專題40 空間向量及其應(yīng)用原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

Page專題40空間向量及其應(yīng)用（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 4【考點(diǎn)突破】 5【考點(diǎn)1】空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理 5【考點(diǎn)2】空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 7【考點(diǎn)3】利用空間向量證明平行與垂直 9【分層檢測(cè)】 12【基礎(chǔ)篇】 12【能力篇】 15【培優(yōu)篇】 16考試要求：1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個(gè)平面的向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底.3.空間向量的數(shù)量積(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))5.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.6.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2l1∥l2u1∥u2?u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2?u1·u2＝0直線l的方向向量為u，平面α的法向量為nl∥αu⊥n?u·n＝0l⊥αu∥n?u＝λn平面α，β的法向量分別為n1，n2α∥βn1∥n2?n1＝λn2α⊥βn1⊥n2?n1·n2＝01.在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).2.在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點(diǎn).3.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.4.在利用eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))證明MN∥平面ABC時(shí)，必須說明M點(diǎn)或N點(diǎn)不在平面ABC內(nèi).真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2021·全國·高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足BP=λBC+μBB1，其中，μ∈0,1A．當(dāng)時(shí)，的周長為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面三、解答題3．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理一、單選題1．（2021·上海崇明·一模）若正方體上的點(diǎn)是其所在棱的中點(diǎn)，則直線與直線異面的圖形是（

）A．

B．

C．

D．2．（2023·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測(cè)）給出下列命題，其中錯(cuò)誤的命題是（

）A．向量，，共面，即它們所在的直線共面B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為二、多選題3．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)P），則下列說法正確的是（

）A．對(duì)任意點(diǎn)，則有、、、四點(diǎn)共面B．存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)共面C．對(duì)任意點(diǎn)，則有平面D．存在點(diǎn)，使得平面4．（22-23高二上·廣東·階段練習(xí)）《瀑布》（圖1）是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個(gè)幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”（圖2）.在棱長為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系（原點(diǎn)O為該正方體的中心，x，y，z軸均垂直該正方體的面），將該正方體分別繞著x軸，y軸，z軸旋轉(zhuǎn)，得到的三個(gè)正方體，，2，3（圖4，5，6）結(jié)合在一起便可得到一個(gè)高度對(duì)稱的“三立方體合體”（圖7）.在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結(jié)論正確的是（

）A．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，2，3，則B．設(shè)，則C．點(diǎn)到平面的距離為D．若G為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角最小為三、填空題5．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐，空間內(nèi)一點(diǎn)滿足，則三棱錐與的體積之比為．6．（23-24高二上·浙江麗水·期末）已知三棱錐的體積為是空間中一點(diǎn)，，則三棱錐的體積是.反思提升：1.(1)選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的基本要求.(2)解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，靈活運(yùn)用三角形法則及平行四邊形法則，就近表示所需向量.2.(1)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))，若x＋y＝1，則點(diǎn)P，A，B共線.(2)證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法.①eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).②對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).【考點(diǎn)2】空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用一、單選題1．（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)滿足，，，則直線CE與DF所成的角為（

）A．30° B． C．60° D．90°2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在所有棱長均為的平行六面體中，為與交點(diǎn)，，則的長為（

）

A． B． C． D．二、多選題3．（2024·河北石家莊·三模）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）

A．若點(diǎn)為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為B．若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最小值為C．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則平面與四邊形的交線長為D．若點(diǎn)在側(cè)面正方形內(nèi)（包含邊界）且，則點(diǎn)的軌跡長度為4．（2024·山西太原·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正八面體棱長為1，M為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則（

）A． B．的最小值為C．當(dāng)時(shí)，AM與BC的夾角為 D．三、填空題5．（23-24高三下·上海浦東新·期中）正三棱錐中，底面邊長，側(cè)棱，向量，滿足，，則的最大值為.6．（23-24高二上·廣東·期末）如圖，正方形和正方形的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，則直線和夾角的余弦值為．若分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是．反思提升：由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計(jì)算準(zhǔn)確.【考點(diǎn)3】利用空間向量證明平行與垂直一、單選題1．（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖所示，正方體的棱長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．三棱錐的體積為 D．直線BC與平面所成的角為2．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為的正方體中，與平面交于點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上運(yùn)動(dòng)，則線段的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，平面平面，且和均是邊長為的等邊三角形，分別為的中點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），平面交直線于，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有B．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最小值為C．存在點(diǎn)，使得平面D．當(dāng)時(shí)，直線交于同一點(diǎn)4．（2024·重慶九龍坡·三模）在棱長為2的正方體中，P，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面正方形的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線平面B．直線與平面所成角的正切值為C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球表面積為9π三、解答題5．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行六面體中，，.

(1)求證：四邊形為正方形；(2)求體對(duì)角線的長度；(3)求異面直線與所成角的余弦值.6．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．反思提升：(1)利用向量證明平行問題①線線平行：方向向量平行.②線面平行：平面外的直線方向向量與平面法向量垂直.③面面平行：兩平面的法向量平行.(2)利用向量法證垂直問題的類型及常用方法①線線垂直問題：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零；②線面垂直問題：直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；③面面垂直問題：兩個(gè)平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（20-21高二上·山東泰安·期中）已知兩個(gè)非零向量，，則這兩個(gè)向量在一條直線上的充要條件是（

）．A． B．C． D．存在非零實(shí)數(shù)，使2．（2024·河南·三模）在四面體中，是邊長為2的等邊三角形，是內(nèi)一點(diǎn)，四面體的體積為，則對(duì)，的最小值是（

）A． B． C． D．63．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四個(gè)棱長為的正方體排成一個(gè)正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則的不同值的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．4 D．84．（2024·四川德陽·二模）已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）①若，且，則②若且，則③若，且，則④若，且，則A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題5．（22-23高二上·全國·課后作業(yè)）下列命題是真命題的有(

)A．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經(jīng)過三點(diǎn)，是平面α的法向量，則u+t＝16．（2021·全國·模擬預(yù)測(cè)）在正三棱柱中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．存在點(diǎn)，使得C．三棱錐的體積為D．直線與平面所成角的余弦值為7．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（

）A．存在點(diǎn)Q，使得 B．存在點(diǎn)Q，使得平面C．三棱錐的體積是定值 D．二面角的余弦值為三、填空題8．（2023高一·全國·單元測(cè)試）設(shè)是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知，，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為．9．（2024·山東濟(jì)南·一模）在三棱柱中，，，且平面，則的值為.10．（23-24高二上·廣東惠州·期中）如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為（用向量來表示）.

四、解答題11．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為4的正方體中，，設(shè)，，.(1)試用，，表示；(2)求的長.12．（20-21高二上·天津靜?！るA段練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)．設(shè)，，.(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．【能力篇】一、單選題1．（2020·北京朝陽·一模）如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng).當(dāng)?shù)拿娣e取