第27章 圓 初中數(shù)學(xué)九年級下冊華師版單元測試卷(含答案)

第27章圓時間:90分鐘滿分:100分一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分.每小題有四個選項(xiàng),其中只有一個選項(xiàng)符合題意)1.(2020·江蘇揚(yáng)州江都區(qū)期中)已知☉O的面積為9πcm2,若圓心O到某直線的距離為3cm,則該直線與☉O的位置關(guān)系是()A.相切 B.相交 C.相離 D.無2.利用尺規(guī)作圖畫Rt△ABC,使其斜邊AB=c,一條直角邊BC=a,小黃的作法如圖所示,你認(rèn)為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是()A.勾股定理 B.90°的圓周角所對的弦是直徑C.勾股定理的逆定理 D.直徑所對的圓周角是直角3.如圖,△ABC的外心的坐標(biāo)是()A.(-2,-1) B.(-1,-2) C.(-1,-1) D.無法確定4.如圖,PA,PB是☉O的切線,AC是☉O的直徑.若∠P=62°,則∠BOC的度數(shù)為()A.60° B.62° C.31° D.70°5.如圖,一塊直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑重合,點(diǎn)D對應(yīng)54°,則∠BCD的度數(shù)為()A.27° B.54° C.63° D.36°6.(2020·吉林長春模擬)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,AD=2,分別以點(diǎn)A,B為圓心,AD,BC長為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,則圖中陰影部分的周長之和為()A.2+π B.4+π C.4+2π D.4+4π7.(2021·湖北十堰期中)如圖,在半徑為5的☉O中,AB,CD是互相垂直的兩條弦,垂足為點(diǎn)P,且AB=CD=4,那么OP的長為()A.1 B.2 C.2 D.228.(2021·山東臨沂期中)如圖,半徑為r的☉O的弦AC=BD,且AC⊥BD于點(diǎn)E,連接AB,AD.若AD=2,則半徑r的長為()A.22 B.2 C.1 D.9.等邊三角形的內(nèi)切圓與外接圓的半徑之比為 ()A.1∶2 B.3∶3 C.3∶2 D.3∶110.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)O在BC上,以點(diǎn)O為圓心,OC長為半徑的☉O與AB相切于點(diǎn)E,交OB于點(diǎn)D.若BD=1,tan∠AOC=2,則☉O的面積是()A.π B.2π C.169π D.9二、填空題(共6小題,每小題3分,共18分)11.如圖,AB是☉O的直徑,D是AB延長線上一點(diǎn),DC切☉O于點(diǎn)C,連接AC,OC,若∠CAB=30°,則∠D=.

12.如圖,D(0,3),O(0,0),C(4,0),點(diǎn)B在☉A上,BD是☉A的一條弦.則sin∠OBD=.

13.(2020·安徽二模)如圖,Rt△AOB的斜邊AB切☉O于點(diǎn)C,OA交☉O于點(diǎn)D,連接DC并延長交OB的延長線于點(diǎn)E.已知∠A=∠E,若OE=4,AB=163,則BC.

14.已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),以點(diǎn)P(1,2)為圓心,r為半徑畫圓,如果☉P與坐標(biāo)軸恰好有三個交點(diǎn),那么r的值是.

15.如圖,在半徑為1的扇形ACB中,∠ACB=90°,以BC為直徑作半圓,交AB于點(diǎn)D,連接CD,則圖中陰影部分的面積是.

16.如圖,MN是☉O的直徑,點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn),點(diǎn)B是劣弧AN的中點(diǎn),點(diǎn)P是直徑MN上一動點(diǎn).連接AB,AP,BP,若MN=22,AB=3-1,則△PAB的周長的最小值是.

選擇12345678910填空11.

12.

13.14.

15.

16.三\解答題(共6小題,共52分)17.(6分)(2021·四川成都武侯區(qū)一模)在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個問題:“今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺,問徑幾何?”用現(xiàn)代語言表述為:如圖,AB為☉O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,AE=1寸,CD=10寸,求直徑AB的長.請你解答這個問題.18.(8分)(2020·浙江溫州模擬)如圖,已知AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)M在☉O上,∠M=∠D.(1)判斷BC與MD的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若AE=16,BE=4,求線段CD的長.19.(8分)(2020·江蘇淮安淮陰區(qū)期末)如圖,點(diǎn)O為Rt△ABC斜邊AB上的一點(diǎn),以O(shè)A為半徑的☉O與BC切于點(diǎn)D,與AC交于點(diǎn)E,連接AD.(1)求證:AD平分∠BAC;(2)若∠BAC=60°,OA=2,求陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)20.(9分)如圖,☉O的半徑為4cm,其內(nèi)接正六邊形ABCDEF,點(diǎn)P,Q同時分別從A,D兩點(diǎn)出發(fā),以1cm/s的速度沿AF,DC向終點(diǎn)F,C運(yùn)動,連接PB,QE,PE,BQ.設(shè)運(yùn)動時間為ts.(1)求證:四邊形PBQE為平行四邊形;(2)填空:①當(dāng)t=時,四邊形PBQE為菱形;

②當(dāng)t=時,四邊形PBQE為矩形.

