【高考數(shù)學(xué) 題型方法解密】專題02“三招九型”輕松破解函數(shù)零點(diǎn)問題(原卷及答案)-高考數(shù)學(xué)常考點(diǎn) 重難點(diǎn)復(fù)習(xí)攻略（新高考專用）

專題02“三招九型。輕松破解函數(shù)零點(diǎn)問題

目錄

一重難點(diǎn)題型方法.....................................................1

〈第一招：數(shù)形結(jié)合〉.......................................................1

題型一：求函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)所在區(qū)間.........................................1

題型二：求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù).........................................3

題型三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍（不分參型）..............................4

題型四：比較零點(diǎn)的大小關(guān)系...............................................5

題型五：求函數(shù)零點(diǎn)的和...................................................6

＜第二招：分離參數(shù)〉.......................................................7

題型六：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍（分參型）.................................7

題型七：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)分布求零點(diǎn)代數(shù)式的取值范圍..........................8

〈第三招：轉(zhuǎn)化化歸〉.......................................................9

題型八：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)...............................................9

題型九：根據(jù)嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)......................................10

二針對性鞏固練習(xí)....................................................11

重難點(diǎn)題型方法

＜第一招：數(shù)形結(jié)合）

題型一：求函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)所在區(qū)間

【典例分析】

典例1-1.(2022?河北?邢臺一中高一階段練習(xí))已知/(x)在定義域上為單調(diào)函數(shù)，

對Vxe(0,4<o),恒有/(/(刈-嚏21)=1,則函數(shù)/(x)的零點(diǎn)是()

A.2B.1C.yD.

典例1-2.(2022?天津市南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高一階段練習(xí))已知函數(shù)

〃x)=L-log/,在下列區(qū)間中，包含/(“零點(diǎn)的區(qū)間是()

X

A.(0,1)B.(2,3)C.(3收)D.(1,2)

典例13(2022?貴州遵義?高一期中)若函數(shù)/(x)=/+x+/〃的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，

則〃?的取值范圍為()

A.[-6,-21B.(-6,-2)

C.(9,-6]5-2,y)D.(^c,-6)U(-2,+oo)

【方法技巧總結(jié)】

1.零點(diǎn)存在性定理:如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[〃封上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,

并且有/(a)./S)<0,那么函數(shù)y=/(x)在區(qū)間處〃)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c&(u,b)，使

得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程的根。

2.注意：①不滿足/⑷./sx。的函數(shù)也可能有零點(diǎn).②若函數(shù)/(x)在區(qū)間[?；厣系?/p>

圖象是一條連續(xù)曲線，則/(幻./(勿<。是/(X)在區(qū)間回內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條

件.

【變式訓(xùn)練】

廣+21rW0

1.（2022?河南?溫縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)f（x）=1J切；式，

則函數(shù)g（x）=/（l-M-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.

A.1B.2C.3D.4

2.（2022?北京市海淀區(qū)仁北高級中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)/（"=V+5x-7的零點(diǎn)所

在的區(qū)間可以是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

3.（2022?天津市南開區(qū)南大奧宇培訓(xùn)學(xué)校高三階段練習(xí)）函數(shù)

/（"=勿咋2工+々4+3在區(qū)間6J）上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.a<——B.a<——C.——<a<---D.a<——

22224

題型二：求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)

【典例分析】

典例2-1.（2022?廣東?惠州一中高一期中）函數(shù)〃］匚巴仙乂-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

典例2-2.（2021?陜西省神木中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)/（x）是定義在R上

的偶函數(shù),且〃x+2）=/（x）,當(dāng)OKxKl時(shí)，f（x）=xt設(shè)函數(shù)廉司=/'（"—瓶國，

則函數(shù)武”的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.6B.8C.12D.14

典例2?3.（2022?黑龍江?哈爾濱三中高一階段練習(xí)）若函數(shù)/（"的定義域?yàn)?/"-1）

為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，=則函數(shù)；的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.4

【方法技巧總結(jié)】

1.核心：函數(shù)的零點(diǎn)。方程的根。函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。兩函數(shù)交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)

2.流程：利用函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：①畫出函數(shù)/（x）的圖象，函數(shù)"X）的圖象與工軸

在給定區(qū)間上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)人制的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；②將函數(shù)”外拆成兩個(gè)圖象易

得的函數(shù)/心）和g（x）的差，即/。）=0等價(jià)于/心）=g（x）,則所求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函

數(shù)y=/心）和）,=g（x）的圖象在給定區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

3.注意：若能確定函數(shù)的氈調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所給函數(shù)是周期函數(shù)，則只

