復(fù)雜電力系統(tǒng)的潮流計(jì)算

第四章復(fù)雜電力系統(tǒng)的潮流計(jì)算

復(fù)雜電力系統(tǒng)是一個(gè)包括大量母線、支路的龐大系統(tǒng)。對(duì)這樣的系統(tǒng)進(jìn)行潮流分析時(shí)，采用第三章中

人工計(jì)算的方法已不適用。目前，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)算法已逐漸成為分析復(fù)雜系統(tǒng)潮流分布

的主要方法，其中包括建立數(shù)學(xué)模型、確定計(jì)算方法和編制計(jì)算程序三方面的內(nèi)容。

本章主要講述前兩方面的自容，同時(shí)為了方便分析，針對(duì)計(jì)算機(jī)解法作如下規(guī)定：

⑴所有參數(shù)（功率、電壓、電流、阻抗或?qū)Ъ{）都以標(biāo)幺值表示；

⑵電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)，可以把負(fù)荷作恒定功率處理，也可作恒定阻抗處理：

⑶所有電源（發(fā)電機(jī)、調(diào)用機(jī)、電力電容器等）均向母線注入功率（或電流），取正號(hào)；

⑷作恒定功率處理的負(fù)荷，均為從母線“吸取”功率，是向母線注入負(fù)的功率（或電流），取負(fù)號(hào)：

（5）母線總的注入功率（或電流）為電源注入功率（或電流）與負(fù)荷“吸取”功率（或電流）代數(shù)和；

（6）輸電線路、變壓器用n型等值電路表示。

第一節(jié)電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型

電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型是指將網(wǎng)絡(luò)的有關(guān)參數(shù)和變量及其相互關(guān)系歸納起來所組成的、可反映網(wǎng)絡(luò)性能

的數(shù)學(xué)方程組。電力網(wǎng)絡(luò)屬于線性網(wǎng)絡(luò)，因此，電路理論中關(guān)于線性網(wǎng)絡(luò)的分析方法也適用于分析電力

網(wǎng)絡(luò)。目前.，普遍采用的有兩種方法：一是節(jié)點(diǎn)電壓法：二是回路電流法。

一、節(jié)點(diǎn)電壓方程和回路電流方程

1.節(jié)點(diǎn)電壓方程是依據(jù)基爾霍夫電流定律，通過節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣（或節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣）反映節(jié)點(diǎn)電流與節(jié)

點(diǎn)電壓之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

⑴用節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣描述的節(jié)點(diǎn)電壓方程：

(4-1)

IB=YBUB

一般地，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)（即母線數(shù)）為n時(shí)，在式（47）中：IB=（/i,/2,-7,…

%），為節(jié)點(diǎn)注入電流的n維列向量；U=（（71,。2,

B…U.-），為節(jié)點(diǎn)電壓列向量;

Y..Y12…Y,,…Ym

Y2IYE…Y2i…Y2n

為nxn階節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣(4-2)

Yi!Y12…YH…Yin

由以上分析可知，對(duì)n母線電力系統(tǒng)有n個(gè)獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)電壓方程式（以大地為參考節(jié)點(diǎn)）。

⑵用節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣描述的節(jié)點(diǎn)電壓方程：

將式（4-1）兩邊同乘YB"（前提為丫口的逆陣存在），則有產(chǎn)Ye，YBUBO又令YB^ZR為節(jié)

點(diǎn)阻抗矩陣，其表達(dá)

仍為nxn階方陣(4-3)

則n母線系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)方程乂表示為:

UB=ZB

2.回路電流方程是依據(jù)基爾霍夫電壓定律，通過回路阻抗矩陣Z,反映回路電流與回路電壓之間關(guān)系

的數(shù)學(xué)模型，其方程式為：

(4-5)

若網(wǎng)絡(luò)為n母線（即n個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)）系統(tǒng)，且等值電路有b條支路，則基本回路數(shù)即獨(dú)立的回路方

程數(shù)為L(zhǎng)=b-n0則在式（4-5）口：E,=（￡u,En-Eu-Eu.）維回路型分列向量，它的

第i個(gè)元素良?是第i個(gè)回路所含電源電勢(shì)的代數(shù)和，其中與回路電流的繞行方向相同的支路由勢(shì)取正號(hào):

反之取負(fù)號(hào)?；芈分袥]有電源時(shí)則為零。

IL=（/i,h-h-為L(zhǎng)維回路電旗列向量，其中每個(gè)元素為各自回路某一選定繞行方向

的電流向量。

Z22--Z2i

為L(zhǎng)xL階回路阻抗矩陣（4-6）

3.節(jié)點(diǎn)電壓方程和回路電流方程的比較

兩種方程在電力系統(tǒng)分析中都有應(yīng)用，但各有優(yōu)缺點(diǎn)，現(xiàn)從以下三個(gè)方面進(jìn)行比較。

⑴從方程式的數(shù)目來說，我們希望方程式的數(shù)目越少越好。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)為n,支路數(shù)為b

