江蘇省鎮(zhèn)江市鎮(zhèn)江第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江一中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷及解析一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x|﹣3≤x＜0}，則M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣2} D．{﹣2，﹣1}2．（5分）下列各組函數(shù)相等的是（）A．f（x）＝x2， B．f（x）＝x﹣1，C．f（x）＝1，g（x）＝x0 D．f（x）＝|x|，3．（5分）命題“?x∈R，x+1≥0”的否定是（）A．?x∈R，x+1＜0 B．?x∈R，x+1＞0C．?x∈R，x+1＜0 D．?x∈R，x+1＞04．（5分）函數(shù)的圖象大致為（）A． B． C． D．5．（5分）使“a＞b”成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B．a(chǎn)3＞b3 C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)c2＞bc26．（5分）已知函數(shù)，若f（a）＝10，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．﹣3或5 B．3或﹣3 C．5 D．3或﹣3或57．（5分）若函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1是冪函數(shù)，且y＝f（x）在（0，+∞）是單調(diào)遞減，則f（3）＝（）A． B． C．2 D．48．（5分）為了貫徹落實(shí)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的意見(jiàn)》，某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為2.25g/m3，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.21g/m3，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量rn滿足函數(shù)模型，其中r0為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，r1為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)，假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過(guò)0.25g/m3時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．15次 B．16次 C．17次 D．18次二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是，以下結(jié)論正確的有（）A．b＜0 B．c＞0 C．4a+2b+c＞0 D．a(chǎn)2+b+c＞1（多選）10．（5分）已知函數(shù)y＝x2﹣2x+2的值域是[1，2]，則其定義域可能是（）A．（﹣1，1] B．[0，1] C． D．（1，2]（多選）11．（5分）已知a＞0，b＞0．若4a+b＝1，則（）A．的最小值為10 B．的最小值為9C．a(chǎn)b的最大值為 D．a(chǎn)b的最小值為（多選）12．（5分）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805～1859）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著．19世紀(jì)，狄利克雷定義了一個(gè)“奇怪的函數(shù)”：，則關(guān)于函數(shù)D（x）有如下四個(gè)命題，其中是真命題的為（）A．函數(shù)D（x）是偶函數(shù) B．函數(shù)D（x）是奇函數(shù)C．方程D（x）﹣x3＝0有1個(gè)實(shí)數(shù)根 D．對(duì)任意x∈R，都有D（D（x））＝1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）若﹣1＜a+b＜3，2＜a﹣b＜4，則3a﹣b的取值范圍為_(kāi)_____．14．（5分）已知函數(shù)且f（2023）＝16，則f（﹣2023）的值為_(kāi)_____．15．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）在（﹣∞，1]上單調(diào)遞增，若函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，且f（3）＝0，則不等式f（x）＞0的解集為_(kāi)_____．16．（5分）已知函數(shù)，若函數(shù)y＝f（x﹣3m）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）（1）；（2）．18．（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)榧螦，集合B＝{x|（x﹣2）（x+3）＞0}．（1）求集合A；（2）求A∩B，（?RA）∪B．19．（12分）已知函數(shù)且f（1）＝3．（1）證明：f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減；（2）若對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．20．（12分）杭州亞運(yùn)會(huì)田徑比賽10月5日迎來(lái)收官，在最后兩個(gè)競(jìng)技項(xiàng)目男女馬拉松比賽中，中國(guó)選手何杰以2小時(shí)13分02秒奪得男子組冠軍，這是中國(guó)隊(duì)亞運(yùn)史上首枚男子馬拉松金牌．人類(lèi)長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)一般分為兩個(gè)階段，第一階段為前1小時(shí)的穩(wěn)定階段，第二階段為疲勞階段．