高三年級下冊解三角壓軸專題訓(xùn)練

高三下解三角壓軸專題訓(xùn)練

一.幾何性質(zhì)或者三角轉(zhuǎn)化（共1小題）

1.ZXABC中，角A,B,C所對的三邊分別為小b,c,c=2b,若△ABC的面積為1,則

BC的最小值是（）

A.V3B.3C.2D.返

3

二.三角轉(zhuǎn)化（共1小題）

2.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.記△ABC的面積為5.若J=8S,

則2的最大值為（）

a

A.3+V2B.3-H/3C.2-H/5D.2+2V5

三.三角轉(zhuǎn)化+幾何關(guān)系（共1小題）

3.在△45。中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且2cosA=a（&-cos。），c=2,

。為AC上一點(diǎn)，AO：DC=1：3,則△ABC面積最大時，BD=.

四.三角轉(zhuǎn)化+銳角處理（共2小題）

4.銳角△ABC中，若從=。（a+c）,則,siyiA、.的取值范圍是（）

sin（B-A）

A.（0,返）B.（X返）C.（1,近）D.（0,返）

222222

5.ZVIBC中，若4ac=",sinA+sinC=psin&且8為銳角，則p的取值范圍是（）

A.（1,V2）B,吟，V2）C.（亨，V3）D.（1,V3）

五.易錯與tan化簡技巧（共1小題）

6.Z\A6c.中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,下面判斷錯誤的是（

A.若si/A+si/BVsi/c,則三角形ABC是鈍角三角形

B.若A>8,則sinA>sinB

C.a=8,B=60°,若所求△ABC有兩個，則c的取值范圍為（4%，長0）

ABBCCA_

D.△ABC中，恒有tan.-ta^tanyta^tanytarr^1

六.tan公式應(yīng)用（共1小題）

7.已知△ABC的三個角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足-----a-----=------b-----=------c-----9

2cosA3cosB6cosC

貝1」sin24=

七.tan化簡技巧（共3小題）

8.設(shè)a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,。的對邊，若一」一，」^依次成公差

tanAtanBtanC

不為0的等差數(shù)列，則（）

A.a,b,c依次成等差數(shù)列

B.力2,於依次成等差數(shù)列

C.Va,Vb,正依次成等差數(shù)列

D.1,1,工依次成等差數(shù)列

abc

9.設(shè)a,力，c?分別為△4BC的內(nèi)角A,B,。的對邊，已知d=3（J-扇），且團(tuán)!。=3,

則角B的余弦值為.

10.在△4BC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,2區(qū)=2^+/,當(dāng)tan（8-4）取

最大值時，角4的值為.

A.典型單條件問題：特殊化或者不等式處理（共5小題）

11.在△ABC中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,設(shè)AABC的面積為S,則一—

a+4bc

的最大值為（）

A.亞B.近C.近D.亞

16121618

12.在△A3C中,角A,B,C的在邊分別為小兒c,設(shè)△ABC的面積為S,若3/=2小陷,

則°$°的最大值為______.

b2+2c2

13.在銳角三角形A8C中，9tanXtanB+tan8tanC+tanaanA的最小值為.

14.在銳角△ABC中，若sinA=3sin8sinC,則tan/UanBtanC的最小值是.

15.在面積為2的△ABC中，鳥不+乂不+斗小的最小值為.

九.中線處理+不等式（共2小題）

16.在△4BC中，AC=BC,AC邊的中線長BD=V^，則△A8C周長的最大值為（）

A.3^2B.6C.672D.9

17.在△ABC中，兩中線4。與6E相互垂直，則cos（A+B）的最大值為.

一十.強(qiáng)幾何關(guān)系（共4小題）

18.在△A5C中，若A3?8C?cosB=4,|安-或|=3加,則△ABC面枳的最大值為.

19.已知△ABC為銳角三角形，滿足sinBsinC=（sin2B+sin2C-sin2A）tan4,△ABC外接

圓的圓心為O,半徑為1,則布?（標(biāo)+豆）的取值范圍是.