需求在一個(gè)周期內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【變式訓(xùn)練】

e'x>0

1.（2023?陜西西安?高三期末（理））已知函數(shù)/（切=:一八，若函數(shù)

-3x,x<0

g（r）=/（r）-/（x）,則函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.IB.3C.4D.5

2.（2022?安徽?高三階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/"）的圖象是連續(xù)不斷的

曲線，且〃x+2）+/（x）=/⑴J（x）在［0,2］上單調(diào)遞增，則/（“在區(qū)間［-100,100］上

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.100B.102C.200D.202

3.（2022?山東青島?高三期中）已知偶函數(shù)AM的定義域?yàn)椋╕>,0）U（0,y）,對任意

x>0,都有.=/且當(dāng)xc［L2）時(shí)，/（x）=sinxv,貝U函數(shù)g（x）=/（%）-Jog2以I+1

的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.14

題型三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍（不分參型）

【典例分析】

典例3-1.（2022.廣東?海珠外國語實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)

/（K）=i0g/-41a>（）且“1）在上無零點(diǎn)，在惇1）上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4的取值

范圍為（）

A.（。，］B.（>\（1，+8）C.（。』D.（'）

典例3-2.（2022?黑龍江?牡丹江市第三高級中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)

Inx-

---yX>0

Y

/W=Z/有4個(gè)不同零點(diǎn),則正實(shí)數(shù)。的范圍為（）

sin169X+—1,-7C<X0

「913、n(913、廠（9131e「913-

AA.[1京B.匕力C.D.-^―

【方法技巧總結(jié)】

L技巧：分類討論參數(shù)的不同取值情況，研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或取值。核心思想還

是數(shù)形結(jié)合，需結(jié)合帶參討論。

【變式訓(xùn)練】

1.(2021.河南?安陽一中高一期末)已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(2-力+/(x)=0,

當(dāng)時(shí)，/(x)=-log2x,若函數(shù)尸(x)=〃x)-sin(7D：),在區(qū)間[-1,向上有10個(gè)

零點(diǎn)，則〃?的取值范圍是()

A.[3.5,4)B.(3.5,4]C.(5,5.5]D.[5,5.5)

(x-2)ln(x+1),-1<x<加,

2.(2022?江西?高三階段練習(xí)(理))已知〃?>0,函數(shù)/*)=，L吟,

cos3x+—,〃？<工4兀，

I4J

恰有3個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是()

7i5兀)F_3nA「7c57iAF_3兀]—5nY3兀1一f_5兀)3n

A

-[k五JBIJB.[談五卜[2,不仁.I。，F(xiàn)Jp彳)D.12，Tj

題型四：比較零點(diǎn)的大小關(guān)系

【典例分析】

典例4-1.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)

/(1)=2'+2X送(6=108/+2乂〃(1)=3'+21的零點(diǎn)分別為.也(',則a,〃,c的()

A.h>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>c

典例4-2.（2022?福建泉州?高一階段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)。也。分別滿足

ar=/?10g3/?=cl0g2C=l,則4,1C的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>c>b

【方法技巧總結(jié)】

L技巧：觀察所屬函數(shù)，并畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小進(jìn)而判

斷所求數(shù)的大小關(guān)系。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x+V,g（x）=x+3,,/z（x）=x+log3x

的零點(diǎn)分別為玉，巧，當(dāng)，則為，4，看的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

A.x,>>x}B.x3>x2>C.X,>x2>x3D.x,>>x2

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)。也。滿足2-“=1n（a+l）2=log.",2Y=lnc,則

（）

A.c<b<ciB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

題型五：求函數(shù)零點(diǎn)的和

【典例分析】

典例5-1.（2022?江西?上高二中高二階段練習(xí)（文））函數(shù)）（月二小以心升一、，則

X—1

）可（"的圖象在（-2,4）內(nèi)的零點(diǎn)之和為（）

A.2B.4C.6D.8

典例5-2.(2022?江蘇?常熟中學(xué)高三階段練習(xí))定義在R上的函數(shù)/(“滿足

/(-x)+/(x)=0,/(-A)=/(X+2)；且當(dāng)xe[0,l]時(shí),f(x)=xi-x2+x.則方程

”0+2=()所有的根之和為()

A.6B.12C.14D.10

【方法技巧總結(jié)】

1.零點(diǎn)之和需要掌握的方法：

(1)函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用：根據(jù)條件中函數(shù)滿足的關(guān)系式推導(dǎo)函數(shù)的奇偶性、對稱

