2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習第2章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第4講二次函數(shù)與冪函數(shù)創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE16-第4講二次函數(shù)與冪函數(shù)[考綱解讀]1.理解并駕馭二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)，能利用二次函數(shù)、二次方程與二次不等式之間的關(guān)系解決簡潔問題．(重點、難點)2．駕馭冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝xeq\f(1,2)的圖象，了解它們的改變狀況．(重點)[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講是高考中的一個熱點內(nèi)容．預(yù)料2024年高考對二次函數(shù)可能會干脆考查，也可能會與其他學(xué)問相結(jié)合進行考查，考查三個二次之間的關(guān)系、函數(shù)最值的求解、圖象的推斷等．在解答題中也可能會涉及二次函數(shù)．冪函數(shù)的考查常與其他學(xué)問結(jié)合，比較大小、圖象及性質(zhì)的應(yīng)用為重點命題方向.1.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：f(x)＝eq\x(01)ax2＋bx＋c(a≠0)．②頂點式：f(x)＝eq\x(02)a(x－m)2＋n(a≠0)．③兩根式：f(x)＝eq\x(03)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域RR值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在x∈eq\x(04)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在x∈eq\x(05)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線eq\x(06)x＝－eq\f(b,2a)對稱2．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如eq\x(01)y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象(3)常見的五種冪函數(shù)的性質(zhì)特征函數(shù)性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1定義域RRReq\x(02)[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增在(－∞，0]上減，在[0，＋∞)上增增增在(－∞，0)上減，在(0，＋∞)上減定點(0,0)，(1,1)(1,1)1．概念辨析(1)函數(shù)y＝2xeq\f(1,3)是冪函數(shù)．()(2)假如冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點肯定是原點．()(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不行能是偶函數(shù)．()(4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a確定了圖象的開口方向和在同始終角坐標系中的開口大?。?)答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小題熱身(1)若a<0，則0.5a,5a,A．0.2a<5a<0.5a B．5aC．0.5a<0.2a<5a D．5a答案B解析因為a<0，所以函數(shù)y＝xa在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又0.2<0.5<5，所以0.2a>0.5a>5a，即5a<(2)已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(2，eq\r(2))，則函數(shù)的解析式為________．答案f(x)＝xeq\f(1,2)解析設(shè)f(x)＝xα，因為函數(shù)f(x)的圖象過點(2，eq\r(2))，所以eq\r(2)＝2α，即2eq\f(1,2)＝2α，所以α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝xeq\f(1,2).(3)若二次函數(shù)y＝－2x2－4x＋t的圖象的頂點在x軸上，則t的值是________．答案－2解析y＝－2x2－4x＋t＝－2(x2＋2x)＋t＝－2[(x＋1)2－1]＋t＝－2(x＋1)2＋2＋t.因為此函數(shù)的圖象的頂點(－1,2＋t)在x軸上，所以2＋t＝0，所以t＝－2.(4)函數(shù)f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤3)的值域是________．答案[－3,1]解析因為f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，在[1,3]上單調(diào)遞減，又f(0)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－3，所以函數(shù)f(x)的值域為[－3，1]．題型一求二次函數(shù)的解析式已知二次函數(shù)f(x)滿意f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式．解解法一：(利用二次函數(shù)的一般式)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))故所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二：(利用二次函數(shù)的頂點式)設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線的對稱軸為x＝eq\f(2＋－1,2)＝eq\f(1,2).∴m＝eq\f(1,2)，又依據(jù)題意函數(shù)f(x)有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8.∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三：(利用兩根式)由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a又函數(shù)f(x)有最大值8，即eq\f(4a－2a－1－a2,4a)＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.條件探究1將本例中的“f(2)＝－1，f(－1)＝－1”改為“與x軸的兩個交點坐標為(0,0)和(－2,0)”，其他條件不變，試確定f(x)的解析式．解設(shè)f(x)＝ax(x＋2)．因為函數(shù)f(x)的最大值為8，所以a<0，且f(x)max＝f(－1)＝－a＝8，所以a＝－8，所以f(x)＝－8x(x＋2)＝－8x2－16x.條件探究2將本例中條件變?yōu)椋憾魏瘮?shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，在x軸上截得的線段長為2，且?x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，試確定f(x)的解析式．解因為f(2－x)＝f(2＋x)對x∈R恒成立，所以f(x)的對稱軸為直線x＝2.又f(x)的圖象在x軸上截得的線段長為2，所以f(x)＝0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又f(x)的圖象過點(4,3)，所以3a＝3，所以a所以f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)關(guān)鍵：恰當選取二次函數(shù)解析式的形式(2)選法已知條件解析式的形式三點坐標一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)頂點坐標頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)對稱軸最大(小)值與x軸兩交點的坐標兩根式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)1．