20.圓/+/=1上任意一點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作兩直線分別交圓于4,8兩點(diǎn)，且N4P8=60°,

貝山必|2刊尸陰2的取值范圍為.

21.在△4BC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,D是A8的中點(diǎn)，若8=1,

且（。?4）sinA=（c+b）（sinC-sinfi）,則△ABC面積的最大值是（）

2

A.逗B.1C.逗D,第

55105

一十一.考得較好的壓軸！都是學(xué)過的內(nèi)容，但是分析處理考驗(yàn)功底（共1小題）

22222

22.記△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知二一?=a+b-c,若。

/ab

=—,則4=；若△A8C為銳角三角形，則一，一的取值范圍是.

士4bucos2nD

一十二.建系（共1小題）

23.已知△ABC的面積等于1，8C=1,則當(dāng)△ABC的三邊之積取得最小值時,sinA=.

一十三.解三角里的三角表達(dá)（共3小題）

24.如圖，在RlZXABC中，已知BC=4,AC=3,。是斜邊AB上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）沿

直線8將△ABC折成直二面角8-CO?A,當(dāng)AD=時，折疊后A、8兩點(diǎn)間的

距離最小.

25.如圖，在平面四邊形A8CD中，△A8C是等邊三角形，且4。=28。=2,則△AC。的

26.某小區(qū)欲利用一塊直角三角形空地（如圖△ABC）建一個正三角形（如圖△。防）健身

器材休閑場地，經(jīng)測量AC=20m,ZBAC=90°,ZABC=30°.若正三角形△￡>￡：尸的

頂點(diǎn)在AABC的三條邊界線上，則該健身器材休閑場地面積的最小值為

c

一十四.轉(zhuǎn)化為單變量思路(共4小題)

27.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且邊上的高為且，則￡上最

2bc

大值為()

A.2B.V2C.2^2D.4

28.在銳角三角形A8C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足層-/=也則二^

tanA

-二^的取值范圍為______.

tanB

29.在銳角中.a.b,「分別為角4R.。所對的邊.滿足〃cos/?=〃(1+ccM),且

△ABC的面積S=2,則(c+a-b)(c+A-a)的取值范圍是.

30.設(shè)△48C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為①b,c,且“cosB-慶osA=Sc，則tan(A

-B)的最大值為()

A.返B.旦C.2D.V3

242

一十五.函數(shù)問題(共3小題)

31.在非等腰△ABC中，內(nèi)角A,B,3滿足(sin2A-sin2B)*sinC=(sin2A+sin2B)*sin(A

-B),若關(guān)于x的不等式fcos4?x(1?x)+(1-x)2(：os5>0對任意xW[0,1]恒成立，

則角A的取值范圍為()

3冗)

A(―,—)U(―,B.(―,―)u(―,

6448448，

C.(―,12L)D.(―,2L)U(―,12L)

312124412

32.在△48C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c>若2(asin/1-csinBcosA)=bsinB,

且30人cos(B+C)+9cos24+16/+5W0恒成立，則人的取值范圍是()

A.弓f]B,[-1,1]C,[1,1]D,啜]

33.已知5c的三邊分別為a,b,c,所對的角分別為A,8,C,且滿足」一+1=3,

a+bb+ca+b+c

且△ABC的外接圓的面積為3冗，則=cos2x+4(a+c)sinx+1的最大值的取值范圍

為_______

一十六.角平分的處理，易卡(共4小題)

34.己知在△AUC中，B且工，AU=1,角A的平分線皿個反，貝UAC=()

4

A.V3B.2V3C.V3+1D.V3+3

35.在△45C中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為小b,c,滿足c=3,cosA—,AD為NBAC

4

的角平分線，且ADWIU,則。=.

36.在△4BC中，角4,B,。所對的邊分別為a,b,c,NABC=120°,NA8C的平分線

交AC于點(diǎn)。，且8￡>=1,則為+c的最小值為.

