新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺天津卷押題練習(xí)第19題（教師版）

數(shù)列綜合考點2年考題考情分析數(shù)列大題2023年天津卷第19題2022年天津卷第18題數(shù)列大題一般而言第一問涉及到等比等差的基礎(chǔ)量的運算，這部分難度不大，屬于送分題，第二問一般以證明題的形式來考察，難度較大。23年涉及到數(shù)列極限的思想說明對于難題的考察，高考在貼近大學(xué)的知識，這對考生要求較高。數(shù)列可考察的知識點較多，可以結(jié)合的知識也較多，類似數(shù)列與不等式，裂項相消錯位相減奇偶并項求和，數(shù)列的放縮等等。預(yù)測24年高考依舊會把數(shù)列作為一道壓軸大題來考察。題型一數(shù)列大題19．（15分）（2023?天津）已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的通項公式和SKIPIF1<0；（Ⅱ）已知SKIPIF1<0為等比數(shù)列，對于任意SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，求證：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的通項公式及其前SKIPIF1<0項和．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅱ）SKIPIF1<0證明見解析；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【分析】（Ⅰ）建立方程組求出首項和公差即可求解．（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系，利用極限思想分別求出公比和首項，即可得到結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中的首項為SKIPIF1<0，項數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（Ⅱ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，綜上SKIPIF1<0，故成立；SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0設(shè)公比為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．18．（15分）（2022?天津）設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；（3）求[ak+1﹣（﹣1）kak]bk．【答案】（1）an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1．（2）見證明過程．（3）．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由a1＝b1＝a2﹣b2＝a3﹣b3＝1，可得1+d﹣q＝1，1+2d﹣q2＝1，解得d，q，即可得出an．（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項公式與前n項和的關(guān)系結(jié)合分析法能證明（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn；（3）先求出[]b2k﹣1+[a2k+1﹣（﹣1）2k2k]b2k＝2k?4k，利用并項求和，結(jié)合錯位相減法能求出結(jié)果．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，∵a1＝b1＝a2﹣b2＝a3﹣b3＝1，∴1+d﹣q＝1，1+2d﹣q2＝1，解得d＝q＝2，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，bn＝2n﹣1．（2）證明：∵bn+1＝2bn≠0，∴要證明（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn，即證明（Sn+1+an+1）bn＝2Sn+1?bn﹣Snbn，即證明Sn+1+an+1＝2Sn+1﹣Sn，即證明an+1＝Sn+1﹣Sn，由數(shù)列的通項公式和前n項和的關(guān)系得：an+1＝Sn+1﹣Sn，∴（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn．（3）∵[]b2k﹣1+[a2k+1﹣（﹣1）2k2k]b2k＝（4k﹣1+4k﹣3）×22k﹣2+[4k+1﹣（4k﹣1）]×22k﹣1＝2k?4k，∴[ak+1﹣（﹣1）kak]bk＝{[a2k﹣（﹣1）2k﹣1a2k﹣1]b2k﹣1+[a2k]b2k}＝2k?4k，設(shè)Tn＝．則+…+2n×4n，①∴4Tn＝2×42+4×43+6×44+…+2n×4n+1，②①﹣②，得：﹣3Tn＝2（4+42+43+44+…+4n）﹣2n?4n+1＝＝，∴Tn＝，∴[ak+1﹣（﹣1）kak]bk＝．一、公式法（1）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0（2）等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：①SKIPIF1<0；SKIPIF1<0②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；=4\*GB3④SKIPIF1<0二、幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．（4）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前SKIPIF1<0項和即可用錯位相減法求解．（5）倒序相加法：如果一個數(shù)列SKIPIF1<0與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前SKIPIF1<0項和即可用倒序相加法求解．【常用結(jié)論】裂項技巧①等差型（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0（5）SKIPIF1<0（6）SKIPIF1<0②根式型（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0③指數(shù)型（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0④三角型（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0⑤階乘（1）SKIPIF1<0=6\*GB3⑥常見放縮公式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（11）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0；（13）SKIPIF1<0．（14）SKIPIF1<0．1．已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列，其公差SKIPIF1<0大于1，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（2）若正整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能成等差數(shù)列；（3）記SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能成等差數(shù)列；（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的通項公式與求和公式，即可求解；（2）利用等差數(shù)列的定義即可；（3）利用并項法求和即可．【解答】解：（1）SKIPIF1<0是等差數(shù)列，其公差SKIPIF1<0大于1，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶數(shù)，SKIPIF1<0為偶數(shù)，而1是奇數(shù)，SKIPIF1<0等式不成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能成等差數(shù)列．（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2．在正項等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的通項公式：（Ⅱ）已知函數(shù)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，并求SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0證明見解析，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0證明見解析．【分析】（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)列方程即可求解；（Ⅱ）SKIPIF1<0由題SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即可證明和求解通項；SKIPIF1<0由題可得SKIPIF1<0，然后通過通項放縮結(jié)合裂項相消即可得證．【解答】（Ⅰ）解：因為正項等比數(shù)列SKIPIF1<0中，由題有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（Ⅱ）證明：SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，公差為1的等差數(shù)列．