重難點(diǎn)06 函數(shù)零點(diǎn)問題七大題型【2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型突破】（解析版）

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難點(diǎn)專題06函數(shù)零點(diǎn)問題七大題型匯總題型1分段函數(shù)的零點(diǎn) 1題型2唯一零點(diǎn)問題 8題型3指對(duì)冪函數(shù)零點(diǎn) 12題型4含有絕對(duì)值函數(shù)的零點(diǎn) 18題型5復(fù)合函數(shù)零點(diǎn) 25題型6函數(shù)中的整數(shù)問題 31題型7三角函數(shù)的零點(diǎn) 38題型1分段函數(shù)的零點(diǎn)【例題1】（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)fx=cosπx-πaA．32,52 B．3【答案】C【分析】根據(jù)參數(shù)a的范圍，討論兩段函數(shù)的零點(diǎn)情況，利用二次函數(shù)與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合端點(diǎn)滿足的條件，即可求解.【詳解】由函數(shù)fx=cos當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)任意x>0，函數(shù)f(x)=(x-a)2-4在(0,+當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)=(x-a)由(x-a)2-4=0，??可得則在x≥a上，f(x)=(x-a)所以f(x)=cos(πx-πa)在因?yàn)?<x<a，所以-a<x-a<0，-π所以-7π2綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為52故選：C.【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍；2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.【變式1-1】1.（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃╆P(guān)于函數(shù)，fx=log甲：5是該函數(shù)的零點(diǎn).乙：4是該函數(shù)的零點(diǎn).丙：該函數(shù)的所有零點(diǎn)之積為0.?。悍匠蘤x若上述四個(gè)結(jié)論中有且只有一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤，則該錯(cuò)誤的結(jié)論是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】結(jié)合命題的矛盾性，先判斷丙、丁均正確，然后分情況討論甲乙，進(jìn)行判斷解題；【詳解】當(dāng)x∈3.5,+∞時(shí)，即甲、乙中有一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤，一個(gè)結(jié)論正確，故丙、丁均正確.由所有零點(diǎn)之積為0，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，知必有一個(gè)零點(diǎn)為0，則f0=log①若甲正確，則f5=b-5=0，則可得f由fx=1，可得log解得x=2或x=4，方程fx故丁正確.，若甲正確，乙錯(cuò)誤；②若乙正確，則f4=0，即b-4=0，則可得f由fx=1，可得log解得x=2，方程fx綜上，甲正確，乙錯(cuò)誤，故選：B【變式1-1】2.（2023·天津?yàn)I海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？既＃┰O(shè)fx是定義在R上的函數(shù)，若Fx=fx+（1）當(dāng)x∈2,（2）g（3）若gm≥2（4）若hx=gA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】由題可得fx=x-x2，后由題目條件可得gx大致圖象.（1）由題目條件可得x∈2,3時(shí)，gx=2gx-1=4gx-2=4fx-2；（2）注意k=1【詳解】因Fx=fx+x2是奇函數(shù)，則則2fx又注意到x∈1,2時(shí)，x-1∈0,1，則gx=2gx-1=2fx-1；x∈（1）x∈2,3時(shí)，x-1∈1,2，（2）注意到當(dāng)k=1時(shí)，g2k-1（3）當(dāng)x∈3,4時(shí)，由以上分析：gx=8fx-3=-8x-3x-4，則g72（4）hx=gx-kx-2有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于gx圖象與直線y=kx-2有3個(gè)交點(diǎn).由圖可得，當(dāng)直線y=kx-2與gx在x∈0,1時(shí)的圖象相切時(shí)，滿足題意.注意到當(dāng)x∈0,1時(shí)，gx圖象上有一點(diǎn)B1k<k故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題涉及求函數(shù)解析式及對(duì)于類周期函數(shù)性質(zhì)的考查.本題由函數(shù)奇偶性確定fx解析式后，結(jié)合題目條件得到了g【變式1-1】3.（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=-2ax-1+4a-a2,x<ax【答案】{2}∪(52，【分析】設(shè)h(x)=f(x)-g(x)，結(jié)合題意可知函數(shù)h(x)在區(qū)間[0，+∞)內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，分析a≤0時(shí)不符合題意，a>0時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)Δ=8a-16的正負(fù)及h【詳解】由題意，函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)=ax在區(qū)間[0，+∞設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=-2a|x-1|-ax+4a-即函數(shù)h(x)在區(qū)間[0，+∞當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間[0，+∞當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=x2-(2a+2)x+Δ=所以，函數(shù)h(x)在[a，a+1)上單調(diào)遞減，在(a+1,+∞)上單調(diào)遞增，且ha當(dāng)Δ=8a-16<0，即a<2時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間[a，+所以函數(shù)h(x)=-2a|x-1|-ax+4a-a2在[0，當(dāng)Δ=8a-16=0，即a=2時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間[2，+則當(dāng)x∈[0，2