《經濟數學基礎》課件第4章

第4章不定積分

4.1不定積分的概念及性質4.2不定積分的換元積分法4.3分部積分法4.4常微分方程初步

4.1不定積分的概念及性質

4.1.1不定積分的概念

1.原函數

例1

已知某曲線經過坐標原點，且曲線上每一點處的切線斜率等于該點橫坐標的二倍，試求該曲線的方程.

解設所求曲線的方程為y=f(x)，則由函數導數的幾何意義有f′(x)=2x.

根據導數公式知(x2+C)′=2x，其中C為任意常數，故

f(x)=x2+C

又因為曲線經過坐標原點，所以有f(0)=0，將其代入上式得C=0，因此所求曲線的方程為

y=x2

此例提出一類問題：已知某一個函數f(x)，能否確定一個函數F(x)，使得F(x)的導數等于f(x)，即F′(x)=f(x).對于這類問題，我們引入如下概念.定義4.1

設函數f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，若存在函數F(x)，使得對于任意的x∈(a，b)，都有

F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx

則稱F(x)為f(x)在區(qū)間(a，b)上的一個原函數.

例如，因為(sinx)′=cosx，(sinx+2)′=cosx，(sinx+C)′=

cosx，x∈(－∞，+∞)，所以sinx、sinx+2、sinx+C都是cos

x在(－∞，+∞)內的原函數.這說明cosx的原函數并不唯一，且這些原函數之間只相差一個常數.

一般而言，原函數有如下性質.性質1

若F(x)是f(x)在區(qū)間I上的原函數，則對于任意常數C，函數F(x)+C是f(x)的原函數.

證明由已知得F′(x)=f(x)，則

[F(x)+C]′=F′(x)+C′=f(x)

因此F(x)+C也是f(x)的原函數.

性質2

若F(x)、G(x)為f(x)在區(qū)間I上的兩個原函數，則G(x)=F(x)+C.

證明因為F′(x)=f(x)，G′(x)=f(x)，所以

[F(x)－G(x)]′=F′(x)－G′(x)=0

根據微分中值定理推論，可得

G(x)－F(x)=C

故

G(x)=F(x)+C

2.不定積分的概念

定義4.2

若F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數，則稱f(x)的全體原函數F(x)+C為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為

∫f(x)dx=F(x)+C

其中:“∫”稱為積分號;f(x)稱為被積函數;f(x)dx稱為被積表達式;x稱為積分變量;任意常數C稱為積分常量.

由不定積分的定義可知，不定積分運算與導數(或微分)運算互為逆運算，故有如下性質：

(1)(∫f(x)dx

)′=f(x)或d(∫f(x)dx

)=f(x)dx；

(2)∫F′(x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C.例2

求不定積分∫[dx/(1+x2)].

解因為，所以arctanx是1/(1+x2)的一個原函數，故

例3

求不定積分∫x3dx.

解因為[(1/4)x4]′=x3，所以(1/4)x4是x3的一個原函數，故

3.不定積分的幾何意義

若函數F(x)是函數f(x)的一個原函數，則函數y=F(x)的圖像稱為函數f(x)的一條積分曲線.于是，函數f(x)的不定積分在幾何上表示由函數f(x)的一條積分曲線F(x)沿縱軸方向平移所得的積分曲線族，在橫坐標相同點處其每一條積分曲線的切線是互相平行的，如圖4-1所示，這就是不定積分的幾何意義.圖4-14.1.2基本積分公式

由于不定積分是導數的逆運算，因此根據基本初等函數的導數公式，可得到相對應的積分公式.

例如:因為x′=1，所以∫dx=x+C；因為，所以(a>0，a≠1).

類似地，我們可以得到其他不定積分的基本公式，為了方便大家掌握，我們把積分基本公式與導數公式進行對照，見表4-1.表4-1所示公式是求不定積分的基礎，必須熟記，不僅要熟記公式右邊的結果，還要記清公式左邊對應的形式.

例4

求不定積分∫

5xdx.

解由基本積分公式得4.1.3不定積分的性質

根據不定積分的定義和求導法則，可以得到下列性質.

性質1

函數代數和的不定積分等于各自不定積分的代數和，即

性質2

被積函數中的常量因子可以提到不定積分符號的前面，即(k為常數)例5

求不定積分.

解先利用積分性質變形，再積分:有時候，我們需要對被積函數作恒等變形后，才能應用積分性質和積分公式求不定積分.

例6

求不定積分.

解先化簡被積函數，再積分:例7

求下列不定積分:

(1)；

(2)

.

