第2章(1)-系統(tǒng)微分方程

jik021第2章

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型模型種類：形象模型、物理模型、數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。本課程所涉及的數(shù)學(xué)模型包括微分方程——時(shí)域

傳遞函數(shù)——復(fù)域頻率特性——頻域數(shù)學(xué)建模的一般方法：1、分析法：根據(jù)系統(tǒng)和元件所遵循的有關(guān)定律來(lái)推導(dǎo)出數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而建立數(shù)學(xué)模型。2、實(shí)驗(yàn)法：根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，擬合出比較接近實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。jik022§2.1系統(tǒng)的微分方程

一.線性系統(tǒng)微分方程的規(guī)范化形式

線性定常系統(tǒng)：各系數(shù)都是常數(shù)；

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疊加原理：

線性定常系統(tǒng)：線性時(shí)變系統(tǒng)：非線性系統(tǒng)：jik024二．微分方程的建立建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟（1）確定系統(tǒng)及各元件(環(huán)節(jié))的輸入和輸出;（2）列寫各環(huán)節(jié)輸入輸出的動(dòng)力學(xué)方程(子方程)；（3）消去中間變量；（4）整理得到標(biāo)準(zhǔn)形式。

典型元件所遵循的物理規(guī)律機(jī)械系統(tǒng)電氣系統(tǒng)jik025將輸出變量寫在等號(hào)左邊，輸入變量項(xiàng)寫在等號(hào)右邊，階次從高到低排列，得標(biāo)準(zhǔn)微分方程

例2.1機(jī)械移動(dòng)系統(tǒng)jik026

阻尼力和彈簧恢復(fù)力

構(gòu)成內(nèi)反饋，是對(duì)外推力的反作用。輸出=算符×輸入

令jik027

例2.2

L,R,C電路

原始方程

整理得jik028

例2.3

電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)

輸出:電機(jī)轉(zhuǎn)速ω(t)電壓平衡方程:

反電動(dòng)勢(shì):力矩平衡方程:電磁轉(zhuǎn)矩:jik029消去中間變量M(t)、ia(t)、e(t)三．微分方程的增量化表示若電動(dòng)機(jī)處于平衡狀態(tài)，變量的各階導(dǎo)數(shù)均為0，則有（靜態(tài)模型）jik0210設(shè)平衡點(diǎn)是(ua0、ML0、ω0)，則當(dāng)偏離平衡點(diǎn)時(shí)，（增量方程）討論：（1）增量方程與實(shí)際坐標(biāo)方程形式相同；（2）當(dāng)平衡點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，兩者等價(jià)。jik0211四．非線性微分方程的線性化1、幾種典型的非線性特性f)繼電特性e)死區(qū)d)間隙c)飽和b)彈性變形a)運(yùn)動(dòng)阻尼jik02122、小偏差線性化（微偏法）原理：將非線性函數(shù)在平衡點(diǎn)附近按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，取其線性部分。泰勒級(jí)數(shù)：設(shè)有一單調(diào)連續(xù)非線性函數(shù)y=f(x)，在平衡點(diǎn)(x0,y0)及其鄰域內(nèi)，它的各階導(dǎo)數(shù)存在并惟一，則可將該函數(shù)在此平衡點(diǎn)展開(kāi)如下jik0213

由于是小偏差，增量很小，故可省略二次及二次以上的冪，可得增量表達(dá)式為

小偏差線性化的幾何意義：在平衡點(diǎn)及其鄰域內(nèi)用切線代替曲線，其中K是非線性函數(shù)在x0處的斜率。

所謂增量指的不是各個(gè)變量的絕對(duì)數(shù)量，而是它們偏離平衡點(diǎn)的量，若初始條件為零，可得jik0214例：閥控油缸伺服系統(tǒng)：

原理：

物理量：

（1）系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程：

（不顯含x）

（2）液壓缸工作腔流體連續(xù)性方程：jik0215（3）負(fù)載流量q與閥芯位移x,壓差p的關(guān)系：

設(shè)平衡位置(狀態(tài))為x0，p0。泰勒級(jí)數(shù)

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∶流量增益

∶流量-壓力系數(shù)線性化函數(shù)：負(fù)載流量的微增量與閥芯位移微增量及壓力微增量成線性關(guān)系。

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代入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程jik0218非線性微分方程在一定條件下可進(jìn)行線性化處理。線性化的條件：（1）非線性函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；（2）系統(tǒng)在預(yù)定工作點(diǎn)附近作小偏差運(yùn)動(dòng)，即變量的

變化范圍很小。線性化的方法：（1）確定預(yù)定工作點(diǎn)；（2）在預(yù)定工作點(diǎn)附近將非線性方程展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)；（3）忽略二階及二