忖，節(jié)點(diǎn)電壓方程數(shù)為n個(gè)，叵路電流方程數(shù)為L(zhǎng)=b-n個(gè)。

當(dāng)b>2n時(shí)，L>n；當(dāng)b<2n時(shí)，L<n0在實(shí)際電力系統(tǒng)中，各母線之間的支路一般為變壓器或輸甩

線路。如果發(fā)電機(jī)、負(fù)荷、線路電容以及變壓器的勵(lì)磁支路等都用節(jié)點(diǎn)對(duì)地支路表示時(shí)，常有b>2n：但

有某些情況下，例如短路計(jì)算中常略去線路電容和變壓器勵(lì)磁支路，甚至略去負(fù)荷。這樣支路數(shù)b大為減

少，可能出現(xiàn)b〈2n的情況。

⑵就狀態(tài)變量來說，節(jié)點(diǎn)方程可以節(jié)點(diǎn)電壓為狀態(tài)變量，節(jié)點(diǎn)電流可以宜接由電源及負(fù)荷的情況確

定，旦節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納（或阻抗）矩陣的形成與修改，從后面的分析可以發(fā)現(xiàn)其優(yōu)越性：節(jié)點(diǎn)電壓方程中求解出

各母線電壓后，支路電流、功率以及母線功率容易算出，而回路電流方程不具備此優(yōu)點(diǎn)。

⑶應(yīng)用回路電流方程要預(yù)先選定回路方向，使計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)復(fù)雜化，而節(jié)點(diǎn)電壓方程無此缺點(diǎn)。

基于以上原因，目前的潮流分析計(jì)算一般多采用節(jié)點(diǎn)電壓方程，本書中僅就節(jié)點(diǎn)電壓法進(jìn)行分析。

二、節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的形成和修改

節(jié)點(diǎn)電壓方程是依靠節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納（或阻抗）矩陣來建立節(jié)點(diǎn)電流與節(jié)點(diǎn)電壓之間關(guān)系的，因此須先確定

節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納（或阻抗）矩陣。

1.節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的形成

節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣如式（4-2）。其中對(duì)角元素匕（i=l,2,-n）稱為節(jié)點(diǎn)i的自導(dǎo)納；非對(duì)角元素

%（i,j=l,2,…n；iWj）稱為互導(dǎo)納。

（1）自導(dǎo)納今

將式（4T）展開得：1-=￡/九（i=h2…n）（4-7）

*=|

若在節(jié)點(diǎn)i加電壓力,，其它節(jié)點(diǎn)都接地，即6片0（k=l,2…n,kWi）,貝ij：

七?。+?0+即i叱也

女=1k=M

■

所以匕=4.（4-8）

U,Uk=o,kHi

■

當(dāng)S=1NO時(shí)，匕=4..=1,（4-9）

U；Uk=0,kWi；Ui=]Z0

①原有節(jié)點(diǎn)i的自導(dǎo)納r,的增量△%=為；

②新增節(jié)點(diǎn)j的自導(dǎo)納丫產(chǎn)力;

③新增的非對(duì)角元“=今=-力：其它新增的非對(duì)角元均為零。

⑵在原有網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)i與j之間增加一條導(dǎo)納為力的支路，如圖4-1(b)o則與i、j有關(guān)的元素應(yīng)

作如下修改：

①節(jié)點(diǎn)i、j的自導(dǎo)納增量4力=△丫。=”?：

②節(jié)點(diǎn)i與j之間的互導(dǎo)納增量△Y--=△匕產(chǎn)-為:

⑶在網(wǎng)絡(luò)的原有節(jié)點(diǎn)i、j之間切除一條導(dǎo)納為先的支路，如圖4-1(c),其相當(dāng)于在i、j之間增

加一條導(dǎo)納為-先的支路，因此與i、j有關(guān)的元素應(yīng)作如下修改:

①節(jié)點(diǎn)i、j的自導(dǎo)納增量4匕=△丫尸ytJ；

②節(jié)點(diǎn)i與j之間的互導(dǎo)納增量△%=△丫7=%；

(4)原有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i、j之間的導(dǎo)納由先改變?yōu)榱Α?，相?dāng)于在節(jié)點(diǎn)i、j之間切除一條導(dǎo)納為先的支

路，再增加一條導(dǎo)納為力’的支路，如圖4T(d)o則與i、j有關(guān)的元素應(yīng)作如下修改：

①節(jié)點(diǎn)i、j的自導(dǎo)納增量△%=△〃?二加~));

②節(jié)點(diǎn)i與j之間的互導(dǎo)納增量△4=z\y/力一%‘；

(a)

