2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第一輪復(fù)習(xí)講義（新高考地區(qū)專(zhuān)用） 考點(diǎn)08三角函數(shù)（30種題型8個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）（原卷版+解析）

考點(diǎn)08三角函數(shù)（30種題型8個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）

至一、真題多維細(xì)目表

考題考點(diǎn)考向

2022新高考1第6題三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用求值

2022新高考1第18題解三角形及其綜合應(yīng)用求角度及最值

2022新高考2第6題三角恒等變換求正切值

2022新高考2第9題三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用求單調(diào)區(qū)間，對(duì)稱(chēng)軸

2021新高考1第4題三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用求解單調(diào)區(qū)間

2021新高考1第6題三角恒等變換給值求值問(wèn)題

2021新高考2第18題解三角形及其綜合應(yīng)用求三角形的面積，應(yīng)用余弦定理判斷三

角形的形狀

B一、命題規(guī)律與備考策略

本專(zhuān)題是高考?？純?nèi)容，結(jié)合往年命題規(guī)律，命制三角函數(shù)恒等變換題目，諸如“給值求角”“給值求值”

“給角求值”，給定函數(shù)部分圖象，求解函數(shù)解析式。以選擇題、填空題為主，分值為5分，而結(jié)合三角函

數(shù)恒等變換與三角函數(shù)圖像與性質(zhì)、解三角形的題目多以解答題的形式出現(xiàn)，分值為10分。

Bb2022真題搶先刷，考向提前知

一.選擇題（共4小題）

1.（2021?新高考【）下列區(qū)間中，函數(shù)/（x）=7sin（x-管）單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

A.（0,—）B.（―,K）C.（11,絲）D.（亞，2n）

2222

2.（2021?新高考I）已知尸I,尸2是橢圓C：心2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則尸2|的最大

94

值為（）

A.13B.12C.9D.6

3.（2022?新高考I）記函數(shù)/（X）=sin（O）A+—）+b（u）＞0）的最小正周期為7.若且），=

43

;（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（2工，2）中心對(duì)稱(chēng)，則/（三）=（）

22

A.1B.—C.—D.3

22

4.(2022?新高考II)若sin(a+p)+cos(a邛)=2^2cos(a-t--)sinp,則()

4

A.tan(a-p)=1B.tan(a+0)=1

C.tan(a-p)=-1D.tan(a+0)=-1

二.多選題(共1小題)

(多選)5.(2022?新高考H)己知函數(shù)/(x)=sin(2v+(p)(0<(p<ir)的圖像關(guān)于點(diǎn)(空，0)中心對(duì)

3

稱(chēng)，則()

A./(x)在區(qū)間(0,且L)單調(diào)遞減

X2

B.fa-)在區(qū)間(-工，型L)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線是曲線y=/(x)的對(duì)稱(chēng)軸

6

D.直線v=Y2-x是曲線v=/(x)的切線

2

三.解答題(共2小題)

6.(2022?新高考I)記△A8C的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知3sA=sm2B

1+sinAl+cos2B

(1)若C=&L,求8；

3

2.,2

(2)求的最小值

7.（2021?新高考II）在△4BC中，角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)為a,b，c,b=a+l,c=a+2.

(1)若2sinC=3sin4,求△ABC的面積；

(2)是否存在正整數(shù)小使得△A4C為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由.

但四、考點(diǎn)清單

一?任意角的概念

一、角的有關(guān)概念

1.從運(yùn)動(dòng)的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角.

2.從終邊位置來(lái)看，可分為象限角與軸線角.

3.若0與a是終邊相同的角，貝邛用a表示為0=2日+a（次WZ）.

【解題方法點(diǎn)撥】

角的概念注意的問(wèn)題

注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類(lèi)角，第一類(lèi)是象限超，第二類(lèi)、

第三類(lèi)是區(qū)間角.

二.終邊相同的角

終邊相同的角：

k?360°+a（AWZ）它是與a角的終邊相同的角，（*=0時(shí)-，就是a木身），凡是終邊相同的兩個(gè)角，則它們

之差一定是360°的整數(shù)倍，應(yīng)該注意的是：兩個(gè)相等的角終邊一定相同，而有相同的終邊的兩個(gè)角則不一

定相等，也就是說(shuō)，終邊相同是兩個(gè)角相等的必要條件，而不是充分條件.