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c滿意條件：①f(3－x)＝f(x)；②f(1)＝0；③對隨意實數(shù)x，f(x)≥eq\f(1,4a)－eq\f(1,2)恒成立，則其解析式為f(x)＝________.答案x2－3x＋2解析由①得，對稱軸方程為x＝－eq\f(b,2a)＝eq\f(3,2).由②得，a＋b＋c＝0.由③得，f(x)min＝eq\f(4ac－b2,4a)≥eq\f(1,4a)－eq\f(1,2)，且a>0.解得a＝1，b＝－3，c＝2.所以f(x)＝x2－3x＋2.2．如圖是二次函數(shù)y＝f(x)的圖象，若|OC|＝|OB|＝3|OA|，且△ABC的面積S＝6，求這個二次函數(shù)的解析式．解設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因為|OB|＝|OC|＝3|OA|，所以|AB|＝|OA|＋|OB|＝4|OA|，且4|OA|×3|OA|×eq\f(1,2)＝6，得|OA|＝1，所以A(－1,0)，B(3,0)，C(0,3)．將三點坐標代入方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝0＋0＋c，,0＝9a＋3b＋c，,0＝a－b＋c，))解得a＝－1，b＝2，c＝3.所以二次函數(shù)解析式為y＝－x2＋2x＋3.題型二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)角度1二次函數(shù)的圖象1．如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3,0)，對稱軸為直線x＝－1.給出下面四個結(jié)論：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正確的結(jié)論是()A．②④ B．①④C．②③ D．①③答案B解析∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于兩點，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，①正確；二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1,2a－b＝0，②錯誤；結(jié)合圖象知，當x＝－1時，y>0，即a－b＋c＞0，③錯誤；由對稱軸為直線x＝－1知，b＝2a，又函數(shù)的圖象開口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a<角度2二次函數(shù)的單調(diào)性2．(2024·河南中原名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在區(qū)間(－∞，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))答案D解析因為函數(shù)f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在區(qū)間(－∞，3)上是減函數(shù)，當a≠0時，a須滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a>0，,－\f(4a－3,2×2a)≥3，))解得0<a≤eq\f(3,4)；當a＝0時，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上是減函數(shù)．綜上可知，a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))).角度3二次函數(shù)的最值3．已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]內(nèi)的最大值為－5，則aA.eq\f(5,4) B．1或eq\f(5,4)C．－1或eq\f(5,4) D．－5或eq\f(5,4)答案D解析f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2－4a，對稱軸為直線x＝eq\f(a,2).①當eq\f(a,2)≥1，即a≥2時，f(x)在[0,1]上遞增，∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．②當0<eq\f(a,2)<1，即0<a<2時，f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝－4a.令－4a＝－5，得a＝eq\f(5,4).③當eq\f(a,2)≤0，即a≤0時，f(x)在[0,1]上遞減，∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2令－4a－a2解得a＝－5或a＝1(舍去)．綜上所述，a＝eq\f(5,4)或－5.故選D.角度4與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題4．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿意：當x≥0時，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)對隨意實數(shù)t恒成立，則實數(shù)mA．(－∞，－eq\r(2))B．(－eq\r(2)，0)C．(－∞，0)∪(eq\r(2)，＋∞)D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)答案A解析當x<0時，f(x)＝－f(－x)＝x3，∴f(x)＝x3(x∈R)，易知f(x)在R上是增函數(shù)，結(jié)合f(－4t)>f(2m＋mt2)對隨意實數(shù)t恒成立，知－4t>2m＋mt2對隨意實數(shù)t恒成立，即mt2＋4t＋2m<0對隨意實數(shù)t恒成立，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝16－8m2<0，))解得m∈(－∞，－eq\r(2))．5．當x∈(1,3)時，若不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是________．答案(－∞，－5]解析設(shè)f(x)＝x2＋mx＋4.因為x∈(1,3)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≤0，,f3≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋m≤0，,13＋3m≤0，))解得m≤－5，所以m的取值范圍是(－∞，－5]．1．識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會“三看”2．探討二次函數(shù)單調(diào)性的思路(1)二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對稱軸的兩側(cè)不同，因此探討二次函數(shù)的單調(diào)性時要依據(jù)其圖象的對稱軸進行分類探討．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A?eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A?\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))))，即區(qū)間A肯定在函數(shù)圖象對稱軸的左側(cè)(右側(cè))．如舉例說明2.3．二次函數(shù)最值問題的解法抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類探討的思想即可完成．如舉例說明3.4．與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立的條件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0.))(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,b2－4ac<0.))