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無窮小與無窮大一、無窮小與無窮大的定義二、無窮小的性質(zhì)三、無窮小階的比較四、無窮大與無窮小的關(guān)系一、無窮小與無窮大的定義1.無窮小(infinitesimal)的定義簡言之,極限為零的變量稱為無窮小.定義1例如注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).簡言之,絕對值無限增大的變量稱為無窮大.定義22.無窮大(infinity)的定義函數(shù)的極限是無窮大,注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.函數(shù)
y無界.例1證函數(shù)
y不是無窮大.例2解證例3例4證二、無窮小的性質(zhì)1.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系證必要性定理1充分性定理2有限個無窮小的和也是無窮小.證2.無窮小的運算定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2有限個無窮小的乘積也是無窮小.三、無窮小階的比較實例問題:它們的商是什么?極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.為此,即有下面無窮小的階的比較的定義.等價無窮小是同階無窮小的特殊情形.關(guān)于等價無窮小的定理定理1證必要性充分性證定理2四、無窮大與無窮小的關(guān)系證根據(jù)無窮大的定義,定理3(1)定理2的意義在于關(guān)于無窮大的討論,
都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.關(guān)于定理2的說明
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