人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）（精講）（含答案及解析）

3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）（精講）一．常見(jiàn)的幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)分段函數(shù)模型冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠1)二．解答實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的基本思想考點(diǎn)一冪函數(shù)模型【例1】（2023·江蘇）黨的十九大報(bào)告明確要求繼續(xù)深化國(guó)有企業(yè)改革，培育具有全球競(jìng)爭(zhēng)力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬(wàn)元）.

(1)分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【一隅三反】1．（2023·湖北十堰）甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對(duì)外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對(duì)話：甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出．如果每輛汽車的月租費(fèi)每增加50元，那么將少租出1輛汽車．另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元．乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無(wú)論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850元．說(shuō)明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤(rùn)=月租車費(fèi)—月維護(hù)費(fèi)；③兩公司月利潤(rùn)差=月利潤(rùn)較高公司的利潤(rùn)-月利潤(rùn)較低公司的利潤(rùn)．在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問(wèn)題：(1)當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí)，甲公司的月利潤(rùn)是_______元；當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為_(kāi)______輛時(shí)，兩公司的月利潤(rùn)相等；(2)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時(shí)，甲公司剩余的月利潤(rùn)與乙公司月利潤(rùn)之差最大，求a的取值范圍．2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某日的錢塘江觀測(cè)信息如下：2017年月日，天氣：陰；能見(jiàn)度：1.8千米；時(shí)，甲地“交叉潮”形成，潮水勻速奔向乙地；時(shí)，潮頭到達(dá)乙地，形成“一線潮”，開(kāi)始均勻加速，繼續(xù)向西；時(shí)，潮頭到達(dá)丙地，遇到堤壩阻擋后回頭，形成“回頭潮”.按上述信息，小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地質(zhì)檢的距離（千米）與時(shí)間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系用圖3表示.其中：“時(shí)甲地‘交叉潮’的潮頭離乙地12千米”記為點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，曲線可用二次函數(shù)：，是常數(shù)）刻畫(huà).(1)求值，并求出潮頭從甲地到乙地的速度；(2)時(shí)，小紅騎單車從乙地出發(fā)，沿江邊公路以0.48千米分的速度往甲地方向去看潮，問(wèn)她幾分鐘與潮頭相遇？(3)相遇后，小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭，沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行，但潮頭過(guò)乙地后均勻加速，而單車最高速度為0.48千米分，小紅逐漸落后.問(wèn)小紅與潮頭相遇到落后潮頭1.8千米共需多長(zhǎng)時(shí)間？（潮水加速階段速度，是加速前的速度）考點(diǎn)二分式函數(shù)模型【例2】（2023·河南新鄉(xiāng)）某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物的生長(zhǎng)規(guī)律，計(jì)劃利用學(xué)?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積為的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留3m寬的通道，如圖．設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為x（單位：m），三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S（單位：）．(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求S的最大值，并求出此時(shí)x的值．【一隅三反】1．（2022秋·重慶璧山·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）某廠家擬對(duì)A產(chǎn)品做促銷活動(dòng)，對(duì)A產(chǎn)品的銷售數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品的月銷售量t（單位：萬(wàn)件）與月促銷費(fèi)用x（單位：萬(wàn)元）滿足關(guān)系式（k為常數(shù)，），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的月銷量是1萬(wàn)件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品每月固定投入為7萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入4萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)定為元，設(shè)該產(chǎn)品的月利潤(rùn)為y萬(wàn)元，（注：利潤(rùn)=銷售收入-生產(chǎn)投入-促銷費(fèi)用）(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)月促銷費(fèi)用為多少萬(wàn)元時(shí)，該產(chǎn)品的月利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？