如舉例說明4.(3)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.(4)f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在(m，n)上恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm≤0，,fn≤0.))如舉例說明5.(5)f(x)＝ax2＋bx＋c>0(a<0)在[m，n]上恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0，,fn>0.))1．(2024·重慶五中模擬)一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標系中的圖象大致是()答案C解析若a>0，則一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，故可解除A；若a<0，一次函數(shù)y＝ax＋b為減函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，故可解除D；對于B，看直線可知a>0，b>0，從而－eq\f(b,2a)<0，而二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，故解除B，選C.2．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值為f(1)，則f(eq\r(2))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))，f(eq\r(3))的大小關(guān)系是()A．f(eq\r(2))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＜f(eq\r(3))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＜f(eq\r(2))＜f(eq\r(3))C．f(eq\r(3))＜f(eq\r(2))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))D．f(eq\r(2))＜f(eq\r(3))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))答案D解析因為二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值為f(1)，所以函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝1，因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)－1))＞|eq\r(3)－1|＞|eq\r(2)－1|，所以f(eq\r(2))＜f(eq\r(3))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))).3．(2024·陜西西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－1,2]C．[－1,2] D．[2,5]答案C解析∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴當x＝2時，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，∴要使函數(shù)在[m,5]上的值域是[－5,4]，則－1≤m≤2.4．已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))解析2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．當x＝0時，－3<0，成立；當x≠0時，a<eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,3)))2－eq\f(1,6)，因為eq\f(1,x)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，當x＝1時，右邊取最小值eq\f(1,2)，∴a<eq\f(1,2).綜上，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).題型三冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．若四個冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()A．d>c>b>a B．a(chǎn)>b>c>dC．d>c>a>b D．a(chǎn)>b>d>c答案B解析視察圖象聯(lián)想y＝x2，y＝xeq\f(1,2)，y＝x－1在第一象限內(nèi)的圖象，可知c<0，d<0,0<b<1<a.由圖象可知2c>2d，所以c>d綜上知a>b>c>d.2．若(2m＋1)eq\f(1,2)>(m2＋m－1)eq\f(1,2)，則實數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(－\r(5)－1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，＋∞))C．(－1,2) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，2))答案D解析因為函數(shù)y＝xeq\f(1,2)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，且(2m＋1)eq\f(1,2)>(m2＋m－1)eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋1≥0，,m2＋m－1≥0，,2m＋1>m2＋m－1，))解得eq\f(\r(5)－1,2)≤m<2.3．已知點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)是()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．定義域內(nèi)的減函數(shù) D．定義域內(nèi)的增函數(shù)答案A解析設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα，∵f(x)的圖象經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))α＝eq\r(3)，∴α＝－1.∴f(x)＝x－1，f(－x)＝(－x)－1＝－x－1＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．1．求冪函數(shù)的解析式冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式．如舉例說明3.2．冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系當α≠0,1時，冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象特征：α取值α>10<α<1α<0圖象特別點過點(0,0)，(1,1)過點(0,0)，(1,1)過點(1,1)凹凸性下凸上凸下凸單調(diào)性遞增遞增遞減舉例舉例說明1中，y＝xa舉例說明1中，y＝xb舉例說明1中，y＝xc，y＝xd3．冪函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)依據(jù)當α＞0時，冪函數(shù)f(x)＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當α＜0時，冪函數(shù)f(x)＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．(2)兩類應(yīng)用①比較大小；②解不等式，如舉例說明2.1．已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為()A．－3 B．1C．2 D．1或2答案B解析由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，經(jīng)檢驗只有n＝1符合題意，故選B.2．