北京市首師附實驗學(xué)校2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題含答案

北京市首師附實驗學(xué)校2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共10小題）1．已知，則（

）A．0 B．1 C． D．22．如圖，在平行六面體中，（

）A． B． C． D．3．已知，，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．如圖，已知正方體的棱長為1，（

）

A．1 B． C． D．5．設(shè)，分別是平面，的法向量，其中，，若，則（

）A． B． C．3 D．6．已知直線的方向向量為，直線的方向向量為，則直線與所成角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知點為空間不共面的四點，且向量，向量，則與不能構(gòu)成空間基底的向量是（

）A． B． C． D．或9．在空間直角坐標(biāo)系中，點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點，且關(guān)于軸的對稱點為點，則，兩點間的距離為（

）A． B． C． D．10．在棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）中，，分別為，的中點，則和夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題）11．已知向量，則與共線的單位向量為.12．已知向量，且，則，.13．已知直線經(jīng)過，兩點，則點到直線的距離為.14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，.則與的夾角的余弦值為；在的投影向量.15．以下關(guān)于空間向量的說法：①若非零向量，，滿足，，則②任意向量，，滿足③若為空間向量的一組基底，且，則，，，四點共面④已知向量，，若，則為鈍角其中正確命題的序號是.三、解答題（本大題共4小題）16．如圖，在正方體中，，為線段的中點.(1)求證：；(2)求平面的法向量；(3)求點到平面的距離.17．如圖，正三棱柱的底面邊長為，高為，為的中點，為的中點.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.18．如圖，在平行六面體中，，，，，，與相交于點，設(shè)，，.(1)試用基底表示向量；(2)求的長；(3)求直線與直線所成角.19．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點.（Ⅰ）求證：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大??；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由.

參考答案1．【答案】C【詳解】依題意，，則.故選：C2．【答案】C【詳解】故選：C3．【答案】B【詳解】因為，，所以.故選：.4．【答案】A【詳解】因為，且，，所以.故選：.5．【答案】D【分析】本題根據(jù)圖形關(guān)系得到，得到，解出即可.【詳解】，且分別是平面的法向量，則，則有，故，則.故選：D.6．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量夾角公式，代入即可得到向量夾角，同時注意直線夾角的范圍.【詳解】直線方向向量,直線方向向量,，所以兩向量夾角為，直線和所成角為，故選：B.7．【答案】B【分析】根據(jù)線面平行的位置關(guān)系及直線的方向向量、平面的法向量定義再結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，得：，則“”是“”的必要條件，而不一定有，也可能，則“”不是“”的充分條件.故選：B.8．【答案】C【詳解】，與、不能構(gòu)成空間基底；故選：C．9．【答案】D【分析】先求得的坐標(biāo)，再用兩點的距離公式求解【詳解】因為點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點，所以，因為點關(guān)于軸的對稱點為點，所以，所以，故選：D10．【答案】A【詳解】連接，取的中點為，連接，如下圖所示：

由正四面體的棱長為1可得，又分別是的中點，所以，且，所以即為異面直線和的夾角的平面角，又易知，且，所以，因此，即和夾角的余弦值為.故選：A11．【答案】或【詳解】因為向量，所以，所以，所以與共線的單位向量為或.故答案為：或.12．【答案】//【詳解】因為，，當(dāng)時，所以，所以；因為，，，所以.故答案為：；.13．【答案】3【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出，，然后得到，最后用勾股定理求即可得到點到直線的距離.【詳解】如圖，過點作于點由題意得，，，，，所以，.故答案為：3.14．【答案】/0.5【詳解】因為，，，所以，，所以，在的投影向量為.故答案為：12；.15．【答案】①③【詳解】對于①，因為，，是非零向量，且滿足，，故存在實數(shù)，使得，，故，所以，故①正確；對于②，因為，不一定共線且向量的數(shù)量積為實數(shù)，所以不一定成立，故②不正確；對于③，若為空間向量的一組基底，所以，，三點不共線，，且，所以，則，，，四點共面，所以③正確；對于④，當(dāng)時，，反向共線，有，為，所以④不正確.故答案為：①③.16．【答案】(1)證明見解析；(2)，答案不唯一；(3).【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即可證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得對應(yīng)點的坐標(biāo)，利用向量法即可求得結(jié)果；（3）根據(jù)（2）中所求平面的法向量，求得在平面法向量上的投影向量的長度即可.【詳解】（1）因為是正方體，故可得面，又面，故可得.（2）以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如下所示：則可得：，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得，故平面的一個法向量為.（3）設(shè)點到平面的距離為，則.故點到平面的距離為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）

如圖以為坐標(biāo)原點，以，所在直線為軸，軸，在平面內(nèi)做與垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，A10,0,4，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，所以，，即為平面的一個法向量，所以，又因為平面，所以平面；（2）由（1）知，，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）；（2），，，，，所以，，，由（1）知，所以，所以；（3），，，所以與所成角為，所以直線與直線所成角為.19．【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）；（Ⅲ）2:1.【分析】（I）連BD，設(shè)AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)底面邊長為a，求出高SO，從而得到點S與點C和D的坐標(biāo)，求出向量與，計算它們的數(shù)量積，從而證明出OC⊥SD，則AC⊥SD；（II）根據(jù)題意先求出平面PAC的一個法向量和平面DAC的一個法向量，設(shè)所求二面角為θ，則，從而求出二面角的大?。唬↖II）在棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC，根據(jù)（Ⅱ）知是平面PAC的一個法向量，設(shè)，求出，根據(jù)可求出t的值，從而即當(dāng)SE：EC=2：1時，，而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC【詳解】（I）證明：連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD（II）設(shè)正方形邊長a，則．又，所以∠SDO＝60°．連OP，由（I）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD．所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角．由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30°，即二面