2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點專題《極值點偏移的十大類型》題型突破及解析

重難點專題08極值點偏移的十大類型

題型1加法型構(gòu)造一元差函數(shù)...........................................1

題型2乘法型構(gòu)造一元差函數(shù)..........................................2

題型3構(gòu)造輔助函數(shù)+構(gòu)造一元差函數(shù)...................................3

題型4比值代換法.....................................................4

題型5對數(shù)均值不等式法...............................................5

題型6加法型匯總.....................................................6

題型7減法類型.......................................................7

題型8乘積型匯總.....................................................8

題型9平方類型.......................................................9

題型10商類型.......................................................10

題型1加法型構(gòu)造一元差函數(shù)

極值點偏移問題中（極值點為股），證明xJxQZr，或右?公＜2右的方法：

①構(gòu)造網(wǎng)力二武力-路「立

②確定網(wǎng)力的單調(diào)性，

③結(jié)合特殊值得到W3）一衣4-刀）乂或真幻-Wa-刀）＜0,再利用

火力）二元公），得到真力）與力）的大小關(guān)系，

④利用戶工）的單調(diào)性即可得到無或

【例題1】（2023?直慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)

Ax）^-sinQx）-》二1為其極小值點.

（1）求實數(shù)石的值；

⑵若存在r，Hx：,使得代孫）二爪孫），求證：不。尸2

【變式1-1]1.（2022?全國-高三專題練習(xí)）已知函數(shù)

f（x）--定+力巳工+巳"；

（1）求的極值.

⑵若漢馬）二式打）二式孫），孫（力（石，證明：孫+孫（2

【變式1-112.（2023?貴州畢節(jié)-?？寄M預(yù)測）己知函數(shù)

/（x）二（然.-liu-ax-a）,a〉Q.

（1）當時，Hx）求己的取值范圍.

⑵若函數(shù)Hx）有兩個極值點證明：丸+力＞2"

【變式1-1]3.（2022?江蘇南通?高三期中）己知五?二-—#（3G月，其

極小值為-4.

（1）求4勺值；

（2）若關(guān)于邛勺方程/O）=f在（03上有兩個不相等的實數(shù)根孫，孫，求證：

3〈M+孫〈4.

【變式1-114.（2023?黑龍江牡丹江?牡丹江一中校考三模）已知函數(shù)

a為實數(shù).

（1）求函數(shù)火力的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)H力在X=e處取得極值，for）是函數(shù)Wx）的導(dǎo)函數(shù)，且fa,）二九

禹《也，證明：2《小+孫（c

題型2乘法型構(gòu)造一元差函數(shù)

處理極值點偏移問題中的類似于黑燈（3（胃1。二式右））的問題的基本步驟如下：

①求導(dǎo)確定?x）的單調(diào)性，得到X。尤的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)八力二大力-f（3,求導(dǎo)后可得用?恒正或恒負；

③得到HzJ與49的大小關(guān)系后，將Hz?）置換為犬處）；

④根據(jù)r與=所處的范圍，結(jié)合Hx）的單調(diào)性，可得到公與=的大小關(guān)系，由此證

得結(jié)論.

【例題2】（2022?北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)高三期中）已知函數(shù)Hx）=lnx-彳

（1）求函數(shù)式x）單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)函數(shù)烈x）二式丫）+凡若刈孫G（Oe]是函數(shù)儀x）的兩個零點，

①求4勺取值范圍；

②求證：治力＜1.

【變式2T】L（2023秋?遼寧丹東?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)

f（x）二鏟-jinx/，-aj.

⑴證明：若aWeX,則

（2）證明：若L有兩個零點無，無，則九七（7.

【變式2-112.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)打外二

⑴若xM1時，求④的取值范圍；

（2）當己二7時，方程6有兩個不相等的實數(shù)根證明:X<1.

【變式2-1】3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)

（1）求犬力在匕/8）上的最小值.

⑵設(shè)烈X）=Hx）“。；打-Ini-4若式X）有兩個零點"工，證明：XI?<1.

【變式2-114.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)*力=Ini.

（1）證明：WX.

（2）若函數(shù)用了）二為真力，若存在與使武幻二狀七）,證明：孫‘燈S

題型3構(gòu)造輔助函數(shù)+構(gòu)造一元差函數(shù)

極值點偏移問題的一般題設(shè)形式：

1.若函數(shù)存在兩個零點再，七且品力尤，求證：*子孫，24（說為函數(shù)ff力的

極值點）；

2.若函數(shù)分）中存在即史且*聲憶滿足置"二fGJ求證：的〃/Zr,（Jh為

函數(shù)/Y#的極值點）；

3.若函數(shù)存在兩個零點立身且距=E，令x產(chǎn)早,求證：，（卷乂；

4.若函數(shù)中存在孔a且*工工滿足ffGJ令孫二號，求證：

/（xj）>0.

【例題3]（2023秋-黑龍江鶴崗?高三鶴崗一中?？奸_學(xué)考試）己知函數(shù)

真力二引烈x）=^=2.71828--?為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）當e=7時，求函數(shù)V二f（x）的極大值；

(2)已知"X,W(Q吟,且滿足Hx；)，g(xR,求證：x，+ae”2a.

【變式3-1]1.(2023?廣東茂名-茂名市第一中學(xué)校考三模)已知函數(shù)

/(x)=ax+(a-J)lnj+-?，JaE'}?