)時(shí)，h(x)=-4|x-1|-2x+4，令h(x)=-4|x-1|-2x+4=0，解得x=0或x=4當(dāng)Δ=8a-16>0h(a)=-2a+5<0，即a>52時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間則函數(shù)h(x)=-2a|x-1|-ax+4a-a2=ax+2a-a則2a-a2≤0a+2a-a當(dāng)Δ=8a-16>0h(a)=-2a+5≥0，即2<a≤52時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間則函數(shù)h(x)=-2a|x-1|-ax+4a-a2=ax+2a-a則2a-a2=0a+2a-a綜上所述，a的取值范圍是{2}∪(52，故答案為：{2}∪(52，【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)與方程等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題判斷函數(shù)y=fx(1)直接法：令fx(2)零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線，且fa【變式1-1】4.（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)fx=cosπx,0<x<ax2-4ax+8,x≥a，當(dāng)a=1時(shí)，fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；若【答案】13【分析】第一空：當(dāng)a=1時(shí)cosπx=0、x≥1時(shí)fx=0可得答案；第二空：y=x2-4ax+8x≥a至多有2個(gè)零點(diǎn)，故y=cosπx在0,a上至少有2個(gè)零點(diǎn)，所以a>【詳解】第一空：當(dāng)a=1時(shí)，當(dāng)0<x<1時(shí)，fx=cosπx=0，解得當(dāng)x≥1時(shí)，f故此時(shí)fx第二空：顯然，y=x2-4ax+8x≥a至多有2個(gè)零點(diǎn)，故y=cosπx在①若y=cosπx0<x<a恰有2個(gè)零點(diǎn)，則32<a≤52，此時(shí)y=此時(shí)32②若y=cosπx0<x<a恰有3個(gè)零點(diǎn)，則52<a≤所以y=x③當(dāng)a>72時(shí)，fa而y=cosπxx<a此時(shí)fx綜上，32<a≤2故答案為：1；32【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求零點(diǎn)的常用方法：①解方程；②數(shù)形結(jié)合；③零點(diǎn)存在定理；④單調(diào)+存在求零點(diǎn)個(gè)數(shù)，復(fù)雜的函數(shù)求零點(diǎn)，先將復(fù)雜零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為較簡單函數(shù)零點(diǎn)問題.題型2唯一零點(diǎn)問題【例題2】（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=1，且函數(shù)fA．1021 B．1022 C．1023 D．1024【答案】A【分析】對(duì)應(yīng)函數(shù)求導(dǎo)，利用奇偶性定義判斷f'(x)為偶函數(shù)，根據(jù)有唯一零點(diǎn)知f'【詳解】由f'(x)=5x而f'所以f'(x)為偶函數(shù)，則f'(0)=a所以{an+3}則a9故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷導(dǎo)函數(shù)f'(x)為偶函數(shù)，進(jìn)而得到【變式2-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)g(x)，h(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且g(x)+h(x)=ex+x，若函數(shù)f(x)=A．13 B．12【答案】C【分析】首先利用方程組法求函數(shù)g(x)的解析式，由解析式判斷f(x)的對(duì)稱性，利用導(dǎo)數(shù)分析f(x)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)有唯一的零點(diǎn)知極小值f(1)=0，即可求正實(shí)數(shù)λ值.【詳解】由題設(shè)，{g(x)+h(x)=ex由f(x)=e|x-1|+λg(x-1)-2λ2當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=ex-1+所以f(x)單調(diào)遞增，故x<1時(shí)f(x)單調(diào)遞減，且當(dāng)x趨向于正負(fù)無窮大時(shí)f(x)都趨向于正無窮大，所以f(x)僅有一個(gè)極小值點(diǎn)1，則要使函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即f(1)=0，解得λ=1.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：奇偶性求函數(shù)解析式，導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性、極值，根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及對(duì)稱性、單調(diào)性求參數(shù)值.【變式2-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=12aA．-∞,0 B．-∞,0C．-∞,0∪1,+∞【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性變換得到a=2sinx【詳解】fx=12a當(dāng)x>0時(shí)，fx=1設(shè)k=2sinxy'=cosx2，當(dāng)x=0時(shí)，ya=21-cos【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題，將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2sin【變式2-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2e|x-2|-1A．-2 B．-12 C．-1 D．-【答案】A【詳解】函數(shù)f(x)=2e設(shè)x-2=t，則函數(shù)y=2e則2e設(shè)g(t)=2et-∵函數(shù)f(t)有唯一零點(diǎn)，∴y=g(t)與y=a∴此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，∴2-a=a2，解得a=-2故選A．【變式2-1】4.（2021春?洛陽期末）存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)fx=2x+A．-∞,14 B．-∞,0 C．