性、周期性和在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并運(yùn)用性質(zhì)求零點(diǎn)和；

(2)數(shù)形結(jié)合：根據(jù)給定區(qū)間的函數(shù)解析式作圖，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)補(bǔ)全剩余

圖象；

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?福建省福州第二中學(xué)高二期末)函數(shù)/(M=sinG-ln|2.L3|的所有零點(diǎn)之

和為()

A.9B.6C.4.5D.3

2.(2022?云南云南?模擬預(yù)測)已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(?=/(2r),當(dāng)

xw[0,1]時(shí),/(幻=x.函數(shù)g(x)=<x<3),則f3與g(x)的圖像所有交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)之和為()

A.3B.4C.5D.6

＜第二招：分離參數(shù)）

題型六：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍（分參型）

【典例分析】

典例6-1.（2021.天津.高一期末）定義在R上的函數(shù)/（幻滿足+=且

當(dāng)L1）時(shí)，/⑶”：廿J：）一"""。，若在區(qū)間。5]上函數(shù)g）=/（力-〃恰

有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為（）

A.B,[-00,C.D.（H

3）\5\5J135yl

典例6-2.（2022?黑龍江?賓縣第二中學(xué)高一期中）已知函數(shù)尸工，若函

,川41

數(shù)g（x）="r）一?有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為（）

A.（0,+8）B.（0,1）C.[1,+oo）D.[1,2）

【方法技巧總結(jié)】

1.已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角

坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022.北京?高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)/⑸二;二，或\若函數(shù)g(x)=f&)-a

存在兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(F,O)B.(-co,l)C.(0.1)D.(1,-w)

2.(2021?陜西?安康市教學(xué)研究室一模(理))己知函數(shù)/(幻=，21；。："："。，若函

e-l,x<0

數(shù)8(力=/@)-眉刈(壯陽恰有3個(gè)零點(diǎn),則攵的取值范圍是()

A.(L2)B.[1,2JC.(0,2)D.(-U)

3.(2022?四川省德陽中學(xué)校高二開學(xué)考試)定義在R上的偶函數(shù)/")滿足對任意

的xeR,都有/(l+x)=/(3-x),當(dāng)工?(),2］時(shí)，/(6=”^了，若函數(shù)y=/(H-依

在xe(0,+00)上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)攵的取值范圍為()

'屈姮]「叵巫

A?博用行'7T?寶’TT

\/L

題型七：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)分布求零點(diǎn)代數(shù)式的取值范圍

【典例分析】

典例7-1.(2022.浙江?溫州市第八高級中學(xué)高一期中)設(shè)函數(shù)盛

若關(guān)于x的方程/（X）=，有四個(gè)實(shí)根%,9,不，兀1（X<玉〈當(dāng)<Z），則N+占+2上+-x4的

最小值為（）

1917

A.yB.yC.10D.9

sin7TX,0<x<1

典例7-2.（2022?貴州?凱里一中高一開學(xué)考試）已知函數(shù)/⑺=若

.4

有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)。、b、c,且/（a）=/（〃）=/（c）,則a+Hc的取值范圍是（）

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧：解決此題的關(guān)鍵是作出函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)為方

程的根進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)利用二次函數(shù)的對稱性

及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及不等式的性質(zhì)即可求解.

【變式訓(xùn)練】

log,.x,(x>0)

1.（2021?安徽?高一階段練習(xí)）已知函數(shù)/"）=且玉<x2<x3〈天時(shí),

/+2缶+3,(%4。)

小）=/（6/⑹“）則之吞泮取值范圍為（

)

1

A.-,8B.[2,-KO)C.(4,北)D.[-64,Y)

14.

Iior|0<r<10

2.（2。22?安徽省懷寧縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/（］）=■=。,若

a，b,c互不相等,且f(a)=/?=〃c),則出的取值范圍是()

A.(MO)B.(Ml)C.(10,11)D.(10,+oo)

<第三招：轉(zhuǎn)化化歸)

題型八：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

【典例分析】

典例8-1.(2022?安徽?六安一中高一期中)若函數(shù)。則關(guān)于x的方

-x-,x<0

程2[/37+/(x)-1=0有()實(shí)根.