(1)討論函數(shù)貝月的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于鄧勺方程"1Tn"泊兩個不相等的實數(shù)根，、無，

(i)求實數(shù)a的取值范圍；

(ii)求證：句*：*..

【變式3-112.(2023?山東日照?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)真力二x-alru.

(1)若Hx)》斗亙成立，求實數(shù)如勺值：

⑵若X))。,u"；?了：,證明：fx尸2

【變式3-1]3.(2022秋-浙江杭州-高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期中)已知

函數(shù)f份)=(%-x)lm,其中廿二Z〃828...為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)討論函數(shù)廣浦的單調(diào)性；

(2)若打，打￡(04，JSxjnx.-x.lnxj-^x：xXlnx2-InxJ,證明：

2Z、+L《2e+1

X.19

【變式3-1】4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)兵力二X(7-lnx).

(I)討論0X)的單調(diào)性；

⑵設(shè)為6為兩個不相等的正數(shù)，且bln”mink”乙證明：2《注

題型4比值代換法

比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關(guān)系,

然后利用兩個極值點的比值作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的.設(shè)法用比值

JTj

(一般用7表示)表示兩個極值點，即'=；,化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將

所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于？的函數(shù)問題求解.

【例題4】(2023?北京通州-統(tǒng)考三模)已知函數(shù)月力=^-\-lnx(a>0)

(1)已知f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為求實數(shù)a的值;

⑵已知f(x)在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

(3)已知展")二五')七有兩個零點公，"求實數(shù)a的取值范圍并證明丘力)—

【變式4-111.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)

/(j)-ex(j-2]:kx3

(1)若左二，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在三個極值點M’x力與，且孫(孫(力，求4的取值范圍，并證明：

必F>2x：.

【變式4-112.(2022?全國?高三專題練習(xí))己知函數(shù)

f(x)-x2-a-2e~r^lnx(aER\且f①是函數(shù)fG)的導(dǎo)函數(shù)，

⑴求函數(shù)的極值；

(2)當時，若方程「公二。有兩個不等實根叫H力G-

、工口In孫Tn年〈與二

(1)證明：v與：；

(ii)證明：fG；小。.

【變式4-113.(2023?四川綿陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)

在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.

⑴求石的取值范圍；

(2)記兩個極值點為r，,E,且，<七.若』21，證明：一「4.

【變式4-114.(2022?全國-高三專題練習(xí))已知函數(shù)十?=Inx.

(1)設(shè)函數(shù)式?=3-卜式[且烈丫)與/0)恒成立，求實數(shù)珀勺取值范圍；

(2)求證：

⑶設(shè)函數(shù)y二‘("一"一式&三用的兩個零點"犯，求證：X：x?>2/.

題型5對數(shù)均值不等式法

L(afb)=iM-ia*

兩個正數(shù)琳曲的對數(shù)平均定義：S(a=b).

對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：GWLQb)W號(此式記為對

數(shù)平均不等式)

取等條件：當且僅當3二加寸，等號成立.

【例題51(2022?全國-高三專題練習(xí))已知函數(shù)武力(3片用

(F(其為正＞)的導(dǎo)函數(shù)).

(1)討論f(x)單調(diào)性；

(2)設(shè)必1犯是的兩個極值點，證明：°＜之,1

【變式5-111.(2022?黑龍江?牡丹江市第二高級中學(xué)高三階段練習(xí))已知

函數(shù)//二八.一;加

⑴若在由+8)上單調(diào)遞減，求實數(shù)。的取值范圍.

⑵若"七是方程打第二。的兩個不相等的實數(shù)根，證明：不+力”.

【變式5-1】2.(2022?全國-高三專題練習(xí))已知函數(shù)尸(x)=lnx?ax,a為

常數(shù).

(1)若函數(shù)f(x)在x=l處的切線與x軸平行，求a的值；

(2)當a=l時,試比較，(加與的大小；

(3)若函數(shù)f(x)有兩個零點小、X2,試證明必先＞＜/.

【變式5-113.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f/ualn＞+x+s存

在兩個零點看，死.

(1)求之的取值范圍；

(2)證明：孫物力.

【變式5-1]4.(2023?廣東廣州?廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測)己

知函數(shù)犬x)-Inx-5r

(1)討論函數(shù)W了)的單調(diào)性：

(2)若口元是方程Hx)二。的兩不等實根，求證：

題型6加法型匯總

【例題6】(2023春?江西宜春?高三?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)

/(x)-jalnx-(a-5)j,aW).

(1)當時，求曲線爪力二/(力-JlnN-siru在“二不處的切線方程；

(2)設(shè)心E是用外二力>)-(礪-Zlnx-%的兩個不同零點，證明：aU+x/X.

【變式6-1]1.(2022秋?安徽阜陽-高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練

習(xí))已知函數(shù)*"二4"1皿火力￡另

(1)求函數(shù)Hx)的單調(diào)區(qū)間和最大值；

⑵設(shè)函數(shù)用力二找兩個零點"刈，證明：黑打；)2.

【變式67】2.(2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)-jTlni-a(ae另.

(1)求函數(shù)Hx)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)H*)有兩個零點工、七，證明,,町+孫<3.

【變式67】3.(2023春-全國-高三專題練習(xí))已知函數(shù)

J(X)-ar￡尬

(1)討論Hx)的單調(diào)性；

(2)若X了)有兩個零點孫，北，證明：與‘燈)：

【變式6-1】4.(2023?全國-高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)興初二1n(x-】)-

⑴若Hx)對Hr￡[2+8)恒成立，求實數(shù)A的取值范圍；

⑵己知方程"三二3有兩個不同的根，、x：,求證：九+x，>6e+2,其中

?為自然對數(shù)的底數(shù).