0,【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)y=2【詳解】令t=2x（t>0）是增函數(shù)，y=t+1t，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)y=t+1所以t=1時(shí)，ymin=2，此時(shí)x=0，因此f(x)有唯一零點(diǎn)，則零點(diǎn)為f(0)=-ma2+a-1=0，m=0時(shí)，a=1有解，m≠0時(shí)，則Δ=1-4m≥0，m≤綜上m≤1故選：A．題型3指對(duì)冪函數(shù)零點(diǎn)【例題3】（2023秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）定義在R上的偶函數(shù)fx滿足f2-x=fx+2，當(dāng)x∈0,2時(shí)，fx=(eA．e-110C．e-111【答案】D【分析】等價(jià)于y=fx與y=mx+1(m>0)的圖象在x∈0,10有5個(gè)交點(diǎn)，利用已知可得fx是周期為4的函數(shù)，且圖象關(guān)于x=2【詳解】f2-又fx是偶函數(shù)，所以f-x=f所以fx的周期為4，由f2-x=fx+2得當(dāng)x∈0,2時(shí)，fx=若在區(qū)間x∈0,10內(nèi)，函數(shù)gx=f等價(jià)于y=fx與y=mx+1(m>0)的圖象在x∈結(jié)合圖象，當(dāng)x=10時(shí)y=fx與y=mx+1(m>0)當(dāng)m=0時(shí)y=fx與y=mx+1(m>0)可得A10,e，此時(shí)e=10m+1則實(shí)數(shù)m的取值范圍是0,e故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題的關(guān)鍵點(diǎn)是等價(jià)于y=fx與y=mx+1(m>0)的圖象在x∈【變式3-1】1.（2021秋?紹興期末）已知a,b,c∈R，a+b+c=0，若3ax2+2bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)根是x1，x2A．36 B．33 C．3【答案】D【解析】根據(jù)12x1-1+【詳解】因?yàn)?ax2+2bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)根是x所以x1+x所以12x1-1=214c3a+4b因?yàn)閍+b+c=0，所以23a4c+4b+4a-a=23.即12所以12x1故選：D【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.【變式3-1】2.（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知λ>0，若關(guān)于x的方程ex-1x-λx+λA．-∞,1 B．1,+∞ C．【答案】B【分析】化簡ex-1λx-x+lnλx=ex-lnλx-1-x-lnλx=0，令t=x-lnλx，轉(zhuǎn)化為et【詳解】由題意得，ex-1令t=x-lnλx，問題轉(zhuǎn)化為設(shè)ht=e當(dāng)t∈-∞,1時(shí)，h't<0，ht單調(diào)遞減；當(dāng)又由h1=0，所以ht存在唯一零點(diǎn)t=1，即1=x-即1+lnλ=x-lnx，令當(dāng)x∈0,1時(shí)，p'x<0；當(dāng)x∈所以函數(shù)px在0,1上單調(diào)遞減，在1,+所以1+lnλ≥p1故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為1,+∞故選：B.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．【變式3-1】3.（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx=eA．0,1 B．1,C．e1e【答案】D【分析】由函數(shù)fx有兩個(gè)大于1的零點(diǎn)，得fx在1,+∞【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=ex-a由fx=e當(dāng)a≤0時(shí)，f'x>0恒成立，所以f(x)當(dāng)a>0時(shí)，顯然f'x=ex當(dāng)0<a≤e時(shí)，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f'x當(dāng)a>e時(shí)，因?yàn)閒所以存在x0∈1,a，使得f當(dāng)x∈1,x0時(shí)，f當(dāng)x∈x0,+∞時(shí)，所以f(x)在x=x而f(1)=e>0，當(dāng)x趨向正無窮時(shí)，所以當(dāng)函數(shù)fx有兩個(gè)大于1的零點(diǎn)時(shí)，只要ffx設(shè)y=xex(x>1)，則y設(shè)g(x)=1-xlnx，則g'(x)=-lnx-1，當(dāng)對(duì)于D，當(dāng)a∈ee+1,e當(dāng)x0≥e時(shí)，1-故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．【變式3-1】4.（多選）（2023·廣東廣州·華南師大附中?？既＃┮阎猣x=elnxx+xeA．存在實(shí)數(shù)k，使得xB．xC．k∈D．lnx【答案】BCD【分析】化簡方程，令elnxx=t，得到t2+(1-k)t-k+1=0．構(gòu)造函數(shù)g(x)=elnxx，則g'(x)=e?1-lnxx2，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象，要使關(guān)于x【詳解】由方程elnxx令elnxx=t，則有t+令函數(shù)g(x)=elnxx令g'x>0，解得0<x<e，令所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在所以gx作出圖象如圖所示，要使關(guān)于x的方程elnxx+xeln且x1<x2<x3，結(jié)合圖象可得關(guān)于t的方程t2+(1-k)t-k+1=0令gt若t1≤0,0<t2<1若t1=1,0<t綜上k∈1,由圖結(jié)合單調(diào)性可知x3若f1=1-k=0，則k=1，又lnx

故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是：令g(x)=elnxx，判斷出函數(shù)g(x)的單調(diào)性，結(jié)合圖象將e題型4含有絕對(duì)值函數(shù)的零點(diǎn)【例題4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fx=ax2-2x-【答案】-【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷a的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)x2-ax+1≥0時(shí)，fx即a-1x-1若a=1時(shí)，x=-1若a≠1時(shí)，x=1a-1或若方程有一根為x=-1，則1+a+1≥0，即a≥-2若方程有一根為x=1a-1，則1a-12-a×若x=1a-1=-1時(shí)，a=0（2）當(dāng)x2-ax+1<0時(shí)，fx即a+1x-1若a=-1時(shí)，x=1，顯然x2若a≠-1時(shí)，x=1或x=1若方程有一根為x=1，則1-a+1<0，即a>2；若方程有一根為x=1a+1，則1a+1若x=1a+1=1時(shí)，a=0綜上，當(dāng)a<-2時(shí)，零點(diǎn)為1a+1，1當(dāng)-2≤a<0時(shí)，零點(diǎn)為1a-1，-1當(dāng)a=0時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)-1；當(dāng)0<a<1時(shí)，零點(diǎn)為1a-1，-1當(dāng)a=1時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)-1；當(dāng)1<a≤2時(shí)，零點(diǎn)為1a-1，-1當(dāng)a>2時(shí)，零點(diǎn)為1,-1．