安徽省合肥市一六八中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含答案

2024-2025學(xué)年度高二年級(jí)（上）·期中學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)考生注意：1.試卷分值：150分，考試時(shí)間：120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答案區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.3.所有答案均要答在答題卡上，否則無效.考試結(jié)束后只交答題卡.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，其它坐標(biāo)變號(hào)即可.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.2.直線的一個(gè)方向向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線斜率為可得到直線的一個(gè)方向向量為，分析題目條件即可得到結(jié)果.由，得，直線斜率為-2，所以直線的一個(gè)方向向量為.故選：B.3.若橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為（）A.1 B.1或5 C.5 D.3或5【答案】C【解析】分析】根據(jù)焦點(diǎn)位置確定，利用關(guān)系即可求出結(jié)果.根據(jù)左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，且焦點(diǎn)在軸上，結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故.故選：C.4.已知點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與線段相交，則該直線斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出直線的斜率，然后結(jié)合圖象即可寫出答案．記為點(diǎn)，則直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且與線段相交，結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是.故選：D.5.圓與圓的公切線條數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】分析圓心距和兩圓半徑的關(guān)系，可知兩圓外切，即可得到兩圓公切線條數(shù).圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑.因?yàn)椋詢蓤A外切，所以圓與圓的公切線有3條.故選：C.6.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)?shù)拿娣e為2時(shí)，等于（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形面積得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入橢圓方程可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求出結(jié)果.由題意可得：，則.設(shè)，由題意可得：，解得，代入方程可得，解得，∵，∴.故選：A.7.在四棱錐中，，，，則此四棱錐的高為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量法求出點(diǎn)到平面的距離，即為所求.設(shè)平面的法向量，則，令，得，所以此四棱錐的高.故選：B.8.已知，是圓上兩點(diǎn)，且，若直線上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)，確定點(diǎn)軌跡，再由點(diǎn)軌跡與直線有公共點(diǎn)求參數(shù)取值范圍.由題意可知:圓的圓心為，半徑，設(shè)中點(diǎn)為，則，且，可得，又因?yàn)?，可知為等腰直角三角形，則，可得，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，因?yàn)橹本€上存在點(diǎn)使得，即直線與圓有交點(diǎn)，即圓心到直線的距離，解得或.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量分別為兩個(gè)不同的平面的法向量，為直線的方向向量，且，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)判斷選項(xiàng)A，D；根據(jù)判斷選項(xiàng)B；根據(jù)判斷選項(xiàng)C.因?yàn)?，所以，所以，A正確，D錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，B正確；因?yàn)?，所以或者錯(cuò)誤.故選：AB10.已知直線，圓，則下列說法正確的是（）A.直線過定點(diǎn)B.直線與圓恒相交C.直線被圓截得的弦長為4時(shí)，D.直線被圓截得的弦長最短時(shí)，直線的方程為【答案】ABD【解析】【分析】直線變形為可得選項(xiàng)A正確；由定點(diǎn)在圓內(nèi)可知選項(xiàng)B正確；利用勾股定理和垂徑定理可計(jì)算圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得到的值，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)直線與圓心和定點(diǎn)確定的直線垂直時(shí)，弦長最短，利用垂直求直線斜率，即可得到選項(xiàng)D正確.直線，即，直線恒過定點(diǎn)，故A正確.因?yàn)?，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓恒相交，故B正確.如圖，設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，所以，即點(diǎn)到直線的距離.由得，故C錯(cuò)誤.設(shè)定點(diǎn)為點(diǎn)，則直線與垂直時(shí)，直線被圓截得的弦長最短，此時(shí)，，直線的方程為，整理得，故D正確.故選：ABD.11.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，左?右頂點(diǎn)分別為是橢圓上異于的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.橢圓的離心率為B.若，則C.直線的斜率與直線的斜率之積為定值D.符合條件的點(diǎn)有且僅有2個(gè)【答案】AC【解析】【分析】由橢圓的定義、方程和性質(zhì)，結(jié)合直線的斜率公式和向量數(shù)量積的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)分析即可得到結(jié)論．由題知，因?yàn)椋?，解得，所以離心率，故A正確；若，連接，在中，由勾股定理得，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，又，解得，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，因?yàn)?，所以，從而，所以為定值，故C正確；因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，半徑為，又因?yàn)?