2024年高考數(shù)學(xué)（必修）必背知識(shí)點(diǎn)：第8章 立體幾何初步（公式、定理、結(jié)論圖表）高考數(shù)學(xué)必背知識(shí)手冊(cè)

第八章立體幾何初步（公式、定理、結(jié)論圖表）

現(xiàn)實(shí)世界中的物體It?錢:臺(tái)」球的結(jié)構(gòu)特速

空間幾何體立體圖形的直觀圖

一柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積

［平面的基本性質(zhì)

空間中亶線與直線的位置關(guān)系

空間點(diǎn)、直線、空間中直線、平面的平行

平面的位置關(guān)系

空間中直線與平面的位置關(guān)系_

空間中直線、平面的垂直

空間中平面與平面的位置關(guān)系

空間平行、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

-I判定廠1判定

直線與直線平行?-----1直段與平面平行YA平面與平面平行

-I一"r-」性質(zhì)-T-

【知識(shí)梳理

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱桂棱臺(tái)

圖形

AABaAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

側(cè)棱互相平行且相等相交于一點(diǎn),但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

2.正棱柱、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征

(1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.反

之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形.

(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱維叫做正棱

錐.特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體.

3.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

會(huì)

圖形③

31

互相平行且相長(zhǎng)度相等且相交

母線延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

等，垂直于底面于一點(diǎn)

全等的等腰三角

軸截面全等的矩娶全等的等腰梯形圓

愛(ài)

側(cè)向展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)

旋轉(zhuǎn)圖形矩形直角三角形直角梯形半圓

4.三視圖

C)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖,分別是從幾何體的正前方、正左方和正

上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

(2)在畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線.

(3)三視圖的長(zhǎng)度特征：

“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”，即正俯同長(zhǎng)、正側(cè)同高、俯側(cè)同寬.

5.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來(lái)畫，其規(guī)則是:

(1)原圖形中X軸、了軸、Z軸兩兩垂直，直觀圖中，f軸，y'軸的夾角為45。或135。,z'

軸與『軸和y'軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸;平行于x軸和z軸的線段在

直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變;平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.

6.多面體的表(側(cè))面積

因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是

側(cè)面積與底面面積之和.

7.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的惻面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式

8.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積

名稱

表面積體積

幾何體

V=Sh

柱體(棱柱和圓柱)S表面枳=5例十2s底

V=\sh

錐體(棱錐和圓錐)

S表面積=5情+S底3-

臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面枳=5御+S上+S卜v4s上+s】、+V?^)/?

4

2

球S=4nR3--

9.平面的基本性質(zhì)

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

(2)公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有?條過(guò)該點(diǎn)的公共直

線.

(4)公理2的三個(gè)推論

推論I：經(jīng)過(guò),條直線和這條直線外的?點(diǎn)，有且只有?個(gè)平面.

%

兩平斜交aC\p=l

面相有一條公共直線

交aa邛且

垂直/a7

於______/aC\p=a

12.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

符號(hào)語(yǔ)

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

言

???/〃〃,

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該

aUa,IQ

判定定理直線與此平面平行（簡(jiǎn)記為“線線平行=＞線面平一

a,

行”）

：.l//a

???/〃a,

一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平IUB，

性質(zhì)定理面與此平面的交線與該直線平行（簡(jiǎn)記為“線面平aC\S=

行今線線平行”）h,

：.l//h

13.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直

線與另一個(gè)平面平行，則aQb=P.

判定定理

這兩個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為口aUa,bua,

“線面平行"面面平行”）：.a//fi

如果兩個(gè)平行平曲1可時(shí)和

性質(zhì)定理第三個(gè)平面相交，那么它/m,

們的交線平行」：.a//b

14.直線與平面垂直

（1）定義：如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,則直線/與平面a垂直.

（2）判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.

⑶推論：如果在兩條平行育線中，有一條垂育干一個(gè)平面，那么另一條也垂育干這個(gè)平面.

(4)直線和平面垂直的性質(zhì)：

①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線為￡.

②直線垂直于平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任二直線.

③垂直于同一條直線的兩平面的

15.直線和平面所成的角

(1)平面的一條斜線和它在于面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

(2)當(dāng)直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時(shí)，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90。和

02.

(3)直線和平面所成角的范圍是0。-W90。.

16.二面角的有關(guān)概念

(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩

條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范圍是0。一代180。.