A.6個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【方法技巧總結(jié)】

L分類：嵌套函數(shù)分為：“二次嵌套型“y二a[f[x)]2+bf(x)+c與“自嵌套

型“

2.技巧：利用換元的思想將函數(shù)轉(zhuǎn)化為內(nèi)外函數(shù)，并畫出內(nèi)外函數(shù)的圖象，利

用數(shù)形結(jié)合，將問題化歸為單個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題。需注意的是內(nèi)外函數(shù)的

自變量的區(qū)別與關(guān)系。

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/("=丁-3凡則函數(shù)/?(x)=/[/(x)]-c,

cw[-2,2]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)()

A.5或6個(gè)B.3或9個(gè)C.9或10個(gè)D.5或9個(gè)

題型九：根據(jù)嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

【典例分析】

x2ev,x<1

r

典例9-1.（2022?安徽?合肥一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)〃工）=[e3，若關(guān)于x

的方程［/（力了-2好"）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

x+2a,x<0,

典例9-2.（2020?安徽省泗縣第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)/*）=

x2-av,x>0.

若函數(shù)g（x）=/（/。））恰有8個(gè)零點(diǎn)，則。的值不可能為（）

A.8B.9C.10D.12

【方法技巧總結(jié)】

1.技巧：通過分解為內(nèi)外函數(shù)，配合數(shù)形結(jié)合的思想求解參數(shù)范圍，遇見難的

函數(shù)可以配合求導(dǎo)完善圖象。

【變式訓(xùn)練】

1.（2022.廣西.桂林市第五中學(xué)高三階段練習(xí)（文））己知定義在R上的函數(shù)y=f（x）

2sin—^,0<x<1

9

是偶函數(shù)，當(dāng)XNO時(shí)，/"）二門、X,若關(guān)于X的方程

⑴-+-2,X>1

[”力了+/（\）+〃=。（。，此2，有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.卜,4B.

X4-I,X<0

2.（2023?重慶?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/"）=1八，若關(guān)于x的方程

x——,x>0

x

/2（X）+（〃L4）/（X）+2（2-⑼=0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是（）

A.[1,3）B.（0,2）C.[1,2）D.（0,1）

針對性鞏E3練習(xí)

練習(xí)一：求函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)所在區(qū)間

1.（2022?浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一期中）已知“X）是定義域?yàn)椋?,轉(zhuǎn)）的單調(diào)函數(shù),

若對任意的工?0,切），都有/卜（“-1鳴刃=3,貝J函數(shù)1y=2?。?1的零點(diǎn)為（）

A.：B.C.2D.3

23

2.（2022?廣東?廣州市第九十七中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)"x）=lgx+2x-5的零點(diǎn)所

在的區(qū)間是（）

A.(OJ)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

3.（2021?江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)y=2內(nèi)+〃-】在（0,1）上存在零點(diǎn),

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.0<?<1B.。<?；駽.a>ID.或。>0

練習(xí)二：求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)

4.（2022?陜西?渭南市瑞泉中學(xué)高三階段練習(xí)（理））函數(shù)/0）=sin（x+￡|-|lgx|零點(diǎn)

的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

5.（2022?河南?新安縣第一高級中學(xué)高三開學(xué)考試｛文））已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)

Ax）的圖像是連續(xù)不間斷的曲線,且f（x+2）+/（x）=/（l）,對任意的否.占eJ2,0L

西,占，/（%）］〃占）>0恒成立,則“X）在區(qū)間［TOOJOO］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

%一%

A.100B.102C.200D.202

6.（2022.上海市七寶中學(xué)高三期中）定義域?yàn)镽的函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線x=l對

稱，當(dāng)時(shí)，f（x）=xt且對任意xeR只有〃x+2）=—/（x）,

則方程履力-g（-）=。實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）

A.2024B.2025C.2026D.2027

練習(xí)三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍（不分參型）

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/。）=不一”：[|恰有2個(gè)零點(diǎn)，則。的取值

范圍是（）

A.（f，l）B.（0,2）C.（。，+8）D.U，2）

8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若方程〃r-x-〃2=0（心。，且加工1）有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)

根，則“的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（2,+8）C.（0,1）（2,+oo）D.。，+8）

練習(xí)四：比較零點(diǎn)的大小關(guān)系

9.（2021?江蘇?無錫市市北高級中學(xué)高一期中）知函數(shù)=7,gM=x-2-（^yf

h（x）=xy-x（x>0）,方程f（x）=0,gM=0,人（x）=0的根分別為a,b,c,則a,b,

c的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.b>a>c

1

10.（2022?山東濰坊?高三期末）已知2"=14丁，=log.b（I]=iog2c,則?）

A.a<b<cB.h<a<cC.c<a<bD.c<h<a

練習(xí)五：求函數(shù)零點(diǎn)的和

11.（2023.全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（司=1-（i）sinx在區(qū)間卜冷與上的所有