所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a≠0且a≠1．故答案為：-∞【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對(duì)值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對(duì)應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)，從而解出．【變式4-1】1.（2021春?寧夏校級(jí)月考）已知函數(shù)fx=x2+3x，x∈R【答案】0,1∪【詳解】試題分析：（方法一）在同一坐標(biāo)系中畫fx=xfx與gx圖象恰有四個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)y=ax-1與y=x2+3x（或y=-ax-1與y=-x2-3x）相切時(shí)，fx與gx圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)．把y=ax-1代入y=x2+3x，得x2+3x=ax-1，即x（方法二）顯然x≠1，∴a=x2+3xx-1∵t+4t∈-∞,-4∪4,+∞，∴考點(diǎn)：方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)．【變式4-1】2.（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)fx=x2+(4a-3)x+3a,x<0loga(x+1)+1,x?0（a>0且a≠1）在【答案】1【分析】利用函數(shù)是減函數(shù),根據(jù)對(duì)數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷出a的大致范圍，再根據(jù)fx為減函數(shù)，得到不等式組,利用函數(shù)的圖象,方程的解的個(gè)數(shù),推出a【詳解】函數(shù)fx=x2+(4a-3)x+3a,在R上單調(diào)遞減，則：3-4a2解得，13由圖象可知，在[0,+∞)上,fx故在(-∞,0)上,fx當(dāng)3a>2即a>23時(shí),聯(lián)立則Δ=4a-22-4當(dāng)1≤3a≤2時(shí),由圖象可知，符合條件，綜上：a的取值范圍為13故答案為13【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和方程的零點(diǎn),對(duì)于分段函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù),除了每一段都是減函數(shù)以外,還要注意右段在左段的下方,經(jīng)常會(huì)被忽略,是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)；復(fù)雜方程的解通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn),或兩函數(shù)的交點(diǎn),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)合思想,屬于難題.【變式4-1】3.（2021秋?瑤海區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)fx，gx分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足fx+gx=2x-x，則f0的值為【答案】112或【分析】構(gòu)造函數(shù)方程并根據(jù)奇偶性可求得函數(shù)fx2t-λ?1【詳解】∵fx，gx分別是定義在∴g0=0，f∵f-x=f又∵fx∴f-x①+②：2fx=2令h又∵h(yuǎn)換元設(shè)x-2021=t又∵關(guān)于x的方程2x-2021設(shè)mt∵mt為偶函數(shù)，∴當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)為唯一零點(diǎn)，∴1-λ-2λ2=0，解得故答案為：0；12或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)方程并根據(jù)奇偶性求函數(shù)解析式、利用偶函數(shù)的對(duì)稱性求解是解題關(guān)鍵.【變式4-1】4.（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）函數(shù)fxA．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】令f(x)=0兩個(gè)解為零點(diǎn)，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換成gx=4sinπ2x，hx=x-1兩個(gè)函【詳解】令f(x)=0，得4sinπ2x=x-1令gx=4singx的周期T=2ππ2=4，對(duì)稱軸做出gx=4sin顯然，f(x)在0,1和1,2上各存在一個(gè)零點(diǎn)，∵g5=4sin∴f(x)在(4,5]上有兩個(gè)零點(diǎn)，同理f(x)在[-3,-2)上存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)在-3,5上存在6個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)間x和hx關(guān)于x=1對(duì)稱，則f(x)零點(diǎn)關(guān)于所以f(x)的所有零點(diǎn)之和為6×1=6.故選：C【變式4-1】5.（2021?義烏市月考）已知f(x)=|x|+a2-1?ln|x+a|【答案】0.【分析】要使f(x)?0在定義域上恒成立，則函數(shù)h(x)=|x|+a2-1【詳解】令ln|x+a|=0，解得x=1-a或x=-1-a，依題意，函數(shù)h(x)=|x|+a2-1的零點(diǎn)也為x=1-a或x=-1-a，（因?yàn)閥=ln|x+a|的值域?yàn)镽，若函數(shù)h(x)=|x|+a2-1的零點(diǎn)不為x=1-a即|1-a|+a2-1=0經(jīng)檢驗(yàn)，a=0符合題意．故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立問題，函數(shù)的零點(diǎn)，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．題型5復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)【例題5】（2023秋·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)gx=2x,x<0A．1 B．3 C．5 D．7【答案】D【分析】令gx=u，則方程ggx-19gx-1=0變?yōu)榱恕驹斀狻渴紫扔蒰x定義知道u=gx≥0，又由y=gu的定義域知道然后在同一直角坐標(biāo)系中先分別畫出y=gu和y=

