上海市嘉定區(qū)嘉一中2025屆高考壓軸卷數(shù)學試卷含解析

上海市嘉定區(qū)嘉一中2025屆高考壓軸卷數(shù)學試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設命題p:>1,n2>2n,則p為（）A． B．C． D．2．已知等差數(shù)列{an}，則“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件3．某人用隨機模擬的方法估計無理數(shù)的值，做法如下：首先在平面直角坐標系中，過點作軸的垂線與曲線相交于點，過作軸的垂線與軸相交于點（如圖），然后向矩形內投入粒豆子，并統(tǒng)計出這些豆子在曲線上方的有粒，則無理數(shù)的估計值是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若曲線在點處的切線方程為，則實數(shù)的取值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．25．已知定義在上的偶函數(shù)，當時，，設，則（）A． B． C． D．6．已知將函數(shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關于對稱，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．7．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．《九章算術》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（）A． B． C． D．9．已知變量x，y間存在線性相關關系，其數(shù)據(jù)如下表，回歸直線方程為，則表中數(shù)據(jù)m的值為（）變量x0123變量y35.57A．0.9 B．0.85 C．0.75 D．0.510．若雙曲線的焦距為，則的一個焦點到一條漸近線的距離為（）A． B． C． D．11．設，滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知雙曲線的右焦點為F，過右頂點A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M點，MF的中點恰好在雙曲線C上，則C的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．高三（1）班共有56人，學號依次為1，2，3，…，56，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本，已知學號為6，34，48的同學在樣本中，那么還有一個同學的學號應為．14．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項積為，，（且），則__________.15．對定義在上的函數(shù)，如果同時滿足以下兩個條件：（1）對任意的總有；（2）當，，時，總有成立.則稱函數(shù)稱為G函數(shù).若是定義在上G函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________.16．的展開式中所有項的系數(shù)和為______，常數(shù)項為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求函數(shù)的最大值．18．（12分）如圖1，在等腰梯形中，兩腰，底邊，，，是的三等分點，是的中點.分別沿，將四邊形和折起，使，重合于點，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，，分別為，的中點.（1）證明：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖所示，在三棱錐中，，，，點為中點．（1）求證：平面平面；（2）若點為中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．20．（12分）已知函數(shù)，函數(shù).（Ⅰ）判斷函數(shù)的單調性；（Ⅱ）若時，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最小值.21．（12分）某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機芯片進行測評，該公司隨機調查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為五個小組（所調查的芯片得分均在內），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分數(shù)的平均數(shù)（同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試，該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。若3個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分，則認定該芯片不合格；若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測，二測時，2個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分，手機公司將認定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標準與手機公司對芯片的評分方法及標準都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元，每顆芯片若被認定為合格或不合格，將不再進行后續(xù)測試，現(xiàn)手機公司測試部門預算的測試經費為10萬元，試問預算經費是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．22．（10分）在如圖所示的四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.（1）求證：平面；（2）已知二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)命題的否定，可以寫出：，所以選C.2、C【解析】試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．解：在等差數(shù)列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數(shù)列{an}為單調遞增數(shù)列，若數(shù)列{an}為單調遞增數(shù)列，則a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調遞增數(shù)列”充分必要條件，故選C．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．3、D【解析】

利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積，進而利用幾何概型的概率公式得出關于的等式，解出的表達式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中，令，可得，則點，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.【點睛】本題考查利用隨機模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應用，同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域的面積，考查計算能力，屬于中等題.4、B【解析】

求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線方程通過f′（0），求解即可；【詳解】f（x）的定義域為（﹣1，+∞），因為f′（x）a，曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力．5、B【解析】

根據(jù)偶函數(shù)性質，可判斷關系；由時，，求得導函數(shù)，并構造函數(shù)，由進而判斷函數(shù)在時的單調性，即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，所以所以;當時，，則，令則，當時，，則在時單調遞增，因為，所以，即，則在時單調遞增，而，所以，綜上可知，即，故選：B.【點睛】本題考查了偶函數(shù)的性質應用，由導函數(shù)性質判斷函數(shù)單調性的應用，根據(jù)單調性比較大小，屬于中檔題.6、B【解析】

因為將函數(shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，可得，結合已知，即可求得答案.【詳解】將函數(shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，又和的圖象都關于對稱，由，得，，即，又，.故選：B.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對稱求參數(shù)，解題關鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象的特征，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.7、D【解析】

通過列舉法可求解，如兩角分別為時【詳解】當時，，但，故充分條件推不出；當時，，但，故必要條件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應用，屬于基礎題8、C【解析】

由題意知：，，設，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【詳解】解：由題意知：，，設，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為故選C.【點睛】本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎題.9、A【解析】