21.(9分)如圖,已知直線l與☉O相離,OA⊥l于點(diǎn)A,交☉O于點(diǎn)P,點(diǎn)B是☉O上一點(diǎn),連接BP并延長,交直線l于點(diǎn)C,恰有AB=AC.(1)求證:AB是☉O的切線;(2)若PC=25,OA=5,求☉O的半徑.22.(12分)[新風(fēng)向·探究性試題]【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理:如圖(1),AB和BC是☉O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦),BC>AB,M是ABC的中點(diǎn),則從點(diǎn)M向BC作垂線,垂足D是折弦ABC的中點(diǎn),即CD=AB+BD.下面是運(yùn)用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程.圖(1)圖(2)圖(3)圖(4)證明:如圖(2),在CB上截取CG=AB,連接MA,MB,MC,MG.∵M(jìn)是ABC的中點(diǎn),∴MA=MC.……請按照上面的證明思路,寫出該證明的剩余部分.【實(shí)踐應(yīng)用】(1)如圖(3),已知△ABC內(nèi)接于☉O,BC>AB>AC,D是ACB的中點(diǎn),請你依據(jù)阿基米德折弦定理直接寫出圖中某三條線段之間的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖(4),已知等腰三角形ABC內(nèi)接于☉O,AB=AC,D為AB上一點(diǎn),連接DB,DC,∠ACD=45°,AE⊥CD于點(diǎn)E,△BDC的周長為42+2,BC=2,求AC的長.第27章圓·B卷12345678910ADABCCBCAD11.30°12.313.414.2或515.π4-16.3+11.A由題意,得☉O的半徑r=3cm,且圓心O到直線的距離為3cm.故選A.2.D根據(jù)作圖方法可知,點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上,從而得出∠ACB=90°,也就得到了直角三角形,故選D.3.A圖示速解分別作邊BC,AC的垂直平分線,相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P是△ABC的外心,由圖可知P(-2,-1),故選A.

【技巧點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形外心的確定方法.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn).在網(wǎng)格中確定點(diǎn)的坐標(biāo)要借助已知線段的特殊位置來求解.4.B∵PA,PB是☉O的切線,∴∠OAP=∠OBP=90°.∵∠P=62°,∴∠AOB=360°-90°-90°-62°=118°,∴∠BOC=180°-118°=62°.故選B.5.C∵一塊直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑重合,∴點(diǎn)A,B,C,D都在以AB為直徑的圓上.設(shè)此圓圓心為點(diǎn)O,連接OD.∵點(diǎn)D對應(yīng)54°,即∠AOD=54°,∴∠ACD=12∠AOD=27°,∴∠BCD=90°-∠ACD=63°.故選6.C設(shè)∠A=n°,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠B=180°-n°,BC=AD=2.由題意得,AE=AD=2,BE=BC=2,∴圖中陰影部分的周長之和=DE的長+EC的長+CD=nπ×2+(180-n)π×21807.B如圖,過點(diǎn)O分別作OE⊥AB于點(diǎn)E,OF⊥CD于點(diǎn)F,則AE=BE=12DF=CF=12CD=2.∵AB⊥CD,∴四邊形OEPF是矩形.連接OD,OB.在Rt△OBE中,OE=OB2-BE2=(5)2-22=1.同理可得OF=1,∴OE=OF,8.C∵AC=BD,∴AC=BD,∴BC=AD,∴∠BAC=∠ABD,∴AE=BE.如圖,連接OA,OD,∵AC⊥BD,AE=BE,∴∠ABE=∠BAE=45°,∴∠AOD=2∠ABE=90°.∵OA=OD=r,∴AD=2r.∵AD=2,∴r=1.故選C.9.A如圖,△ABC是等邊三角形,AD是邊BC上的高,點(diǎn)O是其外接圓的圓心.由等邊三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)O在AD上,并且點(diǎn)O是△ABC內(nèi)切圓的圓心,OD為其內(nèi)切圓的半徑.∵AD⊥BC,∠1=∠2=30°,∴BO=2OD,∴OD∶OB=1∶2.故選A.10.D連接OE,設(shè)☉O的半徑為r,則DC=2r,BC=2r+1.∵∠ACB=90°,tan∠AOC=2,∴AC=2r.∵☉O與AB相切于點(diǎn)E,∴OE⊥AB.又∠ACB=90°,∠B=∠B,∴△ABC∽△OBE,∴BCAC=BEOE,即1+2r2r=BEr,∴BE=1+2r2.在Rt△OBE中,由勾股定理,得(1+2r(1+r)2,解得r1=32,r2=-12(舍去),∴☉O的面積為9411.30°【解析】∵DC切☉O于點(diǎn)C,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°.∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAB=30°,∴∠COD=∠ACO+∠CAB=60°,∴∠D=90°-∠COD=90°-60°=30°.12.35【解析】連接CD,∵D(0,3),C(4,0),∴OD=3,OC=4,∴CD=5.∵∠OBD=∠∴sin∠OBD=sin∠OCD=ODCD=313.43【解析】如圖,連接OC.∵AB是☉O的切線,∴OC⊥AB,∴∠ACO=90°.在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∴∠ACO=∠EOD.又∠A=∠E,CO=OD,∴△AOC△EDO,∴AC=OE=4,∴BC=AB-AC=4314.2或5圖示速解∵以點(diǎn)P(1,2)為圓心,r為半徑畫圓,與坐標(biāo)軸恰好有三個交點(diǎn),∴☉P與x軸相切[如圖(1)]或☉P過原點(diǎn)[如圖(2)].當(dāng)☉P與x軸相切時,r=2;當(dāng)☉P過原點(diǎn)時,r=OP=12+22=5,所以r=2或5.