設(shè)方程gu=ln則由圖可知0<u現(xiàn)在在同一直角坐標(biāo)系中先分別畫出gx，y=u1，y=

由圖可知gx分別與y=u1，y=u2所以方程gg則函數(shù)fx故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是首先將原問題轉(zhuǎn)化為求方程ggx-19gx【變式5-1】1.（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）函數(shù)fx=1ex+1，若A．1,2 B．3C．0,32【答案】D【分析】由gx=0可得出fx=32或fx=a，數(shù)形結(jié)合可知直線y=3【詳解】由gx=2f解得fx=3

由圖可知，直線y=32與函數(shù)又因?yàn)楹瘮?shù)gx有四個(gè)零點(diǎn)，故直線y=a與函數(shù)fx有兩個(gè)零點(diǎn)，且所以，1<a<2且a≠3因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,3故選：D.【變式5-1】2.（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx=ex,x≤02x,x＞0，gx=xA．1-ln3 B．1+ln3【答案】C【分析】根據(jù)已知條件畫出函數(shù)圖像，得到gx與y=m的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一個(gè)在0,1上，另一個(gè)在1,+∞上，轉(zhuǎn)化為研究hx【詳解】由fx的解析式，可知fx在且值域?yàn)?,1，在0,+∞上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?,+函數(shù)fx所以在fx的值域0,1上，任意函數(shù)值都有兩個(gè)x在值域1,+∞上，任意函數(shù)值都有一個(gè)x要使Fx=gf則gx與y=m的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一個(gè)在0,1上，另一個(gè)在1,+由gx=x2-2x此時(shí)gt1=g結(jié)合fx的圖像及x1<則x1所以x1-2x令hx=lnx-3x+4，當(dāng)0<x<13時(shí)，h'x>0,所以h(x)max=h13【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題.復(fù)合函數(shù)要層層分析，通過圖像加以輔助，多變量問題要尋找變量之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)消元，從而解答.【變式5-1】3.（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx=-x2+x+2,x<02x【答案】4,5【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出fx在0,+∞上的單調(diào)性與極大值，即可畫出函數(shù)fx的圖象，依題意可得關(guān)于x的方程2ef2x-afx+2e=0恰有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令fx=t，則關(guān)于t【詳解】當(dāng)x≥0時(shí)fx=2xex，則f當(dāng)x>1時(shí)f'所以fx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+則fx在x=1處取得極大值，f1=2e，且x>0時(shí)f當(dāng)x<0時(shí)fx=-x2+x+2所以fx

對(duì)于函數(shù)gx=2ef2令fx=t，則要使2ef2即關(guān)于t的2et2-at+2e=0令gt=2et2所以Δ=a2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為4,5.故答案為：4,5【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的大致圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題.【變式5-1】4.（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx,x≥12x3-3x2+1,x<1，則x∈-1,e【答案】-40,【分析】根據(jù)各段函數(shù)的單調(diào)性分別求出各段的最小值，即可求出x∈-1,e時(shí)，fx的最小值，令t=fx，則t2-t+a=0，0<t<1有兩個(gè)解，則Δ=1-4a>0【詳解】當(dāng)x∈1,e時(shí)，fx所以此時(shí)函數(shù)的最小值為f1當(dāng)x∈[-1,1)時(shí)，fx=2x當(dāng)-1≤x<0時(shí)，f'x>0，當(dāng)0<x<1所以fx在[-1,0)上遞增，在(0,1)因?yàn)閒-1所以函數(shù)的最小值為-4，綜上，當(dāng)x∈-1,e時(shí)，fx函數(shù)fx

令t=fx，則由gx=因?yàn)楹瘮?shù)gx所以t2所以Δ=1-4a>0，且滿足0<解得0<a<1即實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,1故答案為：-4，0,【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查分段函數(shù)的最值的求法，以及根據(jù)函靈敏的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖形求解，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.題型6函數(shù)中的整數(shù)問題【例題6】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx+1-mx2有兩個(gè)零點(diǎn)A．0,e2 B．ln3e【答案】D【分析】將函數(shù)fx=lnx+1-mx2,(x>0)有兩個(gè)零點(diǎn)a,b【詳解】由題意函數(shù)fx=ln即fx=ln設(shè)hx=ln令h'x=0，解得x=e-12，當(dāng)0<x<當(dāng)x>e-12時(shí)，故當(dāng)x=e-1又x=1e時(shí)，hx=0；當(dāng)當(dāng)x>1e時(shí)，作出函數(shù)hx直線y=m與hx=ln由題意知a∈1e,因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)x0∈a,b又直線y=m與hx由圖可知：h2<m≤h1故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題是根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，關(guān)鍵在于要保證存在唯一的整數(shù)x0【變式6-1】1.