增大。所以步長選多大，應(yīng)根據(jù)具體系統(tǒng)的實際情況和所要求的精度來確定。3．采用不均勻距離網(wǎng)格。該方法既能減少網(wǎng)格點數(shù)，又能在一定程度上提高計算結(jié)果的準(zhǔn)確度。一般在電子運動速度較小的近陰極區(qū)、場較強的近陽極區(qū)和近軸區(qū)，用較小網(wǎng)格，而在遠離成像電子束通過或在場較弱的區(qū)域（例等位區(qū)）用較大網(wǎng)格。該方法運用得當(dāng)，可以獲得較好的效果。4．子區(qū)間技術(shù)。該方法是將已進行網(wǎng)格劃分的部分區(qū)域劃出，再加密劃分網(wǎng)格，作小步長計算，即把區(qū)域內(nèi)成為新的子區(qū)間邊界的節(jié)點，利用原來節(jié)點（在其周圍）數(shù)據(jù)插值求出其電位值并予以固定，然后再進行迭代計算。上述的不等距網(wǎng)格和子區(qū)間技術(shù)應(yīng)處理得當(dāng)，以避免因各種網(wǎng)格步長和格式不同引起的精度各不相同而造成精度的不協(xié)調(diào)而反過來損害精度。1．8等位線的計算在經(jīng)過足夠多次迭代后，當(dāng)域內(nèi)各網(wǎng)格點電位的殘差都已小于給定的控制精度誤差（相對的或絕對的），即已達到預(yù)期的精度，便可停止迭代。這樣便得到了各個網(wǎng)格上的電位值，并可據(jù)此描繪出等位線。描繪等位線主要是為了能形象直觀地了解系統(tǒng)的場分布，以幫助分析、評判系統(tǒng)的性質(zhì)。在旋轉(zhuǎn)對稱電場中，等位面的方程為j（z，r）=，為某電位常數(shù)。不同的就對應(yīng)不同的等位面。旋轉(zhuǎn)對稱的等位面與系統(tǒng)子午面的交線即為該子午面內(nèi)的等位線。描繪等位線的方法有幾種，主要有微積分方程追跡法和掃描搜索法。結(jié)合課程設(shè)計任務(wù)，這里只介紹簡單而常常被實際采用的掃描搜索法。當(dāng)需要描繪電位為常數(shù)的等位線時，可沿著每一橫行網(wǎng)格點作“行掃描”，去檢查各個網(wǎng)格點的電位值。比如，當(dāng)沿著第i行掃描時，發(fā)現(xiàn)且，則在和之間作線性插值，便可求得所對應(yīng)的點的軸向坐標(biāo)與徑向坐標(biāo)： （1-37）該式的條件是。同理，也可沿著每一縱向網(wǎng)格作“列掃描”，在的情況下，可求出對應(yīng)點的坐標(biāo)點： （1-38）其中各量的意義，可見圖1-9。把電位值為的這些點連起來，就得到所要求的等位線。掃描搜索法雖然原理是近似的，但計算簡單，誤差每點相互獨立而不首尾傳遞，能同時確定同一電位值所對應(yīng)的多根等位線。只要迭代有一定精度，則其所描繪出的等位線可以是足夠光滑的。riririri-1ri+1rzj-1 zj zj+1zi+1ii-1j=jd(zd，rd)|列掃描(zd，rd)|行掃描1．9旋轉(zhuǎn)對稱電場中的電位鞍點當(dāng)旋轉(zhuǎn)對稱電場中的電位分布隨z軸方向變化出現(xiàn)較明顯的“高-低-高”或“低-高-低”的情況時，會呈現(xiàn)一種比較特殊的空間電位的鞍形等位面形狀。根據(jù)電子光學(xué)基本原理，旋轉(zhuǎn)對稱的空間電位分布都可用軸上電位分布展開得到。將j（z，r）在z=z0點展開，用軸上電位分布V（z）的泰勒調(diào)和函數(shù)表示，并只考慮考察在z=z0點附近的近軸區(qū)域內(nèi)的等位線形狀，即認為此時（z-z0）與r均是一階小量，在展開式中略去它們的高次項，得：（1-39）式中撇號表示對z的求導(dǎo)。這時軸上電位若在z=z0處取極值，則有：（1-40）我們稱z=z0為“鞍點”。