2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)1.3全稱(chēng)量詞與存在量詞課時(shí)作業(yè)含解析北師大版選修2-1

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)3全稱(chēng)量詞與存在量詞時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類(lèi)——一、選擇題1．下列命題是特稱(chēng)命題的是(D)A．偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)B．正四棱柱都是平行六面體C．不相交的兩條直線是平行直線D．存在實(shí)數(shù)大于或等于3解析：含有存在量詞的命題叫作特稱(chēng)命題，故D“存在實(shí)數(shù)大于或等于3”是特稱(chēng)命題．2．若命題p：全部對(duì)數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，則p的否定為(C)A．全部對(duì)數(shù)函數(shù)都不是單調(diào)函數(shù)B．全部單調(diào)函數(shù)都不是對(duì)數(shù)函數(shù)C．存在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)D．存在一個(gè)單調(diào)函數(shù)不是對(duì)數(shù)函數(shù)3．下列命題：(1)至少有一個(gè)x，使x2＋2x＋1＝0成立；(2)對(duì)隨意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；(3)對(duì)隨意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；(4)存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全稱(chēng)命題的有(B)A．1個(gè) B．2個(gè)C．4個(gè) D．0個(gè)解析：(1)中的量詞“至少有一個(gè)”和(4)中的量詞“存在”都不是全稱(chēng)量詞，故這兩個(gè)命題不是全稱(chēng)命題．(2)、(3)中的量詞“隨意的”是全稱(chēng)量詞，所以這兩個(gè)命題是全稱(chēng)命題．故選B.4．下列命題中的假命題是(C)A．存在x∈R，lgx＝0 B．存在x∈R，tanx＝1C．隨意x∈R，x3＞0 D．隨意x∈R,2x＞0解析：本題主要考查全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題真假的推斷．對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)x<0時(shí)，x3<0，故C是假命題．5．命題“存在x0∈?RQ，xeq\o\al(3,0)∈Q”的否定是(D)A．存在x0??RQ，xeq\o\al(3,0)∈Q B．存在x0∈?RQ，xeq\o\al(3,0)?QC．隨意x??RQ，x3∈Q D．隨意x∈?RQ，x3?Q解析：本題考查量詞命題的否定改寫(xiě)．隨意x∈?RQ，x3?Q，留意量詞肯定要改寫(xiě)．6．“a≥0”是“存在x∈R，ax2＋x＋1≥0為真命題”的(C)A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：a≥0時(shí)，存在x∈R，ax2＋x＋1≥0；但存在x∈R，ax2＋x＋1≥0時(shí)，a<0也可以．7．已知命題p：對(duì)隨意x∈R，存在m∈R，使4x＋2xm＋1＝0.若命題p是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(C)A．[－2,2] B．[2，＋∞)C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)解析：由4x＋2xm＋1＝0，得－m＝eq\f(4x＋1,2x)＝2x＋eq\f(1,2x)≥2，解得m≤－2.8．已知a>0，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0滿(mǎn)意2ax0＋b＝0，則下列命題中為假命題的是(C)A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)C．對(duì)隨意x∈R，f(x)≤f(x0)D．對(duì)隨意x∈R，f(x)≥f(x0)解析：由題意知，x＝－eq\f(b,2a)為函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程，且x0＝－eq\f(b,2a)，又a>0，所以f(x0)為函數(shù)f(x)的最小值，即對(duì)全部的實(shí)數(shù)x，都有f(x)≥f(x0)．因此，“對(duì)隨意x∈R，f(x)≤f(x0)”是假命題，故選C.二、填空題9．下列語(yǔ)句：①能被7整除的數(shù)都是奇數(shù)；②|x－1|<2；③存在實(shí)數(shù)a使方程x2－ax＋1＝0成立；④等腰梯形對(duì)角線相等且不相互平分．