零點(diǎn)之和為（）

A.0B.2乃C.4萬D.6不

12.（2022.北京大興.高一期中）已知/（6為定義在1t上的奇函數(shù),且/（力=/（2-耳,

當(dāng)x?O,l］時(shí)，f(x)=xt則當(dāng)3,5］時(shí)，/")=』的所有解的和為()

乙

911

A.4B.-C.5D.—

22

練習(xí)六：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍（分參型）

\/x-\,x>0,

13.（2022.全國?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/（'）=i,八若函數(shù)8（"=/（工）-k有

—x-+x,x<0.

.4

2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)攵的取值范圍是（）

A.（0,-HX））B.（0,田）3-1}C.[0,-RX））D.（―1，田）

14.（2022?廣西北海?高二期末（文））已知函數(shù)/（4）=,若函數(shù)

（X-2）3,X<3

g（x）=/（x）+2Z-米恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.（e,0）50J）B.[1,位）C.（1,+制D.（0,1）

練習(xí)七：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)分布求零點(diǎn)代數(shù)式的取值范圍

15.（2022?吉林?長春市第五中學(xué)高二期末）己知函數(shù)=[史^乩:黃八，函數(shù)

工+4工+1,月,0

P（M=/（X）-匕有四個(gè)不同的零點(diǎn)4，々，巧，/，且滿足：X1<X2<X3<X4,則下列

結(jié)論中不正確的是（）

A.0<Z?<lB.<1C.A-+x2=-4D.=1

16.（2022?河南?鄭州十九中高二開學(xué)考試）已知函數(shù)=若方程

4

/(x)=上有4個(gè)不同的根毛，巧，尤3，%，且內(nèi)<9〈當(dāng)〈七，貝1」17一犬4(內(nèi)+工2)的取

X3X4

值范圍是()

A.[4x/2,6)B.[2,472)C.(2,4V2]D.[4?9]

練習(xí)八：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

3-x2-2x,x<],

17.(2022?遼寧?昌圖縣第一高級中學(xué)高二期末)已知函數(shù)/(x)=4c1則

x+一一2,x>l,

.x

函數(shù)y=/(/(x))-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

練習(xí)九：根據(jù)嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

18.(2022?安徽?合肥一中高一階段練習(xí))已知函數(shù)小)=匕2}4：若方程

2-Lx>U,

—伍+[“t)+左=0有三個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)々的取值范圍是()

B.XZ=0或攵之;

A.'kk<^-C.42=0或D.'kk<--

3

19.(2022?江蘇?南京師大附中高一階段練習(xí))設(shè)，〃是不為()的實(shí)數(shù)，已知函數(shù)

/(X)=F：T”,2,若函數(shù)RX)=2(/“))2-〃〃x)有7個(gè)零點(diǎn)，則〃?的取值

x--10x+24,x>2

范圍是()

A.(-2,0)o(0,l6)B.(0,16)C.(0,2)D.(-2,0)U(0,-HO)

專題02“三招九型。輕松破解函數(shù)零點(diǎn)問題

目錄

一重難點(diǎn)題型方法.........................................................1

〈第一招：數(shù)形結(jié)合〉.......................................................1

題型一：求函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)所在區(qū)間.........................................1

題型二：求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù).........................................5

題型三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍（不分參型）.............................10

題型四：比較零點(diǎn)的大小關(guān)系..............................................14

題型五：求函數(shù)零點(diǎn)的和..................................................17

＜第二招：分離參數(shù)〉......................................................20

題型六：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍（分參型）...............................20

題型七：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)分布求零點(diǎn)代數(shù)式的取值范圍.........................24

〈第三招：轉(zhuǎn)化化歸〉......................................................29

題型八：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)..............................................29

題型九：根據(jù)嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)......................................31

二針對性鞏固練習(xí)........................................................36

重難點(diǎn)題型方法

＜第一招：數(shù)形結(jié)合）

題型一：求函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)所在區(qū)間

【典例分析】

典例1-1.（2022?河北?邢臺一中高一階段練習(xí)）已知/（X）在定義域上為單調(diào)函數(shù)，

對Vxe（0,4<o）,恒有/（/（刈-嚏21）=1,則函數(shù)/（x）的零點(diǎn)是（）

A.2B.1C.yD.

【答案】C

【分析】先根據(jù)/W單調(diào)，結(jié)合已知條件求出/（力的解析式，然后再進(jìn)一步研究函

數(shù)人力的零點(diǎn).