鞍點附近的電位分布由（1-39）式中代入，而表示為：（1-41）當(dāng)時，電位隨著|z-z0|的增大而增大，隨著r的增大而減??；當(dāng)時，電位隨著|z-z0|的增大而減小，隨著r的增大而增大。因此等位面在該極值點附近的空間分布為鞍形。鞍點名稱由此而得。由（1-41）式中令j（z，r）=V（z0），得到鞍點處的等位面方程：（1-42）很明顯，該等位面是一個旋轉(zhuǎn)對稱圓錐面，圓錐與z軸的半頂夾角為：（1-43）該圓錐面實際上是（1-41）式所表示的鞍狀旋轉(zhuǎn)雙曲面在（z-z0）與r都趨于0時的漸近面。由（1-41）式表示的鞍狀旋轉(zhuǎn)雙曲面以及由（1-42）式表示的旋轉(zhuǎn)對稱圓錐面，在旋轉(zhuǎn)對稱子午面上z=z0點附近，表現(xiàn)為如圖1-10所示的等位線。圖1-10鞍點附近的等位線示意圖了解鞍點附近的等位面（線）的性質(zhì)與形狀，對正確繪制其附近的等位線圖形無疑是十分重要的。當(dāng)系統(tǒng)中出現(xiàn)與不出現(xiàn)鞍點時，調(diào)用曲線描繪程序來描繪等位線的方法是有區(qū)別的。1．10拉格朗日（Lagrange）插值法為了確定電子軌跡，除了要知道各網(wǎng)格點上的電位值，更重要的是必須求知電子軌跡行進中所經(jīng)過的任意流動點的電位及其偏導(dǎo)數(shù)，而電子行進點一般都不恰在網(wǎng)格點上。任意流動點（z，r）上的電位是通過利用該點的鄰近之若干網(wǎng)格點電位值進行插值計算求得的，而各偏導(dǎo)數(shù)是對電位的插值多項式進行微分獲得的。結(jié)合本課程設(shè)計任務(wù)，這里只介紹一種一維數(shù)值插值計算方法——拉格朗日插值法。所謂插值問題，就是當(dāng)僅知道函數(shù)F（x）在n+1個節(jié)點x0，x1，…，xn（不妨設(shè)x0<x1<…<xn）處的各數(shù)值F（xi），要求估計出任意一點x處的函數(shù)值F（x）的問題。插值法的基本思想是尋求或構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)慕馕龊瘮?shù)P（x），來近似逼近、模擬這個未知函數(shù)F（x），而使之在各節(jié)點處的值有： （1-44）這P（x）就稱為插值函數(shù)。若被插值點x在（x0，xn）區(qū)域內(nèi)，稱內(nèi)插法；若x在（x0，xn）之外，稱外推法。顯然，滿足同一問題的插值函數(shù)不是唯一的。為了保證插值精度，采用何種插值函數(shù)形式，要看節(jié)點值F（xi）的具體情況而定。由于多項式插值函數(shù)對連續(xù)平滑的函數(shù)是適宜的，而且多項式還便于進行數(shù)值微分和數(shù)值積分，所以常常被采用。其標(biāo)準(zhǔn)形式為： （1-45）稱為n次插值多項式。它是以n+1個基本點為依據(jù)的。而基于n+1個基點的n次插值多項式是唯一的。實際應(yīng)用時，Pn（x）往往不取其標(biāo)準(zhǔn)形式，例如可采用拉格朗日插值多項式形式： （1-46）這里，即為各節(jié)點函數(shù)值。若構(gòu)造一個n+1次多項式函數(shù)f（x）： （1-47）則 （1-48）以x=xi代入，有 （1-49）式中撇號表示對x求導(dǎo)。于是（1-46）式中ai（x）寫成： （1-50）其具體形式為 （1-51）顯然，它滿足條件 （1-52）于是 （1-53）顯而易見，當(dāng)把Ln（x）展開整理，即可化為多項式的標(biāo)準(zhǔn)形式（1-45）式。實際應(yīng)用時，一般人們不會取x0，x1，…，xn這所有點上的函數(shù)值去對任意點x作全程（全區(qū)域）插值。因為當(dāng)n稍大一點，插值函數(shù)次方過高，形式太復(fù)雜，計算也不方便。