計算，代入回歸方程可得．【詳解】由題意，，∴，解得．故選：A.【點睛】本題考查線性回歸直線方程，解題關鍵是掌握性質：線性回歸直線一定過中心點．10、B【解析】

根據(jù)焦距即可求得參數(shù)，再根據(jù)點到直線的距離公式即可求得結果.【詳解】因為雙曲線的焦距為，故可得，解得，不妨??；又焦點，其中一條漸近線為，由點到直線的距離公式即可求的.故選：B.【點睛】本題考查由雙曲線的焦距求方程，以及雙曲線的幾何性質，屬綜合基礎題.11、C【解析】

首先繪制出可行域，再繪制出目標函數(shù)，根據(jù)可行域范圍求出目標函數(shù)中的取值范圍.【詳解】由題知，滿足，可行域如下圖所示，可知目標函數(shù)在點處取得最小值，故目標函數(shù)的最小值為，故的取值范圍是.故選：D.【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中目標函數(shù)的取值范圍的問題，屬于基礎題.12、A【解析】

設，則MF的中點坐標為，代入雙曲線的方程可得的關系，再轉化成關于的齊次方程，求出的值，即可得答案.【詳解】雙曲線的右頂點為，右焦點為，M所在直線為，不妨設，∴MF的中點坐標為.代入方程可得，∴，∴，∴（負值舍去）.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意構造的齊次方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義將56人按順序分成4組，每組14人，則1至14號為第一組，15至28號為第二組，29號至42號為第三組，43號至56號為第四組.而學號6,34,48分別是第一、三、四組的學號，所以還有一個同學應該是15+6-1=20號,故答案為20.14、【解析】

利用等比數(shù)列的性質求得，進而求得，再利用對數(shù)運算求得的值.【詳解】由于，，所以，則，∴，，.故答案為：【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質，考查對數(shù)運算，屬于基礎題.15、【解析】

由不等式恒成立問題采用分離變量最值法：對任意的恒成立，解得，又在，恒成立，即，所以，從而可得.【詳解】因為是定義在上G函數(shù)，所以對任意的總有，則對任意的恒成立，解得，當時，又因為，，時，總有成立，即恒成立，即恒成立，又此時的最小值為，即恒成立，又因為解得.故答案為：【點睛】本題是一道函數(shù)新定義題目，考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查了學生分析理解能力，屬于中檔題.16、3-260【解析】

(1)令求得所有項的系數(shù)和；(2)先求出展開式中的常數(shù)項與含的系數(shù)，再求展開式中的常數(shù)項.【詳解】將代入，得所有項的系數(shù)和為3.因為的展開式中含的項為，的展開式中含常數(shù)項，所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為：3；-260【點睛】本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特殊項問題，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

試題分析：由柯西不等式得試題解析：因為，所以．等號當且僅當，即時成立．所以的最大值為．考點：柯西不等式求最值18、（1）證明見解析（2）【解析】

(1)先證，再證，由可得平面，從而推出平面；(2)建立空間直角坐標系，求出平面的法向量與，坐標代入線面角的正弦值公式即可得解.【詳解】（1）證明：連接，，由圖1知，四邊形為菱形，且，所以是正三角形，從而.同理可證，，所以平面.又，所以平面，因為平面，所以平面平面.易知，且為的中點，所以，所以平面.（2）解：由（1）可知，，且四邊形為正方形.設的中點為，以為原點，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.設平面的法向量為，由得取.設直線與平面所成的角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明，直線與平面所成的角，要求一定的空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力，屬于基礎題.19、（1）答案見解析．（2）【解析】

（1）通過證明平面，證得，證得，由此證得平面，進而證得平面平面.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】（1）因為，所以平面，因為平面，所以．因為，點為中點，所以．因為，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）以點為坐標原點，直線分別為軸，軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，設平面的一個法向量，則即取，則，，所以，設平面的一個法向量，則即取，則，，所以，設平面與平面所成銳二面角為，則．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、(1)故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意得到的解析式和定義域，求導后根據(jù)導函數(shù)的符號判斷單調性．（Ⅱ）分析題意可得對任意，恒成立，構造函數(shù)，則有對任意，恒成立，然后通過求函數(shù)的最值可得所求．試題解析：（I）由題意得，，∴.當時，，函數(shù)在上單調遞增；當時，令，解得；令，解得.故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.（II）由題意知.，當時，函數(shù)單調遞增．不妨設，又函數(shù)單調遞減，所以原問題等價于：當時，對任意，不等式恒成立，即對任意，恒成立.記，由題意得在上單調遞減.所以對任意，恒成立.令，，則在上恒成立.故，而在上單調遞增，所以函數(shù)在上的最大值為.由，解得.故實數(shù)的最小值為．21、（1）（2）預算經費不夠測試完這100顆芯片，理由見解析【解析】

（1）先求出，再利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求這