【詳解】解：因?yàn)?（'）是定義域?yàn)椋ā?，口）的單調(diào)函數(shù)，且對任意的x<0，yo）,

都有/[/（x）Tog2x]=L

故可設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)。?0，a），使得/（。）=1,

則設(shè)f（力Tog2%=%所以f（x）=log2x+at

所以/（a）=log24+4=l,則1。即"一1-4，

由于函數(shù)）=log2X在（0，+。）上單調(diào)遞增，函數(shù)y=17在（0,m）上單調(diào)遞減，

又k>g2]=0=l-l,所以0=1,

故/（x）=log2X+l,再令/（力=噢2工+1=。，xe（0,”），

解得：A=l,故函數(shù)/（切的零點(diǎn)是，

故選：C.

典例1-2.（2022.天津市南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)

/（x）=l-log2x,在下列區(qū)間中，包含/（“零點(diǎn)的區(qū)間是（）

X

A.(0,1)B.(2,3)C.(3,+<?)D.(1,2)

【答案】D

【分析】利用零點(diǎn)存在定理可判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間.

【詳解】因?yàn)槭ぴ?0.+8)上為減函數(shù)，尸1叫工在(o，y)上為增函數(shù)，

故“X)在(0，y)上為減函數(shù)，

?/(l)=l-log2l=l>0,/(2)=l-log22=-1<0,

故/(X)的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)中，

故選：D.

典例1-3.(2022?貴州遵義?高一期中)若函數(shù)/(幻=]2+”+旭的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),

則〃?的取值范圍為()

A.[-6,-2]B.(-6,-2)

C.(9,-6]3-2,內(nèi))D.(^c,-6)U(-2,+oo)

【答案】B

【分析】因?yàn)?'(力在。，2)上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)的存在性定理知要使在(1,2)上存

在零點(diǎn)，需要滿足]；：；；：；，求得”的取值范圍.

【詳解】因?yàn)槿肆υ?。?)上單調(diào)遞增，且/("的圖象是連續(xù)不斷的，

/(I)=1+1+/n<0

所以《解得-6<〃?<-2.

/⑵=4+2+〃?>0

故選：B.

【方法技巧總結(jié)】

1.零點(diǎn)存在性定理:如果函數(shù))，=f(x)在區(qū)間[。向上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,

并且有/(4)?/S)<o,那么函數(shù)y=/(X)在區(qū)間(&〃)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在cw(a,〃)，使

得八。)=。，這個(gè)c也就是方程的根。

2.注意：①不滿足/“)./(>)<。的函數(shù)也可能有零點(diǎn).②若函數(shù)/(X)在區(qū)間［出句上的

圖象是一條連續(xù)曲線，則f(a)、f(b)<0是/(X)在區(qū)間［a,b］內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條

件.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?河南?溫縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)［訓(xùn);其，

則函數(shù)g(x)=/(l-x)-l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為().

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】通過解法方程g(x)=。來求得g。)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】由g")=0可得"17)=1.

當(dāng)xKO時(shí)，x2+2x=I=>x=-l-\/2,或4=一1+&(舍去)，

當(dāng)x>0時(shí)，|lgR=l=x=10或x=

故l-x=-l-/nx=24■/是g")的零點(diǎn)，

l-x=10nx=-9是g(x)的零點(diǎn)，

1一-“mnx=歷是8(工)的零點(diǎn).

綜上所述，g(x)共有3個(gè)零點(diǎn).

故選：C

2.(2022?北京市海淀區(qū)仁北高級中學(xué)高一階段練習(xí))函數(shù)/(力=丁+5工-7的零點(diǎn)所

在的區(qū)間可以是()

A.(OJ)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【分析】利用零點(diǎn)存在性定理，可得答案.

【詳解】7(0)=-7<0,/(1)=1+5-7=-1<0,/(2)=84-10-7=11>0,

/(3)=27+15-7=35>0,/(4)=64+20-7=77>0,

山/⑴/(2)<0,則函數(shù)/(x)的零點(diǎn)存在的區(qū)間可以是(1,2),

故選：B.

3.(2022?天津市南開區(qū)南大奧宇培訓(xùn)學(xué)校高三階段練習(xí))函數(shù)

/(x)=2alo&x+a4+3在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

|3

A.a<——B.a<——

22

-31n3

C.—<a<——D.a<——

224

【答案】D

【分析】分析可知函數(shù)/W在區(qū)間上單調(diào)，利用零點(diǎn)存在定理可得出

關(guān)于實(shí)數(shù)〃的不等式，解之即可.