題型7減法類型

【例題7】(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)

(1)求函數(shù)Hx)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)若衣巴)二力刀)-J；<x:<JJ,求證：號7.

【變式7-111.(2021?常熟市月考)設(shè)函數(shù)f㈤=lm,g(x)二a(x-l),其中

ae/

(1)若證明：當?shù)?1時，fM<g(x).

(2)設(shè)尸⑴=式，且其中^是自然對數(shù)的底數(shù).

①證明尸田恰有兩個零點；

②設(shè)在如為尸行)的極值點，片為尸色)的零點，且片證明：3句一盯

【變式7-112.(2021?黃州區(qū)校級模擬)已知函數(shù)十?="ln＞-(3+i)ln兒武x)

的導(dǎo)數(shù)為f(力.

(1)當3X時，討論f(力的單調(diào)性；

(2)設(shè)方程式?二:-x有兩個不同的零點公孫(孫(孫),求證不‘廿’孫

【變式7-113.(2023-全國-高三專題練習(xí))已知函數(shù)=e'-2r-("1)，

式力二刃(其中u=2〃8Z是自然對數(shù)的底數(shù))

(1)試討論函數(shù)找力的零點個數(shù)；

(2)當時，設(shè)函數(shù)加力二汽力一式力的兩個極值點為兄、力且，＜必，求證：

e盯?。七＜4"￡

【變式77】4.(2021?日照模擬)設(shè)函數(shù)/包二^一：冊7

(1)若函數(shù)在十上單調(diào)遞增，求z的值；

⑵當方＞】時,

①證明：函數(shù)有兩個極值點孫，孫國〈孫),且力一工.隨著電勺增大而增大；

②證明：…]+今.

【變式7-115.(2021春?麗水期中)已知函數(shù)4x)=2xlm,烈x)=x2+ax-l.

ae/

(1)若對任意x三匕+R),不等式Wx)WEx)恒成立，求電勺取值范圍;

(2)若函數(shù)次丫)=?。?|一%有3個不同的零點M,孫,孫(孫(孫(七).

(i)求證：小";

(ii)求證：孫一孫“"Za-q-Z.

題型8乘積型匯總

【例題8](2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測)已知

f\x)-2x-sin/-?lru.

(1)當時，討論函數(shù)勺極值點個數(shù)；

⑵若存在尤，x/d，使=fGJ求證：N：＜注

【變式8-1]1.(2023秋?湖北黃岡-高三流水縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))己

知函數(shù)犬力-XlnJ-a),烈%)二十在3.心.

(1)當尸21時，胃力2-lnx-4亙成立，求a的取值范圍.

(2)若烈了)的兩個相異零點為七，七，求證：工，%)/.

【變式8-1】2.(2023?新疆?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)必’2公，

d￡/,其中。為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若HJ)有兩個極值點，求珀勺取值范圍；

⑵記H力有兩個極值點為r、元,試證明：X,必＜2(X-

【變式8T】3.(2022秋?遼寧?高三遼寧實驗中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)

/(力二2x-sinx?加1山，式力=/(*)*sinj.

(1)求函數(shù)儀力的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵若存在X”必，8),且當，聲尤時，&；)二仆")，證明：號門.

(變式8-1]4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)

/(x)-x-sinx-tanx*alnx^i,Jey).

⑴求證：2x＜sinx*tani,e(^7)；

⑵若存在"孫!，且當x,Hx：時，使得尤均二/1七)成立，求證：號

題型9平方類型

【例題9](2023秋?遼寧大連?高三大連市第二十高級中學(xué)校考開學(xué)考試)已

知函數(shù)H")二一二.

(1)討論Hx)的單調(diào)性；

⑵若“與盧二("2)'—e是自然對數(shù)的底數(shù))，且九)。，xQO,孫聲石，證明:

中

【變式9-1】1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)?,)二=一制

(1)若貝x)W-1,求實數(shù)石的取值范圍；

(2)若犬力有2個不同的零點孫，孫(工(乙)，求證:因文埒.

【變式9-112.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)式＞)二寸

(1)討論f(x)的單調(diào)件：

(2)若9孫)燈=(“2產(chǎn)，且工1°，七》0,盯Hx：,證明：JWF'".

【變式9-113.(2021?浙江模擬)函數(shù)工

(1)若占二1,求函數(shù)在x=i處的切線；

(2)若函數(shù)，=/(X)有兩個零點無，孫，且看(樂，

(i)求實數(shù)&的取值范圍；

(ii)證明：弓一號＜一丁一.

[變式9-1]4.(2022?全國-高三專題練習(xí))已知函數(shù)

f(x)-x-sinjcosx-alm,a1.

(1)當3二。時，求曲線V二fGJ在點(不，,9))處的切線方程；

(2)^f(iB)=f(n),0＜w＜n,求證：

題型10商類型

【例題10】(2021?新疆模擬)已知函數(shù)3六1"-"狂人

I

⑴當a個時,求的單調(diào)區(qū)間;

⑵已知毛，孫但“孫)為函數(shù)/⑨的兩個極值點，求y二q鷺Tn￡

的最大值.

【變式10-1]1.(2021春?湖北期末)已知函數(shù)武力-aexnnx-2(a￡/).