17.平面與平面垂直

(1)定義：如果兩個(gè)平面所成的二面角是直酒魚，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

⑵平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定定一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面/J_a

理垂直/u劃"

a邛、

口

性質(zhì)定兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直

線與另一個(gè)平面垂直

理l-La-

ILa

〈常用結(jié)論》

I.特殊的四棱柱

底面為平行側(cè)梭垂直直平行底面為

四棱柱

平行四邊形六面體于底面六面體矩形

長(zhǎng)方體I**1正四棱柱H磊禁，區(qū)于雨

上述四棱柱有以下集合關(guān)系：［正方體｝會(huì)｛正四棱柱;呈

｛長(zhǎng)方體｝會(huì)｛直平行六面體｝會(huì)｛平行六面體卜呈｛四棱

柱L

2.球的截面的性質(zhì)

(1)球的任何截面是回重.；

(2)球心和截面(不過(guò)球心)圓心的連線垂直于棧面；

(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為r=yjR2—d1.

3.按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積的關(guān)系如下：

S衣相相=*^￡敖圖格,S取出舟產(chǎn)2y/^5：忖.

4.正四面體的表面積與體積

棱長(zhǎng)為4的正四面體，其表面積為鎘鼠，體積為*

5.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

(1)正方體的棱長(zhǎng)為〃，球的半徑為R,

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=#g：

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a;

③若球與正方體的各棱相切，則2人=啦

(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為Ac,外接球的半徑為R,則2/?=扉?+從+苦.

(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1,棱長(zhǎng)為a的正四面體，其內(nèi)切球半徑

"邛a,外接球半徑尺外=乎&

6.異面直線的判定定理

經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線互為異面直線.

^/VWWV*W*VaV*W*>*W>W\/\ZW\ZVlWIV?'

7.等角定理的引申

(1)在等南定理中，若兩角的兩邊平行且方向相同或相反，則這兩個(gè)角相等.

(2)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向一個(gè)邊相同，一個(gè)邊相反，則這兩個(gè)角互補(bǔ).

8.唯一性定理

(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

9.線、面平行的性質(zhì)

(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.

(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等.

(3)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面土紅.

(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

(5)如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行.

(6)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平

面平行.

(7)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面型￡.

(8)垂直于同一平面的兩條直線平行.

1().若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

11.一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也逵直.

12.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

13.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

14.過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

〈解題方法與技巧》

一、空間幾何體概念辨析題的常用方法

|緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)

定義法

系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定

通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反

典例h下列結(jié)論正確的是()

A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)

形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐

C.棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線

D[A錯(cuò)誤.如圖1所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是

三南形，但它不是棱錐.

圖1圖2

B錯(cuò)誤,如圖2,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直

線，所得的幾何體都不是圓錐.

C錯(cuò)誤.由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng).D正確.]

二、識(shí)別三視圖的步驟

(1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；

(2)根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖；

(3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個(gè)物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；

對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置.

典例2：(1)如圖是一個(gè)正方體，A,B,C為三個(gè)頂點(diǎn)，。是棱的中點(diǎn)，則三棱錐A-8CO

的止視圖、俯視圖是(注：選項(xiàng)中的上圖為止視圖，卜圖為俯視圖)()

(2)中國(guó)古建筑借助樺卯將木構(gòu)件連接起來(lái).構(gòu)件的凸出部分叫樺頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖

中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是樺頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體,

則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()

H匚EOM

ABCD

(1)A(2)A[(1)正視圖和俯視圖中棱AO和。。均看不見(jiàn)，故為虛線，易知選A.

(2)由題意可知，咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件如圖所示，其俯視圖為選項(xiàng)A中的圖杉.]

三、由三視圖確定幾何體的步驟

定底面F根據(jù)俯視圖判斷出底面形狀

二二二二二二二二二二二二二.

藐藐g同一.據(jù)正、側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征

嬴彳下注意三視圖中虛線和實(shí)線變化，確定幾何體形狀

典例3:(1)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

(2)某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖所示.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為從則在此圓柱側(cè)面上，從M到N

的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()

(1)C(2)B[(1)在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐QA6C。，如圖，由圖乎

知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為3,故選C.

（2）先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)M,N的位置如圖1所示.

圖1圖2

圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖及M,N的位置（N為。尸的四等分點(diǎn)）如圖2所示，連接MN,則圖中

MN即為M到N的最短路徑.ON=[x16=4,0M=2,

：?MN=yjOM?+ON?=72?+4?=2鄧.故選B.]