【詳解】當(dāng)斫0時(shí)，/(-v)=3,不合乎題意.

當(dāng)。>0時(shí)，由于函數(shù)—Mx、y=a?4'+3在3)上均為增函數(shù)，

此時(shí)函數(shù)/(力在仁/，上為增函數(shù).

當(dāng)a<0時(shí)，由于函數(shù)丁=2川。8］、y=a4+3在上均為減函數(shù)，

此時(shí)函數(shù)“可在上為減函數(shù).

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）在區(qū)間刖上有零點(diǎn),則嗎卜（1）＜0,

即3（4a+3）v0,解得

故選：D.

題型二：求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)

【典例分析】

典例2-1.（2022.廣東?惠州一中高一期中）函數(shù)/（6=日1.-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為g（x）與〃（弓的圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出圖像即可得解.

【詳解】因?yàn)樾。?叫回一2,令/（司=0,則叫出一2=0,即|1間二2邛

令g（x）=|lnx|,則g（x）的圖像是），=lnx的圖像保留］軸上方的圖像，同時(shí)將1軸下方

的圖像沿著x軸向上翻折得到的圖像，如圖所示，

令/心?）=21，則碎）的圖像是），=［的圖像的縱坐標(biāo)擴(kuò)大2倍，橫坐標(biāo)保持不

變得到的圖像，如圖所示，

所以g（x）與網(wǎng)力的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即/（力=。,|1間-2有兩個(gè)零點(diǎn).

故選：C.

y

^11

典例2-2.(2021?陜西省神木中學(xué)高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)“X)是定義在R上

的偶函數(shù),且〃x+2)=/(x),當(dāng)OKxKl時(shí)，/(x)=x,設(shè)函數(shù)g(x)"(x)Tog7此

則函數(shù)晨力的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.6B.8C.12D.14

【答案】C

【分析】由已知可得函數(shù)〃幻的周期，作出兩函數(shù)與)，=1/7國在(0,依)上的

部分圖象，數(shù)形結(jié)合可得兩函數(shù)在(。，+劃上的交點(diǎn)公式，再根據(jù)對稱性得答案.

【詳解】解：函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以/(-)=/(",且〃x+2)=f(%)

所以/(T)=/(X+2),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于”=1對稱，

函數(shù)8(*)=/(“)-1。8/|乂的零點(diǎn)即為/")=1。8/國的根，

又函數(shù)/(%)滿足〃"+2)=〃力,則"")的周期為2,

函數(shù)廣/⑴與)，二唾7兇的圖象都關(guān)于y軸對稱，

作出兩函數(shù)在(()，+8)上的部分圖象如圖：

y\

y=f(r)

由圖可知，兩函數(shù)在(。,y)上仃6個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對稱性可得,

g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為12.

故選：c.

典例2-3.（2022?黑龍江貽爾濱三中高一階段練習(xí)）若函數(shù)/（力的定義域?yàn)镽/（.r-l）

為偶函數(shù)，當(dāng)xN-l時(shí)，/W=|3^-l|,則函數(shù)g（x）=〃x）-g的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】令37—120解得xWO,令3、一1<0解得x>0,

/(x)=|3--l|=.

所以當(dāng)xN-I時(shí),

/（X-1）為偶函數(shù)，所以/（X-1）的圖象關(guān)于7軸對稱,

所以/（X）的圖象關(guān)于直線X=-1軸對稱，

故作出了（X）的圖象如下，

令屋力=〃x）Y=。，即/'（力=白

由圖象n].知，/（x）的圖象與），=1的圖象共有四個(gè)交點(diǎn),

所以函數(shù)g（x）=/（x）-g的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).

故選:D.

【方法技巧總結(jié)】

L核心：函數(shù)的零點(diǎn)。方程的根。函數(shù)圖象與工軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)o兩函數(shù)交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)

2.流程：利用函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：①畫出函數(shù)/(幻的圖象，函數(shù)/J)的圖象與x軸

在給定區(qū)間上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；②將函數(shù)"X)拆成兩個(gè)圖象易

得的函數(shù)加幻和g(x)的差，即/*)=0等價(jià)于/心)=以幻，則所求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函

數(shù)丁=KD和_y=^r)的圖象在給定區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

3.注意：若能確定函數(shù)的西調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所給函數(shù)是周期函數(shù)，則只

需求在一個(gè)周期內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【變式訓(xùn)練】

9r>()