(1)當aWe時，討論函數(shù)Wx)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)日＞)恰有兩個極值點X：,七(七(無)，且必打—,求工的

最大值.

【變式107】2.（2021?寧德三模）已知函數(shù)/'/二3lnx-i（a

（1）當3We時，討論函數(shù)的單調(diào)性：

（2）若函數(shù)fG）恰有兩個極值點刈孫（七〈X》,且x：+*W力nJ,求藍的最大值.

【變式10-113.（2021?新鄉(xiāng)三模）已知函數(shù)十＞）=la?.

（1）求函數(shù)式丫）=/里丫）的單調(diào)區(qū)間；

⑵證明：七「M1乙2），式孫孫）與3+七）（］-㈢,

【變式10T】4.（2021春?海曙區(qū)校級期中）已知函數(shù)二:一x'alnx.

（1）討論的單調(diào)性；

八,、"方、《，）

（2）已知夕（二，若f⑨存在兩個極值點右死，且匕＜也，求=F■的取值范

圍.

1.（2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)-----；—

（1）若函數(shù)界*）在定義域上單調(diào)遞增，求石的最大值；

⑵若函數(shù)H尸）在定義域上有兩個極值點Z和孫，若外）々，［二e（e-2,求

“年?的最小值.

2.（2023-全國-模以預(yù)測）已知函數(shù)巴A二9+lnx-n日￡用.

（1）討論函數(shù)角＞）的極值點的個數(shù)；

⑵若函數(shù)?x）恰有三個極值點不、土、孫（七＜x3KXJ-XIWJ,求x"孫?r：

的最大值.

3.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知函數(shù)*/二:的導(dǎo)函數(shù)為

f（l）.

（1）判斷fG的單調(diào)性;

⑵若關(guān)于x的方程，⑴二加有兩個實數(shù)根右xlx.Cj求證：x.W＜Z

4.（2023?湖南長沙?長沙市實驗中學(xué)?？既＃┘褐瘮?shù)

*x）-x-alnxiaek）.

⑴若用力有兩個零點，珀勺取值范圍；

⑵若方程比“-Win/x)二C有兩個實根，、七，且九二無，證明：I”,77.

5.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)

f(x)-aln(x+2)-x(aeR).

(1)討論門外的單調(diào)性和最值；

⑵若關(guān)于珅勺方程1二二-口「三命’刃有兩個不等的實數(shù)根""求證：

6.(2023?四川成都?校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)?力=

(1)若函數(shù)Nx)為增函數(shù)，求實數(shù)d的取值范圍；

⑵若函數(shù)H力有兩個極值點"求證：H?)?/(必)—必》；,

7.(2020?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)Hx)-

(1)討論函數(shù)W力的單調(diào)性.

(2)已知Wx)有兩個不同的零點1八七.

(i)求實數(shù)后的取值范圍；

(ii)求證:《纖。(F(0為的導(dǎo)函數(shù)).

8.(2021?全國-統(tǒng)考高考真題)己知函數(shù)貝工)-x(-Z-lnj).

(1)討論?*)的單調(diào)性；

(2)設(shè)Q,占為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b,證明：2＜二+：＜￡

參考答案與試題解析

重難點專題08極值點偏移的卜大類型

題型1加法型構(gòu)造一元差函數(shù)..........................................13

題型2乘法型構(gòu)造一元差函數(shù).........................................21

題型3構(gòu)造輔助函數(shù)+構(gòu)造一元差函數(shù)..................................28

題型4比值代換法....................................................37

題型5對數(shù)均值不等式法.............................................47

題型6加法型匯總....................................................55

題型7減法類型......................................................64

題型8乘積型匯總....................................................75

題型9平方類型......................................................84

題型10商類型.......................................................93

題型1加法型構(gòu)造一元差函數(shù)

極值點偏移問題中（極值點為股），證明孫，公罪?；蛐?孫＜2%的方法：

①構(gòu)造汽力二穴力-貝勿-JT）,

②確定巴6的單調(diào)性，

③結(jié)合特殊值得到0均-扎為「力）M或犬均-扎為「孫）《0,再利用

HxJ二汽七），得到汽七）與H2與-孫）的大小關(guān)系，

④利用找力的單調(diào)性即可得到x"七＞2%或九+七《2九.

【例題1】（2023?宜慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)

七）=x-sin《x）為其極小值點.

⑴求實數(shù)d的值；

⑵若存在刈使得Hx）二式與），求證：&?孫，2

【答案】⑴"7

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)二。求出d二］，再根據(jù)極小值點的定義加以驗證即可；

（2）分類討論］和打，轉(zhuǎn)化為證明當°（息"，°（孫＜2時，x/xzX,繼續(xù)

轉(zhuǎn)化為證明當1（盯*時，構(gòu)造函數(shù)產(chǎn)出＞二?6）-f々-力

?＜2）,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可證不等式成立.

【詳解】（1）f31的定義域為⑥+81

，在"L；c°s（5）二依題意得f⑴二/-盧。得2=1,

此時，⑴二1-TC0S

當oca時，。＜力弓,。＜泊仔X）弓p;,故fwf⑨在他力

內(nèi)單調(diào)遞減，

當時，：<力（兀，7C0S（TJ）<0,；門，故，fGJ在億刁內(nèi)

單調(diào)遞增，

故力力在萬二1處取得極小值，符合題意.

綜上所述：a=1.