圖4-1電力網(wǎng)絡(luò)接線的改變

GO增加支路和節(jié)點(diǎn);出)增加支路；(c)切除支路；(d)改變支路參數(shù)

⑸原有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i、j之間變壓器的變比由k.變?yōu)閗?‘，即相當(dāng)于切除一臺(tái)變比為k?的變壓器，再投

入一臺(tái)變比為k；的變壓器，k*=(U./Uii)/(UIB/UIIB),如圖4-1(e)變壓器n型等值電路,圖中門為與

變壓器原邊基準(zhǔn)電壓對(duì)應(yīng)的變壓器導(dǎo)納標(biāo)幺值，則與i、j有關(guān)的元素應(yīng)作如下修改:

①節(jié)點(diǎn)i的自導(dǎo)納增量△%=()：節(jié)點(diǎn)j的自導(dǎo)納增量尸(k：2-k\)y.：

②節(jié)點(diǎn)i與j之間的互導(dǎo)納增量△丫/廣(k*-k；)yT；

i(I側(cè))k?yT(II側(cè))j

?i；----------o

(1-k?)yik*(k?-l)yr

圖4T(e)改變變壓器變比

三、節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣的形成和修改——支路追加法

1.節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣元素的物理意義

節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣如式(4-3),其中對(duì)角元素Zjj(i=l,2-n)稱為節(jié)點(diǎn)i的自阻抗：非對(duì)角元素Z,

(i、j=l,2…n；iWj),稱為互阻抗?，F(xiàn)討論自阻抗和互阻抗的物理意義。

(1)自阻抗2

將式(4-4)展開得：力產(chǎn)宜Z次(i=l,2-n)(4-12)

i=l

若在節(jié)點(diǎn)i加注入電流［,而其它節(jié)點(diǎn)的注入電流均為零，即/：=0(k=l,2…n,kKi),則由式

??

(4-12)可知：U產(chǎn)Z”/,?

1/.

所以.(4-13)

Z4犯后i

?u.?

當(dāng)/,=1NO時(shí)，Z,-=-^..=Ui(4-14)

/./人=0,kWi；/=1ZO

因此，自阻抗Z,,的物理意義是：在節(jié)點(diǎn)i加單位注入電流，而其它節(jié)點(diǎn)的注入電流均為零時(shí)，節(jié)點(diǎn)

i的電壓0。

⑵互阻抗Z皿

若在節(jié)點(diǎn)j加注入電流.，而其它節(jié)點(diǎn)的注入電流均為零時(shí)，即［=0(k=l,2-n,kHj),則由

??

式(4-12)可知：Ui=Z..lj

II.

所以z..=二,(4-15)

/；4=o,kwj

?I)*

當(dāng)，j=l/O時(shí)，Zq=二—?,=Ui

/.4=0,kWj；/廣1/0(4-16)

因此，互阻抗?的物理意義是：在節(jié)點(diǎn)j加單位注入電流.，而其它節(jié)點(diǎn)的注入電流均為零時(shí)，節(jié)

點(diǎn)i的電壓（Z即是節(jié)點(diǎn)i與j之間的互阻抗。

依次在各節(jié)點(diǎn)單獨(dú)注入電流，計(jì)算出網(wǎng)絡(luò)中的電壓分布，從而可求得阻抗矩陣的全部元素。由此可見,

節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣元素的計(jì)算是相當(dāng)復(fù)雜的，不可能從網(wǎng)絡(luò)的接線圖和支路參數(shù)直觀的求出。另外，我們考慮

的電力網(wǎng)絡(luò)一般是連通的，網(wǎng)絡(luò)的各部分之間存在著電的或磁的聯(lián)系。單獨(dú)在某一點(diǎn)注入電流，網(wǎng)絡(luò)中任

一獨(dú)立節(jié)點(diǎn)均會(huì)出現(xiàn)電壓，因此阻抗矩陣沒有零元素，是一個(gè)滿矩陣。乂根據(jù)線性電路的互易定理可知，

阻抗矩陣是對(duì)稱矩陣。

2,用支路追加法形成節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣

目前常用的求取節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣的方法有兩種：一是間接法，利用節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣求逆形成；二是直接法,

利用支路追加法由計(jì)算機(jī)白動(dòng)形成。這里主要分析支路追加法。

支路追加法是將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分解，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜。它根據(jù)網(wǎng)絡(luò)拓樸的原理，將網(wǎng)絡(luò)分解成樹支與連支（具

體含義參閱電路原理課程）。從一條支路（指接地支路或與參考節(jié)點(diǎn)相連的支路）、一個(gè)節(jié)點(diǎn)（母線）開始,

逐步追加支路、節(jié)點(diǎn)而形成網(wǎng)絡(luò)。在形成網(wǎng)絡(luò)的過程中，根據(jù)節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣元素的物理意義逐步形成相應(yīng)