1.(2023?陜西西安?高三期末(理))已知函數(shù)/(力二；"八，若函數(shù)

-3x,x<0

g(x)=/(-x)-/(x),則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.3C.4D.5

【答案】D

3x-e\x>0

【分析】本題首先通過函數(shù)奇偶性求出gW=0/=。，再利用導(dǎo)數(shù)研究其在

e'+3x,x<0

(0,+動上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，f<0,/(-A)=3A

x

當(dāng)xvO時(shí)，T>0,f(-x)=e~

3x-e\x>0

=f(-x)-f(x)=^0,x=0,

ev+3x,x<0

g(T)=/(x)-f(r)=-g*),且定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，故g(x)為奇函數(shù),

所以我們求出X>()時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可,

^(x)=3x-ev,x>0,^>(A)=3-e'>0,令，(x)=3-e，>0,解得0<x<1n3,

故g(x)在(01n3)上單調(diào)遞增，在W3收)單調(diào)遞減，

且g(In3)=31n3-3>0,而g(2)=6-e?<0,故g(x)在(】n3,2)有1零點(diǎn)，

gg)=l-￡<0,故g(/)在g,ln3)上有1零點(diǎn)，圖像大致如圖所示：

故g(x)在(0,+8)上有2個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)槠錇槠婧瘮?shù)，則其在(—,0)上也有2個(gè)零點(diǎn)，

且g(0)=0,故g(力共5個(gè)零點(diǎn)，

故選：D.

2.(2022?安徽?高三階段練習(xí))已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/(引的圖象是連續(xù)不斷的

曲線，且/。+2)+〃力=〃1卜〃力在［0,2］上單調(diào)遞增，則”彳)在區(qū)間1100,100］上

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.100B.102C.200D.202

【答案】A

【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和零點(diǎn)的知識求得正確答案.

【詳解】令4―1,得〃1)+〃-1)=〃1)，即/(-1)=0，

因?yàn)?(力為偶函數(shù),所以/⑴=0J(x+2)+〃x)=/⑴=0,

/(A-+2)=-/(^)?〃X+4)=-/(X+2)=〃X),

所以/（X）是以4為周期的函數(shù),

因?yàn)?（力在［0,2］上單調(diào)遞增，則/（x）在［-2,0］上遞減,

所以/（“在一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),

故/（大）在區(qū)間［T00J00］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為50x2=100.

故選：A

3.（2022?山東青島?高三期中）已知偶函數(shù)/⑶的定義域?yàn)椋?,0）11（0,叱），對任意

x>0,都有/*)=/圖,則函數(shù)g(x)=f(x)一glog,|x|+1

且當(dāng)xw[1,2)時(shí)，f(x)=sin7LV

的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】將問題化為/⑶與y=giog"x|T圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)對稱性只需

研究“X）與g（x）=glog2X-1在（0,*o）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

【詳解】將問題化為/⑴與丁=；1。&1幻-1圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，顯然5=*“21川-1也是

定義在（F,0）U（0，”）上的偶函數(shù)，

所以，只需研究了⑶與8。）=才幅l-1在（0，*°）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再乘以2即可得結(jié)果.

對應(yīng)/*）：X€［l,2）時(shí)/（x）e［-1,0］,在［1,耳）上遞減，（Q,2）上遞增；

任意x>0都有/（?=/佶］,易知xc［〃,2〃）上f（x）=sin出在［〃；〃）上遞減，

n2

焉〃,2〃）上遞增，〃￡］<；

又g(x)在。+00)上遞增,且g⑴=一1</?)=0,g(8)=0=f(8),

綜上，/（x）與g（%）在。（1,8］存在交點(diǎn),且函數(shù)圖象如下圖:

由圖知：xc（l,8］上共有6個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性知：共有12個(gè)交點(diǎn),

所以原函數(shù)有12個(gè)零點(diǎn).

故選：C

題型三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍（不分參型）

【典例分析】

典例3-1.（2022?廣東?海珠外國語實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)

小）=噫12（〃>0且.1）在上無零點(diǎn)，在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值

范圍為（）

B.(；,1卜(1,+8)

A-

c?陷

【答案】D

【分析】將問題轉(zhuǎn)化成研究方程log“x=4i在上無實(shí)數(shù)根，在上有實(shí)數(shù)根,

即考查函數(shù)9（力=唾內(nèi)/7（力=41的交點(diǎn)情況,作出函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合即可得到答案.

【詳解】函數(shù)/（%）在（0，］上無零點(diǎn)，在上有