2．（2023·湖北）圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為x（單位：元）．設(shè)修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y.（Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)；（Ⅱ）試確定x，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用．3．（2023·山東臨沂·高一?？计谀按汗?jié)”期間，某商場(chǎng)進(jìn)行如下的優(yōu)惠促銷活動(dòng)：優(yōu)惠方案1：一次購(gòu)買商品的價(jià)格，每滿60元立減5元；優(yōu)惠方案2：在優(yōu)惠1之后，再每滿400元立減40元．例如，一次購(gòu)買商品的價(jià)格為130元，則實(shí)際支付額元，其中表示不大于x的最大整數(shù)．又如，一次購(gòu)買商品的價(jià)格為860元，則實(shí)際支付額元．(1)小明計(jì)劃在該商場(chǎng)購(gòu)買兩件價(jià)格分別是250元和650元的商品，他是分兩次支付好，還是一次支付好？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)已知某商品是小明常用必需品，其價(jià)格為30元/件，小明趁商場(chǎng)促銷，想多購(gòu)買幾件該商品，其預(yù)算不超過(guò)500元，試求他應(yīng)購(gòu)買多少件該商品，才能使其平均價(jià)格最低？最低平均價(jià)格是多少？考點(diǎn)三分段函數(shù)模型【例3】（2023·云南）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹(shù)的單株產(chǎn)量(單位：千克)與施用肥料(單位：千克)滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費(fèi))元．已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤(rùn)為(單位：元)(1)寫單株利潤(rùn)(元)關(guān)于施用肥料(千克)的關(guān)系式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果單株利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【一隅三反】1．（2023春·山東聊城）某企業(yè)為進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本250萬(wàn)元，每生產(chǎn)（千部）手機(jī)，需另外投入成本萬(wàn)元，其中，已知每部手機(jī)的售價(jià)為5000元，且生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年全部銷售完.(1)求2023年該款手機(jī)的利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？2．（2022秋·新疆·高一烏魯木齊市第70中?？计谥校h的二十大報(bào)告提出“積極穩(wěn)妥推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和”，降低能源消耗，建設(shè)資源節(jié)約型社會(huì)．日常生活中我們使用的燈具就具有節(jié)能環(huán)保的作用，它環(huán)保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，長(zhǎng)壽命，有效降低資源消耗．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，可知生產(chǎn)某種燈需投入的年固定成本為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入變動(dòng)成本萬(wàn)元，在年產(chǎn)量不足6萬(wàn)件時(shí)，，在年產(chǎn)量不小于6萬(wàn)件時(shí)，．每件產(chǎn)品售價(jià)為6元．假設(shè)該產(chǎn)品每年的銷量等于當(dāng)年的產(chǎn)量．(1)寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式．（注：年利潤(rùn)年銷售收入固定成本變動(dòng)成本）(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？3．（2023·上海徐匯）某品牌手機(jī)公司的年固定成本為50萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)部手機(jī)需增加投入20萬(wàn)元，該公司一年內(nèi)生產(chǎn)萬(wàn)部手機(jī)并全部銷售完當(dāng)年銷售量x低于40萬(wàn)部時(shí)，每銷售1萬(wàn)部手機(jī)的收入萬(wàn)元；當(dāng)年銷售量x不低于40萬(wàn)部時(shí)，每銷售1萬(wàn)部手機(jī)的收入萬(wàn)元(1)寫出年利潤(rùn)y萬(wàn)元關(guān)于年銷售量x萬(wàn)部的函數(shù)解析式；(2)年銷售量為多少萬(wàn)部時(shí)，利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)．

3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）（精講）一．常見(jiàn)的幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)分段函數(shù)模型冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠1)二．解答實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的基本思想考點(diǎn)一冪函數(shù)模型【例1】（2023·江蘇）黨的十九大報(bào)告明確要求繼續(xù)深化國(guó)有企業(yè)改革，培育具有全球競(jìng)爭(zhēng)力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬(wàn)元）.