的阻抗矩陣。

以圖4-2（a）所示網(wǎng)絡(luò)為例，說明用支路追加法形成節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣的過程。從圖（b）?圖（h）為

一種追加順序，每次追加一條支路，則依此順序依次求出相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣。圖（b）對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)阻抗

矩陣為一階；在圖（b）的節(jié)點(diǎn)1新增加一條樹支形成圖（c）,阻抗矩陣增加為二階；在原有節(jié)點(diǎn)2與0

之間增加連支形成圖（d）,矩陣階數(shù)仍為二階，但需修改圖（c）矩陣的元素；從節(jié)點(diǎn)2引出一條樹支，

新增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)3形成圖（e）,阻抗矩陣增加為三階；從節(jié)點(diǎn)2增加一條樹支，新增一節(jié)點(diǎn)4形成圖（f）,

阻抗矩陣增加為四階；在節(jié)點(diǎn)3和4之間增加一條連支形成圖（g）,矩陣階數(shù)仍為四階，但需修改圖（3

矩陣的元素；在（g）圖中的原有節(jié)點(diǎn)4和0之間增加一條連支形成圖（h）,矩陣階數(shù)仍為四階，但需作

再一次的修改，從而形成了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣。

從上述追加過程可得出幾點(diǎn)結(jié)論：

⑴直接利用自、互阻抗的物理意義形成節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣：

圖4-2支路追加法

⑵追加支路分兩種形式：一是追加樹支，增加新節(jié)點(diǎn)，阻抗矩陣需增加一階；二是追加連支，不增

加新節(jié)點(diǎn)，矩陣階數(shù)不變，但要對(duì)矩陣元素作修改；

⑶追加順序是任意的，因此中間過程隨追加順序的不同而不同，但最后結(jié)果是唯一的，其間有一個(gè)

最佳順序問題。

下面推導(dǎo)一般公式；

設(shè)原有無源網(wǎng)絡(luò)已形成了P個(gè)節(jié)點(diǎn)的阻抗矩陣ZBP，即已知:

712Zu…ZIP

7.22…Z2i?*,Z2p

?????????

2i2Zii…Zip

（1）追加樹支

現(xiàn)從節(jié)點(diǎn)i引出一條樹支Z.q,新增加一個(gè)節(jié)

點(diǎn)q（見圖4-3）,這時(shí)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣將擴(kuò)大圖4-3追加樹支

一階，即由p階變?yōu)閜+l=q階，設(shè)為Z?q,其形式

如下：

ZuZ12ZH???ZIPZiq

Zzi

Zf4|=ZilZi2ZiiZipZiq

ZnZ12ZpiZivZW

其中第q行及第q列為新增的，現(xiàn)討論阻抗矩陣中各元素的計(jì)算。在網(wǎng)絡(luò)原有部分的任一節(jié)點(diǎn)

單獨(dú)注入電流而其余節(jié)點(diǎn)的電流均為零時(shí)，由于支路人并無電流通過，因此該支路的引入并不會(huì)

改變網(wǎng)絡(luò)原有部分的電流、電壓分布，即阻抗矩陣方,中對(duì)應(yīng)于網(wǎng)絡(luò)原有部分的全部元素(即矩陣中虛

線左上方部分)將保持原有數(shù)值不變，即仍等于Z”中的對(duì)立元素。矩陣中新增的第q行和第q列

元素可以這樣求得

①互阻抗心

網(wǎng)絡(luò)原有部分的任一節(jié)點(diǎn)k單獨(dú)注入電流.時(shí)，因人中無電流通過，則節(jié)點(diǎn)q的電壓房等于節(jié)

點(diǎn)i的電壓立，即立=在；而根據(jù)互阻抗的定義式(4-12)知："二Zq",&二Z.，所以有Zqkl二Z.

即Zqk=Zik(k=l,2…p)(4-17)

Zqk為第k行的互阻抗。又根據(jù)阻抗矩陣的對(duì)稱性,ZBQ中第Q列的互阻抗ZkQ=ZQk(k=l,2-p)o

②自阻抗Zqq

由其定義可知，應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)q單獨(dú)注入電流力時(shí)，節(jié)點(diǎn)q的電壓總與力的比值，即方產(chǎn)立〃。

而立=6i+Ziqi；對(duì)于式中的電壓金，由于從節(jié)點(diǎn)q注入電流1直接流入節(jié)點(diǎn)i,相當(dāng)于節(jié)點(diǎn)i的注

入電流Z=i，而Zii="尸"?/1,所以立=z”[0

?????