其中是全稱(chēng)命題且為真命題的序號(hào)是④.解析：①是全稱(chēng)命題，但為假命題；②不是命題；③是特稱(chēng)命題．10．下列命題和命題“任給x∈R，x2>3”的表述意義相同的是②③.(填序號(hào))①有一個(gè)x∈R，使得x2>3；②每一個(gè)實(shí)數(shù)x，x2>3都成立；③對(duì)全部的x∈R，x2>3；④至少有一個(gè)x∈R，使得x2>3.解析：考查全稱(chēng)命題的不同表述方法．11．若命題“存在x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．解析：由題意知，不等式x2＋(1－a)x＋1<0有實(shí)數(shù)解，則對(duì)應(yīng)方程x2＋(1－a)x＋1＝0的根的判別式Δ＝(1－a)2－4>0，解得a>3或a<－1.三、解答題12．推斷下列命題是全稱(chēng)命題還是特稱(chēng)命題，并推斷其真假．(1)對(duì)數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；(2)至少有一個(gè)整數(shù)，它既能被2整除，又能被5整除；(3)隨意x∈{x|x是無(wú)理數(shù)}，x2是無(wú)理數(shù)；(4)存在x0∈Z，log2x0>0.解：(1)全稱(chēng)命題，真命題．(2)特稱(chēng)命題，真命題．(3)全稱(chēng)命題，假命題．例如，存在x＝eq\r(3)，但x2＝3是有理數(shù)．(4)特稱(chēng)命題，真命題．13．若命題“對(duì)隨意x∈R，關(guān)于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0都成立”為真命題，求a的取值范圍．解：當(dāng)a＝－1時(shí)，不等式不恒成立；當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式恒成立．當(dāng)a2－1≠0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1<0，,Δ＝a－12－4a2－1－1<0，))所以－eq\f(3,5)<a<1.所以a的取值范圍是(－eq\f(3,5)，1]．——實(shí)力提升類(lèi)——14．下列函數(shù)中，對(duì)隨意a∈R，都有f(a)＋f(－a)＝1成立的是(B)A．f(x)＝lneq\r(1＋x2) B．f(x)＝cos2(x－eq\f(π,4))C．f(x)＝eq\f(x－12,1＋x2) D．f(x)＝eq\f(2x,2x－1)解析：對(duì)于A,f(x)是偶函數(shù)，因此f(a)＋f(－a)＝2f(a)≠1，不滿(mǎn)意題意．對(duì)于B,f(x)＝eq\f(1＋cos2x－\f(π,2),2)＝eq\f(1,2)(1＋sin2x)，對(duì)隨意a∈R，都有f(a)＋f(－a)＝1成立，滿(mǎn)意題意．對(duì)于C，f(a)＋f(－a)＝eq\f(a－12,1＋a2)＋eq\f(－a－12,1＋a2)＝2≠1，因此不滿(mǎn)意題意．對(duì)于D，x＝0時(shí)，f(x)沒(méi)有意義．15．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的圖像過(guò)點(diǎn)(－1,0)，是否存在常數(shù)a，b，c，使得不等式x≤f(x)≤eq\f(1＋x2,2)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x均成立．解：假設(shè)存在常數(shù)a，b，c，使得不等式x≤f(x)≤eq\f(1＋x2,2)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x均成立．∵f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(－1,0)，∴a－b＋c＝0.①∵x≤f(x)≤eq\f(1＋x2,2)對(duì)一切x∈R均成立，∴當(dāng)x＝1時(shí)，也成立，即1≤a＋b＋c≤1，故有a＋b＋c＝1，②∴由①②得b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,2)－a，∴f(x)＝ax2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)－a.故由x≤ax2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)－a≤eq\f(1＋x2,2)對(duì)一切x∈R均成立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax2－\f(1,2)x＋\f(1,2)－a≥0，,1－2ax2－x＋2a≥0))恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1≤0，,Δ2≤0，,a>0，,1－2a>0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－4a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2