人們常常采用分段局部插值方法，即判斷插值點x所在位置，以最靠近x的若干點（例4個點），以某階次（例3次方）的拉格朗日插值函數(shù)來求得該點的函數(shù)近似值。這樣在整個插值區(qū)域內(nèi)若始終采用同樣階次的插值函數(shù)，則可以保證精度的協(xié)調(diào)一致，又可以簡化計算，提高效率。三點二次、四點三次拉格朗日插值公式是常用的。三點二次拉格朗日函數(shù)的具體形式為：其計算程序可查閱有關(guān)數(shù)值計算方法的子程序集。1.11其他計算機輔助設(shè)計（ComputerAidedDesign—CAD）有著極其廣泛的內(nèi)容。僅就光電成像器件電子光學(xué)系統(tǒng)的CAD而言，也遠不止上述有關(guān)內(nèi)容。電子光學(xué)系統(tǒng)中電磁場的計算，除了采用上述有限差分法（FiniteDifferentialMethod—FDM），還有一系列有效的算法，例有限元法（FiniteElementMethod—FEM）、電荷模擬法（ChargeSimulationMethod—CSM）、邊界積分方程法（BoundaryIntegralEquationMethod—BIEM）和邊界元素法（BoundaryElementMethod—BEM）等。這些方法都已相當(dāng)完善和成熟，有不少算法及方程可直接利用。當(dāng)然不同情況下各算法的效率與效果（使用復(fù)雜程度、數(shù)據(jù)準(zhǔn)備、網(wǎng)格或邊界劃分難易及其自動化程度、計算速度、計算精度等）可能會各不相同，要根據(jù)具體情況選用不同的方法。除了上述電子光學(xué)的電磁場計算，電子光學(xué)系統(tǒng)電子軌跡的計算、成像參量的計算、像質(zhì)評定指標(biāo)的計算等，也都已得到了充分的發(fā)展。目前電子光學(xué)系統(tǒng)的逆設(shè)計方法（InverseDesignMethod），優(yōu)化設(shè)計方法（OptimizationDesignMethod）、自動設(shè)計方法（AutomaticDesignMethod）也都取得了一定的進展。有關(guān)內(nèi)容請查閱有關(guān)文獻。1.12靜電場的三個基本定理1）唯一性定理若已經(jīng)給定系統(tǒng)中所有電極的形狀和排列，并給定每一電極的電位，那么由這些電極所產(chǎn)生的靜電場將由拉普拉斯方程（當(dāng)空間電荷密度分布影響不可忽略時，則為泊松（Poisson）方程）唯一地確定。換言之，只存在唯一的解在區(qū)域內(nèi)處處滿足拉普拉斯方程，而在邊界上滿足給定的電位值。這里我們不予證明，只是指出，該定理在實際上有很大的用處。有了該定理，不論用什么方法找到一個函數(shù)，若它既能滿足拉普拉斯方程，又能在區(qū)域的邊界上符合給定的電位值，那么，它就一定是真正的解，而且也是唯一的解。2）相似性定理1）若電極系統(tǒng)中各電極的電位都增大為K倍，當(dāng)電位零點不變時，則空間各點的電位也都增大為K倍，從而系統(tǒng)中等位面的形狀不變。2）當(dāng)系統(tǒng)各電極的電位保持不變，而電極尺寸按比例相似增大為K倍，則原系統(tǒng)中任一點上的電位和放大了的系統(tǒng)中對應(yīng)點（Kz，Kr）上的電位完全相同，只要系統(tǒng)坐標(biāo)零點不變即可。因之，新系統(tǒng)中的等位面可以看作是原系統(tǒng)中的等位面保持幾何相對形狀和電位數(shù)值不變，只是尺寸放大為K倍似的。必須指出，當(dāng)發(fā)生上述變化時，對于系統(tǒng)中各點的電場強度，則有如下相應(yīng)變化：電極電位變化為K倍，電場強度變化為K倍；2）電極尺寸變化為K倍，電場強度變化為倍。相似性定理只對拉普拉斯方程成立。