Uq=Zil/q+ZiqIq=(Zii+Ziq)Iq=ZqqIq

由此可得

Zqq=Zii+Ziq(4-18)

綜上所述，當(dāng)增加一條樹支時(shí)，節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣的原有部分保持不變，新增的一行(列)各非對(duì)角元素

分別與引出該樹支的原有節(jié)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)行(列)各元素相同。而新增的對(duì)角元素則等于該樹支的阻抗與引出

該樹支的原有節(jié)點(diǎn)的自阻抗之和。特別地，如果節(jié)點(diǎn)i是參考節(jié)點(diǎn)(接地點(diǎn))，則稱新增支路為接地樹支。

由于九三0,根據(jù)自阻抗和互阻抗的定義可知：

Zkq=Z<(k=0(k=l,2p)(4-19)

⑵追加連支

在已有的節(jié)點(diǎn)k和m之間追加-?條阻抗為Zk”的連支（如圖4-4）,由于不增加新節(jié)點(diǎn)，因此節(jié)

點(diǎn)阻抗矩陣的階次不變。如果原有各節(jié)點(diǎn)的注入電流不變,

連支Zkn的接入將改變網(wǎng)絡(luò)中的電壓分布，從而原有矩陣的

各元素要作相應(yīng)的修改，具體修改方法闡述如下。

如果保持各節(jié)點(diǎn)的注入電流不變，連支的引入對(duì)網(wǎng)絡(luò)原圖4-4追加連支

有部分的影響就在于，把節(jié)點(diǎn)k和m的注入電流分別從乙和改變?yōu)椋ㄈ?1km）和（/,“+1km）。

這時(shí)網(wǎng)絡(luò)中任一節(jié)點(diǎn)i的電壓可以利用原有的阻抗矩陣元素寫出如下式：

Ui=Zill\+z(271+,,,+Zik(Ik-Ikm)+…+Zit,(/”?+Ikm)+…+ZipIp

=/ZjjIj-(ZIk-Zin)hm(4-20)

J=1

現(xiàn)在要設(shè)法將用原有的節(jié)點(diǎn)注入電流代替，就可以建立遠(yuǎn)各節(jié)點(diǎn)電壓和節(jié)點(diǎn)注入電流的對(duì)應(yīng)關(guān)系,

從而確定接入連支后節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣的各元素。由于式（4-20）充?網(wǎng)絡(luò)的任何節(jié)點(diǎn)都適用，現(xiàn)將它用于節(jié)點(diǎn)

《和m可得：

u^zkji-^kk-zjL①

六1

Um二工ZmjIj~(Zmk-Zmm)Ikm

又知Uk~Um=ZknIkm

將①、②式代入③式可得出：hm=--------------------------------------------￡(Zkj-ZmIj

Zkk+Zkm-2Zk”i+Zktn；_|

將鼠的表達(dá)式代入式（4-20）,經(jīng)整理得

(Zk—Zi,”)(Zkj—Z,”/)?P?

鼠￡ZuIj

Zkk+Ztnnt-2Zb”+Zkm

J=>-7=1

—(Zik—Zi”i)(Zkj—Z"ij)

所以(i、j=l,2-p)(4-21)

Zkk+Zmm-2Zkm+Zkm

這就是追加連支ZM,后阻抗矩陣元素Z%與原有阻抗矩陣元素以及追加支路阻抗的關(guān)系式，用來

確定追加連支后的節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣。特別地，如果追加連支所接的節(jié)點(diǎn)中，有一個(gè)是零電位，例如m

是接地點(diǎn)，即(L=0,則稱此連支為接地連支。設(shè)其阻抗以產(chǎn)Z,。，則公式(4-21)變?yōu)?注意：此時(shí)，原

節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣中無互阻抗Z?即Z加=0)。

Z、Zy

Z；-Zf.——'^―(4-22)

''+z,0

順便指出，如果在節(jié)點(diǎn)k、m之間接入一條短路線(ZMO),則相當(dāng)于k、m合為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，根據(jù)式

(4-21)可知：

⑵-Z屹-Z.)

Z：=z_3_吧！(4-23)

7"Zk小Zg-ZZkm

另外，第k列和第m列的元素分別為：

(Zik-Zir.)(Zkk-Zdk)'

Zik=Zik-

Zkk+Znn_2Zk?