（2）由（1）知,f㈤二x-sin（子）-1叫

不妨設(shè)力（七，

當】Wx；<”］寸，不等式幾+七）2顯然成立；

當。（x：C,外星二時，不等式幾，h）2顯然成立；

當。《x：《】，?！秾O<2時，由（1）知fGJ在內(nèi)單調(diào)遞減，因為存在孔了工,

使得升力）二穴孫），所以7（孫*,

要證1，?打”2只要證，>2?尤，

因為】<孫<2,所以。<2-與<，又在低”內(nèi)單調(diào)遞減，

所以只要證優(yōu)-xj,又巴必）二式七），所以只要證外必^/勿-必人

設(shè)/G）=勿-#（1<1<2）,

則/Q）=f（x）+f（2-x）=1-7C0S（手）-/7-7C0S（7彷切-i

:2.《:.白）?,y丘os（1X）+cos①--jx??=2.?一"^cos（：了）"

191，

令g（x）=2-0+七'Q（X<2）,則二？

因為7<x<Z所以g'3i<。gGJ在221上為減函數(shù)，所以g3><g①>=4

即/G"。

所以外力在（7,Z上為減函數(shù)，

所以產(chǎn)自=4即e一r1

綜上所述：孫+孫，2

【點睛】方法點睛：本于含雙變量的不等式的證明一般采用以下兩種方法：

①比值代換：設(shè)2二’，將不等式化為關(guān)于r的不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證

明即可；

②構(gòu)造函數(shù)產(chǎn)公)二%-力，其中占為極值點，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，根

據(jù)單調(diào)性證明即可.

【變式1-111.(2022?全國-高三專題練習(xí))已知函數(shù)

f(x)--定)1加工+=)；

(1)求勺極值.

(2)若五＞；)二式打)二大北)，孫(孫＜孫，證明：力+的＜2

【答案】⑴極大值為-e,f■的極小值為六房

⑵證明見解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性即得解；

⑵由(1)可知。(孫“＜孫，\^,g(x)-f(x)-f(2-x)f0＜x＜lt證明

f㈤＜f攵-，在自1)上恒成立，即得解.

【詳解】(1)(1)由題意可得/￡”*一定+力鏟北=(1-!)("-e).

當*〈?；驎r，/(x)＞0.當。時，/(x)＜0,

所以揖燈在(-叱。與0+上單調(diào)遞增，在自1)上單調(diào)遞減.

故的極大值為=-e,/自用勺極小值為力^二:一三；

(2)證明：由(1)可知?＜孫＜】＜孫

^g(x)=f(x)-f(2-x)t0＜x＜1,

則g'G)=f(x)+f(2-x)-(ex-7)(ex-e)I1-(e2-jr-2)(6^-e)

設(shè)方&)=則》(x)-3e3x-2e2xex*J-ex(Se2x-2ex-As).

因為二4-1%(。，所以方GA。在自1)上恒成立，即人.在自受上單調(diào)遞增,

因為人⑨＜人。)=。，所以一出)＞。在自11上恒成立，即g①在自11上單調(diào)遞

增，

因為ge(g(7)=。，所以f⑨勿-外在自11上恒成立.

因為孫W自:U,所以H＞2)(*2-肛)，

因為日＞2）=/（?。?，所以火燈）＜/（2-盯）.

由⑴可知fG）在。，3）上單調(diào)遞增，且無，2-必￡⑴+旬，

則打＜2-%，即孫+的（2

【變式1T】2.（2023?貴州畢節(jié)??？寄M預(yù)測）已知函數(shù)

Hx）二（2x+a）lnx-5（x-a）,a＞G,

（1）當時，去（，求占的取值范圍.

（2）若函數(shù)H力有兩個極值點占,無，證明：力*公Z?eT

【答案】（1）14*°0]

⑵證明見解析

、3r-2ii.ni/]也口

【分析】（1）參變分離可得42丁7二在X2,恒成立，令旦包二下二,

X七【1,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得函數(shù)曠二J與函數(shù)方作）二＞-Zrlru,

刀￡（。*8）的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)說明A（x）的單調(diào)性，不妨設(shè)

°,盯弓J,要證甬即證打，會包令"

利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.

【詳解】（1）當不臣,時，行，三d在耳》，恒成立，

令g0二^xw口,+8）,

則ga二筆號々，

?:函數(shù)g⑨在E，8）上單調(diào)遞減，

」g（x）WW/）二，

?:a星，，

?:題勺取值范圍是此*8）.

（2）函數(shù)fGJ=⑵6ra＞6,

貝ij，（x）=0nx，^^.3=0n?；/=?-*產(chǎn)]

丁函數(shù)人用有兩個極值點刈，X-,

「f'(x)二0有兩個正實數(shù)解，方程d=x-2rlru有兩個正實數(shù)解口函數(shù)夕二d與

函數(shù)力?=x-Zrlru,xE(〃，8)的圖象有兩個交點.

h(x)=1-2-2Lnx--21ni-2f令力(x)=0,解得“《，

當°<x<5時方7外乂，則A(X)單調(diào)遞增，當時方'(的”，則〃力單調(diào)遞減,

?:函數(shù)力仞的極大值即最大值為M力)=5.

又時"X)=且當X-!時，力GJ-I又從\@二0,

/.0<a<^

不妨設(shè)°J弓J,

耍證明孫F，兔—。叫+一*o"磔(力修乜)o*x)"仔r),

“僅，2

令%)-A(x)-g-J=x-^lnx-(^-x)+2修-x)In償r)

xW(。虬啕乂

所以/(x)-l-21nx-2^1-2

>力巾^r)]-2A2X1*手)-2=6

當且僅當X-忑-X,即X-工時取等號，

一:函數(shù)"力在'e(0—單調(diào)遞增，

丁尸㈤二°,丁尸&"。即候叫，

因此兀+工,>2。-；成立.