四、由幾何體的部分視圖確定剩余視圖的方法

解決此類問(wèn)題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其

剩下部分視圖的可能形式.當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入檢驗(yàn).

典例4：如圖是一個(gè)空間兒何體的正視圖和俯視圖，則它的側(cè)視圖為（）

A[由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，結(jié)合正視圖的

寬及俯視圖的直徑可知側(cè)視圖應(yīng)為A,故選A.]

五、空間幾何體的直觀圖

1.用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的技巧

在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與,軸或〈軸平行，原圖中不與坐標(biāo)

軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線.

2.原圖形與直觀圖面積的關(guān)系

按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：(1)S五餌=^S原圖形；(2)S

原圖彩=2、/2s直觀圖.

典例5：(1)已知等腰梯形ABC。，CD=l,AD=CB=6,AB=3,以AB所在直線為工軸,

則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖A'BrC1Df的面積為()

A.小B坐C.坐D.2^2

(2)如圖，矩形O'A'B'C是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O'A'=6cm,

O'C=2cm,則原圖形是()

A.正方形

C.菱形D.一般的平行四邊形

(1)C(2)C[(1)法一(作圖求解)：如圖，取A3的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)

系，y軸交0c于點(diǎn)E,O,E在斜二測(cè)畫法中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O',七,，過(guò)E'作￡F'Lx'

軸，垂足為F',

因?yàn)镺E=q陋)2-0=1,

所以0，Ef=1,E'/=半.

所以直觀圖A'B'CD'的面積為

S'=；X(1+3)X坐等,

故選C.

法二(公式法)：由題中數(shù)據(jù)得等腰梯形ABCD的面積S=5X(1+3)義1=2.

由S負(fù),現(xiàn)18=原的彤,

得S立現(xiàn)圖=WX2=W,故選C.

(2)如圖，在原圖形。ABC中，應(yīng)有。。=20'D'=2X2^2=4^2(001),CD=CDf=

2cm.

所以0C=70=2+C￡>2=5(4啦)2+22=6(cm),

所以0A=0C,由題意得QA^BC,故四邊形。A8C是菱形，故選CJ

六、求解幾何體表面積的類型及求法

求多面體的表

先求各個(gè)面的面積，再相加即可

面積

求旋轉(zhuǎn)體的表可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求表面積，但要

面積搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系

求不規(guī)則幾何通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱

伍的表面積時(shí)體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表面積

典例6：(1)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()

2J2

側(cè)視圖

A.48+兀B.48—兀

C.48+271D.48-2n

(2)已知圓柱的上、下底面的中心分別為Oi,Ch,過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面

是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()

A.12吸兀B.1271

C.8加兀D.1071

(1)A(2)B[(1)該幾何體是正四棱柱挖去了一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長(zhǎng)為

2),高為5,半球的半徑是1,那么該幾何體的表面積為S=2X2X2+4X2X5-JIX12+2TCX12

=48+兀，故選A.

(2)因?yàn)檫^(guò)直線01。2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為

2吸，底面圓的直徑為2?，所以該圓柱的表面積為2X;rX(也y+2兀X也X2啦=12兀]

七、求體積的常用方法

直接法對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算

首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)

割補(bǔ)法

則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的兒例體，不熟悉的兒何體補(bǔ)成熟悉的兒例體，便于計(jì)算

等體積選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任

法一個(gè)面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換

典例7：(1)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的體積(單位：5戶)是()

A.^+IB.5+3

C亨+1D.￥+3

(2)如圖，已知正方體ABCD-481aoi的棱長(zhǎng)為1,則四棱錐4-88QQ的體積為

(1)A(2)|[(1)由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1,高為3的半個(gè)圓錐和三棱錐S

-ABC組成的,

如圖，三棱錐的高為3,底面AABC中，AB=2t。。=1,AB_L0C故其體積V=1x1

II71

X加*12乂3+§乂］乂2乂1*3=1+1.故選A.

(2)四棱錐AI-BBIDIQ的底面BBiDi。為矩形，其面積S=1X也=也,又四棱維的高為點(diǎn)

4到平面330。的距離，郎h=%C=*,所以四棱錐的體積V=《X&X*=：]

八、空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法

(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.

(2)若球面上四點(diǎn)P,4,B,C構(gòu)成的三條線段以，PB,PC兩兩互相垂直，且附PB

=。，PC=c,一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4改=/+〃+?求解.