當(dāng)空間電荷效應(yīng)不可忽略時，只有當(dāng)空間自由電荷分布也按比例增大或縮小，才對泊松方程成立。由唯一性定理以及拉普拉斯方程對電位與位置坐標(biāo)都具有齊次性，不難證明相似性定理。該定理對實際的實驗工作、計算工作的重要指導(dǎo)性意義是不言而喻的。3）多電極系統(tǒng)的電位迭加定理當(dāng)各電極的形狀、相對位置確定后，電場分布滿足下述迭加定理：j（z，r）=Viji（z，r）（1-54）其中Vi為第i個電極上所加的電位值，ji（z，r）為Vi=1、其它Vj=0時的系統(tǒng)內(nèi)的電位分布函數(shù)，稱為相應(yīng)電極的單位電位分布函數(shù)。對一個各電極形狀、相對位置確定的系統(tǒng)，當(dāng)需要不斷通過改變一個或部分電極的電位值而獲得系統(tǒng)新的電位分布時，可依據(jù)該定理由已先行計算、存儲的單位電位分布函數(shù)的簡單迭加來獲得，而不必每次都重新進行電位分布的迭代計算。2設(shè)計任務(wù)書目的：訓(xùn)練、培養(yǎng)獨立進行計算機輔助設(shè)計（CAD）工作的初步能力。課題：用有限差分法對具有多個平圓孔闌電極的像增強器電子光學(xué)成像系統(tǒng)的空間電場分布進行數(shù)值計算，并完成其它相關(guān)的任務(wù)。學(xué)時：4～5周，每人約上機48～60學(xué)時。形式：統(tǒng)一以Turbo-C或C++語言編制計算程序，在微機上進行程序編制、調(diào)試與計算。若同學(xué)要求采用其它高級程序語言編制，首先應(yīng)了解機房系統(tǒng)軟件配備情況，同時向指導(dǎo)教師申報，以在考核時教師能掌握具體情況。內(nèi)容與要求：1．熟悉、領(lǐng)會有限差分法計算電場分布的基礎(chǔ)理論與計算方法，掌握超張馳迭代法。2．用“十”3．采用SOR法，按照第1節(jié)中所述的計算步驟，選擇并尋求最佳迭代因子（當(dāng)=1時，迭代1遍，也可迭代12遍；其他值取法、每論迭代次數(shù)、精度控制等均按第1節(jié)要求）。4．對電極之間的間隙進行邊界封閉處理。5．所有迭代內(nèi)點上的初置電位全部取零，或采用平板電容器之間的線性插值法獲得。6．采用滿足絕對精度控制準(zhǔn)則來終止迭代過程。7．程序要求有一定的通用性，以便使之可以用來計算同一種類型的不同像管的電場分布。例：電極個數(shù)（≤8）、電極電位值（≤100V）、計算場分布控制精度（最優(yōu)達10-6）、步長數(shù)（z方向≤100，r方向≤50，每個電極厚度占1個步長）及其它有關(guān)參數(shù)（詳見計算實例中給出的計算數(shù)據(jù)）應(yīng)在一定范圍內(nèi)具有任意性。這些數(shù)據(jù)要求以運行程序從數(shù)據(jù)文件讀入的方式讀入。8．用掃描搜索法掃描若干條等位線，等位線電位可以在0V到最高電位之間以一組值任意給定，也可以一個電位間隔值（電位差值）給出。電位分布可能存在鞍點。9．用拉格朗日三點二次插值公式，從通過迭代已計算出的軸上網(wǎng)格點上的電位值出發(fā)，插值計算任意給出的軸上點的電位值。一般要求插值計算給定數(shù)目的軸上等距點上的電位值，軸上劃分等距步長數(shù)≤100。10．程序中實變量均采用雙精度。11．程序要求語句結(jié)構(gòu)合理，段落清晰分明，功能齊全，可讀性強，計算結(jié)果正確，存儲單元盡可能少（根據(jù)SOR法，空間電位分布只能設(shè)置一個容量為（51，101）的數(shù)組）。12．