圖數(shù)學(xué)思想本題以平面直角坐標(biāo)系為載體,主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,解答的關(guān)鍵是正確分析圓心與坐標(biāo)軸的位置特點(diǎn),分兩種情況進(jìn)行討論,滲透了分類討論思想.15.π4-14【解析】根據(jù)題意,得AC=BC,∠CAB=∠ABC=45°.∵BC是直徑,⊥AB,∴△ADC是等腰直角三角形.在Rt△ABC中,AB=12+12=BD=22,∴S陰影=S扇形ACB-S△ACD=90π×12360-12×22×16.3+1【解析】如圖,作點(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A',連接A'B,交MN于點(diǎn)P,連接OA',OA,OB,PA.∵點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于MN對稱,∴PA=PA'.∵點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn),∴∠A'ON=∠AON=60°.∵點(diǎn)B是劣弧AN的中點(diǎn),∴∠BON=30°,∴∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90°.又OB=OA'=2,∴A'B=2,∴PA+PB=PA'+PB=A'B=2.∵AB=3-1,∴△PAB的周長的最小值是2+3-1=3+1.17.【解題思路】連接OC,由CD⊥AB,可求得DE的長,利用勾股定理列方程求出半徑的長,從而求出直徑AB的長.【參考答案】如圖,連接OC.(1分)∵CD⊥AB,AB為☉O的直徑,CD=10寸,∴CE=DE=12CD=5寸.(3分)設(shè)OC=OA=x寸,則OE=(x-1)寸.由勾股定理,得OE2+CE2=OC2,即(x-1)2+52=x2,解得x=13,∴AB=26寸,故直徑AB的長為26寸.(6分)18.【解題思路】(1)根據(jù)在同圓中,同弧所對的圓周角相等,即可判斷出BC,MD的位置關(guān)系;(2)先求出AB和OE的長,連接OC,構(gòu)造直角三角形,根據(jù)勾股定理可以求得CE的長,進(jìn)而求得CD的長.【參考答案】(1)BC∥MD.(1分)理由:∵∠MBC=∠D,∠M=∠D,∴∠M=∠MBC,∴BC∥MD.(4分)(2)∵AB是☉O的直徑,CD⊥AB于點(diǎn)E,∴∠OEC=90°,EC=ED.(6分)∵AE=16,BE=4,∴AB=AE+BE=20,∴OE=OB-BE=10-4=6.連接OC,則OC=10.在Rt△OCE中,CE=OC2-OE2=8,19.【參考答案】(1)證明:如圖,連接OD,(1分)∵BC切☉O于點(diǎn)D,∴OD⊥BC.∵AC⊥BC,∴AC∥OD,∴∠CAD=∠ADO.又∵AO=DO,∴∠BAD=∠ADO,∴∠CAD=∠BAD,即AD平分∠BAC.(4分)(2)如圖,連接OE,ED.∵∠BAC=60°,OE=OA,∴△OAE為等邊三角形,∴∠AOE=∠AEO=∠DOE=60°,∴∠ADE=30°.又∵∠OAD=12∠BAC=30°,∴∠ADE=∠∴ED∥AO,∴S△EDA=S△EDO,∴S陰影=S扇形DOE=60π×22360=2π3.20.【解題思路】(1)易證△ABP≌△DEQ,可得BP=EQ,同理可證得PE=BQ,由此即可證明結(jié)論.(2)①當(dāng)PA=PF,QC=QD時,四邊形PBQE是菱形,此時t=2.②當(dāng)∠BPE=90°時,四邊形PBQE是矩形,則點(diǎn)P在以BE為直徑的圓上,即點(diǎn)P在☉O上,所以點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)F重合時,四邊形PBQE為矩形,由此可得t=0或4.【參考答案】(1)證明:∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O,∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.由☉O的半徑為4cm,易得正六邊形ABCDEF的邊長為4cm.∵點(diǎn)P,Q同時分別從A,D兩點(diǎn)出發(fā),以1cm/s的速度沿AF,DC向終點(diǎn)F,C運(yùn)動,∴AP=DQ=tcm,PF=QC=(4-t)cm.(2分)在△ABP和△DEQ中,AB=DE,∠A=∠D,AP=DQ,∴BP=EQ,同理可證PE=QB,∴四邊形PBQE是平行四邊形.(4分)(2)①2(6分)②0或4(9分)21.【解題思路】(1)連接OB,證明∠ABC+∠OBP=90°,即OB⊥AB,從而證得結(jié)論;(2)設(shè)☉O