(1)分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)，(2)A產(chǎn)品投入6萬(wàn)元，B產(chǎn)品投入4萬(wàn)元，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是7萬(wàn)元【解析】（1）設(shè)投資為萬(wàn)元，A產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元由題設(shè)，，由圖知，故，又，所以．從而，．（2）設(shè)A產(chǎn)品投入萬(wàn)元，則B產(chǎn)品投入萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為萬(wàn)元?jiǎng)t，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí).故A產(chǎn)品投入6萬(wàn)元，B產(chǎn)品投入4萬(wàn)元，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是7萬(wàn)元.【一隅三反】1．（2023·湖北十堰）甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對(duì)外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對(duì)話：甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出．如果每輛汽車的月租費(fèi)每增加50元，那么將少租出1輛汽車．另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元．乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無(wú)論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850元．說(shuō)明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤(rùn)=月租車費(fèi)—月維護(hù)費(fèi)；③兩公司月利潤(rùn)差=月利潤(rùn)較高公司的利潤(rùn)-月利潤(rùn)較低公司的利潤(rùn)．在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問(wèn)題：(1)當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí)，甲公司的月利潤(rùn)是_______元；當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為_(kāi)______輛時(shí)，兩公司的月利潤(rùn)相等；(2)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時(shí)，甲公司剩余的月利潤(rùn)與乙公司月利潤(rùn)之差最大，求a的取值范圍．【答案】(1)48000元；37輛(2)【解析】（1）由題意可得=48000元，當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí)，甲公司的月利潤(rùn)是48000元；設(shè)每個(gè)公司租出的汽車為x輛，設(shè)兩公司的月利潤(rùn)分別為，月利潤(rùn)差為y，則，，由題意可得：，解得：，∴當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為37輛時(shí)，兩公司的月利潤(rùn)相等；（2）∵捐款后甲公司剩余的月利潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，則此時(shí)利潤(rùn)差為=，函數(shù)圖象對(duì)稱軸為直線，

∵x只能取整數(shù)，且僅當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時(shí)，月利潤(rùn)之差最大，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)滿足捐款后甲公司剩余的月利潤(rùn)仍高于乙公司月利潤(rùn)，故a的取值范圍為.2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某日的錢塘江觀測(cè)信息如下：2017年月日，天氣：陰；能見(jiàn)度：1.8千米；時(shí)，甲地“交叉潮”形成，潮水勻速奔向乙地；時(shí)，潮頭到達(dá)乙地，形成“一線潮”，開(kāi)始均勻加速，繼續(xù)向西；時(shí)，潮頭到達(dá)丙地，遇到堤壩阻擋后回頭，形成“回頭潮”.按上述信息，小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地質(zhì)檢的距離（千米）與時(shí)間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系用圖3表示.其中：“時(shí)甲地‘交叉潮’的潮頭離乙地12千米”記為點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，曲線可用二次函數(shù)：，是常數(shù)）刻畫(huà).(1)求值，并求出潮頭從甲地到乙地的速度；(2)時(shí)，小紅騎單車從乙地出發(fā)，沿江邊公路以0.48千米分的速度往甲地方向去看潮，問(wèn)她幾分鐘與潮頭相遇？(3)相遇后，小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭，沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行，但潮頭過(guò)乙地后均勻加速，而單車最高速度為0.48千米分，小紅逐漸落后.問(wèn)小紅與潮頭相遇到落后潮頭1.8千米共需多長(zhǎng)時(shí)間？（潮水加速階段速度，是加速前的速度）【答案】(1)，千米分鐘；(2)小紅5分鐘后與潮頭相遇；(3)小紅與潮頭相遇到潮頭離她1.8千米外共需26分鐘.【解析】（1）到的時(shí)間是30分鐘，則，即，潮頭從甲地到乙地的速度（千米分鐘）.（2）因潮頭的速度為0.4千米分鐘，則到時(shí)，潮頭已前進(jìn)（千米），此時(shí)潮頭離乙地（千米），設(shè)小紅出發(fā)分鐘與潮頭相遇，于是得，解得，所以小紅5分鐘后與潮頭相遇.（3）把，代入，得，解得，，因此，又，則，當(dāng)潮頭的速度達(dá)到單車最高速度0.48千米分，即時(shí)，，解得，則當(dāng)時(shí)，，即從分鐘時(shí)）開(kāi)始，潮頭快于小紅速度奔向丙地，小紅逐漸落后，但小紅仍以0.48千米分的速度勻速追趕潮頭，設(shè)小紅離乙地的距離為，則與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，解得：，因此有，最后潮頭與小紅相距1.8千米，即時(shí)，有，解得，（舍去），于是有，小紅與潮頭相遇后，按潮頭速度與潮頭并行到達(dá)乙地用時(shí)（分鐘），因此共需要時(shí)間為（分鐘），所以小紅與潮頭相遇到潮頭離她1.8千米外共需26分鐘.考點(diǎn)二分式函數(shù)模型【例2】（2023·河南新鄉(xiāng)）某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物的生長(zhǎng)規(guī)律，計(jì)劃利用學(xué)?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積為的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留3m寬的通道，如圖．設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為x（單位：m），三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S（單位：）．(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求S的最大值，并求出此時(shí)x的值．【答案】(1)，(2)當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為60m時(shí)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為．