還應(yīng)該注意到:八=｛小=意到0°+30°,依Z）與集合8=｛小=在360°-330°,依Z｝是相等的集合.

相應(yīng)的與x軸正方向終邊相同的角的集合是｛.很=妙360。，蛇Z｝；與x軸負(fù)方向終邊相同的角的集合是｛,也

=&?3600+180°,髭Z｝；與），軸正方向終邊相同的角的集合是｛.小=4?360°+90°,依Z｝：與），軸負(fù)方向

終邊相同的角的集合是｛x|x=%?3600+270°,keZ]

【解題方法點(diǎn)撥】

終邊相同的角的應(yīng)用

（1）利用終邊相同的角的集合S=｛角"2Kr+a,AWZ｝判斷一個(gè)角〃所在的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫(xiě)成[0,

2n）范圍內(nèi)的一個(gè)角。與2n的整數(shù)倍的和，然后判斷角。的象限.

（2）利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集

合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)&賦值來(lái)求得所需角.

三.象限角、軸線角

在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角

（1）象限角：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就認(rèn)為

這個(gè)角是第幾象限角.

（2）若角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

（3）所有與角。終邊相同的角連同角。在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合5={用1=加■妙360°,AWZ}.

【解題方法點(diǎn)撥】

（1）注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類(lèi)角，第一類(lèi)是象限角，第

二類(lèi)、第三類(lèi)是區(qū)間角.

（2）角度制與弧度制可利用180c進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混

用.

（3）注意熟記0。?360。間特殊角的弧度表示，以方便解題.

四.弧度制

1弧度的角

把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.

規(guī)定：正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是U,倒=工，/是以角。作為

r

圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，「為半徑.

2.弧度制

把弧度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做弧度制，比值工與所取的廠的大小無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān).

r

【解題方法點(diǎn)撥】

角度制與弧度制不可混用

角度制與弧度制可利用180。進(jìn)行互化，在同??個(gè)式子中，采用的度量制度必須?一致，不可混用.

五.弧長(zhǎng)公式

弧長(zhǎng)、扇形面積的公式

設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為/,圓心角大小為a（加4）,半徑為r,則/=旭，扇形的面積為

22

【解題方法點(diǎn)撥】

弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算方法

（1）在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷.

（2）從扇形面枳出發(fā)，在弧度制卜.使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最

值.

（3）記住下列公式：①/=aR；②S=1/R；③S=.其中R是扇形的半徑，/是弧長(zhǎng)，a（0<a〈2n）

為圓心角，S是扇形面積.

六.扇形面積公式

弧長(zhǎng)、扇形面積的公式

設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為/，圓心角大小為a（md）,半徑為r,則/=這，扇形的面積為5=工"=』尸夕.

22

【解題方法點(diǎn)撥】

弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算方法

（1）在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷.

（2）從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于。的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最

值.

（3）記住下列公式：①/=M；②S=2/R：③S=2原2.其中R是扇形的半徑，/是弧長(zhǎng)，a（0<a<2K）

22

為圓心角，S是扇形面積.

七.任意角的三角函數(shù)的定義

任意角的三角函數(shù)

1定義：設(shè)。是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸（x,y）,那么sincosa=x,tana=^-.

x

2.幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在通11上，余弦線的起點(diǎn)都是

原點(diǎn),正切線的起點(diǎn)都是（1,0）.

【解題方法點(diǎn)撥】

利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法

利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：

（1）角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)口（2）縱坐標(biāo)戶（3）該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離心若題目中已

知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況（點(diǎn)所在象限不同）.

八.三角函數(shù)線

幾何表示

三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的

起點(diǎn)都是(1,0).

如圖中有向線段MP,OM,AT分別叫做角。的正弦線，余弦線和正切線.

九.三角函數(shù)的定義域

【概念】

函數(shù)的定義域指的是函數(shù)在自變量x的取值范圍，通俗的說(shuō)就是使函數(shù)有意義的x的范圍.三角函數(shù)作為

?類(lèi)函數(shù)，也有定義域，而且略有差別.

【三角函數(shù)的定義域】

以下所有的左都屬于整數(shù).

①正弦函數(shù)：表達(dá)式為)，=sinx；工日(2k-1)n,(2k+1)n］,其中在［2匕1-』",2匕1+二~］單調(diào)遞增，其他

22

區(qū)間單調(diào)遞減.