現(xiàn)一60kg的復(fù)健馬拉松運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行4小時(shí)長(zhǎng)跑訓(xùn)練，假設(shè)其穩(wěn)定階段作速度為v1＝30km/h的勻速運(yùn)動(dòng)，該階段每千克體重消耗體力ΔQ1＝t1×2v1（t1表示該階段所用時(shí)間），疲勞階段由于體力消耗過(guò)大變?yōu)関2＝30﹣10t2的減速運(yùn)動(dòng)（t2表示該階段所用時(shí)間）．疲勞階段速度降低，體力得到一定恢復(fù)，該階段每千克體重消耗體力，已知該運(yùn)動(dòng)員初始體力為Q0＝10000kJ，不考慮其他因素，所用時(shí)間為t（單位：h），請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)寫(xiě)出該運(yùn)動(dòng)員剩余體力Q關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)Q（t）；（2）該運(yùn)動(dòng)員在4小時(shí)內(nèi)何時(shí)體力達(dá)到最低值？最低值為多少？21．（12分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝﹣x2+4ax+a+1．（1）求f（x）的解析式；（2）當(dāng)x∈[t，t+4]時(shí)，求f（x）的最小值．22．（12分）若函數(shù)f（x）在x∈[a，b]時(shí)，函數(shù)值y的取值區(qū)間恰為，就稱(chēng)區(qū)間[a，b]為f（x）的一個(gè)“倒域區(qū)間”．（1）設(shè)，求h（x）“倒域區(qū)間”．（2）已知定義在[﹣2，2]函數(shù)g（x）＝﹣x|x|+2x．①求函數(shù)g（x）在[1，2]內(nèi)的“倒域區(qū)間”；②求函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)的所有“倒域區(qū)間”．2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江一中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x|﹣3≤x＜0}，則M∩N＝{﹣2，﹣1}．故選：D．2．【答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，判斷它們是同一函數(shù)即可．【解答】解：A、B、C選項(xiàng)中f（x）的定義域?yàn)镽，而A選項(xiàng)g（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），B、C選項(xiàng)中g(shù)（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞），所以A、B、C選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)的定義域不一樣，不是同一函數(shù)，故A、B、C選項(xiàng)都錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，定義域都為R，解析式，值域都相同，D正確．故選：D．3．【答案】A【分析】存在量詞命題的否定，存在變?nèi)我猓穸ńY(jié)論即可．【解答】解：因?yàn)槊}“?x∈R，x+1≥0”，所以其否定為：?x∈R，x+1＜0．故選：A．4．【答案】D【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性，判斷當(dāng)x＞0時(shí)的單調(diào)性，利用排除法進(jìn)行求解即可．【解答】解：，則f（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，排除B，C，當(dāng)x＞0時(shí)，為增函數(shù)，排除A，故選：D．5．【答案】D【分析】根據(jù)充分不必要條件的意思和不等式的性質(zhì)可得答案．【解答】解：只有當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)才有，故A錯(cuò)，a3＞b3?a＞b，故B錯(cuò)，a2＞b2推不出a＞b，C顯然錯(cuò)誤，ac2＞bc2?a＞b，而反之不成立，故D滿足題意．故選：D．6．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分別討論a＜1，a≥1兩種情況，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果．【解答】解：若a＜1，則f（a）＝a2+1＝10，∴a＝﹣3（a＝3舍去），若a≥1，則f（a）＝2a＝10，∴a＝5，綜上可得，a＝5或a＝﹣3．故選：A．7．【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義以及單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)m的等式與不等式，即可得出實(shí)數(shù)m的值，可得出函數(shù)f（x）的解析式，代值計(jì)算可得f（3）的值．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1是冪函數(shù)，且y＝f（x）在（0，+∞）是單調(diào)遞減，則，解得m＝﹣1，則，故．故選：B．8．【答案】B【分析】利用r0，r1的值求出t，可得，依題意列出不等式，解不等式即可求得答案．【解答】解：由題意知，，當(dāng)n＝1時(shí)，，故30．25+t＝1，t＝﹣0.25，故，由rn≤0.25得30．25（n﹣1）≥50，即，則，而n∈N*，故n≥16，故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要16次，故選：B．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．【答案】BC【分析】由一元二次不等式解集為是，令f（x）＝ax2+bx+c，則，3為f（x）的零點(diǎn)且a＜0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及其對(duì)應(yīng)方程即可判斷A、B、C的正誤；由a2+b+c﹣1＝a2﹣4a﹣1不恒大于0，即可知D的正誤．