典例8：(1)設(shè)A,B,C,。是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且

其面積為973,則三棱錐。/BC體積的最大值為()

A.1273B.18小

C.24/D.54^3

(2)已知直三棱柱ABC-AiBiCi的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,AB1AC,

A4=12,則球。的半徑為()

A3yB.2\[\0

C，vD.3?

(1)B(2)C[(1)如圖，E是AC中點(diǎn)，M是△ABC的重心，。為球心，連接BE,0M,

00,B0.因?yàn)镾AABC=、^AB2=9小,所以AB=6,創(chuàng)/=孤=|^而二而=2由易知0加_1_

平面ABC,所以在RtZ\08M中，OM=7OB2—BM2=2,所以當(dāng)。，0,M三點(diǎn)共線且OM=

OD+OM時(shí)，三棱錐Q-A3C的體積取得最大值，且最大值匕爾=太乂羽義(4+0河)=3*9小

X6=18小.故選B.

⑵如圖所示，由球心作平面ABC的垂線,

則垂足為BC的中點(diǎn)M.因?yàn)锳3=3,4C=4,AB±ACf所以BC=5.

15OM=%4=6,

又AM=2^C=y

所以球O的半徑R=OA

2

13

+62=-,故選C.]

九、共點(diǎn)、共線、共面問(wèn)題的證明方法

(1)證明點(diǎn)共線問(wèn)題：①公理法：先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共

點(diǎn)，再根據(jù)基本公理3證明這些點(diǎn)都在交線上；②同一法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后

證明其余點(diǎn)也在該直線上.

(2)證明線共點(diǎn)問(wèn)題：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn).

(3)證明點(diǎn)、直線共面問(wèn)題：①納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面

內(nèi)；②輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面a,再證明其余元素確定平面從最后證明

平面a,0重合.

典例9：(1)以下命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()

①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；

②若點(diǎn)A,B,C,。共面，點(diǎn)A,B,C,E共面，則A,B,C,D,E共面；

③若直線〃，力共面，直線mc共面，則直線4c共面；

④依次首尾相接的四條線段必共面.

A.0B.1C.2D.3

(2)如圖，正方體中,E,歹分別是AB和A4的中點(diǎn).求證:

①E,C,Di,廠四點(diǎn)共面;

②CE,DiF,DA三線共點(diǎn).

(1)B[①正確，可以用反證法證明，假設(shè)任意三點(diǎn)共線，則四個(gè)點(diǎn)必共面，與不共面的四

點(diǎn)矛盾；②中若點(diǎn)A,B,C在同一條直線上，則A,B,C,D,E不一定共面，故②錯(cuò)誤；③

中，直線〃，c可能是異面直線，故③錯(cuò)誤；④中，當(dāng)四條線段構(gòu)成空間四邊形時(shí)，四條線段

不共面，故④錯(cuò)誤.]

(2)[證明]①如圖，連接CDi,AiB.

VE,一分別是AB,AAi的中點(diǎn)，

：.EF//BAi,

又???48〃QC,:.EF〃CD\,

：.EtC,Di,產(chǎn)四點(diǎn)共面.

②，：EF〃CD\,EF<CD\,

???CE與DF必相交,設(shè)交點(diǎn)為P,

則由PW直線CE,CEU平面ABCD,

得尸e平面A3cD

同理PW平面A。。山.

又平面4BCDG平面AQD/i=D4,

???P￡直線DA,:,CE,DiF,DA三線共點(diǎn).

十、空間兩條直線的位置關(guān)系

空

同

1兩

線

位

置

關(guān)

系

典例10：(1)已知mb,c為三條不同的直線，且。U平面處SU平面從aCB=c,給出

下列命題：

①若。與〃是異面直線，則C至少與。，方中的一條相交;

②若a不垂直于c,則〃與/?一定不垂直;

③若。〃江則必有?！╟.

其中真命題有.（填序號(hào)）

（2）如圖，G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線G",MN是

異面直線的圖形有（填上所有正確答案的序號(hào)）.

⑴①③（2）②?KD對(duì)于①，若c與。，b都不相交，則?！╝,c//b,從而Q〃A,這與

〃與〃是異面直線矛盾，故①正確.

對(duì)于②，。與人可能異面垂直，故②錯(cuò)誤.

對(duì)于③，由〃〃匕可知〃〃人又an夕=C,從而a〃c,故③正確.