(Zlk-ZiB)(Zkn-Z...)r(4-24)

Zim=Zin--------------------------

Zkk+Zw_2Zkn

又由于k、m合為一點(diǎn)，因此其電壓及注入電流分別相等，所以1ik=Z'in,根據(jù)互易定理，

Z'Ai=Z*=Z”這一關(guān)系說明，如果k、m兩節(jié)點(diǎn)短接，第k行(列)和第m行(列)完全相同，因此可

以刪去其中一個(gè)節(jié)點(diǎn)(k或m)對(duì)應(yīng)的行和列，使矩陣降低一階，其它元素的修改仍按式(4-23)進(jìn)行。

由以上分析可見，追加連支的計(jì)算量大大超過追加樹支的計(jì)算量，因此，在計(jì)算機(jī)形成節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣

時(shí)，其速度主要取決于追加連支的計(jì)算速度。應(yīng)合理安排追加支路的次序。一般第一步從接地樹支開始，

盡可能在階數(shù)低(節(jié)點(diǎn)少)時(shí)追加連支，以減少計(jì)算工作量。

利用支路追加法避免了矩陣求逆，同時(shí)能適應(yīng)系統(tǒng)運(yùn)行方式的改變，如果切除一條阻抗為Z”的線路

時(shí)，可利用原有矩陣追加一阻抗為-z”的連支(與Zij并聯(lián))對(duì)矩陣進(jìn)行修改即可。

［例4-1］用支路追加法形成圖中三母線系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣。各阻抗參數(shù)如下：Z產(chǎn)Z2=Z3=-j20,Zi=j2,

Zs=j4>Z?=j3o

解：(a)追加樹支①，i=l

Zn=Zi=—j20

形成矩陣乙產(chǎn)［-j20］

(b)追加樹支②，引入新節(jié)點(diǎn)j=2(接地樹支)

____________③

Z”不變，Z12=Z2l=-j20,Z22=Z2=~j20Z4

形成矩陣1⑤3⑥2

-j200Z5Z6

ZB2=①Zi④Z3Z2②

o-j2o1y

0

(c)追加連支③，k=l,m=2

例4-1圖

(Zu-Z12)(Zn-Z2I)(-120-0)(-J20-0)

Zu=Zu----------------------------=-j20-----------------------=-j9.47

ZH+Z22-2Z12+L\-j20-j20+j2

?：ZU-ZI2)(Z12-Z22)(-j20)(j20)

Z12=Z21=Z12--------------------------=0-----------------------=-jlO.53

Zu+Z22-2Z12+Z.I-j20-j20+j2

(Z2l-Z22)(Z12-Z22)(-j20)(j20)

Z22,=Z22----------------------------=-j20-------------------=-j9.47

Z11+Z22-2Z12+Z4-j20-j20+j2

修改矩陣-j9.47-J10.53

-jl0.53-j9.47

(d)追加樹支④，尸3(接地樹支)

Zn=-j9.47,Zi2=Z2i=-jlO.53,Z22=-j9.47,不變

Zia—Z31-Z23—Z32-O>Zns-Zj--j20

形成矩陣-j9.47-jlO.530

ZB產(chǎn)-jlO.53-J9.470

00-j20

(e)追加連支⑤，k=l,m=3

(Z.t-Z13)(Z”-Z3l)(-j9.47)J9.47)

Zu=Zu----------------------------=-j9.47-------------------------=-j5.59

ZH+Z33-2Z13+Z5-j9.47-j20+j4

(2u-Z13)(Z12-Z32)(~j9.47)(-jlO.53)

Z12=Z21=Z)2--------------------------=-j10.53----------------------=~j6.61

Zu+Z33-2Z13+Z5-j9.47-j20+j4

(Zn-Z13)(Z,3-Z33)(-j9.47)(j20)

Z13=Z31=Zu----------------------------=0---------------------=-j7.44

Z”+Z33-2Z13+Z5-j9.47-j20+j4

(Z2.-Z23)(Z12-ZQ(-jl0.53)(-jlO.53)

Z22'=Z22--------------------------=-j9.47---------------------------=-j5.12

ZH+Z33-2Z13+ZS-j9.47-j20+j4

(Z2l-Z23)(Z13-Z33)(-jlO.53)(j20)

Z23=Z32=Z23--------------------------=0-----------------------=-j8.27

Zn+Z33-2Zu+Z5-j9.47-j20+j4

(Z-Z)(Z-Z33)

3l3313(j20)(j20)

Z33=Z33-j4.30

Zu+Z33_2Zia+Zs-j9.47-j20+j4

修改矩陣-j5.59-j6.61-j7.44

ZB3=-j6.61-j5.12-j8.27

-j7.44-j8.27-j<30

（f）追加連支⑥，k=2,m=3

(Z12~Zl3)(Z2I-Z31)(-j6.61+j7.44)(-j6.61+j7.44)

Zu=Zu-------------------------------=-j5.59---------------------------------------=-j6.02

Z22+Z33-2Z23+Z6-j5.12-j4.30-2(-j8.27)+j3

(ZI2-Zi3)(Z22-Z32)(-j6.61+j7.44)(-j5.12+j8.27)

Z12'=Z21,=Z12----------------------------=-j6.61-------------------------------------=-j6.87

Z22+Z33-2Z23+Z6-j5.12-j4.30-2(-j8.27)+j3

(Z12-Zu)(Z23-Z33)(-j6.61+j7.44)(-j8.27+j4.30)