②余弦函數(shù)：表達(dá)式為y=cosx；.1(2A-I)n,(261)n］,其中在［2Kr-ir,2Kr］單調(diào)遞增，其他區(qū)間單

調(diào)遞減.

③正切函數(shù)：表達(dá)式為)，=lanx；.隹(Air--,KT+2L),在區(qū)間單調(diào)遞增.

22

④余切函數(shù)：表達(dá)式為)，=8支，.隹(kn--,lm+2L)f在區(qū)間單調(diào)遞減.

22

⑤正割函數(shù)：表達(dá)式為y=secx,(2KT-?L,2KT+?L)U：2KT+?L,2Znr+3兀),有secx?cosx=I.

2222

⑥余割函數(shù):表達(dá)式為y=cscx,尤(2kn-TT,2knyU(2E,2垢+TT),有cscx*siiiv=1.

【考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】

這是一個(gè)概念，主要是熟記前面四種函數(shù)的定義域，特別是他們各自的單調(diào)區(qū)間和各自的周期，在書(shū)寫(xiě)的

時(shí)候一定不要忘了補(bǔ)充AWZ.

十.三角函數(shù)值的符號(hào)

三角函數(shù)值符號(hào)記憶口訣

記憶技巧：i全正、二正弦、三正切、四余弦(為正).即第i象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限

正切為正，第四象限余弦為正.

十一.三角函數(shù)的周期性

周期性

①一般地，對(duì)于函數(shù),f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)。使得當(dāng).r取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(%+T)

=f(幻，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)丁叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

②對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)/Cv),如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做/(X)

的最小正周期.

③函數(shù)y=Asin(o)x+(p),xER及函數(shù)y=Acos(a).v+(p)；xGR(其中A、co、9為常數(shù)，且AWO,a)>0)的

周期T=空.

3

【解題方法點(diǎn)撥】

1.一點(diǎn)提醒

求函數(shù)y=Asin(o)x+(p)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)注意3的符號(hào)，只有當(dāng)o)>0時(shí)，才能把tox+cp看作一個(gè)整體，

代入)，=sin/的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯(cuò)誤.

2.兩類(lèi)點(diǎn)

y=s\nx,x€[0,2n],y=cosx,A€[0,2n]的五點(diǎn)是：零點(diǎn)和極值點(diǎn)(最值點(diǎn)).

3.求周期的三種方法

①利用周期函數(shù)的定義./(肝丁)=/(x)

②利用公式：y=Asin(€ox+(p)和y=Acos(co.r+(p)的最小正周期為?,y=tan(3x+(p)的最小正周期

為

I3I

③利用圖象.圖象重復(fù)的x的長(zhǎng)度.

十二.誘導(dǎo)公式

【概述】

三角函數(shù)作為一個(gè)類(lèi)，有著很多共通的地方，在一定條件下也可以互相轉(zhuǎn)化，熟悉這些函數(shù)間的關(guān)系，對(duì)

于我們解題大有裨益.

【公式】

①正弦函數(shù)：表達(dá)式為)，=sinx；

有sin(n+x)=sin(-x)="sinx；sin(TT-x)=sini,sin(-^-+x)=sin-x)=coi￥

22

②余弦函數(shù)：表達(dá)式為y=cosxX

兀

有cos(n+x)=cos(n-x)--cosx,cos(-x)=cosx,cos(-----x)=sinx

2

③正切函數(shù)：表達(dá)式為)，=tanr

tan(-x)=-tanv,tan-x)=colr,tan(n+x)=tanx

2

④余切函數(shù)：表達(dá)式為丁=cotx；

兀

cot(-x)=-cotr,cot(------x)=tanx,cot(n+x)=cotr.

2

【應(yīng)用】

1公式：

公式一：sin(a+2Kr)=sina,cos(a+2Zrrt)=cosa>其中A6Z.

公式二：sin(n+a)--sina,cos(ir+a)--cosa.tan(n-a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa.

公式四：sin(n-a)=sina,cos(IT-a)=-cosa.

公式五：sin=cosa,cos=sina.

公式六：sin=cosa>cos=-sina

2、誘導(dǎo)公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號(hào)看象限.