【解答】解：令f（x）＝ax2+bx+c，因?yàn)椴坏仁絘x2+bx+c＞0的解集是，所以，3為f（x）的零點(diǎn)且a＜0，所以，即，，故A錯(cuò)，B對(duì)；又f（2）＞0，所以f（2）＝4a+2b+c＞0，故C對(duì)；因?yàn)閍2+b+c﹣1＝a2﹣4a﹣1，令g（a）＝a2﹣4a﹣1＝（a﹣2）2﹣5，因?yàn)閍＜0，所以g（a）＞﹣1，即g（a）＞0，不恒成立，即a2+b+c與1的大小不確定，故D錯(cuò)．故選：BC．10．【答案】BC【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可．【解答】解：函數(shù)y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，當(dāng)定義域是（﹣1，1]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x＝1時(shí)，ymin＝1，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝5，故其值域?yàn)閇1，5），不合題意；當(dāng)定義域是[0，1]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x＝1時(shí)，ymin＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，ymax＝2，故其值域?yàn)閇1，2]，符合題意；當(dāng)定義域是時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在（1，2]單調(diào)遞增，當(dāng)x＝1時(shí)，ymin＝1，當(dāng)x＝2時(shí)，ymax＝2，故其值域?yàn)閇1，2]，符合題意；當(dāng)定義域是（1，2]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1，當(dāng)x＝2時(shí)，ymax＝2，故其值域?yàn)椋?，2]，不合題意．故選：BC．11．【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可得到答案．【解答】解：對(duì)選項(xiàng)A，B，因?yàn)橐阎猘＞0，b＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，取等號(hào)，故A錯(cuò)誤，B正確．對(duì)選項(xiàng)C，D，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC．12．【答案】ACD【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷AB選項(xiàng)；分x∈Q、x?Q兩種情況解方程D（x）﹣x3＝0，可判斷C選項(xiàng)；利用題中定義分x∈Q、x?Q兩種情況計(jì)算D（D（x）），可判斷D選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于AB選項(xiàng)，若x∈Q，則﹣x∈Q，此時(shí)D（x）＝1＝D（﹣x），若x?Q，則﹣x?Q，此時(shí)D（x）＝0＝D（﹣x），綜上所述，對(duì)任意的x∈R，D（﹣x）＝D（x），故函數(shù)D（x）是偶函數(shù)，A對(duì)B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若x∈Q，則D（x）﹣x3＝1﹣x3＝0，解得x＝1，符合題意，若x?Q，則D（x）﹣x3＝﹣x3＝0，解得x＝0，不符合題意，綜上所述，方程D（x）﹣x3＝0有1個(gè)實(shí)數(shù)根，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若x∈Q，則D（D（x））＝D（1）＝1，若x?Q，則D（D（x））＝D（0）＝1，綜上所述，對(duì)任意的x∈R，D（D（x））＝1，D對(duì)．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【答案】（3，11）．【分析】令3a﹣b＝m（a+b）+n（a﹣b）＝（m+n）a+（m﹣n）b，利用系數(shù)相等列式求解m與n的值，再由不等式的性質(zhì)得答案．【解答】解：令3a﹣b＝m（a+b）+n（a﹣b）＝（m+n）a+（m﹣n）b，則，解得m＝1，n＝2．∴3a﹣b＝（a+b）+2（a﹣b）．∵2＜a﹣b＜4，4＜2（a﹣b）＜8，又﹣1＜a+b＜3，∴3a﹣b＝（a+b）+2（a﹣b）∈（3，11）．故答案為：（3，11）．14．【答案】﹣12．【分析】計(jì)算得出f（2023）+f（﹣2023）＝4，結(jié)合已知條件可求出f（﹣2023）的值．【解答】解：因?yàn)?，則，所以，，所以，f（2023）+f（﹣2023）＝16+f（﹣2023）＝4，則f（﹣2023）＝﹣12．故答案為：﹣12．15．【答案】（﹣1，3）．【分析】由題意可得f（x）的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，由f（3）＝0，可得f（﹣1）＝0，即可得f（x）＞0的解集．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x+1）為偶函數(shù)，函數(shù)f（x+1）的圖象是由f（x）的圖象向左平移1個(gè)單調(diào)得到的，所以f（x）的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)閒（x）在（﹣∞，1]上單調(diào)遞增，所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，又因?yàn)閒（3）＝0，所以f（﹣1）＝0，所以不等式f（x）＞0的解集為（﹣1，3）．故答案為：（﹣1，3）．16．【答案】（0，4）．【分析】令t＝x﹣3m∈R，分析可知，方程f（t）＝0有三個(gè)不等的實(shí)根，由f（t）＝0可得m＝|t|（4﹣t），其中t≠0，令g（t）＝|t|（4﹣t），其中t≠0，則函數(shù)y＝g（t）（t≠0）和y＝m的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：令t＝x﹣3m∈R，若函數(shù)y＝f（x﹣3m）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則方程f（t）＝0有三個(gè)不等的實(shí)根，令，可得m＝|t|（4﹣t），其中t≠0，令g（t）＝|t|（4﹣t），其中t≠0，則，作出函數(shù)y＝g（t）（t≠0）和y＝m的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)0＜m＜4時(shí)，直線y＝g（t）（t≠0）和y＝m的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，4）．