天津市南開中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期階段性質(zhì)量監(jiān)測（一）（11月）數(shù)學(xué)試題含答案

天津市南開中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期階段性質(zhì)量監(jiān)測（一）（11月）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共9小題）1．圖中的直線的斜率分別為，則有（

）A． B．C． D．2．已知點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．設(shè)甲：實(shí)數(shù)；乙：方程是圓，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．過點(diǎn)與且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．C． D．5．已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

A．（） B．（）C．（） D．（）6．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)與，的距離差的絕對值等于6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．7．已知兩點(diǎn)直線與線段AB相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)則下列敘述錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)最小時(shí) B．當(dāng)最大時(shí)，C．點(diǎn)P到直線AB的距離小于7 D．點(diǎn)P到直線AB的距離大于19．已知平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓且AB，AD斜率之積的范圍為則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則C的漸近線方程為．11．已知直線與平行，且l2過點(diǎn)，則l1與l2間的距離為.12．若過點(diǎn)的直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線斜率的范圍是.13．已知圓和圓相交于A，B兩點(diǎn)，若AB弦長為則.14．如圖，已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過F1作圓的切線與雙曲線C的左，右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，若則雙曲線C的離心率為.15．已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，直線l過圓的圓心且與圓M交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是.三、解答題（本大題共3小題）16．已知點(diǎn)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線，垂足分別為點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求證：為定值，并求出該定值；17．已知橢圓(a＞b＞0)，點(diǎn)P在橢圓上．(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)Q在橢圓上且滿足AQ＝AO，求直線OQ的斜率的值．18．已知橢圓短軸長為2，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，其中M，N分別在x軸上方和下方，直線與直線MO交于點(diǎn)直線與直線NO交于點(diǎn)

(1)若的坐標(biāo)為求橢圓C的方程；(2)在（1）的條件下，過點(diǎn)并垂直于x軸的直線交C于點(diǎn)B，橢圓上不同的兩點(diǎn)A，D滿足求弦AD的中垂線的縱截距的取值范圍；(3)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案1．【答案】C【詳解】由圖象可得，，故選：C2．【答案】C【詳解】由題設(shè)，結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系，可得直線的傾斜角為.故選：C.3．【答案】B【詳解】若方程表示圓，則，解得：；∵，，，甲是乙的必要不充分條件.故選：B.4．【答案】B【解析】先求得線段AB的中垂線的方程，再根據(jù)圓心又在直線上求得圓心，圓心到點(diǎn)A的距離為半徑，可得圓的方程.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)與，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以線段AB的中垂線的斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，又因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，所以圓心為，所以圓的方程為.故選：B5．【答案】A【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A6．【答案】C【分析】根據(jù)題意求出a,b即可求得答案.【詳解】由題意，，則，結(jié)合條件可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.7．【答案】D【詳解】直線，即，令，可得直線經(jīng)過定點(diǎn)，又，．直線與線段相交，由圖可得，則直線的斜率取值范圍是．故選：D．8．【答案】C【詳解】由，，所以都在圓外，且,圓心為，半徑為3，如圖所示，若與圓分別相切于，顯然直線，且時(shí)最小，結(jié)合圖知，此時(shí)，A對；根據(jù)切線關(guān)于對稱，時(shí)最大，此時(shí)也成立，B對；由題意，，則到直線AB的距離，所以點(diǎn)P到直線AB的距離的范圍為，而，則C錯(cuò)，D對.

故選：C9．【答案】A【詳解】由題意，和均關(guān)于原點(diǎn)對稱，令，則，若，則，所以橢圓離心率.故選：A10．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線過點(diǎn)求出a，然后可得.【詳解】因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，又，所以漸近線方程為.故答案為：.11．【答案】【詳解】顯然，當(dāng)時(shí)，兩直線不平行，由，解得，則直線，代入點(diǎn)，則，解得，所以直線，所以當(dāng)直線，即與直線平行時(shí)，此時(shí)直線與間的距離為．故答案為：．12．【答案】【詳解】設(shè)直線在軸的交點(diǎn)為，在軸的交點(diǎn)為，則,，，，，，過點(diǎn)的直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，直線斜率的取值范圍是．故答案為：．13．【答案】1【詳解】將已知兩圓作差，得公共弦方程，由的圓心，半徑為，所以到的距離，又，所以，可得.故答案為：114．【答案】【詳解】設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，連接，作作，垂足為，由于圓的半徑為，則，且為的中位線，可得，又，所以，即有，在直角三角形中，因?yàn)椋?，則，可得，所以，由雙曲線的定義可得，即，所以，由，則，所以雙曲線C的離心率為.故答案為：．15．【答案】【詳解】由橢圓的方程可知，，可得，易知圓的圓心，半徑為1，

因?yàn)椋?，可知恰為橢圓的右焦點(diǎn)，所以，所以．故答案為：．16．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析，定值為1【詳解】（1）聯(lián)立與消y得：，由直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)可知：，化簡得：；（2）由題意得：，因?yàn)?，所以∥，故，其中，，所以，為定值，該定值?.17．【答案】（1）（2）k＝±.【詳解】解:(1)∵點(diǎn)P（a,a）在橢圓上,∴+=1整理得=.∴e======.(2)由題意可知,點(diǎn)A坐標(biāo)為(-a,0),|AO|=a.設(shè)直線OQ的斜率為k,則其方程為y=kx,設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(x0,y0).則消去y0,整理得=①由|AQ|=|AO|得(x0+a)2+k2=a2.整理得(1+k22ax0=0.由于x0≠0,得x0=-.②把②代入①得=,整理得(1+k2)2=4k2·+4.由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4,即5k4-22k2-15=0,解得k2=5.∴直線OQ的斜率k=±.18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）依題意，，故橢圓;易知點(diǎn)為的重心，則，故，代入橢圓方程得所以橢圓的方程為;（2）由題可得，進(jìn)而可得，.

設(shè)中點(diǎn)，由弦長公式，，，同理，代入可得，①當(dāng)AB斜率存在時(shí)兩式作差可得，，∴弦AD的中垂線方程為，當(dāng)時(shí)，，即AD的中垂線的縱截距.在橢圓內(nèi)，，得，且.②當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，此時(shí).綜上所述，即弦AD的中垂線的縱截距的取值范圍為.（3）解法一:易知點(diǎn)分別為的重心，