3、在求值與化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：

(1)弦切互化法：主要利用公式tana=叁RJ化成正、余弦.

cosa

(2)和積轉(zhuǎn)換法:利用(sin0±cos0)2=1±2sinBcosB的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.

(3)巧用“1”的變換：l=sir|2e+cos2e=cos%(l+tan20)=tan45°=….

4、注意:

(1)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)一脫

周一化銳.特別注意函數(shù)名稱(chēng)和符號(hào)的確定.

(2)在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào).

(3)注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化.

十三.運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的思路

1.“負(fù)化正”，運(yùn)用公式三將任意負(fù)角的三角函數(shù)化為任意正角的三角函數(shù).

2.“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數(shù)化為0°到360°的三角函數(shù)，利用公式二將大于

180°的角的三角函數(shù)化為0°到180°的三角函數(shù).

3.“小化銳”,利用公式六將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數(shù).

4.“銳求值”，得到0。到90。的三角函數(shù)后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計(jì)算器求得.

十四.正弦函數(shù)的圖象

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosx>,=tanx

圖象rJ）

Y\n4n.rl

攻VZ.”-

-1i-1-tX

定義域RRkeZ

值域LI，UL1，1]R

單調(diào)性遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：

2kn+—)(2ATTT-2Kr)(kn--,kn+—)

2222

(AWZ)；

(依Z)；(依Z)

遞減區(qū)間：

遞減區(qū)間：

/,7T.3兀、(2KT,2Am+n)

(2E+——，2A:TI+———)

22(k￡Z)

(Q)

=

最值x=2Kr+.--(kETj)時(shí)，yinaxX=2ZTTT(kWZ)時(shí)，ymax無(wú)最值

2

1:

=1;

x=2/jr+ir(依Z)時(shí)，

戈=2日--(k￡Z)時(shí)，

2ymin=-1

加加=-1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心：（E,0）（依Z）對(duì)稱(chēng)中心：（Kr+三，0）對(duì)稱(chēng)中心：（紀(jì)二0）

22

JT

對(duì)稱(chēng)軸：匯=m+二-,kWZ

2（依Z）（kwZ）

對(duì)稱(chēng)軸：x=Kr,ZreZ無(wú)對(duì)稱(chēng)軸

周期2K2TTn

十五.正弦函數(shù)的單調(diào)性

三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法

1.求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象判定.

2.求形如y=Asin（3x+<p）或），=人85（3工+°）（其中，a）>0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“3工十°”為一個(gè)整體，

通過(guò)解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將3化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò).

十六.正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性

【正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性】

正弦函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，既然是奇函數(shù)，那么其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即有sin（-x）=-siru.另

外，正弦函數(shù)具有周期性，其對(duì)稱(chēng)軸為x=E+匹，依z.

2

十七.余弦函數(shù)的圖象

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)產(chǎn)sinxy=cosx>,=tanx

圖象■

斗…、Z./in1

m9

定義域RRkeZ

值域ILU[1，1JR

單調(diào)性遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：

[2ku-u?2kn]awz)

（依Z）：(A-eZ)；

遞減區(qū)間：遞減區(qū)間：

[2kn,2m+n]

(依Z)(k€Z)

最值x=2kir+(AWZ)時(shí)?ymax=X=2kll(ZWZ)時(shí)9Vmax=無(wú)最值

1;1:

x=2kn-(AWZ)時(shí)，x=2/nr+ir(kWZ)時(shí)，

yniin—~1ymin="1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心：（E,0）CkeZ）對(duì)稱(chēng)中心：（依Z）對(duì)稱(chēng)中心：（依Z）

對(duì)稱(chēng)軸：x=^r+,kel對(duì)稱(chēng)軸：x=依，Aez無(wú)對(duì)稱(chēng)軸

周期21r2nn

十八.余弦函數(shù)的單調(diào)性

三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法

1.求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象判定.

2.求形如y=Asin（3葉夕）或），=4：0§（皿+*）（其中,3>0）的單調(diào)區(qū)間時(shí),要視“皿+夕”為一個(gè)整體,

通過(guò)解不等式求解.但如果3V0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將3化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò).