37.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,。在邊上，且AO平分N84C,

AD=VS?力sin8-〃sinA=c(sinB-sinC),sinC=3sin5,則△ABC的面積為.

一十七.【壓軸】數(shù)形結(jié)合??軌跡思想(共1小題)

38.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為小b,c,若tan8=2(anC,>=1,則△ABC

面積的最大值為()

A.3B.AC.近D.旦

8444

一十八.壓軸難度，常規(guī)解題思路，敢算就行(共4小題)

39.在銳角△48C中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積，且25=J

22

-(b-c)2,則Zb+C的取值范圍為()

A.嚕,,)B.",詈)

C.[W5,整)D.[RL90)

15

40.在△A8C中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為mb、c,若(。+。)(sinA-sinZ^)=<b+c)

sinC,a=7,c=5.則該三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為()

A.WB.AC.2D.苴

14476

41.在△4BC中，角A,B,C所對的邊為小b,c,若si嗎sinC=c0sA+°°sC,且△4座

3sinAac

的面積以4Bc=1(a2+b2-c2),則空的取值范圍是______.

4a+b

42.在銳角△43C中，角4,B,C的對邊分別為小b,c,S為△4BC的面積，且2s=/

-(b-c)2,則上的取值范圍為()

C

A.(工，2)B.(2,3)C.(XA)D.(旦，

2324353

一十九.非壓軸，但易卡，基礎(chǔ)轉(zhuǎn)化（共1小題）

43.已知△A3C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為小兒c，且sincos(-B)

0T4

若△ABC為鈍角三角形，a+c=3,則△ABC外接圓的半徑R的取值范圍是

二十.111題難度】敢做就行（共4小題）

44.在銳角三角形ABC中，若J§sinB+cosB=2,且滿足關(guān)系式0°sBFosCrsinAsinB,

bc3sinC

則△ABC的周長最大值為（）

A.V3B.273C.4A/3D.673

45.己知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊，2sinC=csinB,acosB-c=\,AABC

的面積為近，則。=（）

2

A.V3B.2C.V6D.V7

46.已知角A,B,。是△ABC（非直角三角形）的三個內(nèi)角，GA+GB+GC^,且族.玩=0,

BC=2,則.tanA+tanA=()

tanCtanB

A.AB.」C.AD.」

3322

47.在銳角△ABC中，NA=2N8,NB、NC的對邊長分別是從c,則的取值范圍是

b+c

()

A-(T,:)B?G，y)C.(y,5)D.4,y)

AOA/O

二十一.111難度】建系或極化恒等式（共1小題）

48.己知△43C中，AB-AC=3?OA+OB+OC=0，貝U|0A|=

BC=2f

高三下解三角壓軸專題訓(xùn)練

參考答案與試題解析

一.幾何性質(zhì)或者三角轉(zhuǎn)化(共1小題)

1.AABC中，角A,B,C所對的三邊分別為小b,c,c=2b,若A43C的面積為1,則

8c的最小值是()

A.V3B.3C.2D.返

3

【分析】根據(jù)c=24由三角形的面積公式得5=4csinA=l①，結(jié)合余弦定理|BC|2=a2

2

=.+。2?2bccosA②，聯(lián)立①②可得/=5"?4戶8必=5-4cosA,令％=￡_=

2

sinAa

―辿逆——=-L＞必,:必可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸(―,0)與點(diǎn)(cosA,sinA)的斜

4

-4cosA+54cosA_|COSA4

44

率，作出圖象，即可得出答案.