Zi3'-Z3i'-Z13-----------------------------j7.44----------------------------------------J7.11

Z22+Z33-2Z23+Z6-j5.12-j4.30-2(-j8.27)+j3

(Z22-Z23)(Z22-Z32)(-j5.12+j8.27)(-j5.12+j8.27)

Z22'=Z22---------------------------=75.12-------------------------------------------=-j6.10

Z22+Z33-2Z23+Z6-j5.12-j4.30-2(-j8.27)+j3

(Z22-Z23)(Z23-Z33)(-j5.12+j8.27)(-j8.27+j4.30)

Z23'=Z32'=Z23----------------------------------------=-j8.27-----------------------------------------="j7.03

Z22+Z33-2Z23+Z6-j5.12-j4.30-2(-j8.27)+j3

(Z32-Z33)(Z23-Z33)(-j8.27+j4.30)(-j8.27+j4.30)

Z33-Z33----------------------------------------J4.30--------------------------------------------j5.86

Z22+Z33-2Z〃+Z6-j5.12-j4.30-2(-j8.27)+j3

例47圖的節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣

-j6.02-j6.87-j7.11

-j6.87-j6.10-j7.03

-j7.11-j7.03-j5.86

第二節(jié)功率方程和變量節(jié)點(diǎn)的分類

一、功率方程

前面已知節(jié)點(diǎn)電壓方程為L(zhǎng)=Y或。在建立了節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣/后，如心或L已知，則方程可解。由第

三章可知，在工程計(jì)算中L,是未知的，U,中的元素大多數(shù)也未知，因此無法直接應(yīng)用公式（4-1）進(jìn)行求

解。電力系統(tǒng)分析計(jì)算中常以節(jié)點(diǎn)注入功率8代替電流L（S”為節(jié)點(diǎn)注入功率的列向量）。根據(jù)復(fù)功率的

Si9

定義SB=U所以刀=o對(duì)應(yīng)有In,所以節(jié)點(diǎn)電壓方程為YMB=-,從而將各節(jié)點(diǎn)的

.UB

UiB

s

注入功率W引入了節(jié)點(diǎn)電壓方程。參照式(4-1),將YRUB二展開可得功率方程的一般形式為:

VB

(i=l,2,???,n)(4-25)

Ui

1.以下面兩端供電網(wǎng)絡(luò)為例，分析功率方程的展開式

U\Ui

SG2

SD\Si)2

(a)簡(jiǎn)單系統(tǒng)(b)等值網(wǎng)絡(luò)

圖4-5簡(jiǎn)單系統(tǒng)及其等值網(wǎng)絡(luò)

如圖4-5所示兩端供電網(wǎng)絡(luò),節(jié)點(diǎn)1、2的注入功率為

SI=SGI-SD\=(PGI-PDI)+j(QGI-QJ))

S2=SG2-SI)2=(PG2-PM)+j(QG?-QM)(4-26)

從而可知節(jié)點(diǎn)1、2的注入電流為

Si

Ui

*

(4-27)

U2

網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣元素

Yll=y10+y12=丫2(>+丫21=丫22Y)2=Y2i=-yi2

從而網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)電壓方程為

①為簡(jiǎn)略計(jì)，以.表示列向量自占.年

i/iUiU?

Si???

—=/i=YuUi+Y122

U1>

\???

匚—=/2=Y21s+Y22t/z(4-28)

U2

可得Si=UiYuU^UiYnUi=^Kii+L/iUiYn

A

82=62Aii+62Y22Ui=u：y22+Ji62n.(4-29)

*-X

Jd2

如設(shè)日產(chǎn)如d；U2=U2e；匕=%=淚，*J；匕2=hl=yJK”)(均為極坐標(biāo)

形式)，并將它們代入式(4-29)展開，將有功功率、無功功率分別列出，可得

P尸POLPDF{UJsinas+yJhUsinK6r62)-an]"

P2=P..2-PD2=ysU22sina+yUUisin[(88,)-a?]

sn2r、

2

Qi=Q>；i-QDi=ysUicosas-ynU]U2cos[(8r62)-a?](4-30)

Q尸Q；；一金2=y$U22cosas-ynU2UiCOS[(8j-8j)-a?]>

這就是圖4-5(a)簡(jiǎn)單系統(tǒng)的功率方程。

2.功率力程的特點(diǎn)

(1)由式(4-30)可見，功率方程是反應(yīng)節(jié)點(diǎn)注入功率和節(jié)點(diǎn)電壓之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是關(guān)于U和

6的非線性方程組，一般無法用解析法求解.，應(yīng)立足于迭代求解。

⑵將式(4-30)的第一、二式相加，第三、四式相加，可得這個(gè)系統(tǒng)的有功功率、無功功率平衡關(guān)