十九.正切函數(shù)的圖象

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

定義域RR髭z

值域1-h1][7，1]R

單調(diào)性遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：

12kn--,2/nr+—J[2內(nèi)T-TT,2kn]（依Z）

22

（—ez）；

（依Z）；

遞減區(qū)間：

遞減區(qū)間：

[2krt,2kn+n]

?！?兀1

[2E+——，2Am+———]

22（kCZ）

（依Z）

==

最值x=2kn+（攵6Z）時(shí)，yltuix=X2ATT（A'EZ）時(shí)，ym（L\無(wú)最值

1；1：

x=2kn-（k￡Z）時(shí)，x=2匕T+TT（kEZ）時(shí)，

ymin=-1ymin=-1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心：（E,0）（性Z）對(duì)稱(chēng)中心：（Kr+3~,0）對(duì)稱(chēng)中心：（?L,0）

JT22

對(duì)稱(chēng)軸：x=kn+—,Q

2(A6Z)(AEZ)

對(duì)稱(chēng)軸：x=KbAGZ無(wú)對(duì)稱(chēng)軸

周期21r2TTIT

二十.正切函數(shù)的單調(diào)性和周期性

三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法

1.求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象判定.

2.求形如y=Asin（a）x+（p）或y=Acos（o）x+（p）（其中,u）＞0）的單調(diào)區(qū)間時(shí),要視“tox+tp”為一個(gè)整體,

通過(guò)解不等式求解.但如果U）V0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將3化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò).

【正切函數(shù)的周期性】

正切函數(shù)y=taru的最小正周期為n,即tan（Kr+x）=tanx.

二十一.正切函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性

三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱(chēng)性

1.判斷三角函數(shù)的奇偶性和周期性時(shí)，一般先將三角函數(shù)式化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)奇偶

性的概念、三角函數(shù)奇偶性規(guī)律、三角函數(shù)的周期公式求解.

2.求三角函數(shù)的周期主要有三種方法：（1）周期定義；（2）利用正（余）弦型函數(shù)周期公式：（3）借助函

數(shù)的圖象.

二十二.函數(shù)y=Asin（a）x+（p）的圖象變換

函數(shù).y=sinx的圖象變換得到），=Asin（oti+0）（A＞0,3＞0）的圖象的步驟

法一法二

曲出的圖象的出.\=sinx的圖紋

向左（X”或,

移16個(gè)通位橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)唯倍

得fij.v=sin(.r+g的圖象得到〉nsinsx的圖象

橫啜標(biāo)變?yōu)楸瑏?lái)的白倍向左（8。）或圖個(gè)單位

向右（中＜0＞平移

得到v=sin+⑦的圖較*—驟彳!｝到〉?=*in+9）的圖與

縱”標(biāo)變?yōu)镸來(lái)的4倍縱坐標(biāo)變?yōu)樾?束的A倍

得到>=Asin(u>x+<p)的圖象聚到F=的圖象

兩種變換的差異

先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是⑷個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移

的量是_L電1（G>0）個(gè)單位.原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)X而言的.

3

【解題方法點(diǎn)撥】

1.一個(gè)技巧

列表技巧：表中“五點(diǎn)”中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為工，利用這?結(jié)論可以較快地寫(xiě)出“五點(diǎn)”的坐標(biāo).

4

2.兩個(gè)區(qū)別

（1）振幅A與函數(shù)y=4sin（3r+夕）+〃的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M=A+8,最小值機(jī)=-A+〃,

故從=此&.

2

（2）由y=sinx變換到y(tǒng)=Asin（ou+9）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y=sinx的圖

象變換到）,=Asin（皿?十中）的圖象，兩種變換的區(qū)別：無(wú)相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是依

個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是［更1（3>0）個(gè)單位.原因在于相位變換和

3

周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴(lài)于以i?加減多少值.

3.三點(diǎn)提醒

（1）要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象；

（2）要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱(chēng)是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；

（3）由y=Asinw的圖象得到y(tǒng)=Asin（（ox+（p）的圖象時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為〔,而不是⑷.

3L

二十三.由y=Asin（a）x+（p）的部分圖象確定其解析式

根據(jù)圖象確定解析式的方法：

在由圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)，若最大值為M,最小值為〃?，則4=此&,"=史坦，3由周期7確定，

22

即由空=「求出，0由特殊點(diǎn)確定.

CO

二十四.三角函數(shù)的最值

【三角函數(shù)的最值】

三角函數(shù)的最值其實(shí)就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單

調(diào)性和它們的圖象.在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡(jiǎn)和換元.化簡(jiǎn)的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函

數(shù)化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的一元函數(shù).