（2）圖①中，直線GH〃MM圖②中，G,H,N三點(diǎn)共面，但M住平面G4V,因此直線GH

與MN異面；圖③中，連接MG（圖略），GM〃HN,因此G〃與MN共面；圖④中，G,M,N

共面，但照平面GMN,因此G"與MN異面，所以在圖②④中，GH與MN異面.]

十一、平移法求異面直線所成角的步驟

一平移的方法一般有二種類型：（1）利用圖中已有的平行線平移：（2）利用特殊點(diǎn)（線段

的端點(diǎn)或中點(diǎn)）作平行線平移；（3）補(bǔ)形平移（一作）

W--證明所作的角是異面直線所成的角或其補(bǔ)角（二證）

i+I在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之（三計(jì)算）

因?yàn)楫惷嬷本€所成用。的取值范圍是0。＜。490。，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取

它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角（四取舍）

典例11：⑴在正方體ABCD-A必CA中，E為棱CG的中點(diǎn)，則異面直線力后與0。所

成角的正切值為（）

（2）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉懦.如

圖，在鱉HA8CQ中，AB_L平面BCD,且AB=BC=CD,則異面直線4c與BD所成角的余

弦值為()

A

11

A.5B.

2

c也D.

2

⑴C(2)A[(1)如圖，連接BE,

因?yàn)锳B〃CD,所以異面直線AE與C。所成的角等于相交直線AE與AB所成的角，即

/￡48.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則CE=1,BC=2,由勾股定理得8七=下.又由A81.平面

BCCiBi可得AB工BE,所以tanNE4B=^=建.故選C.

(2)如圖，分別取AB,ADfBC,BD的中點(diǎn)、E,F,G,0,連接石尸，EG,OG,FO,FG,

0'1EF//BD,EG//AC,所以/FEG為異面直線4c與BO所成的角.易決口因?yàn)锳K_L

平面BCD,所以/。_L平面BCD,所以FOA.OG,設(shè)A8=2〃，則EG=EF=?,FG=yla2+a2

=、&,所以N莊C=60。，所以異面直線AC與80所成角的余弦值為:，故選A.]

十二、判定線面平行的四種方法

(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))；

(2)利用線面平行的判定定理(Mcc,bUa,a//b^a//a)；

(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(a〃夕，4Ua=a〃0；

(4)利用面面平行的性質(zhì)(a〃夕，Ha,aQR,a//a=^a//fl).

典例12：如圖，在四棱鍵P-A8c。中，AD//BC,AB=BC=2ADfE,F,“分別為線段

ADfPC,CQ的中點(diǎn)，AC與3E交于O點(diǎn)，G是線段。尸上一點(diǎn).

(1)求證：AP〃平面6EB

(2)求證：GH〃平面R1D

［證明］⑴連接EC,

因?yàn)锳O〃BC,BC=^ADt石為A。中點(diǎn)，

所以BC—'AEf

所以四邊形4BCE是平行四邊形，所以。為AC的中點(diǎn).

又因?yàn)槭荘C的中點(diǎn)，

所以FO//AP,

因?yàn)镕OU平面BEF,A因平面BEF,

所以A尸〃平面BEF.

(2)連接尸以，0H,

因?yàn)椤辍狈謩e是PC,CO的中點(diǎn)，

際以、FH〃PD,因?yàn)椤芭笃矫嬉?。，尸OU平面%/),所以五〃〃平面以D

又因?yàn)?。?E的中點(diǎn)，〃是CO的中點(diǎn)，

所以。“〃4。，因?yàn)椤Ｓ∑矫嬉設(shè),AOU平面布￡).所以0月〃平面以D

又FHCOH=H,所以平面OHF〃平面PAD.

又因?yàn)镚HU平面OHF,

所以GH〃平面PAD.

十三、判定平面與平面平行的四種方法

(1)面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)(不常用)；

(2)面面平行的判定定理(主要方法)；

(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(客觀題可用)；

(4)利用平面平行的傳遞性，兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(客觀

題可用).

注意：謹(jǐn)記空間平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)

I在原性度I

判定

典例13：已知空間幾何體ABCDE中，2BCD與2CDE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

△A8C為腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，平面CZ)E_L平面3CD,平面平面8C。，M,N分別

為DB,DC的中點(diǎn).

⑴求證：平面EMN〃平面ABC；

(2)求三棱錐A-ECB的體現(xiàn).