（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于x的函數(shù)f(x)=x+kxA．5 B．6 C．7 D．9【答案】ABC【分析】利用對(duì)勾函數(shù)得性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，結(jié)合最值列出不等關(guān)系，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍，進(jìn)而得到答案.【詳解】由對(duì)勾函數(shù)得單調(diào)性可知，fxx>0時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，須滿足：k>0，且2k-k<0?k>4；x<0時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，須滿足：k>0，且當(dāng)k=0時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，fx=x單調(diào)遞增，無零點(diǎn)，當(dāng)x≤0時(shí)，當(dāng)k<0時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，fx=x+kx-k綜上：實(shí)數(shù)k的取值范圍為[5，9)，故選：ABC.【變式6-1】2.（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若ax-4x2+b≥0對(duì)任意x∈A．-7 B．-5 C．-6 D．-17【答案】BCD【分析】對(duì)b分類討論，當(dāng)b≥0時(shí)，由ax-4x2+b≥0可得ax【詳解】當(dāng)b≥0時(shí)，由ax-4x2+即a≤4x對(duì)任意x當(dāng)b<0時(shí)，由ax-4x可設(shè)fx=ax-4，由題意可知a<04a=--b，再由a，b所以a+b的可能取值為-17或-5故選：BCD【變式6-1】3.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=2x-3e2-ax+1ex【答案】1+【分析】將題目轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x0，使得gx0在直線hx=a【詳解】函數(shù)fx=2x-3e2-設(shè)gx=2x-3即存在唯一的整數(shù)x0，使得gx0g'x=e25-2xex，當(dāng)x∈-∞,52時(shí)，g'x>0,gx

若要存在唯一的整數(shù)x0，使得gx0則g1>h1h0≥g0解得a∈1+故答案為：1+e【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍問題，將題目轉(zhuǎn)化兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題求解是解題的關(guān)鍵.【變式6-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)fx=easinx-asinxa<-1．若?x【答案】-5【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)φx=ex-e-x-2xx<0，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性得到f【詳解】fx=easinf'x=acosxeasinx-1，當(dāng)x∈0,2π時(shí)，fx構(gòu)造函數(shù)φx=e由基本不等式可得，當(dāng)x<0時(shí)，φ'x>0恒成立，所以函數(shù)φx在-∞,0單調(diào)遞增，且即f3π2若?x0∈R即fx亦即e-a構(gòu)造函數(shù)gx=x-lnx，可知gx又a<-1，所以e-a>1，-a3令t=-a，則t>1，構(gòu)造函數(shù)ht=t-3lntt>1在t∈3,+∞單調(diào)遞增．又h3h4=4-3ln4<0，故整數(shù)a≤-5，所以整數(shù)a的最大值為-5．故答案為：-5.【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.【變式6-1】5.（2021?中衛(wèi)二模）已知函數(shù)fx=kx-1+14A．3e3C．3e3【答案】C【解析】函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間（理解為閉區(qū)間）中包含且僅包含兩個(gè)正整數(shù)，轉(zhuǎn)化為f【詳解】因?yàn)閒x所以f'由kx+14e令g(x)=3xex，則g'(x)=x∈(1,+∞),g'(x)<0作出函數(shù)g(x)與y=kx+1當(dāng)f'所以2k+1故選：C【點(diǎn)睛】本題以解不等式為載體,要求考生抓住函數(shù)圖象和性質(zhì)的本質(zhì),建立數(shù)與形之間的聯(lián)系,體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，屬于難題.題型7三角函數(shù)的零點(diǎn)【例題7】（多選）（2023秋·福建廈門·高三福建省廈門第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)函數(shù)fx=sinωx+πA．fx在0,2B．fx在0,2C．fx在0,D．ω的取值范圍是12【答案】ACD【分析】由fx在0,2π有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，可得5π≤2π【詳解】因?yàn)閒x=sin

所以5π≤2πω+π對(duì)于AB，由函數(shù)y=sinx在π5,2π對(duì)于C，當(dāng)x∈0,π10因?yàn)?25≤ω<2910，所以ωπ所以fx在0,故選：ACD【變式7-1】1.（多選）（2023秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中校考開學(xué)考試）函數(shù)f(x)=kx-|sinx|在(0,+∞A．β∈5π4C．tanβ+π4=1+β1-β D．f(x)【答案】ACD【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理來判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義推出tanβ=β，結(jié)合零點(diǎn)即方程的根來判斷B；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義推出tan【詳解】由于函數(shù)f(x)=kx-|sinx|在(0,+∞故函數(shù)y=kx,y=|sinx|的圖象在作出函數(shù)y=kx,y=|sin