解先將被積函數拆分變形，再求積分.例8

計算下列不定積分：

(1)；

(2)

.

解

(1)因為，所以(2)因為sec2x=1+tan2x，所以

4.2不定積分的換元積分法

4.2.1第一類換元積分法(湊微分法)

例1

求不定積分.

解由基本積分公式知，與該公式相近但不一致，所以不能直接套用該公式(因為

).

考慮把所求積分轉化成上述公式的形式.因為d(3x+2)=3dx，所以有

驗證結果，因為，所以(1/3)ln|3x+2|+C是1/(3x+2)的原函數.故該題的計算結果是正確的.

例1的解法特點是通過引入一個新變量u，先將原不定積分轉化為新變量u的積分(與基本積分公式一致的形式)，然后用基本積分公式求解，最后進行變量回代而得到積分結果.這個方法可以推廣，一般地，我們有下述定理.定理4.1

如果∫f(x)dx=F(x)+C，則對于x的任一可微函數u=φ(x)，有

這種先“湊”微分，再作變量代換求不定積分的方法，稱為第一類換元積分法，也稱湊微分法.

例2

求不定積分(a≠0).解例3

求不定積分.

解因為d(x2+5)=2xdx，所以湊微分法熟練后，可以省略換元和回代過程，直接寫出積分結果.如例3的解題過程可以簡化寫成=ln(x2+5)+C

例4

求不定積分∫cosxsinxdx.

例4說明湊微分時把積分表達式中的那一部分湊成dφ(x),其實是靈活多變的，需要根據積分表達式具體分析，選擇不同，積分結果表達形式可能不同.湊微分法運用的難點在于把積分表達式中的那一部分湊成dφ(x)，這需要解題經驗的積累.下面給出一些常見的湊微分形式：例5

求下列不定積分:例7

求.

解

例8

求解=arcsin(lnx)+C

例9

求4.2.2第二類換元積分法

在第一類換元積分法中，我們是通過變量代換u=φ(x)，將形如∫f[φ(x)]φ′(x)dx的不定積分轉化為形如∫f(u)du的不定積分，然后計算.有時候我們會遇到相反的情形，需要通過變量代換x=ψ(t)，將形如∫f(x)dx的不定積分轉化為形如∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt的不定積分后再進行計算.

例10

求不定積分.

解這個不定積分的主要困難是分式中出現根式，湊微分法難于求出積分結果，可以考慮先把根式消去，再積分.

令x=t2(t≥0)，則dx=2tdt，于是將

代入上式，回到原積分變量，則有

定理4.2

設x=ψ(t)單調可導，如果f[ψ(t)]ψ′(t)有原函數F(t)，則

其中t=ψ－1(x)是x=ψ(t)的反函數.這種求不定積分的方法稱為第二類換元積分法.

例11

求解令，t≥0，即x=t2+1，則dx=2tdt，于是例12

求解設x=asint，t∈[－(π/2)，(π/2)]，則dx=acostdt，于是為了把變量t還原為x，根據sint=(x/a)作如圖4-2所示的輔助三角形，于是有圖

4-2圖

4-3例13

求.

解

令x=atant，則dx=asec2tdt，于為了把sect和tant換成x的函數，作如圖4-3所示的輔助三角形，即tant=(x/a)，,將其代入上式，得其中，C=C1－lna，仍為任意常數.例14

求.

解令x=asect，則t∈[0，(π/2)]，dx=asecttantdt，于是根據sect=(x/a)作如圖4-4所示的輔助三角形，于是有，將其代入上式，得圖

4-4

4.3分部積分法

4.2節(jié)學習了換元積分法，大大拓展了求不定積分的范圍，但是仍然有一些簡單函數的不定積分，如∫xexdx、∫xsinxdx、

∫exsinxdx、∫lnxdx、∫arcsinxdx等不能解決.本節(jié)介紹不定積分的分部積分法.

設函數u=u(x)、v=v(x)具有連續(xù)的導數，由函數乘積的微分法則可得

d(uv)=udv+vdu

即

udv=d(uv)－vdu

兩邊取不定積分，可得

∫udv=uv－∫vdu

或∫uv′dx=uv－∫u′vdx

即分部積分公式.分部積分公式實際上是一個積分的轉化關系式，如果公式左側的不定積分不易計算，則利用該公式將左側較難的積分轉化為右側較簡單的積分，可起到化難為易的作用.

例1

求不定積分∫xexdx.

