安徽省六安二中河西校區(qū)2025屆高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析

安徽省六安二中河西校區(qū)2025屆高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知曲線的一條對稱軸方程為，曲線向左平移個單位長度，得到曲線的一個對稱中心的坐標(biāo)為，則的最小值是（）A． B． C． D．2．設(shè)、，數(shù)列滿足，，，則（）A．對于任意，都存在實數(shù)，使得恒成立B．對于任意，都存在實數(shù)，使得恒成立C．對于任意，都存在實數(shù)，使得恒成立D．對于任意，都存在實數(shù)，使得恒成立3．如圖，長方體中，，，點T在棱上，若平面.則（）A．1 B． C．2 D．4．函數(shù)滿足對任意都有成立，且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，，則的值為（）A．0 B．2 C．4 D．15．雙曲線﹣y2=1的漸近線方程是（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=06．函數(shù)的大致圖象為A． B．C． D．7．如圖，點E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點，點F，M分別在線段AC，BD1（不包含端點）上運動，則（）A．在點F的運動過程中，存在EF//BC1B．在點M的運動過程中，不存在B1M⊥AEC．四面體EMAC的體積為定值D．四面體FA1C1B的體積不為定值8．已知函數(shù)的最小正周期為，且滿足，則要得到函數(shù)的圖像，可將函數(shù)的圖像（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度9．設(shè)，，是非零向量.若，則（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列的前n項和為，，且對于任意，滿足，則（）A． B． C． D．11．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”，下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個數(shù)為（）①②③④⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．已知，是雙曲線的兩個焦點，過點且垂直于軸的直線與相交于，兩點，若，則△的內(nèi)切圓的半徑為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)平面向量與的夾角為，且，，則的取值范圍為______.14．在矩形中，，為的中點，將和分別沿，翻折，使點與重合于點.若，則三棱錐的外接球的表面積為_____.15．已知平行于軸的直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點，為坐標(biāo)原點，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為______.16．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點在拋物線上，則實數(shù)的值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和為，，求數(shù)列的前n項和．18．（12分）已知函數(shù)，記不等式的解集為.（1）求；（2）設(shè)，證明：.19．（12分）已知函數(shù).（1）若，且，求證：；（2）若時，恒有，求的最大值.20．（12分）已知數(shù)列，其前項和為，滿足，，其中，，，.⑴若，，（），求證：數(shù)列是等比數(shù)列；⑵若數(shù)列是等比數(shù)列，求，的值；⑶若，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.21．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；（2）定義：若直線與曲線都相切，我們稱直線為曲線、的公切線，證明：曲線與總存在公切線．22．（10分）已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)當(dāng)時，求函數(shù)在上最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

在對稱軸處取得最值有，結(jié)合，可得，易得曲線的解析式為，結(jié)合其對稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對稱軸.，又..∴平移后曲線為.曲線的一個對稱中心為..，注意到故的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的平移、函數(shù)的對稱性，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運算的能力，是一道中檔題.2、D【解析】

取，可排除AB；由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況，進(jìn)而得到要使，只需，由此可得到答案.【詳解】取，，數(shù)列恒單調(diào)遞增，且不存在最大值，故排除AB選項；由蛛網(wǎng)圖可知，存在兩個不動點，且，，因為當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，則；當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，則；所以要使，只需要，故，化簡得且.故選：D．【點睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運用，考查邏輯推理能力，屬于難題．3、D【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知；結(jié)合即可證明，進(jìn)而求得.由線段關(guān)系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長方體中，，點T在棱上，若平面.則，則，所以，則，所以，故選：D.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱可得為奇函數(shù)，結(jié)合可得是周期為4的周期函數(shù)，利用及可得所求的值.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以的圖象關(guān)于原點對稱，所以為上的奇函數(shù).由可得，故，故是周期為4的周期函數(shù).因為，所以.因為，故，所以.故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函數(shù)滿足，那么是周期為的周期函數(shù)，本題屬于中檔題.5、A【解析】試題分析：漸近線方程是﹣y2=1，整理后就得到雙曲線的漸近線．解：雙曲線其漸近線方程是﹣y2=1整理得x±2y=1．故選A．點評：本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程．屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】

因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，排除B、D，又，排除C，故選A．7、C【解析】

采用逐一驗證法，根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式，可得結(jié)果.【詳解】A錯誤由平面，//而與平面相交，故可知與平面相交，所以不存在EF//BC1B錯誤，如圖，作由又平面，所以平面又平面，所以由//，所以，平面所以平面，又平面所以，所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點到平面的距離，由//，平面，平面所以//平面，則點到平面的距離即點到平面的距離，所以為定值，故四面體EMAC的體積為定值錯誤由//，平面，平面所以//平面，則點到平面的距離即為點到平面的距離，所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選：C【點睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系，考驗分析能力以及邏輯推理能力，熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理，中檔題.8、C【解析】