要滿足題意，需滿足y=kx與y=|sinx|在由圖象可知α∈(0,π)當(dāng)x∈(0,π]時(shí)，y=sinx由于α<β，則設(shè)y=kx與y=|sinx|在(π此時(shí)y'=-cos于是tanβ+對(duì)于A，當(dāng)x∈(π,2π)時(shí)，f(x)=kx+sinx由于f(β)=kβ+sinβ=0，即令h(x)=-xcosx+sin即h(x)=-xcosh(5π4故h(x)=-xcosx+sinx在對(duì)于B，當(dāng)x∈(0,π]時(shí)，f(α)=kα-當(dāng)x∈(π,2π)時(shí)，tanβ=β，故tanβ-α=β-α=-對(duì)于D，當(dāng)x∈(0,π]時(shí)，f(x)=kx-β-π∈(0,π)，當(dāng)0<x<β-π時(shí)，f即f(x)在(0,β-π)單調(diào)遞減，在即x=β-π為函數(shù)在(當(dāng)x∈(π,2π)時(shí)，f(x)=kx+sinx當(dāng)π<x<β時(shí)，f'(x)<0，當(dāng)β<x<2即f(x)在(π,β)單調(diào)遞減，在即x=β為函數(shù)在(π,2π)即f(x)在(0,2π)上有2個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)為則x1=β-π,故選：ACD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合性強(qiáng)，難度較大，解答時(shí)要能綜合利用函數(shù)零點(diǎn)知識(shí)以及導(dǎo)數(shù)知識(shí)，靈活求解，要注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用.【變式7-1】2.（2023·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┤舸嬖趯?shí)數(shù)a及正整數(shù)n，使得fx=cos2x-asinx在區(qū)間(0,nπ【答案】5【分析】利用換元思想將問題轉(zhuǎn)化為方程2t【詳解】由題意知，fx令fx=0，t=sin而Δ=a2+8>0，則上述方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一定有兩個(gè)異號(hào)的根，當(dāng)t2<-1時(shí)，一個(gè)周期2π內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則n=2022或n=2021當(dāng)t2=-1時(shí)，一個(gè)周期2π內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，則需要2022即n=674×2=1348；當(dāng)-1<t2<0時(shí)，此時(shí)2-a-1>0若-1<a<1，此時(shí)0<t則一個(gè)周期2π則需要20224即n=2×505+1=1011；若a=-1，此時(shí)t2=-1則一個(gè)周期2π則需要20223即n=674×2=1348；若a<-1，此時(shí)t1一個(gè)周期2π則n=2022或n=2023.綜上所述，這樣的正整數(shù)n有5個(gè)，分別是1011,1348,2021,2022,2023.故答案為：5【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用分類討論思想進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.【變式7-1】3.（2023·寧夏銀川·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=cos2ωx+3sin再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)f(x)的解析式的兩個(gè)作為已知.條件①：函數(shù)f(x)的最小正周期為π；條件②：函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)0,1條件③：函數(shù)f(x)的最大值為32(1)求f(x)的解析式及最小值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間0,t（t>0）上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，求t的取值范圍.【答案】(1)選擇①②f(x)=sin(2x+π6)，f(x)的最小值為-1；選擇①③(2)選擇①②t∈[5π【分析】（1）利用三角恒等變換化簡f(x)，選擇①②：由周期得出ω，由f(0)=12得出m，進(jìn)而求出f(x)的解析式及最小值；選擇①③：由周期得出ω，由f(x)的最大值為32得出m，進(jìn)而求出f(x)的解析式及最小值；選擇②③：由f(0)=1+m=12得m=-12，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)（2）因?yàn)閤∈[0,t]，所以2x+π【詳解】（1）由題可知，f(x)=cos2ωx+選擇①②：因?yàn)門=2π2ω又因?yàn)閒(0)=1+m=12，所以所以f(x)=sin當(dāng)2x+π6=2kπ-所以函數(shù)f(x)的最小值為-1．選擇①③：因?yàn)門=2π2ω又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為m+32=所以f(x)=sin當(dāng)2x+π6=2kπ-所以函數(shù)f(x)的最小值為-1+1選擇②③：因?yàn)閒(0)=1+m=12，所以又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為m+32=32（2）選擇①②：f(x)=因?yàn)閤∈[0,t]，所以2x+π又因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,t（t>0）上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，所以π≤2t+π6<2π選擇①③：f(x)=因?yàn)閤∈[0,t]，所以2x+π又因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,t（t>0）上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，又sinx=-12時(shí)，x=-所以7π6≤2t+π6<1.（2023·山西陽泉·陽泉市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)為x1，函數(shù)g(x)=2-x-lnx的零點(diǎn)為x2，給出以下三個(gè)結(jié)論：①e【答案】①③【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推出x1=lnx2=2-x2，可得【詳解】由題意得ex1+即x1和lnx2而f(x)=ex+x-2∴f(x)在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，∴x又x1又f(0)=-1<0,f1而y=-x2+2x∴x∵0<x1<則lnx而x1-x2<0,綜上，所有正確結(jié)論的序號(hào)為①③，故答案為：①③【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題綜合性較強(qiáng)，涉及到函數(shù)零點(diǎn)以及單調(diào)性以及不等式證明相關(guān)知識(shí)，解答的關(guān)鍵在于根據(jù)lnx2+x2-2=0，變式為elnx22．