二十五.同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2o+cos2o=1.

(2)商數(shù)關(guān)系：皂見(jiàn)=tana.

cosa

2.誘導(dǎo)公式

公式一：sin(m2Kr)=sina,cos(tr+2Ki)=cosa,其中kEZ.

公式二：sin(ir+a)--sina,cos(ir+a)--cosa,tan(n-a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa.

公式四：sin(TT-a)=sina,cos(n-a)--cosa.

兀/兀X.

公式五：sin(-a)=cosa,cos(--a)=sina.

T2

71cos(-^-+a)=-sing

公式六：sin(+a)=cosa>

~22

3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(1)C<a-p>：cos(a-p)=cosacosB+si"as加B；

(2)C(a邛)：cos(a+p)-s07as加B；

(3)S(a+p)：sin(a+p)=s加acasB+casa。”］；

(4)S(a-p)：sin(a-p)=si〃ac”sB-a)saa〃B：

tanU+tanP

(5)T(a+p):tan(a+p)=

1-tanQ.tanP?

(6)T-a〃(a-p)=tana-tan-

1+tanCltanP

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(I)S2atsin2a=2sin優(yōu)osa：

(2)Ciazcos2a=cos2a-sin2a=2cos%-I=1-2sin2a：

2tanCL

(3)72a：tan2a=

1-tan2a

【解題方法點(diǎn)撥】

誘導(dǎo)公式記憶口訣:

對(duì)于角"?二±/(依z)的三角函數(shù)記憶口訣"奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)

2

〃為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)々為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”.“符號(hào)看象限”是指“在a的三角函

數(shù)值前面加上當(dāng)。為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”.

二十六.兩角和與差的三角函數(shù)

(1)Cat邛)：cos(a-P)=cosacosB+sinasinB:

(2)C<a+p)：cos(a+P)=cosacosB-sinasinB；

(3)S<a+p>：sin(a+0)=sinac〉sB+cosasin(；

(4)Sia0)：sin(a-P)=sinacosB-cosasinB；

tana+tanP

(5)T(a+p)：tan(a+p)=?

1-tanQ.tanP

(6)T(a-3)：tan(a-0)=5向tan￡

1+tanCltanP

二十七.二倍角的三角函數(shù)

【二倍角的三角函數(shù)】

二倍角的正弦其實(shí)屬于正弦函數(shù)和差化枳里面的一個(gè)特例，即a=B的一種特例，其公式為：sin2a=2sina-

cosot；其可拓展為l+sin2a=(sina+cosa)2.

二倍角的余弦其實(shí)屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即a=B的一種特例，其公式為：cos2a=cos2a

-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

二倍角的正切其實(shí)屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即a=0的一種特例，其公式為：tan2a=

2tan；.對(duì)于這個(gè)公式要求是能夠正確的運(yùn)用其求值化簡(jiǎn)即可.

1-tana

二十八.半角的三角函數(shù)

【半角的三角函數(shù)】

半角的三角函數(shù)關(guān)系主要是指正切函數(shù)與正余弦函數(shù)之間的關(guān)系(正余弦的半角關(guān)系其實(shí)就是二倍角關(guān)

a.aa.a.2a

sin??cos-sinp

asirry3inT

系)，其公式為：?tan-i-=———232_sina

2ai+cos^aa-

c。力cos~2°。萬(wàn)sinr^-,cos-^-

_1-cosQ.

sin。

二十九.三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值

【概述】

三角函數(shù)的恒等變化主要是指自變量x數(shù)值比較大時(shí)，如何轉(zhuǎn)化成我們常見(jiàn)的數(shù)值比較小的而且相等的三

角函數(shù)，主要的方法就是運(yùn)用它們的周期性.

【公式】

①正弦函數(shù)有y=sin(2Znr+x)=sin.v,sin(-^-+x)=sin-x)=cosx

②余弦函數(shù)有y=cos(2ATT+X)=COSX,COS(----x)=sinx

2

兀

③正切函數(shù)有y=tan(Kr+x)=Unx,tan(----x)=coU,

2

_JT

④余切函數(shù)有y=coi(--x)=taiu-,cot(Zrn+x)=cou.

2

三十.三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1.