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0由題SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，左式SKIPIF1<0，右式SKIPIF1<0，左式SKIPIF1<0右式，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，綜上：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．3．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（Ⅱ）求證：SKIPIF1<0；（Ⅲ）求SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0證明見解析；SKIPIF1<0．【分析】SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，進一步可得數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，公差SKIPIF1<0即可求得SKIPIF1<0；再由SKIPIF1<0為等比數(shù)列結(jié)合已知列方程即可求解；SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，代入不等式兩邊即可得證；SKIPIF1<0利用裂項相消求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，利用錯位相減法求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和即可．【解答】SKIPIF1<0解：由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0①，則SKIPIF1<0②，②SKIPIF1<0①得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，公差SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0；設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0證明：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，不等式得證；SKIPIF1<0解：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．4．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為正項等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項．（Ⅰ）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（Ⅱ）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；（Ⅲ）設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．（Ⅲ）SKIPIF1<0．【分析】SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出SKIPIF1<0；設(shè)正項等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項，可得SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0．（Ⅱ）SKIPIF1<0，利用錯位相減法即可得出數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．（Ⅲ）結(jié)合SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，通過對SKIPIF1<0分類討論，利用裂項求和方法即可得出結(jié)論．【解答】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，首項為1，公差為1，SKIPIF1<0．設(shè)正項等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．（Ⅱ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，相減可得SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0．（Ⅲ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶數(shù)時，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；同理可得：SKIPIF1<0為奇數(shù)時，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．5．設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項公式；（2）數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（?。┳C明SKIPIF1<0；（ⅱ）求SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）SKIPIF1<0．【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列，等差數(shù)列的性質(zhì)列方程即可求解；（2）（?。┯梢阎猄KIPIF1<0，利用裂項相消即可求和得證；（ⅱ）由題SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，再利用錯位相減法即可求解．【解答】解：（1）設(shè)公差為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由題有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）（?。┯梢阎猄KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（ⅱ）由題SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0①，則SKIPIF1<0②，所以①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．6．已知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．（1）求SKIPIF1<0的通項公式和SKIPIF1<0；（2）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0．①若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；②若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）①SKIPIF1<0；②證明見解析【分析】（1）代入等比數(shù)列的基本量，即可求解；（2）①由（1）可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0，確定SKIPIF1<0的值；②由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，進一步得到SKIPIF1<0，以及SKIPIF1<0，并代入求和．【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）①SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，滿足題意，SKIPIF1<0．②SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．另一方面，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0對SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．7．已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比不為1的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項．（1）求：數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式．（2）設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．（3）若對于數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個SKIPIF1<0，組成一個新的數(shù)列SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）4104．【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的通項公式，計算可得；（2）結(jié)合兩個數(shù)列的通項公式，可判斷SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項中兩個數(shù)列的項數(shù)，然后分組和錯位相減求和可得；（3）求出SKIPIF1<0的前2024項中總共有多少個2，利用分組求和可得．