輸出打印及數(shù)據(jù)處理內(nèi)容：1）輸出有關(guān)過程信息，包括必要的輸入數(shù)據(jù)（計算前提）及計算中間結(jié)果，例：網(wǎng)格點坐標(biāo)（z，r坐標(biāo)方向網(wǎng)格步長劃分）、各電極位置配置及電位、收斂控制精度及反映迭代計算過程的其它有關(guān)信息，例：迭代輪次、迭代次數(shù)、每輪迭代因子值、每輪迭代結(jié)束時（以及達到精度、退出迭代時）前后兩次迭代的平均殘差、最大殘差，等；2）按具體要求列表輸出打印網(wǎng)格點上的電位值（例：全部、或隔行隔列、或隔兩行隔兩列等方式輸出）；3）輸出掃描等位線的電位值及各點坐標(biāo)值，及其等位線形狀圖（含電極結(jié)構(gòu)）：等位線形狀圖可根據(jù)數(shù)據(jù)事后另用坐標(biāo)紙繪出，也可調(diào)用C語言繪圖數(shù)據(jù)庫程序，輸出等位線形狀曲線；4）輸出經(jīng)拉格朗日插值計算后的軸上電位值（及其位置值）及其圖形曲線：以打印結(jié)果文件方式輸出軸上電位值以及分布曲線，也可調(diào)用C語言繪圖數(shù)據(jù)庫程序，輸出軸上電位分布曲線（此時仍要求另行用簡化方式輸出軸上電位值及其對應(yīng)的軸上點位置值）。13．要求調(diào)用C語言繪圖數(shù)據(jù)庫程序，輸出空間電位分布中存在鞍點時的等位線描繪圖。14．根據(jù)靜電場的第三個基本定理，在只多設(shè)置一個容量為（101，51）的空間電位二維數(shù)組的情況下，校核直接迭代獲得的空間電位分布與通過分別迭代獲得各電極的單位電位分布函數(shù)、然后進行線性迭加得到的空間電位分布之間的誤差。要求輸出對所有網(wǎng)格點上這兩個空間電位分布之間的最大絕對誤差、平均絕對誤差、均方根誤差等數(shù)據(jù)。15．要求整個輸出結(jié)果作為一個文件，存入微機當(dāng)前驅(qū)動器，然后通過打印命令讀文件。要求打印結(jié)果正規(guī)整齊，有適當(dāng)?shù)臉?biāo)題及說明，可以裝訂或保存，便于檢索查閱。Dz1 Dz1 Dz2 Dz3 ?? DznN1 N2 N3 NnV1 V2 V3 Vn-1封閉邊界Dr2Dr1M2M10V，陰極Vn=VacVac，熒光屏d d d d圖2-1 像管結(jié)果及有關(guān)參數(shù)示意圖（一）n：電極（包括中間電極與熒光屏，但不包括電位為0V的陰極）總數(shù)；：電極厚度（mm），占1個步長，所有電極厚度相同；，，…，：相鄰電極之間的距離（mm）；N1，N2，…，Nn：相鄰電極之間要劃分的步長數(shù)。在每一個范圍內(nèi)作等步長劃分網(wǎng)格，N1+N2+……+Nn+n-1≤100；V1，V2，…，Vn：電極電位（V）。：電極內(nèi)孔徑半徑（mm），所有電極內(nèi)孔徑半徑相同；M1：范圍內(nèi)等步長劃分的網(wǎng)格數(shù)；：從電極內(nèi)孔邊沿到封閉邊界處的徑向距離（mm）；M2：范圍內(nèi)等步長劃分的網(wǎng)格數(shù)，M1+M2≤50；：迭代控制精度；NST：輸出打印空間電位時網(wǎng)格點間隔數(shù)，當(dāng)NST=1，全部打??；NST=2，隔行隔列打印，依次類推；INS：軸上電位作等距插值時的步長數(shù)；：要求掃描搜索等電位線的電位間隔值，例Vac=100V時，=12V，則應(yīng)掃描電位為12、24、36、48、60、72、84、96V的等位線；EV1，EV2，……，EVm：要求掃描搜索等電位線的電位值，共m個。采用本數(shù)據(jù)或上述，由指導(dǎo)教師屆時具體指定擇一而行，但程序應(yīng)同時具有這2種功能。調(diào)試計算時，可采用以下數(shù)據(jù)：=0.5mm；n=7；=5.2，8.6，8.6，8.6，8.6，8.6，5.2mm；Ni=6，10，10，10，10，10，4；Vi=24，40，62，74，85，96，100V（對存在鞍點的情況，可采用：36，70，82，46，83，96，100V）；=20mm，M1=23；=12mm；M2=15；=0.0005V；NST=2；INS=60；=10V。