【解答】解：???c=24△A5C的面積為1,

/.S=IcsinA=Z?2sinA=1,即從=―1_①，

2sinA

在△48C中，由余弦定理得出。2=d=廬陷一處axjsA,AE(0,ir),

/.|SC|2=(?=b1+^h1-462cosA=/(5-4cosA)②,

由①②得0。2=/=殳半至a,

sinA

設(shè)攵=工=.sinA=.工sinA,1nA可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P(9,0)與點(diǎn)(cosA,

a2-4COSA+548sA與8sA|4

sinA)的斜率，

且點(diǎn)(cosA,sinA)在/+)?=1的圓上，

當(dāng)過點(diǎn)尸(五，0)的直線與圓/+y2=l相切時，此時s1nA的值最小,

4cl

p2=7oP2-OQ2=/

nA1

(----------Z-)min=-lan/QPO=--L=-4

A5PQ3

cosA-4v

kmax=--X(--A)=』,

433

???/23,

故。2“，即8C的最小值是正,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查余弦定理和三角形的面積公式，考查轉(zhuǎn)化思想和類比思想，考查邏輯

推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

二.三角轉(zhuǎn)化（共1小題）

2.已知△A8C的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為〃，b,c.記△ABC的面積為S.若J=8S,

則2的最大值為（）

a

A.3+V2B.3+V3C.2+V5D.2+2遙

【分析】由題意利用三角形的面積公式，余弦定理可得/+序=2"（cosC+2sinC）,令上

a

=m,可得〃?+工=24點(diǎn)山（C+（p）W2低,當(dāng)且僅當(dāng)sin（C+（p）=1時取等號，可得

m

加2?易/1WO,解方程即可得解.

【解答】解：因?yàn)椤鰽BC的面積為S=LbsinC,又J=8S,

2

所以?=8Xl^bsinC=4abs\nC,

2

由余弦定理c1=a2+b2-2而cosC,

所以?2+/?2-2abcosC=4ahsinCf可得c?+序=2ab(cosC+2sinC),

所以且+上(C+(p),其中tan(p=—,

ba2

令衛(wèi)=機(jī)，則〃[+』=2d^sin(C+(p)當(dāng)且僅當(dāng)sin(C+(p)=1時取等號，

am

所以w2+1W2“可加，可得w2-2V5/H+1WO,解得-2WmWJ甘+2,

所以?虧-2W上Wj虧+2,即上的最大值為Jg+2.

aa

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積公式，余弦定理，兩角和的正弦公式以及正弦函數(shù)的

性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

三.三角轉(zhuǎn)化+幾何關(guān)系(共1小題)

3.在△ABC中，角4,B,C所對應(yīng)的邊分別為。，b,c,且28sA=〃(-cos。)，c=2,

。為4c上一點(diǎn)，AD：DC=\：3,則△ABC面積最大時，8。=_返

—2-

【分析】由2=c,結(jié)合三角形的正弦定理和三角函數(shù)的和差公式，可得b=&a，再由

三角形的海倫面積公式，化簡整理，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得三角形的面積取得

最大值時a的值，再由余弦定理計算可得所求值.

【解答】解：,.,2cosA=a(^2~cosC),c=2,

.\CCOSA=V2a-acosC,

:.由正弦定理可得sinCcosA+sinAcosC=^/~2sinA?

Asin(4+C)=sinB=V2sinA?

??b=y[2a，

由p=2+a+^~^生,p-^==—_,p-―p-h~————

2222

由三角形的海倫面積公式可得S△ABC=Vp(p-a)(p-b)(p-c)=

(2+a+V^a2+a-V^a2-a+V^aV^a-2+a

V2'2'2?2

=17[(2+a)2-2a2][2a2-(2-a)2]=[4a+(4-a2)][4a-(4-a2)]=

^V16a2-(4-a2)2=-j7-a4+24a2-16

=^/-(a2-12)2+128?

當(dāng)J=i2,即”=2/時，方=2泥，/XABC的面積取得最大值，

???。為AC上一點(diǎn),AD：DC=1：3,

???3亨

2

2224-*V-BD

:.由余弦定理可得cosA=b=24+與12-=-----

2bc2X2V6X22X2X華

解得80=逅■.

2

故答案為：運(yùn).

2

【點(diǎn)評】本題考查三角形的正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查二次函數(shù)的最

值求法，化簡運(yùn)算能力，屬于難題.