系：

22

Pcl+PG2=PDi+P.e+ys(U,+U2)Sinas-2y?U1U2cos(6「62)sina>

>>

22

Q.i+Q,「Qui+Quz+y3(Ui+U2)cosa8-2yliU1U2cos(S1-S2)cosa"-(4-31)

兩等式右邊第三項(xiàng)、第四項(xiàng)為系統(tǒng)的有功功率損耗4P、無功功率損耗

22

△P=ys(Ui+U2)sina「2ymUiU2cos(6廠62)sina“、

尸

22

△Q=ys(Ui+U2)cosas-2ynU]U2cos(6]-62)cosa?一

⑶在功率方程中，母線電壓的相位角以6*6的形式出現(xiàn)，即決定功率大小的是相對(duì)角而不是

絕對(duì)角，因此在所有電壓相量”中，應(yīng)選定一個(gè)電壓參考相量。

⑷四個(gè)方程中，除去網(wǎng)絡(luò)參數(shù)y，、y”、asxa”外共十二個(gè)變量，它們分別是：

負(fù)荷消耗的有功、無功功率一一Pm、PmQDHQm;

電源發(fā)出的有功、無功功率——PG】、PG2、如、@2：

母線或節(jié)點(diǎn)電壓的大小和相位角一一口、“、儲(chǔ)、8?。

因此，除非已知或給定其中的八個(gè)變量，否則無法求解，即為n母線系統(tǒng)將會(huì)列出2n個(gè)方程，但變

量有6n個(gè)。必須根據(jù)運(yùn)行條件，給定其中6n-2n=4n個(gè)變量才可解方程。

二、變量的分類

1.變量的分類：前面分析已知，為了使功率方程有解，必須要給定某些變量，而其余變量作為未知量。

給定哪些變量才合理呢？這首先要求我們要了解變量的性質(zhì)。實(shí)際變量按控制理論可分為三類：不可控變

量、可控變量和狀態(tài)變量。

（1）不可控變量d

對(duì)電力系統(tǒng)來說是指無法由運(yùn)行方面來控制的變量。這里指負(fù)荷消耗的有功PD、無功功率金。它們?nèi)?/p>

決于用戶，對(duì)系統(tǒng)來說是隨機(jī)的，又叫擾動(dòng)變量。它們的變化將引起系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的變化。一般可根據(jù)運(yùn)

行經(jīng)驗(yàn)或預(yù)測(cè)做出估計(jì)，作為已知量給定。對(duì)n母線系統(tǒng)共有2n個(gè)不可控變量,即d=（%、Q”、PmQ*…

?0n、Qlin）o

⑵控制變量u

可由運(yùn)行人員根據(jù)需要來決定或改變的變量，這里指電源發(fā)出的有功Ph無功功率Q；。對(duì)n母線系統(tǒng)

r

共有2n個(gè)控制變量,在方程組中一般起自變量的作用,u=0、QGI>PG2、拆2、…Pg、Qc.）o

（3）狀態(tài)變量x

能描述和確定系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的變量。這里指各母線電壓的大小U及相角6。它們是受系統(tǒng)的控制變量

所控制的因變量，其中電壓u主要受無功功率@的控制；相角6主要受有功功率R.的控制。對(duì)n母線系

統(tǒng)共有2n個(gè)狀態(tài)變量，x=統(tǒng)I、統(tǒng)U2、凡、…Un、6n）\

2.功率方程給定變量的調(diào)整

對(duì)變量作如上分類后，似乎只要已知擾動(dòng)變量和控制變量，就可以運(yùn)用功率方程（4-25）求解出狀態(tài)

變量，其實(shí)不然。因?yàn)樵谏鲜龉β史匠讨校妇€（節(jié)點(diǎn)）電壓的相位角以相對(duì)值出現(xiàn)，以致使當(dāng)3、&

已發(fā)生變化，但不變時(shí)，功率的數(shù)值不變，從而不能用它們求取絕對(duì)相位角'、52,當(dāng)然還有其

它原因，如功率損耗與相對(duì)角的關(guān)系等。

為克服以上困難，可對(duì)變量的給定稍作調(diào)整：

（1）在具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)中，只給定（nT）對(duì)控制變量幾、Qw余下一對(duì)控制變量PG$、嬴s待定，由這

一對(duì)控制變量維持系統(tǒng)功率平衡。

⑵指定某節(jié)點(diǎn)的電壓相量為基準(zhǔn)相，一般取與1%、QRN相同的節(jié)點(diǎn)，即6kIUNbRN0（U；也可按實(shí)

際需要取1附近的某一值）。

⑶給定所有的不可控變量%、QK

3.變量的約束條件

在已知了以上4n個(gè)變量后，就可根據(jù)2n個(gè)功率方程解