為加快調(diào)試程序的速度，在初期試算時可減少步長數(shù)，降低精度要求。正式計算數(shù)據(jù)由指導(dǎo)教師屆時給定。正式計算數(shù)據(jù)必須統(tǒng)一，切勿擅自改動，以便核對數(shù)據(jù)和評定成績。3設(shè)計技術(shù)報告要求人們通過科學(xué)論文和技術(shù)報告的撰寫，來表達自己及合作者從事科學(xué)研究或承擔(dān)專門技術(shù)工作取得的成果，反映課題組或技術(shù)組分析和解決科學(xué)技術(shù)問題的獨到新穎的見解，或論證提出解決問題的方案，反映在本學(xué)科或?qū)I(yè)領(lǐng)域內(nèi)所掌握的理論基礎(chǔ)和專業(yè)知識的深度和廣度，或報告科學(xué)研究或技術(shù)工作的成果。本設(shè)計技術(shù)報告是本課程設(shè)計工作的記錄和總結(jié)。通過設(shè)計報告，對有關(guān)理論進行必要的闡述，對設(shè)計過程與方法作如實記載，對設(shè)計結(jié)果進行認真的分析、歸納與評價，對整個工作進行總結(jié)提高。通過撰寫設(shè)計報告，應(yīng)努力提高寫作科學(xué)論文及技術(shù)報告的能力。設(shè)計報告的大致內(nèi)容、結(jié)構(gòu)與要求如下：一、開始部分：1．設(shè)計報告課題名稱：要求確切、恰當(dāng)、鮮明、簡短，能概括內(nèi)容，又引人注目。2．目錄：列出提綱目錄，分別層次，逐項標(biāo)注頁碼。要達到使人一目了然的目的。3．摘要（Abstract）：要求概括論文的主要內(nèi)容，簡短扼要，引人入勝，說明主要工作的目的、方法、成果和結(jié)論，重點是反映成果和結(jié)論。本設(shè)計報告要求在150字左右，同時提供英文摘要。二、主體部分：1．前言：論述本設(shè)計工作的意義，由來，研究目的，預(yù)期目標(biāo)等。2．理論基礎(chǔ)：對基本理論、物理模型與數(shù)學(xué)模型等作必要的引述，羅列必要的公式，說明符號意義（當(dāng)?shù)谝淮纬霈F(xiàn)時）。切忌生搬照抄，應(yīng)有機、簡潔、和諧地組合引述。3．闡述程序設(shè)計思想：敘述程序編制的主要思路，計算功能，計算步驟，數(shù)據(jù)與信息等。4．程序主要變量與數(shù)組名表：一律用大寫；數(shù)組要帶容量下標(biāo)；共用變量名，尤應(yīng)說明清楚。5．程序流程框圖：中文與字母說明相結(jié)合，反映實際步驟，簡繁適當(dāng)，避免過簡與過繁。6．使用說明：數(shù)據(jù)文件的建立，數(shù)據(jù)的修改，輸入數(shù)據(jù)編排順序、類型與范圍，輸出格式及其閱讀方式。7．誤差分析。8．?dāng)?shù)據(jù)處理：在方格紙上繪制像管電極結(jié)構(gòu)及其等位線圖形，繪制軸上電位分布曲線圖；要求圖紙比例大小適當(dāng)，曲線光滑（用曲線板連接），符號、單位標(biāo)注清楚，要有圖題說明?；蛱峁┱{(diào)用C語言繪圖數(shù)據(jù)庫程序所繪制的軸上電位分布曲線與等位線圖形（含電極結(jié)構(gòu)）。三、結(jié)束部分：1．結(jié)論與討論：具體說明各項設(shè)計任務(wù)完成情況，包括針對空間電位分布迭代計算、等位線掃描、軸上電位插值、存在鞍點時的等位線掃描、考核多電極電位迭加定理等任務(wù)一一說明完成情況，來不及完成的任務(wù)及其原因分析；對可選擇性的，要說明具體選擇（例用=1迭代1次還是12次，網(wǎng)格點初值是全部賦零還是插值等）；總結(jié)工作成果，給出能給人以啟示性的結(jié)論（要求簡單明了，鮮明具體）；討論工作收獲與體會，總結(jié)程序編制與調(diào)試技巧；不