依題意可得，且是的一條對稱軸，即可求出的值，再根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則計算可得；【詳解】解：由已知得，是的一條對稱軸，且使取得最值，則，，，，故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，，故也成立，故選D.考點：平面向量數(shù)量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點，作為一類既能考查向量的線性運算、坐標(biāo)運算、數(shù)量積及平面幾何知識，又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題，實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是：①利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；②將條件通過向量的線性運算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用①求解(較難)；③建系，借助向量的坐標(biāo)運算，此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.10、D【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項的正誤即可．【詳解】當(dāng)時，．所以數(shù)列從第2項起為等差數(shù)列，，所以，，．，，．故選：．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．11、B【解析】

滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點對稱，分別對所給函數(shù)進(jìn)行驗證.【詳解】滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點對稱，①不滿足（2）；②不滿足（1）；③不滿足（2）；④⑤均滿足（1）（2）.故選：B.【點睛】本題考查新定義函數(shù)的問題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.12、B【解析】

設(shè)左焦點的坐標(biāo)，由AB的弦長可得a的值，進(jìn)而可得雙曲線的方程，及左右焦點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形ABF2的面積，再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由雙曲線的方程可設(shè)左焦點，由題意可得，由，可得，所以雙曲線的方程為:所以，所以三角形ABF2的周長為設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，所以三角形的面積，所以，解得，故選：B【點睛】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法，內(nèi)切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)已知條件計算出，結(jié)合得出，利用基本不等式可得出的取值范圍，利用平面向量的數(shù)量積公式可求得的取值范圍，進(jìn)而可得出的取值范圍.【詳解】，，，由得，，由基本不等式可得，，，，，因此，的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題.14、.【解析】

計算外接圓的半徑，并假設(shè)外接球的半徑為R，可得球心在過外接圓圓心且垂直圓面的垂線上，然后根據(jù)面，即可得解.【詳解】由題意可知，，所以可得面，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，即，，設(shè)三棱錐外接球的半徑，因為外接球的球心為過底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點，則，所以外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐的外接球的應(yīng)用，屬于中檔題.15、2【解析】

根據(jù)為等邊三角形建立的關(guān)系式，從而可求離心率.【詳解】據(jù)題設(shè)分析知，，所以，得，所以雙曲線的離心率.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求解，根據(jù)條件建立之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).16、【解析】

求出雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點坐標(biāo)，并將該交點代入拋物線的方程，即可求出實數(shù)的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為，則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為，漸近線方程為，所以，該雙曲線右準(zhǔn)線與漸近線的交點為.由題意得，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用拋物線上的點求參數(shù)，涉及到雙曲線的準(zhǔn)線與漸近線方程的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）因為，所以，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，由可得，因為成等比數(shù)列，所以，所以，所以，因為，所以，解得（舍去）或，所以，所以．（2）由（1）知，，所以，所以．18、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此解不等式求得不等式的解集.（2）將不等式坐標(biāo)因式分解，結(jié)合（1）的結(jié)論證得不等式成立.【詳解】（1）解：，由，解得，故.（2）證明：因為，所以，，所以，所以.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查不等式的證明，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并設(shè)，則，，將不等式等價轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，通過推導(dǎo)出來證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，對實數(shù)分、、，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，再通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，可得出的最大值.【詳解】（1），，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.要證，即證.不妨設(shè)，則，，下證，即證，構(gòu)造函數(shù)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，即，即，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，故結(jié)論成立；（2）由恒成立，得恒成立，令，則.①當(dāng)時，對任意的，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，不符合題意；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，令，得，此時，函數(shù)單調(diào)遞增；令，得，此時，函數(shù)單調(diào)遞減...令，設(shè)，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得最大值，即.因此，的最大值為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求代數(shù)式的最值，構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于難題.20、（1）見解析（2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）(),所以，故數(shù)列是等比數(shù)列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可證數(shù)列是等差數(shù)列.試題解析：（1）證明：若，則當(dāng)(),所以，即，所以，又由，，得，，即，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列．（2）若是等比數(shù)列，設(shè)其公比為（），當(dāng)時，，即，得，①當(dāng)時，，即，得，②當(dāng)時，，即，得，③②①，得，③②，得，解得．代入①式，得．此時()，所以，是公比為１的等比數(shù)列，故．（3）證明：若，由，得，又，解得．由，，，，代入得，所以，，成等差數(shù)列，由，得，兩式相減得：即所以相減得：所以所以，因為，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列.21、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解；（2）分別設(shè)切點橫坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合，只需滿足有解即可，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點存在性定理即可證明存在.【詳解】（1），函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于在上恒成立．令，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則．因為，則在上恒成立等價于在上恒成立；又，所以，即．（2）設(shè)的切點橫坐標(biāo)為，則切線方程為……①設(shè)的切點橫坐標(biāo)為，則，切線方程為……②若存在，使①②成為同一條直線，