解設u=x，v′=ex，則du=dx，v=ex，由分部積分公式得

∫xexdx=xex－∫exdx=xex－ex+C

如果設u=ex，v′=x，則du=exdx，v=(1/2)x2，于是這時，后面的積分∫x2exdx要比原來的積分∫xexdx更復雜、更難計算.因此，應用分部積分公式求不定積分的關鍵在于正確地選擇u和v.一般遵循以下兩點：

(1)由v′易求出v；

(2)右側積分∫u′vdx要比左側積分∫uv′dx簡單易求.

例2

計算下列不定積分:

(1)∫xcosxdx；

(2)∫x2exdx.

解

(1)設u=x，則v=sinx，于是等式右端出現了原不定積分，于是移項，除以2加上任意常數，得

在這個例子中可以看到連續(xù)使用兩次分部積分公式后得到所求不定積分滿足的一個方程，用解方程的方法得到所求的不定積分.

4.4常微分方程初步

4.4.1微分方程的概念

例1

已知某曲線經過點(1，0)，且曲線上每一點處的切線斜率等于該點橫坐標的倒數，求該曲線的方程.

解設所求曲線的方程為y=f(x),則由導數的幾何意義可得

根據導數公式知(ln|x|+C)′=(1/x)，其中C為任意常數，于是

y=ln|x|+C

又因為曲線經過點(1，0)，即y|x=1=0，將其代入上式，解得C=0，故所求曲線的方程為

y=ln|x|

例2

驗證：函數y=C1sinx+C2cosx是微分方程y″+y=0的通解.

解

y′=C1cosx－C2sinx，y″=－C1sinx－C2cosx

將它們代入方程，得

y″+y=－C1sinx－C2cosx+C1sinx+C2cosx=0

所以，函數y=C1sinx+C2cosx是微分方程y″+y=0的解，且含有兩個獨立的任意常數，故函數y=C1sinx+C2cosx是微分方程y″+y=0的通解.

例3

求微分方程y'''=ex的通解.

解

4.4.2可分離變量的一階微分方程

定義4.3

形如

(4-1)

的微分方程稱為可分離變量的一階微分方程.

解法：分離變量，可化為(g(y)≠0)(4-2)上式兩邊積分，得(4-3)則微分方程(dy/dx)=f(x)·g(y)的通解為

G(y)=F(x)+C(C為任意常數)

其中，G(y)、F(x)分別是[1/g(y)]、f(x)的一個原函數.

以上求解微分方程的方法稱為變量分離法.式(4-2)稱為已分離變量的微分方程.式(4-3)為式(4-1)的通解表達式.

例4

求微分方程(dy/dx)=－(x/y)的通解.

解分離變量，得

ydy=－xdx

兩邊積分，得故有故原方程的通解為

x2+y2=C(C=2C1)

例5

求微分方程(dy/dx)=2xy的通解.

解分離變量，得

(1/y)dy=2xdx

兩邊積分，得

故有

ln|y|=x2+C1

令

，則原方程的通解為

例6

求微分方程ey(1+x2)dy=2x(1+ey)dx滿足初始條件y|x=0=0的特解.

解變量分離，得兩邊積分，得于是

ln(1+ey)=ln(1+x2)+lnC

故原方程的通解為

1+ey=C(1+x2)

即

y=ln[C(1+x2)－1]

將初始條件y|x=0=0代入上式，可得C=2，故原方程的特解為

y=ln[2(1+x2)－1]4.4.3一階線性微分方程

定義4.4

形如

y′+P(x)y=Q(x)

(4-4)

的微分方程稱為一階線性微分方程，其特征是：未知函數及其導數都是一次的.

當Q(x)=0時，式(4-4)化為

(4-5)

方程(4-5)稱為一階線性齊次微分方程；當Q(x)≠0時，方程(4-4)稱為一階線性非齊次微分方程.

1.一階線性齊次微分方程的通解

將方程(4-5)變量分離，得

兩邊積分，得

故一階線性齊次微分方程的通解為

(4-6)

2.一階線性非齊次微分方程的通解

方程(4-4)的通解可以利用“常數變易法”求得：首先求得方程(4-4)對應的一階線性齊次微分方程(4-5)的通解，再將一階線性齊次微分方程(4-5)的通解中的任意常數C換成待定函數C(x)，即設一階線性非齊次微分方程(4-5)的通解為

(4-7)

則

(4-8)

把式(4-7)和式(4-8)代入方程(4-5)，得

兩邊積分，得故一階線性非齊次微分方程的通解為(4-9)式(4-9)可化為例7

求微分方程

的通解.

解首先求解對應的一階線性齊次微分方程

y′+2xy=0

解得通解為

其次，利用常數變易法，設原方程的解為

，則

將y、y′