四.三角轉(zhuǎn)化+銳角處理（共2小題）

4.銳角△ABC中，若從=。Q+C）,則,si?A的取值范圍是（）

sin（B-A）

A.（0,返）B.（A,返）C.（X近）D.（0,返）

222222

【分析】由己知結(jié)合余弦定理及正弦定理先進(jìn)行化簡，然后結(jié)合和差角公式可得4,B

的關(guān)系，代入到所求式中，結(jié)合正弦定理及正弦函數(shù)的性質(zhì)可求.

2

【解答】解：銳角5c中，廬=。Q+c）=ac+af

由余弦定埋得Z?2=a2+c2-2ac（x）sB=ac+a2,

即。+24cos8=c,

由正弦定理得siiL4+2sirL4cosB=sinC=sin(A+8)=sinAcosB+sinBcosA,

化簡得sinA=sin(3-A),

因?yàn)殇J角△ABC中，A,BE(0,—),

2

所以

所以A=8-A或A+8-A=TT,

故8=2A或8=TT(舍)，

0<A<￡

所以，0<2A<-y,

0<H-3A<^-

解得2L〈A〈工，

64

則si：2A豆入=4m(工亞)

sin(B-A)sinA22

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，

屬于中檔題.

5.ZVIBC中，若4ac=/,sinA+sinC=psin8,且8為銳角，則p的取值范圍是（）

A.（1，V2）B.凈如）C.（當(dāng)，V3）D.（1,V3）

【分析】由siii4+sinC=〃sinB,由正弦定理可得：a+c=pb.由為銳角，可得0<cos8

<1.由余弦定理可得：b1=p1b1--^b2--1/>2COSB,化為p2=2+Los3,即可得出.

2222

【解答】解：VsinA+sinC=psinB,

?'.由正弦定理可得：a+c=pb,

???NB為銳角，

/.0<cosB<l.

由余弦定理可得：lr=cr+（r-2accosB=（a+c）2-2ac-2accosB=p2b2--I/?2-Z^cosB,

22

化為p2=—+-icosB,

22

p為正數(shù).

???P的取值范圍是匹,V2）.

2

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理、余弦定理、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力,

屬于中檔題.

五.易錯與tan化簡技巧（共1小題）

6.ZVIBC中，角A、B、。所對的邊分別是。、b、c,下面判斷錯誤的是（)

A.若siMA+si/BVsi/C,則三角形ABC是鈍角三角形

B.若則sinAAsinB

C.a=8,8=60°,若所求△ABC有兩個，則c?的取值范圍為(4%，長。)

D.AABC4..tanAtar|+tan|tan2+tan￡tanA=l

【分析】選項(xiàng)A,利用正弦定理化角為邊，再由余弦定理，推出C為鈍角，得解;

選項(xiàng)8,結(jié)合“大角對大邊”與正弦定理，可判斷;

選項(xiàng)C,由△ABC有兩個，知asinBC方V。，可得〃的取值范圍，再利用余弦定理，可得

c的取值范圍;

選項(xiàng)。，結(jié)合三角形的內(nèi)角定理與誘導(dǎo)公式，可得tan殳一，再由兩角和的

2)

F切公式,展開運(yùn)算.即可.