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②①SKIPIF1<0②相減可得，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0即3個2，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0即9個2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個2，此時共有SKIPIF1<0項，在SKIPIF1<0的后面再插入SKIPIF1<0個2即可．則數(shù)列SKIPIF1<0的前2024項的和SKIPIF1<0SKIPIF1<0．8．已知數(shù)列SKIPIF1<0是正項等比數(shù)列，SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（2）SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)，SKIPIF1<0表示數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，集合SKIPIF1<0共有4個元素，求SKIPIF1<0范圍；（3）SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）證明過程見解析．【分析】（1）直接利用已知條件建立方程組，進一步求出數(shù)列的通項公式；（2）利用分組的應(yīng)用求出數(shù)列的和，進一步利用關(guān)系式的單調(diào)性求出SKIPIF1<0的范圍；（3）利用分類討論思想和乘公比錯位相減法，裂項相消法，放縮法求出結(jié)果．【解答】解：（1）數(shù)列SKIPIF1<0是正項等比數(shù)列，SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（負(fù)值舍去），SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由于集合含有4個元素，所以SKIPIF1<0．證明：（3）由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，①，所以SKIPIF1<0，②，①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．9．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，正項數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式；（2）已知SKIPIF1<0，求：SKIPIF1<0；（3）求證：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．（3）證明見解析．【分析】（1）由題意可得SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0為等比數(shù)列，再分別求解公差與公比即可；（2）代入化簡可求SKIPIF1<0，再分組根據(jù)等差數(shù)列與裂項相消求和即可；（3）放縮可得SKIPIF1<0，再裂項相消求和即可．【解答】解：（1）由題意知，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，設(shè)公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等比數(shù)列，設(shè)公比為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也成立，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．10．已知數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知對于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（2）記SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；（3）記SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．（3）證明見解析．【分析】（1）由題意可得SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0為等比數(shù)列，再分別求解公差與公比即可；（2）代入化簡可求SKIPIF1<0，再分組根據(jù)等差數(shù)列與裂項相消求和即可；（3）放縮可得SKIPIF1<0，再裂項相消求和即可．【解答】解：（1）由題意知，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，設(shè)公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等比數(shù)列，設(shè)公比為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也成立，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．11．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）證明：SKIPIF1<0；（3）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0．【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合遞推公式，即可證明；（2）根據(jù)條件求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，再代入不等式，利用作差法，即可化簡證明；（3）根據(jù)數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，分別求奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，再分別利用裂項相消法和錯位相減法求和，即可證明．【解答】證明：（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得證．（3）當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．12．設(shè)SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0為公差不為零的等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（2）記SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0；（3）記SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）證明見解析，（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量法求得通項公式；（2）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0后，用作差法證明；（3）并項SKIPIF1<0然后裂項求和．【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，依題意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．13．已知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（Ⅱ）記SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（Ⅲ）證明：SKIPIF1<0．【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0．【分析】（Ⅰ）通過題目中給出條件先求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，再求出SKIPIF1<0的通項公式；（Ⅱ）寫出SKIPIF1<0的前幾項，尋找規(guī)律再進行求和；（Ⅲ）驗證SKIPIF1<0時不等式成立，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．【解答】解：（Ⅰ）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為3，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為2，SKIPIF1<0；（Ⅱ）由題意，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡得，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，同理得，SKIPIF1<0，所以有，SKIPIF1<0；（Ⅲ）證明：當(dāng)SKIPIF1<0，不等式左側(cè)SKIPIF1<0，右側(cè)SKIPIF1<0，左側(cè)SKIPIF1<0右側(cè)，假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0時，不等式成立，要證SKIPIF1<0時，不等式依然成立，只需證，SKIPIF1<0，只需證，SKIPIF1<0，顯然該式成立，所以原不等式得證．14．已知數(shù)列SKIPIF1<0是正項等比數(shù)列，SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0表示不超過SKIPI