［解］(1)證明：取8。中點(diǎn)〃，連接

???ZVIBC為等腰三角形，

；?AH_LBC,

又平面4BC_L平面BC7),平面ABCG平面灰?。=以7,

??.4"_L平面BC。，同理可證EN_L平面BCD,

：.EN//AH,

?；ENG平面ABC,AH3面ABC,

:?EN〃平面ABC,

又M,N分別為30,中點(diǎn)，

:?MN〃BC,

〈MN。平面ABC,BCU平面ABC,

???MN〃平面ABC,

大MNCEN=N,

???平面EMN〃平面ABC.

(2)連接OH,取C〃中點(diǎn)G,連接NG,

則NG〃DH,由(1)知硒〃平面ABC,

所以點(diǎn)E到平面ABC的距離與點(diǎn)N到平面A8C的距離相等，

又△8C。是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

:.DH1BC,

又平面48C_L平面8c。，平面A8CG平面8C3=8C,DHU平面BCD,

???O"J_平面ABC,???NGJ_平面ABC,：?DH=5

又N為CD中點(diǎn)，???NG=牛，

又AC=A3=3,BC=2,

1r-

???SA48C=引3aH”|=2、2,

VE-ABC=VXM8c：=(S"8<?|NG|=坐.

十四、證明直線與平面垂直的常用方法

(1)利用線面垂直的判定定理.

(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”.

(3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”.

(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理.

典例14：如圖，在斜三棱柱A3C-A歸iG中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，M為棱

BC的中點(diǎn)，BBi=3,48=麗，ZCBBi=60°.

AiG

By

⑴求證:AM_L平面BCGB；

(2)求斜三棱柱ABC-451G的體積.

［解I(1)證明：如圖，連接

因?yàn)榈酌鍭BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且M為棱BC的中點(diǎn)，所以AM_L3C,且AM=

小,

因?yàn)?5=3,NCBBi=60。,BM=1,

所以BIM2=12+32-2X1X3XCOS60°=7,

所以BTM=①

又因?yàn)?8=也，

所以A/W+BIM2=10=A疥，

所以

又因?yàn)锽iMABC=M,

所以AM_L平面BCC\B\.

(2)設(shè)斜二棱柱A8GA山Ci的體積為V,則

V=3VBi-ABC=3VA-B}BC

=3X：S△囪3cHM

=1x2X3Xsin60。義小

9

2,

9

所以斜三棱柱ABC-48ICI的體積為了

十五、證明面面垂直的兩種方法

(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂

直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題.

(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，

把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決，

注意：三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

|線線垂直譜等|線面垂匐蓍^面面垂直

典例15：(1)如圖，點(diǎn)N為正方形48CO的中心，△ECD為正三角形，平面ECD_L平面

ABCD,M是線段EO的中點(diǎn)，貝女)

A.BM=EN,且直線BM,E7V是相交直線

B.BM于EN,且直線8M,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,硒是異面直線

D.BM力EN,且直線BM,EN是異面直線

B［取CO的中點(diǎn)F,。尸的中點(diǎn)G,連接Er，F(xiàn)N,MG,GB,BD,BE.

???點(diǎn)N為正方形A8CD的中心,

:?點(diǎn)、N在BD上,且為8。的中點(diǎn).

:?△ECO是正三角形，:.EF工CD.

???平面ECO_L平面A8CD,

???EF工平面ABCD.

：.EF±FN.

不妨設(shè)48=2,則月V=l,EF=小,

；?EN=qFN2+EF?=2.

,:EM=MD,DG=GFf:.MG//EF,

???MG1.平面ABC。，：.MGA.BG.

?；MG=；EF=^,

BG=yjCG2-\-BC2既+2?=|,

；?BM=yJMG?+BG?=3.

:?BMREN.

■:BM,EN是ADBE的中線,:.BM,EN必相交.

故選B.］

(2)如圖，四棱錐尸-A8C。中，△PCD為等邊三角形：CD=AD=2AB,E,5,T,。為CD,

PA,PB,A。的中點(diǎn)，NABC=NBCD=/PEA=90。,平面S7RQG平面ABCO=RQ.

①證明：平面出￡J_平面S7RQ；

②若AB=1,求三棱錐0-8C7的體積.