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx=mlnx-2+n+1x【答案】e【分析】設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為t，則t+mlnt-2+nt=0，則點(diǎn)m,n【詳解】設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為t，則t+mlnt-2+nt=0，則點(diǎn)m,n因?yàn)閙2+n2表示（0,0）與（m,n令y=t令gt=lnt-2t當(dāng)x∈e3,e4時(shí)，g'所以m2+n故答案為：e3．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx=x-1【答案】2,+【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造y=x2-mx+1，確定Δ>0，排除m<-2的情況，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定f1【詳解】fx=x-1x-m設(shè)y=x2-mx+1當(dāng)Δ≤0時(shí)，y=x2-mx+1≥0恒成立，即故Δ>0，即m>2或m<-2當(dāng)m<-2時(shí)，f'x≥0fx單調(diào)遞增，不滿足，故m>2現(xiàn)證明m>2時(shí)滿足條件：設(shè)方程的兩個(gè)解為x1，x2，不妨取x1<x當(dāng)x∈0,x1和x∈當(dāng)x∈x1,f1=0，故fx當(dāng)x趨近0時(shí)，fx趨近-∞，當(dāng)x趨近+∞時(shí)，f故fx在0,x1綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍是2,+∞故答案為：2,+∞【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，根據(jù)Δ的大小分類討論m的取值范圍是解題的關(guān)鍵，分類討論是常用的數(shù)學(xué)方法，需要靈活掌握.4．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義xx∈R為與x距離最近的整數(shù)（當(dāng)x為兩相鄰整數(shù)算術(shù)平均數(shù)時(shí)，x取較大整數(shù)），令函數(shù)fx=x，如：f54=1，A．17 B．18910 C．19 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分析1fn的規(guī)律，將1fn重新分組，第n組為2n個(gè)1n【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)fx當(dāng)1≤n≤2時(shí)，有0.5<n<1.5，則fn當(dāng)3≤n≤6，有1.5<n<2.5，則fn當(dāng)7≤n≤12，有2.5<n<3.5，則fn當(dāng)13≤n≤20，有3.5<n<4.5，則fn……，當(dāng)2k-12<n<2k+12此時(shí)k2-k+14<n<k2+k+14，包含由此可以將1fn重新分組，各組依次為1,1、12,12,第n組為2n個(gè)1n，則每組中各個(gè)數(shù)之和為2n×前9組共有(2+18)×92=90個(gè)數(shù)，則1f100是第則1f故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是找到1fn的規(guī)律，確定5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)fx=xA．-∞,-2 B．-∞,-3【答案】B【分析】寫出f'【詳解】f(x)=x3+ax+2若fx要存在3個(gè)零點(diǎn)，則fx要存在極大值和極小值，則令f'(x)=3x2+a=0且當(dāng)x∈-∞,-當(dāng)x∈--a3故fx的極大值為f--a若fx要存在3個(gè)零點(diǎn)，則f--a3>0故選：B.6．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=cos(2πx-2πa).x<ax2A．2,94C．2,94【答案】A【分析】由x2-2a+1x+a2+5=0【詳解】∵x2-2由2πx-2πa=π2+kπ,k∈Z由0<k2+（1）x<a時(shí)，當(dāng)-5≤-2a-12<-4時(shí)，f當(dāng)-6≤-2a-12<-5，f當(dāng)-7≤-2a-12<-6，f（2）當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)=xΔ=4當(dāng)a<2時(shí)，Δ<0，fx當(dāng)a=2時(shí)，Δ=0，fx當(dāng)a>2時(shí)，令f(a)=a2-2a(a+1)+a2所以若a>52時(shí)，綜上，要使f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足74<a≤942<a≤則可解得a的取值范圍是2,9【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是分成x<a和x≥a兩種情況分別討論兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況.7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知函數(shù)f(x)=xA．f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn) B．f(x)有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心 D．直線y=2x是曲線y=f(x)的切線【答案】AC【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合f(x)的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，f'x=3x2-1，令令f'(x)<0得所以f(x)在(-∞,-33)，(因f(-33)=1+23所以，函數(shù)fx在-當(dāng)x≥33時(shí)，fx≥f3綜上所述，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令h(x)=x3-x，該函數(shù)的定義域?yàn)镽則h(x)是奇函數(shù)，(0,0)是h(x)的對(duì)稱中心，將h(x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到f(x)的圖象，所以點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心，故C正確；令f'x=3x2當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線方程為y=2x-1，當(dāng)切點(diǎn)為(-1,1)時(shí)，切線方程為y=2x+3，故D錯(cuò)誤.故選：AC.8．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)f(x)=Asinx-3cosx的一個(gè)零點(diǎn)為π3，則A=【答案】1-【分析】先代入零點(diǎn)，求得A的值，再將函數(shù)化簡為f(x)=2sin(x-π【詳解