【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含

參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用；二是函數(shù)的簽點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.

【變式1T】3.(2022?江蘇南通?高三期中)已知五x)二一—#(己三用，其

極小值為-4.

⑴求邨J值；

（2）若關(guān)于卻勺方程二f在（。①上有兩個不相等的實數(shù)根4,孫，求證：

3《必+必〈4.

【答案】（1）3

⑵證明見解析

【分析】（1）求導(dǎo)，分a二。、彳和辦0三種情況求式X）的極小值，列方程求解

即可；

（2）構(gòu)造函數(shù)式力二*，）-*4-苗（0＜丫＜（，根據(jù)式力的單調(diào)性和式0=。得

到/（燈）-W4-七）再結(jié)合H孫）二/'（孫）和武力的單調(diào)性即可得到％+孫＜4；

設(shè)/＞）=2/-6九通過比較正?和版x）的大小關(guān)系得到孫（與，叉＜也，再結(jié)合

物+力二5即可得到刈+力）5.

【詳解】（1）因為■?＞）二所以￥（幻二3/-2常

當3二。時，f⑺=3/26,

所以*x）單調(diào)遞增，沒有極值，舍去.

當八。時，在區(qū)間68,苓上，/（x）＞6,式X）單調(diào)遞增，

在區(qū)間管，°）上，fa）a,五力單調(diào)遞減,

在區(qū)間（。+8）上，/（x）＞0,正?單調(diào)遞增，

所以當X=c時，式X）的極小值為=4舍去

當31。時，在區(qū)間（-8,2上，f（x））。，式X）單調(diào)遞增，

在區(qū)間（0勺）上，f（x）（。，H＞）單調(diào)遞減，

在區(qū)間管―8）上,，5＞0,/＜＞）單調(diào)遞增，

所以當X—時，正?的極小值為《子4.

所以3二工

（2）由（1）知，在區(qū)間（-8,。上，/（X）單調(diào)遞增，

在區(qū)間（。才上，尤＞）單調(diào)遞減，

在區(qū)間（Z+8）上，f⑶乂，式X）單調(diào)遞增，

所以不妨設(shè)°〈盯〈2〈必〈3.

下面先證不+力“

即證孫（4-也，因為0〈孫＜2＜孫＜，所以］＜4-七*,

又因為區(qū)間（。②上，貝丫）單調(diào)遞減，

只要證式＞;）2%4-小），又因為H孫）二汽燈），

只要證五與）〉共4-孫），只要證式犯）-/（4-方）2。.

設(shè)用刀）二式x）-五4一天）（。＜2\

則g'（x）=f（x）+f（4-x）=3x（x-2）+3（4-x）（（4-x）-2二6（又一為224

所以虱x）單調(diào)遞增，

所以爪*）,￡（。=。，所以式＞2）-式4-打）＞0.

下面證3＜與+無.

設(shè)A（x）-2X2-63,因為Wx）-嵐丫）=3-5Y+6＞=x（x-為（x-＜5）,

在區(qū)間（。為上，方5）；在區(qū)間（2①上，尤＞）＜方（或

設(shè)孫心（。7）,武心二h（xj二t,因為x必）乂（石）,

所以/4）〉方（孫），所以不《七.

設(shè)孔￡（23,/（㈢二方（見）二，，因為川萬）＜方（孫），

所以名力）1方（心），所以/＜孫

因為叢孫）=》（分）=，，所以力正取=5,

所以3二小+〃〈孫+七.

【變式1-114.（2023?黑龍江牡丹江?牡丹江一中?？既＃┮阎瘮?shù)

孔力:二（1g-判，a為實數(shù).

（1）求函數(shù)Hx）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)真了）在％二e處取得極值，，（力是函數(shù)Hx）的導(dǎo)函數(shù)，且必）,

x,《夫，證明：2＜x：ix2＜t

【答案】⑴f田遞減區(qū)間為(叱丁)，遞增區(qū)間為卜丁)8).

⑵證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負即可確定的單調(diào)區(qū)問，

(2)構(gòu)造函數(shù)，(力二g(2-x)-烈x),x￡(。刀，求導(dǎo)得，出J的單調(diào)性，即可證

明力+必)2,構(gòu)造函數(shù)式力-(-2x)=2xlnx,A(力二g(x)-(2x-比),求導(dǎo)，利

用單調(diào)性即可求證與+與?紅紅

【詳解】(1)函數(shù),㈤=/。1三人的定義域為佃，+8人

Sri

f(JT)Nxlnx■押?尸JT⑨nx-3"”令f⑶=C,所以Inx二—,得尸e-,

當x￡(?！鉬)，，㈤<0,當x手，，8),f,0,

故函數(shù)外力遞減區(qū)間為丁)，遞增區(qū)間為(E-8).

(2)因為函數(shù)"”在％二C處取得極值,

SLJ

所以x二e丁二c,得2二I,

所以f3>=/(Inx??，得f(外「傳inx-2"2iIru-〃

令g3.，=Zrlnx-力，

因為g'&J=Rru,當x=1時，g(x)=0,

所以函數(shù)在不￡(。力單調(diào)遞減，在不￡(Z，8)單調(diào)遞增，

且當Xe(fte)時，烈x)=ZRlmr-Z)<0,當不￡(孰+8)

時，烈x)-x(lnx-7)>fi,

故

0<町<7<盯<e.