［解］①證明：因?yàn)镋為CO的中點(diǎn)，CD=2A&NA3C=NBCQ=90。，所以四邊形A3CE

為矩形，所以AE_LCD

由已知易得RQ〃CO,所以RQ_LA￡

因?yàn)镹PEA=90。,PECCD=E,

故AE_L平面PCD,

又因?yàn)锳EU平面ABCD

古攵平面尸CDJ_平面ABC7).

因?yàn)镻ELCD,所以尸EJ_平面ABCD.

因?yàn)镽QU平面ABCO,所以RQ-LPE.

又PECAE=E.所以RQ_L平面3E.

所以平面力E_L平面STRQ.

②由①可知，PE_L平面4BCO,又7是PB的中點(diǎn),

???點(diǎn)丁到平面BCQ的距離為上石=坐,

易知S&BCQ=

故三棱錐Q-BCT的體枳y=^x4x2=l

十六、求點(diǎn)到平面的距離(高)的兩種方法

(1)定義法：求幾何體的高或點(diǎn)到面的距離，經(jīng)常根據(jù)高或距離的定義在幾何體中作出高或

點(diǎn)到面的距離.其步驟為：一作、二證、三求.如何作出點(diǎn)到面的距離是關(guān)鍵，一般的方法是

利用輔助面法，所作的輔助面，一是要經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，二是要與所求點(diǎn)到面的距離的面垂直，這樣

在輔助面內(nèi)過(guò)該點(diǎn)作交線的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到面的距離.

(2)等體積法：求棱錐的高或點(diǎn)到平面的距離常常利用同一個(gè)三棱錐變換頂點(diǎn)及底面的位

置，其體積相等的方法求解.

典例16:(1)已知NAC8=90。，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)。到NAC8兩邊AC,BC

的距離均為小，那么P到平面ABC的距離為.

也[如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PO_L平面ABC于0,則尸0為P到平面ABC的距離.

再過(guò)。作。EJ_AC于旦。產(chǎn)J_8C于居

連接PC,PE,PF,則PEJ_AC,PFA.BC.

文PE=PF=?所以0E=0/，

所以CO為/ACB的平分線，

即ZACO=45°.

在RtZ\PEC中，PC=2,PE=小,所以CE=1,

所以O(shè)E=1,所以＜0=]/序-0爐=、(市)2-[2=啦」

(2)如圖，在三棱錐P-A8C中，AB=BC=2吸,PA=PB=PC=AC=4f。為AC的中點(diǎn).

①證明：。。_1平面48。；

②若點(diǎn)M在棱8C上，且MC=2M8,求點(diǎn)。到平面P0M的距離.

［解］①證明：因?yàn)锳P=CP=AC=4,。為AC的中點(diǎn)，

所以0P_LAC,且0P=2小.

連接0及因?yàn)锳8=8C=陰C,所以△A8C為等腰直角三角形，JLOBVAC,0B=^AC=

由0產(chǎn)+082=尸82知，。戶_L。及

由OPLOB,0P1AC,0BU平面ABC,ACU平面ABC,0BQAC=0,知尸。1平面ABC.

②作CHJ_0M,垂足為

又由①可得OPJ_C〃，OPU平面尸0M,0MU平面POM,OPCOM=O,所以C”_L平面

POM.

故?！ǖ拈L(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離.

由題設(shè)可知0C=1AC=2,CM=|BC=畢，NAC8=45。，

2ROCMC-sinZACB4^5

所以O(shè)M=U~,CH

~0M=5?

4、萬(wàn)

所以點(diǎn)C到平面POM的距離為七.

十七、求直線和平面所成角的步驟

(1)尋找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；

(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求

的角；

(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角.

典例17:(1)在長(zhǎng)方體中,A4=5C=2,AG與平面30GC所成的角為30。，

則該長(zhǎng)方體的體積為()

A.8B.6^2

C.8啦D.8s

C［如圖，連接AG,BQ,AC.

???48_L平面BBiCiC,

???NAC由為直線AG與平面BBiCC所成的角,

2

???NAGB=30。.又AB=BC=2,在RlZVlBG中，AG=、-m。=4.

在RtZ\ACG中，CG=5。彳—CG=:42-⑵+*)=2事,

/.V長(zhǎng)方體=ABX3CXCG=2義2X2啦=8啦.］

(2)如圖，在四面體人3。中，△A3C是等邊三角形，平面A5C_L平面人3D,點(diǎn)M為棱

AB的中點(diǎn)，AB=2,AD=28ZBAD=90°.

①求證：AD1BC.

②求異面直線8C與M。所成角的余弦值；

③求