若冪函數(shù)f(x)＝xeq\f(m,n)(m，n∈N*，m，n互質(zhì))的圖象如圖，則()A．m，n是奇數(shù)，且eq\f(m,n)<1B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且eq\f(m,n)>1C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且eq\f(m,n)＜1D．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)，且eq\f(m,n)>1答案C解析由圖象可知，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以m是偶數(shù)，n是奇數(shù)．函數(shù)圖象在第一象限部分上凸，所以eq\f(m,n)＜1.3．已知a＝2eq\f(4,3)，b＝3eq\f(2,3)，c＝25eq\f(1,3)，則()A．b<a<c B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<a<b答案A解析因為a＝2eq\f(4,3)＝4eq\f(2,3)，c＝25eq\f(1,3)＝5eq\f(2,3)，而函數(shù)y＝xeq\f(2,3)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以3eq\f(2,3)<4eq\f(2,3)<5eq\f(2,3)，即b<a<c，故選A.組基礎(chǔ)關(guān)1．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,20))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,20)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)，0))答案C解析∵函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－4a×5<0，))解得a>eq\f(1,20).2．冪函數(shù)y＝xm2－4m(m∈Z)的圖象如圖所示，則mA．0 B．1C．2 D．3答案C解析由圖象知，m2－4m<0且m2－4m為偶數(shù)，結(jié)合四個選項可知，3．已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，2，\f(1,2)，3，\f(1,3)))，若f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)α的值是()A．－1,3 B.eq\f(1,3)，3C．－1，eq\f(1,3)，3 D.eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，3答案B解析因為f(x)＝xα為奇函數(shù)，所以α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，3，\f(1,3))).又f(x)＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3))).4．設(shè)abc>0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是()答案D解析由A中圖象知，a<0，c<0，－eq\f(b,2a)<0，所以b<0，與abc>0沖突；由B中圖象知，a<0，c>0，－eq\f(b,2a)>0，所以b>0，與abc>0沖突；由C中圖象知，a>0，c<0，－eq\f(b,2a)<0，所以b>0，與abc>0沖突；由D中圖象知，a>0，c<0，－eq\f(b,2a)>0，所以b<0，abc>0成立．5．(2024·吉林省試驗中學(xué)模擬)已知點(2,8)在冪函數(shù)f(x)＝xn的圖象上，設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜cC．b＜c＜a D．b＜a＜c答案A解析由點(2,8)在冪函數(shù)f(x)＝xn的圖象上，可得2n＝8，解得n＝3，所以f(x)＝x3.所以f(x)在R上是增函數(shù)．因為0＜eq\f(\r(3),3)＜eq\f(\r(2),2)＜1＜lnπ，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＜f(lnπ)，即a＜c＜b.6．已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(1)＝f(3)＞f(4)，則()A．a(chǎn)＞0,4a＋b＝0 B．a(chǎn)＜0,4a＋C．a(chǎn)＞0,2a＋b＝0 D．a(chǎn)＜0,2a＋答案B解析因為f(1)＝f(3)，則直線x＝2為對稱軸，故－eq\f(b,2a)＝2，則4a＋b＝0，又f(3)＞f(4)，所以f(x)在(2，＋∞)上為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象開口向下，所以a＜0.7．(2024·百色市摸底)已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)>0，f(p)<0，則必有()A．f(p＋1)＞0B．f(p＋1)＜0C．f(p＋1)＝0D．f(p＋1)的符號不能確定答案A解析該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為直線x＝－eq\f(1,2).f(0)＝c＞0，即拋物線在y軸上的截距大于0.因為圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(1,2)對稱，所以f(－1)＝f(0)＞0.設(shè)f(x)＝0的兩根為x1，x2，令x1＜x2，則－1＜x1＜x2＜0，依據(jù)圖象知，x1＜p＜x2，故p＋1＞0，f(p＋1)＞0.8．(2024·濰坊質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)為冪函數(shù)，且f(4)＝eq\f(1,2)，則當f(a)＝4f(a＋3)時，實數(shù)a等于________．答案eq\f(1,5)解析設(shè)f(x)＝xα，則4α＝eq\f(1,2)，所以α＝－eq\f(1,2).因此f(x)＝x－eq\f(1,2)，從而a－eq\f(1,2)＝4(a＋3)－eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,5).9．已知二次函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(4)＝4f(2)＝16，則函數(shù)f(x答案f(x)＝x2解析由題意可設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋c(a≠0)，則f(4)＝16a＋c＝16,4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c＝16，所以a＝1，c＝0，故f(10．(2024·南陽模擬)設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，則實數(shù)a的值為________．答案－3或eq\f(3,8)解析此函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝－1，當a>0時，圖象開口向上，所以當x＝2時取得最大值，即f(2)＝4a＋4解得a＝eq\f(3,8)；當a<0時，圖象開口向下，所以當x＝－1時取得最大值，即f(－1)＝a－2a解得a＝－3.故實數(shù)a的值為－3或eq\f(3,8).組實力關(guān)1．函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是冪函數(shù)，對隨意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿意eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若a，b∈R，且a＋b>0，則f(a)＋f(b)的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法推斷答案A解析∵對隨意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿意eq\f(fx1－fx2,x1－