【解答】解：選項(xiàng)A,由正弦定理及sidA+si/BVsii?。，知/+方2<召，

2,,22

由余弦定理知，cosC=a+b~c<0,所以C為鈍角，故AABC是鈍角三角形，即選

2ab

項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)5,若A>B,則。>b,

由正弦定理知，一一=/—,所以sinA>sinB,即選項(xiàng)8正確；

sinAsinB

選項(xiàng)C,因?yàn)椤鰽BC有兩個，

所以asin5V〃〈小即8X返V6V8,所以4禽<〃<8,

2

由余弦定理知，b1=a2+c1-2?ccosB=64+c2-2^c*—=(r-8tH-64E(48,64),

2

解得0VcV8且cW4,即選項(xiàng)C錯誤；

選項(xiàng)。，因?yàn)锳+8+C=m

1AC

所以

29,AC、AC

tanky方)tan2'+tany

所以tan旦(tanA+tan￡)=I-tan—tanA,BptanA+^^A+tan—tan—+tan—tanA=I,故

22222222222

選項(xiàng)。正確.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，兩角和的正切公式是解題

的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

六.tan公式應(yīng)用（共1小題）

7.己知△ABC的三個角A,B,C的對邊分別為小b,c,滿足一—=——=~:—,

2cosA3cosB6cosC

則sin24=3^^.

一]0一

【分析】由題意，利用正弦定理可得』tanA=』tan8=LanC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與

236

三角恒等變換，求出tan4、即可求出cosA、siM的值，從而可求結(jié)論.

【解答】解：XABC中，——=~—=~—,由正弦定理知si—=si>=

2cosA3cosB6cosC2cosA3cosB

sinC

6cosC

即—tanA=LanB=LanC,

236

設(shè)tanA=2&,tan8=3億tanC=6&,且4>0,

由tan（A+8）=,tanA+tanB,

1-tanAtanB

得tanA+tan8=tan（A+B）?（1-tan人tan8）；

在△ABC中，tan（A+B）=-tanC,

tanA+tan5+tanC=（aiiA?lanB—anC,

可得k=F^,則tanA

63

又sin2A+cos2A=1，

兩邊都除以cos1A,得tan2A+l=——與一，

COS2A

又ian4>0,人為銳角，解得cusA=麗,?飛又=^^1,

20V20

:.sin2A=2sinAcos4=

10

故答案為：aZH.

10

【點(diǎn)評】本題考查了解三角形與三角恒等變換應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算與求解能力，是

難題.

七.tan化簡技巧（共3小題）

8.設(shè)小b,c分別是△ABC內(nèi)角4,B,。的對邊，若一」一，二二^依次成公差

tanAtanBtanC

不為0的等差數(shù)列，則（）

A.a,b,c依次成等差數(shù)列

B.a2,廬，■依次成等差數(shù)列

C.Va,Vb,正依次成等差數(shù)列

D.1,1,2依次成等差數(shù)列

abc

【分析】」_依次成公差不為0的等差數(shù)列，可得，_=

tanAtanBtanCtanB

二^+二^,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式、誘導(dǎo)公式、正弦定理與余弦

tanAtanC

定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：???二^,二'-依次成公差不為0的等差數(shù)列，

tanAtanBtanC

????2――----1---工?-----1---,

tanBtanAtanC

?2cosB=cosA上cosC

sinBsinAsinC

??

?'cosA'十.cosC'-IsinCcosA+cosCisnA-—'sin(A-K'?-)'sinB''

sinAsinCsinAsinCsinAsinCsinAsisnC

?2cosB_sinB

sinBsinAsisnC

???2cosBjsi?n2.Bp=i、2,

sinAsinCac

即2accosB=f,

Acr+c2-lr=lr,

.*.6Z2+C2=2Z>2,

???/,序,c2成等差數(shù)列，

因此只右〃正確.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式、誘導(dǎo)公式、

正弦定理與余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

9.設(shè)a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊，已知J=3(/?必),且tanC=3,

則角8的余弦值為返.

一21

2.

【分析】根據(jù)題意得J-02=J,且bv”；利用余弦和正弦定理得cosB=^遠(yuǎn)，利

33sinA

用三角形內(nèi)角和定理得tan>4=2tanB,代入tanC=3求出tanB和ccsB的值.