，所以該圓與橢圓無交點(diǎn)，所以同時(shí)在圓上和在橢圓上的點(diǎn)不存在，即不存在符合條件的點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若方程表示橢圓，則m的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】由，且可得．方程表示橢圓?，解得且.所以m的取值范圍是故答案為：.13.若直線與直線平行，則直線與之間的距離為__________.【答案】【解析】【分析】利用兩直線平行求參數(shù)，根據(jù)兩平行線間的距離公式可得結(jié)果.由與平行，得，解得，故兩直線方程分別為，所以直線與之間的距離為.故答案為：.14.已知空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.利用此結(jié)論，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為__________.【答案】##【解析】【分析】由題意可得平面、平面及平面的一個(gè)法向量，則可得直線的一個(gè)方向向量，結(jié)合空間向量夾角公式計(jì)算即可得解.由題可得平面的法向量可為，平面的法向量可為，又平面的法向量，設(shè)直線的一個(gè)方向向量，則，即，取，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15已知向量，，.（1）當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量與向量，共面，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的模長的坐標(biāo)表示和兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.（2）根據(jù)共面定理列方程組求解即可.小問1】因?yàn)?，所以解得，即，由，且得，解得，即的值?【小問2】因?yàn)橄蛄颗c向量，共面，所以設(shè)，R，因此，即解得，所以的值為.16.已知兩直線和的交點(diǎn)為．（1）若直線過點(diǎn)且與直線平行，求直線的一般式方程；（2）若圓過點(diǎn)且與相切于點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）通過解二元一次方程組求解的坐標(biāo)，再結(jié)合互相平行兩直線方程的特征運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，結(jié)合待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.【小問1】聯(lián)立方程組，解得，所以直線和的交點(diǎn)．因?yàn)橹本€與直線平行，故可設(shè)直線．又直線過點(diǎn)，則，解得，即直線的方程為．【小問2】設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線的斜率為，故直線CP的斜率為，由題意可得，解得，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．17.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)F1,0的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，點(diǎn)的軌跡稱為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)等量關(guān)系建立方程，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.（2）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式表示即可求出結(jié)果.【小問1】設(shè)，則，整理得，所以曲線的方程為.【小問2】由題意設(shè)直線，將代入方程，整理得：，設(shè)，由，得，所以，則，整理得：，滿足，所以，即直線方程為或.18.在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角大??；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定定理證明線面垂直關(guān)系，再由性質(zhì)定理得到線線垂直關(guān)系，進(jìn)而再利用判定定理證明所求證的線面垂直關(guān)系；（2）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.用向量法求與平面所成角的大小；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為，設(shè)，分別求解兩平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【小問1】因?yàn)樵谥?，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；【小問2】由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，由幾何關(guān)系可知，，，，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，.設(shè)與平面所成角的大小為，則有，設(shè)為與平面所成角，故，即與平面所成角的大小為；【小問3】假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，若平面與平面成角余弦值為.則滿足，化簡(jiǎn)得，解得或，即或，故在線段上存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為.此時(shí)的長度為或.19.定義：若橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0上的兩個(gè)點(diǎn)Ax1,y1,Bx（1）求橢圓的方程；（2）求“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)所在直線的方程；（3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，（2）中的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于，設(shè)四點(diǎn)在橢圓上逆時(shí)針排列.證明：四邊形的面積小于.【答案】（1）（2）.（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列出的方程組，由此求解出的值，則橢圓方程可知；（2）代入坐標(biāo)于，得到點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，由此可知點(diǎn)所在直線的方程；（3）根據(jù)條件先分析出與的位置關(guān)系，然后將四邊形的面積通過點(diǎn)到直線的距離以及弦長表示出來，根據(jù)點(diǎn)的臨界位置分析出面積的臨界值，從而完成證明.【小問1】依題意，，解得所以橢圓的方程為.【小問2】因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)所在的直線的方程為.【小問3】由（2）知，直線，聯(lián)立，解得或，則，設(shè)點(diǎn)，則，兩式相減得，又，于是，所以，所以，所以線段的中點(diǎn)在上，故線段被直線平分，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，