(2)商數(shù)關(guān)系：&RJ=tana.

cosa

2.誘導(dǎo)公式

公式一：sin(a+2K[)=sina,cos(a+2/cn.)=cosa,tan(a+2,5)=tana?其中依Z.

公式二：sin(Tr+a)=-sina,cos(n+a)=-cosa,tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

公式四：sin(n-a)=sina,cos(IT-a)=-cosa,tan(n-a)=-tana.

/兀、(IT、

公式五:sin(--a)=cosa,cos(----a)=sina,tan(--a)=cota-

22

/兀、cos(-^-+a)=/兀、

公式六:sin(——+a)=cosa,-sina,tan(——+a)=-cota.

222

3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(1)C<a.p>：cos(a-P)=cosacosp+sinasinp：

(2)C<a+p)：cos(a+P)=cosacosp-sinasinP：

(3)S(a+p>：sin(a+0)=sinacosP+cosasinP；

(4)S(a-p)：sin(a-P)=sinacosp-cosasinp；

⑸T(a+P)：tan(a+0)=*+ta嗎

1-tanG-tanp

(6)T.ap>：tan(a-^=tan>-ta嗎

1+tanCItanP

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2a：sin2a=2sinacosa；

(2)C2a：cos2a=cos-a-sin'a=2cos~a-1=1-2sin~a：

2tand

(3)72a：tan2a=

1-tan2a

三H^一.三角函數(shù)應(yīng)用

1.三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用：I）在生活中的應(yīng)用；2）；在建筑學(xué)中的應(yīng)用；3）在航海中的應(yīng)用；4）在物

理學(xué)中的應(yīng)用.

2.解三角函數(shù)應(yīng)用題的?般步驟：

（1）閱讀理解材料：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言；

（2）建立變量關(guān)系：抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立變量關(guān)系；

（3）討論變量性質(zhì)：根據(jù)函數(shù)性質(zhì)討論變量性質(zhì)；

（4）作出結(jié)論.

【解題方法點(diǎn)撥】

1、方法與技巧：

（1）在生產(chǎn)生活中，常常有一些與角有關(guān)的最值問(wèn)題，需要確定以角作為變量的三角函數(shù)來(lái)解決.

（2）理清題意，分清題目中已知和所求，準(zhǔn)確解讀題目中的術(shù)語(yǔ)和有關(guān)名詞.

（3）要能根據(jù)題意，畫(huà)出符合題意的圖形.

（4）對(duì)計(jì)算結(jié)果，可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行處理.

2、注意：

（1）建立三角函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)慕亲鳛樽兞?

（2）解決應(yīng)用問(wèn)題要注重檢驗(yàn).

（3）選擇變量后，要根據(jù)題中的條件，確定角的范圍.

三十二.解三角形

1.已知兩角和一邊（如A、B、C）,由A+〃+C=TT求C,由正弦定理求b.

2.己知兩邊和夾角（如4、力、C）,應(yīng)用余弦定理求C邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用

A+B+C=TT,求另一角.

3.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A）,應(yīng)用正弦定理求B,由A+B+C=n求C再由正弦定理或余

弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況.

4.已知三邊a、b、c,應(yīng)用余弦定理求4、B,再由A+B+C=ir,求角C.

5.方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角

（一般指銳角），通常表達(dá)成.正北或正南，北偏東XX度，北偏西XX度，南偏東XX度，南偏西XX度.

6.俯角和仰角的概念：

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的先叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角.如圖中0。、

0E是視線，是仰角，是俯角.

D

TV

B\E

7.關(guān)于三角形面積問(wèn)題

^)S/j,ABC~~,^^ciha~~^^bhb—■-^cllc(ha.Ilh./?<,分5'列表ZKa、b、c上的高）：

②S"8c=-^?bsinC=—bcsinA=工csin所

222

③&A5C=2R2siMsin3sinC.(R為外接圓半徑)

④5八麗=也與

4R

@5A4BC=Vs(s-a)(s-b)(s-c)，(5,=—(a+b+c))；

2

⑥SzsA8C=r?s，(，?為△ABC內(nèi)切圓的半徑)

在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表：

名稱(chēng)公式變形

內(nèi)角和定理A+8+C=TTA+A=2L-￡,2A+28=2h-2c

2222

222,2X22

余弦定理6f=Z)+c-2bcco