2

【解答】解:△ABC中，?=3(a2-b2),得$-序=￡-,且匕〈小

3

所以8為銳角；

122

2,2,2+C門n-r

因?yàn)閏os6=a+c-b=g-------

=2c=2sinCy

2ac2ac3a3sinA

即3sinAcos8=2sinC=2sin(A+8),

整理得sin4cosB=2cosAsinB,

則有tanA=2tanB；

又tanC=3,

所以tanE-(4+B)]=-tan(A+8)=tanA+tanB=2tanB+tanB=3,

tanAtanB-12tanB*tanB-l

化簡得2tan2B-tanB-1=0,解得tanB=1或tanB=--(不合題意，舍去)；

2

又3為銳角，

所以角8=2二

4

可得角B的余弦值為返.

2

故答案為：返.

2

【點(diǎn)評】本題考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換應(yīng)用問題，是

中檔題.

10.在△4BC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,2y=2/+/,當(dāng)tan(B-A)取

最大值時，角A的值為—.

一6一

【分析】2序=2/+自由正弦定理可得：2sin2B-2sin2A=sin2C,利用和差化積公式、和

差公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得tanB=31anA.4為銳角.代入tan(B

-A),化簡整理，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【解答】解：2后=廿+02,

由正弦定理可得：Zsi/B-2sin2/4=sin2C,

.'.2(sinB+sinA)(sinB-sinA)=sin2C,

和差化積：2X2sin^Aco^zA.X2cos^i^sin^A.=sin2C,

2222

A2sin(B+A)sin(B-A)=sin2C=sin2(8+A),sin(B+A)WO.

2sin(B-A)=sin(B+4),

化為：tanB=3lanA.4為銳角.

Atan(B-A)=,tanB-tanA=2tanA=_^----「==2-------=

2*1

1+tanBtanAl+3tanA去+3tanA2J3tanA--r

tanAVtanA

返，當(dāng)且僅當(dāng)tanA=返，即A=2L時取等號.

336

故答案為：

6

【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算

能力，屬于中檔題.

八.典型單條件問題：特殊化或者不等式處理（共5小題）

11.在△A3C中，角A,B,。所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,設(shè)△ABC的面積為S,則一—

a+4bc

的最大值為（）

A.亞B.返C.返D.返

16121618

1.A

0-z7）csinA

【分析】將'—利用面積公式和余弦定理展開可得力~A-------------,再運(yùn)用

a2+4bcb+c-2bccosA+4bc

1.

-z-sinA

基本不等式化簡為二------,最后結(jié)合輔助角公式即可求得/的最大值.

6-2cosA

【解答】解：由題意可得S=/bcsinA，

1.人

SqbcsinA萬bcsinA^bcsinA

-2----=F~~5------------'

a+4bcb+c-2bccosA+4bc2bc-2bccosA+4bc6bc-2bccosA

1.人

^sinA

6-2cosA

1.人

■z-sinA

令工------=/,

6-2cosA

可得_lsinA=6f-2rcosA,

2

/irtA+2/coS=6忘后小2,

???忘亞，

16

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形面積公式,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了構(gòu)造

函數(shù)法求最值，屬于中檔題.

12.在△43C中，角4,B,C的對邊分別為mb,c,設(shè)△ABC的面積為S,若3/=2廬+射,

則.s的最大值為_出_.

b2+2c224

【分析】由余弦定理求出COM和tanA的取值范圍，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.

【解答】解：由3/=2■+洛得3/=31?廬+3/?2。2,

則Z>2+2<?2=3(h^+c2-d2)=66ccosA,同時(?=—(2Z>2+c2),

3

222b2+c2-----

則c0sA=b2+c2-a2—bc-=b?+2c2t272b2c2=&

2bc2bc6bc6bc3

lb.人

S_2o01_bcsinA_bcsinA=tanA

b2+2c2b2+2c22(b2+2c2)12bccosA12

tanA=J=耳二W患=二Y畀，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

則―?_=tanA<V141

22

b+2c1224

故°S的最大值為義運(yùn),

22

b+2c24

故答案為：恒_

24

【點(diǎn)評】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，結(jié)合余弦定理以及基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解

決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng)，難度較大.

13.在銳角三角形ABC中，9tanXtanB+tanBtanC+tanCtanAMd'*ffl25.