先證打?孫需證孫〉2一九

因為打“力2-x*>1,下面證明烈力)二式孫))6(2-刈).

設(shè)"，)二g(2-X)-g(x),x&(。7),

貝!jt(x)>3(2-0t(x)a21n(2-力-幺n*二-21nl(2-x)x]>0

故，（力在。力上為增函數(shù)，故，（力<，⑺=g⑺-式。二。,

所以，⑸二g（2-4）-<0,則虱2-均）<g（x：\

所以2-小（七,即得jr+hM,

下面證明：xjx?《e

令烈Z）二烈孫）二M當不￡（。力時烈x）-（-2x）-2xlnx<Of所以烈x）?Z成

立，

所以-2x,>g（x,）=i,所以與?!

當x￡（Ze）時,記A（力二g（x）-（2r-發(fā)）-/rlnx-<r*fe,

所以Xe（4e）時h\x）-21ni-2<0,所以從x）為減函數(shù)得

A（J）>A（e）=2e-4e+2e=0,

所以加二6（孫）>2x廠加,即得孫

所以孫+“?/"e=e得證,

綜上，2（八+必〈工

【點睛】思路點睛：求某點處的切線方程較為簡單，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時，如果

求導(dǎo)后的正負不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù),

利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時，常采用

兩種思路：求直接求最值和等價轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)

造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.

題型2乘法型構(gòu)造一元差函數(shù)

處理極值點偏移問題中的類似于1公<。（犬工?二H七））的問題的基本步驟如下:

①求導(dǎo)確定?工）的單調(diào)性，得到叫,也的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)網(wǎng)"="力-《3,求導(dǎo)后可得用x）恒正或恒負；

③得到真句）與43的大小關(guān)系后，將真工）置換為找公）；

④根據(jù)元與最所處的范圍，結(jié)合個）的單調(diào)性，可得到打與標的大小關(guān)系，由此證

得結(jié)論.

【例題2】（2022?北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)高三期中）己知函數(shù)Hx）=lnx-3

（1）求函數(shù)式X）單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)式丫）二久力+a,若刈必G（Oe］是函數(shù)式丫）的兩個零點，

①求如勺取值范圍；

②求證：&孫〈1.

【答案】（D單調(diào)遞增區(qū)間為（。分；單調(diào)遞減區(qū)間為（，+8）

（2）①（Be-力；②證明見解析

【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)f（幻正負即可得到正?的單調(diào)區(qū)間；

（2）①將問題轉(zhuǎn)化為Wx）與y=-N在（0,e］上有兩個不同的交點，采用數(shù)形結(jié)合的

方式可求得結(jié)果；

②由①可得。（孫＜1《必忘巳設(shè)網(wǎng)刀）二式》）一8（3（］（＞W(wǎng)e）,利用導(dǎo)數(shù)可求

得漢x）＜0,進而得到式打）。（3,即烈七）0⑥，根據(jù)小卷的范圍和式丫）單

調(diào)性可得結(jié)論.

【詳解】（1）丁武X）定義域為（0,+8）,f（x）

?:當xG（。力時，/（X）＞0.當x6（，+8）時，f（幻（4

?：武*）的單調(diào)遞增區(qū)間為（。冷；單調(diào)遞減區(qū)間為（，+8）.

（2）①若*（。臼是爪X）的兩個不同零點，貝獷=f（x）與y=一在⑼村上有

兩個不同交點；

由（T知:在力3二一1,xXe）=1-e,

■:耳丫）在（0川的圖象如下圖所示，

由圖象可知：-：l＜a即盾的取值范圍為（Ze

②不妨設(shè)孫（無，由①知：0〈X：〈1〈孫We,

7g(x)=f(Y)+4,:g(x)=一,

?:泰力在（。力上單調(diào)遞增，在a+8）上單調(diào)遞減；

設(shè)網(wǎng)。=g（x）-g（3QWe）,則

產(chǎn)'（X）二.一百?（T=.號=等＜。

T，

?:尸（X）在（，e|上單調(diào)遞減，?：尸（X）"⑺二Q,:g（x）＜g（3,

又盯eael,Zg（"）＜g（H,又爪與）二式打），.：式與）＜g?）；

"￡（&1）,Ze（?J）,式x）在（。力上單調(diào)遞增，

?'々’乙則”

【變式21】1.（2023秋?遼寧丹東?高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)

/ix.'1-er-xlnx^/-a）.

⑴證明：若則/YxJ“

⑵證明：若力力有兩個零點七，七，則孫孫

【答案】（1）證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）因為fG）定義域為。"8九所以f3?2，等價于

97n設(shè)gS"：Tn"Lj求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而求得

g（x）⑴=e+1-2即可得證；

（2）不妨設(shè)孫（孫，由（1）可知無，上也是gGJ的兩個零點，且九＜；,x2＞lf

于是由于g.在口力單調(diào)遞減，故兀rn等價于虱勺）18（3.而

烈X」）二烈外）二4故無力。等價于俱”“8（90,設(shè)力/二￡G-￡（3,則①

式為富"）,G因此對力行佛導(dǎo)判斷單調(diào)性即可得證.