【解析】（1）由題設(shè)，得，．（2）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而．故當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為60m時(shí)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為．【一隅三反】1．（2022秋·重慶璧山·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）某廠家擬對(duì)A產(chǎn)品做促銷活動(dòng)，對(duì)A產(chǎn)品的銷售數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品的月銷售量t（單位：萬(wàn)件）與月促銷費(fèi)用x（單位：萬(wàn)元）滿足關(guān)系式（k為常數(shù)，），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的月銷量是1萬(wàn)件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品每月固定投入為7萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入4萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)定為元，設(shè)該產(chǎn)品的月利潤(rùn)為y萬(wàn)元，（注：利潤(rùn)=銷售收入-生產(chǎn)投入-促銷費(fèi)用）(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)月促銷費(fèi)用為多少萬(wàn)元時(shí)，該產(chǎn)品的月利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？【答案】(1)，(2)月促銷費(fèi)用為2萬(wàn)元時(shí)，A產(chǎn)品的月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為7萬(wàn)元．【解析】（1）由題知，當(dāng)時(shí)，，代入得．．將代入得．所以，所求函數(shù)為．（2）由（1）知，．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以．故月促銷費(fèi)用為2萬(wàn)元時(shí)，A產(chǎn)品的月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為7萬(wàn)元．2．（2023·湖北）圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為x（單位：元）．設(shè)修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y.（Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)；（Ⅱ）試確定x，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用．【答案】（Ⅰ）y=225x+（Ⅱ）當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元．【解析】（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為am則45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí)，等號(hào)成立．即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元．3．（2023·山東臨沂·高一校考期末）“春節(jié)”期間，某商場(chǎng)進(jìn)行如下的優(yōu)惠促銷活動(dòng)：優(yōu)惠方案1：一次購(gòu)買商品的價(jià)格，每滿60元立減5元；優(yōu)惠方案2：在優(yōu)惠1之后，再每滿400元立減40元．例如，一次購(gòu)買商品的價(jià)格為130元，則實(shí)際支付額元，其中表示不大于x的最大整數(shù)．又如，一次購(gòu)買商品的價(jià)格為860元，則實(shí)際支付額元．(1)小明計(jì)劃在該商場(chǎng)購(gòu)買兩件價(jià)格分別是250元和650元的商品，他是分兩次支付好，還是一次支付好？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)已知某商品是小明常用必需品，其價(jià)格為30元/件，小明趁商場(chǎng)促銷，想多購(gòu)買幾件該商品，其預(yù)算不超過(guò)500元，試求他應(yīng)購(gòu)買多少件該商品，才能使其平均價(jià)格最低？最低平均價(jià)格是多少？【答案】(1)一次支付好，理由見(jiàn)解析(2)購(gòu)買15件或16件時(shí)，該生活日用品的平均價(jià)格最低，最低平均價(jià)格為25元/件【解析】（1）分兩次支付：支付額為元;一次支付：支付額為元,因?yàn)?，所以一次支付好；?）設(shè)購(gòu)買件，平均價(jià)格為y元/件．由于預(yù)算不超過(guò)500元，但算上優(yōu)惠，最多購(gòu)買19件，當(dāng)時(shí)，不能享受每滿400元再減40元的優(yōu)惠當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．所以當(dāng)時(shí)，購(gòu)買偶數(shù)件時(shí)，平均價(jià)格最低，為27.5元/件．當(dāng)時(shí)，能享受每滿400元再減40元的優(yōu)惠當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，y隨著n的增大而增大，所以當(dāng)，時(shí)，．綜上，購(gòu)買15件或16件時(shí)，該生活日用品的平均價(jià)格最低，最低平均價(jià)格為25元/件考點(diǎn)三分段函數(shù)模型【例3】（2023·云南）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹(shù)的單株產(chǎn)量(單位：千克)與施用肥料(單位：千克)滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費(fèi))元．已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤(rùn)為(單位：元)(1)寫單株利潤(rùn)(元)關(guān)于施用肥料(千克)的關(guān)系式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果單株利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)；(2)4千克，480元﹒【解析】（1）依題意，又，∴．（2）當(dāng)時(shí)，，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上的最大值為．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立．∵，∴當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為40元時(shí)，種植該果樹(shù)獲得的最大利潤(rùn)是480元．【一隅三反】1．（2023春·山東聊城）某企業(yè)為進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本250萬(wàn)元，每生產(chǎn)（千部）手機(jī)，需另外投入成本萬(wàn)元，其中，已知每部手機(jī)的售價(jià)為5000元，且生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年全部銷售完.(1)求2023年該款手機(jī)的利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是5792萬(wàn)元.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，