故答案為：（0，4）．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．【答案】（1）；（2）0．【分析】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可得解．【解答】解：（1）．（2）．18．【答案】（1）A＝{x|﹣2＜x≤3}；（2）A∩B＝{x|2＜x≤3}，（?RA）∪B＝{x|x≤﹣2或x＞2}．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式有意義可求得集合A；（2）求出集合B，利用交集的定義可求得集合A∩B，利用補(bǔ)集和并集的定義可求得集合（?RA）∪B．【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)榧螦，則．（2）因?yàn)锽＝{x|（x﹣2）（x+3）＞0}＝{x|x＜﹣3或x＞2}，A＝{x|﹣2＜x≤3}，所以A∩B＝{x|2＜x≤3}，?RA＝{x|x≤﹣2或x＞3}，則（?RA）∪B＝{x|x≤﹣2或x＞2}．19．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）[2，+∞）．【分析】（1）先求得a的值，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）轉(zhuǎn)化為對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立，令，利用函數(shù)g（x）的單調(diào)性求得最大值，即可得解．【解答】解：（1）證明：依題意，f（1）＝a+4＝3，解得a＝﹣1，則，任取x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，則，又x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，則，，可知f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；（2）依題意，對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立，即對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立，令，由（1）易知函數(shù)g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，則t≥g（x）max＝g（1）＝2，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為[2，+∞）．20．【答案】（1）．（2）t＝2時(shí)有最小值，最小值為5200kJ．【分析】（1）先寫(xiě)出速度v關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，進(jìn)而求出剩余體力Q關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)；（2）分0＜t≤1和1＜t≤4兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合基本不等式，求出最值．【解答】解：（1）由題可先寫(xiě)出速度v關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，代入ΔQ1與ΔQ2公式可得，解得；（2）①穩(wěn)定階段中，Q（t）單調(diào)遞減，此過(guò)程中Q（t）的最小值Q（t）min＝Q（1）＝6400kJ；②疲勞階段，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即t＝2時(shí)，“＝”成立，所以疲勞階段中體力最低值為5200kJ，由于5200＜6400，因此，在t＝2h時(shí)，運(yùn)動(dòng)員體力有最小值5200kJ．21．【答案】（1）；（2．【分析】（1）由已知結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)先求a，然后結(jié)合奇函數(shù)定義即可求解函數(shù)解析式；（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)最值．【解答】解：（1）由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝﹣x2+2ax+a+1，則f（0）＝a+1＝0，解得a＝﹣1，即x≤0時(shí)，f（x）＝﹣x2﹣2x；當(dāng)x＞0時(shí)，﹣x＜0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[﹣（﹣x）2﹣2（﹣x）]＝x2﹣2x，故；（2）作出函數(shù)f（x）的大致圖象如圖所示：當(dāng)t≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，則f（x）min＝f（t）＝t2﹣2t；當(dāng)﹣1≤t＜1，函數(shù)f（x）在[t，1]上單調(diào)遞減，在[1，t+2]上單調(diào)遞增，此時(shí)，f（x）min＝f（1）＝﹣1；當(dāng)，即﹣2≤t＜﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，﹣1]上單調(diào)遞增，在[﹣1，t+2]上單調(diào)遞減，f（t）＝﹣t2﹣2t，f（t+2）＝（t+2）2﹣2（t+2）＝t2+2t，則f（t+2）﹣f（t）＝（t2+2t）﹣（﹣t2﹣2t）＝2t（t+2）≤0，則f（t+2）≤f（t），則f（x）min＝f（t+2）＝t2+2t；當(dāng)﹣1＜t+2＜0，即﹣5＜t＜﹣2時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，﹣1]上單調(diào)遞增，在[﹣1，t+2]上單調(diào)遞減，f（t）＝﹣t2﹣2t，f（t+2）＝﹣（t