【詳解】（1）因為f3（定義域為“"8九所以F3I2/等價于

《Tn"J-a云L

設(shè)g小4TM…,則屋行”々^,

當0c”時，g（x）＜Ot當尸」時，g（x）＞0,

所以在⑥力單調(diào)遞減，在億+8）單調(diào)遞增，

故〃32g⑴二"1-A.

因為aWd,所以于是/YZI24

（2）不妨設(shè)襄＜x；,由（1）可知X，，力也是的兩個零點，且°＜x：（7,七），

于是由于gGJ在自力單調(diào)遞減，故九孫＜7等價于烈孫）‘‘§（3.

而虱Z）二式七）二。故兀公＜7等價于俱”“§（3.①

設(shè)Mx"g⑨-g（j則①式為用孫）乂.

因為力'.二￡（3（9=------?-----：.

設(shè)4（X.--e*+x-je?-J,

當時，/⑨二If"”打乂，故4⑨在2+8）單調(diào)遞增，

所以二4從而力因此萬GJ在億+8J單調(diào)遞增.

又孫），故/x》》h⑴=G,故對"）九（3,于是工,七包

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第（2）問是極值點偏移問題，關(guān)鍵點是通過分析法,

構(gòu)造函數(shù)加“二￡3」-￡（；）證明不等式.

【變式2-112.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fG）二Jrlnr-aj+z.

（1）若尸》/時，求石的取值范圍；

（2）當2二1時，方程ff力二b有兩個不相等的實數(shù)根X，,丸，證明：x.x.＜1.

【答案】⑴，-應(yīng)力

⑵證明見解析

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，求解最值可得范圍；

（2）把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性和最值，可以證明結(jié)論.

【詳解】（1）,.,x2j,fGJ21,云《

設(shè)=Inx-/，6r呈L,，(“)二；一^二0，

當時,令屋⑨二(得不二，當/Wx＜那寸，gf(x)＜C,g/單調(diào)遞減；當x)自

時，g'⑨＞0,單調(diào)遞增，

：.g(a)＜g(l)-C3與已知矛盾.

當aWJ時，g'⑨.,.g3l在〃，，例上單調(diào)遞增，...g㈤2g?！?。

滿足條件；

綜上，與取值范圍是r-8"」.

(2)證明：卻二】時,f-11U,當x＞Lf(i)＞0,當0c＜/,/(x)＜0,

則打力在區(qū)間2+8)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(。力上單調(diào)遞減，

不妨設(shè)，＜工，則「＜小＜】＜上，要證幾年＜7,只需證‘＜孫＜一,

,"⑴在區(qū)間億+劃上單調(diào)遞增，,只需證'

?

-f(xJ-f(x2)t..只需證

設(shè)F(x)=f(x)x《】),則/⑨=lnx-：lnjr二號】nx)。，

.,.尸㈤在區(qū)間(。力上單調(diào)遞增，.,?尸㈤(尸⑴=，，即

成立,

與孫＜1.

【點睛】方法點睛：恒成立問題的處理方法主要有：

(1)分離參數(shù)法：轉(zhuǎn)叱為函數(shù)最值問題；

(2)直接法：直接求解函數(shù)最值，必要時進行分類討論.

雙變量問題一般利用等量代換轉(zhuǎn)化為單變量問題進行求解.

【變式27】3.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知函數(shù)?e：

⑴求?x)在匕/8)上的最小值.

I

⑵設(shè)式力二式1)”新打Tnx一,若大x)有兩個零點打，丸，證明：x：x2＜1.

【答案】(1"

(2)證明見解析

【分析】（1）求導(dǎo)后，令忒X）二二.色利用導(dǎo)數(shù)可知當4學(xué)】時，A（x）由

此可知得到Hx）單調(diào)性，由最值定義可求得結(jié)果；

（2）求導(dǎo)后，根據(jù)g'（x）正負可確定烈x）單調(diào)性，從而確定"匯的取值范圍；采

用分析法可知要證1打<7,只需證得俱㈤=”勺?8㈢；令

"（%）nx-Nrur-'x'/）,利用導(dǎo)數(shù)可證得P（x），a結(jié)合（1）中結(jié)論可證得

W"（3,由此可得結(jié)論.

【詳解】⑴知二字“斗中停?司,

令A(yù)（x）=._比,：6⑶=—：*'+三，

則當萬》」時,從外20恒成立，」A（x）在\L*8）上單調(diào)遞增，

?：Mx）二以力二4

又當時，9星4?：/（，）24?：H?在IZ+8）上單調(diào)遞增，

E二N力二a

⑵由題意得：俱X）二三行-IHO。），則屋⑴二21^"■"—（三?”

?:當x￡（。刀時,/（x）<0；當x￡（/+8）時,g'a）20；

?:雙月在（。,力上單調(diào)遞減，在（1/8）上單調(diào)遞增，

:'6力有兩個零點必，北,-?o<X：<1,J2>1，

要證九刀（乙只需證

又Q《與《1,0<7,<1,用力在（。力上單調(diào)遞減，,：只需證用與）"§（：）,

又式乙）二小七），,：只需證烈”）1名（3,

即證：于3"“-25-3）0；

設(shè)「（力二X?2則。'（力二7-二弓二手乂，

?"（加（，+8］上單調(diào)遞增，,力（力）0⑺二4

?：刀(孫)二盯一且口盯一：,0

由⑴知：呆肉叫唱-*』-3廠4°成立，

綜上所述：XX《1.

【點睛】思路點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值、證明不等式的問題；本

題證明不等式的關(guān)鍵是利用極