專題50 拋物線解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測

Page專題50拋物線（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 12【考點(diǎn)1】拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 12【考點(diǎn)2】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用 17【考點(diǎn)3】直線與拋物線的綜合問題 24【分層檢測】 35【基礎(chǔ)篇】 35【能力篇】 43【培優(yōu)篇】 47考試要求：1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).2.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.知識梳理知識梳理1.拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：{M||MF|＝d}(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離).2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離性質(zhì)頂點(diǎn)O(0，0)對稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下1.通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，稱為拋物線的焦半徑.真題自測真題自測一、單選題1．（2022·全國·高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．3 D．二、多選題2．（2024·全國·高考真題）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動點(diǎn)，過P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時，C．當(dāng)時，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個3．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形4．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(p,0)，若|AF|=|AM|，則（

）A．直線的斜率為 B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF| D．5．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．三、填空題6．（2023·全國·高考真題）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.四、解答題7．（2022·全國·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時，求直線AB的方程．參考答案：題號12345答案BABDACACDBCD1．B【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，所以.故選：B2．ABD【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時，先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長；C選項(xiàng)，根據(jù)先算出的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，，于是問題轉(zhuǎn)化成的點(diǎn)的存在性問題，此時考察的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個數(shù)即可，亦可直接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線和相切，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時，即，則的縱坐標(biāo)，由，得到，故，此時切線長，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時，，此時，故或，當(dāng)時，，，，不滿足；當(dāng)時，，，，不滿足；于是不成立，C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成時點(diǎn)的存在性問題，，中點(diǎn)，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個交點(diǎn)，即存在兩個點(diǎn)，使得，D選項(xiàng)正確.方法二：（設(shè)點(diǎn)直接求解）設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：ABD3．AC【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)：直線過點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)，所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線的方程為.B選項(xiàng)：設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，B選項(xiàng)錯誤.C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，因?yàn)椋吹街本€的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯誤.故選：AC.

4．ACD【分析】由及拋物線方程求得A(3p4,6p2)，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得B(p3,-6p3)，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由OA【詳解】對于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則A(3p4,6p2)，則直線對于B，由斜率為可得直線的方程為x=12?6y+設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則B(p3,-6p3則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，OA?OB=(又MA?MB=(-又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°，則∠OAM+∠OBM<180°故選：ACD.5．BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點(diǎn)的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因?yàn)?，，所以，而，故D正確.故選：BCD6．【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，最后利用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離即可.【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.7．(1)；(2).【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點(diǎn)共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點(diǎn)共線，由所以，化簡得，反之，若,可得MN過定點(diǎn)因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，

由M、D、A三點(diǎn)共線，得，

由N、D、B三點(diǎn)共線，得，則，AB過定點(diǎn)（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)最大時，，所以直線.【整體點(diǎn)評】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式，解題過程同解法一；法三：通過設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線過定點(diǎn)，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡化運(yùn)算的好方法．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）過拋物線上的一點(diǎn)P作圓C：的切線，切點(diǎn)為A，B，則的最小值是（

）A．4 B． C．6 D．2．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）已知過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，直線，則到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高三下·河北·開學(xué)考試）雙曲拋物線又稱馬鞍面，其形似馬具中的馬鞍表面而得名．其在力學(xué)、建筑學(xué)、美學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．在空間直角坐標(biāo)系中，將一條平面內(nèi)開口向上的拋物線沿著另一條平面內(nèi)開口向下的拋物線滑動（兩條拋物線的頂點(diǎn)重合）所形成的就是馬鞍面，其坐標(biāo)原點(diǎn)被稱為馬鞍面的鞍點(diǎn)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則下列說法正確的是（）A．用平行于平面的面截馬鞍面，所得軌跡為雙曲線B．用法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線C．用垂直于y軸的平面截馬鞍面所得軌跡為雙曲線D．用過原點(diǎn)且法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線4．（23-24高二下·河南·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是上位于第一象限的動點(diǎn)，點(diǎn)為與軸的交點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．到直線的距離為2B．以為圓心，為半徑的圓與相切C．直線斜率的最大值為2D．若，則的面積為2三、填空題5．（2024·北京朝陽·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則；設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則.6．（2024·安徽·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)，直線過與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．參考答案：題號1234答案BDABABD1．B【分析】設(shè)，利用圓的切線性質(zhì)，借助圖形的面積把表示為的函數(shù)，再求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】設(shè)，則，圓的圓心，半徑，由切圓于點(diǎn)，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.故選：B.2．D【分析】首先聯(lián)立與拋物線方程，結(jié)合已知、韋達(dá)定理求得，進(jìn)一步通過拋物線定義、三角形三邊關(guān)系即可求解，注意檢驗(yàn)等號成立的條件.【詳解】由題得的焦點(diǎn)為，設(shè)傾斜角為的直線的方程為，與的方程聯(lián)立得，設(shè)Ax1,y1,Bx

由拋物線定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，聯(lián)立拋物線與直線，化簡得，由得與相離.分別是過點(diǎn)向準(zhǔn)線、直線以及過點(diǎn)向直線引垂線的垂足，連接，所以點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到直線的距離之和,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)，所以到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為點(diǎn)到直線0的距離，即.故選：D.3．AB【分析】利用空間向量的相關(guān)知識，結(jié)合馬鞍面的標(biāo)準(zhǔn)方程，逐一變換方程判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】因?yàn)轳R鞍面的標(biāo)準(zhǔn)方程為，對于A，平行于平面的面中為常數(shù)，不妨設(shè)為，得，故所得軌跡是雙曲線.，故A正確；對于B，法向量為的平面中為常數(shù)，不妨設(shè)為，則，為拋物線方程，故B正確；對于C，垂直于軸的平面中為常數(shù)，不妨設(shè)為，則，為拋物線方程，故C錯誤；對于D，不妨設(shè)平面上的點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)槠矫孢^原點(diǎn)且法向量為，由，得，故，代入馬鞍面標(biāo)準(zhǔn)方程，得，當(dāng)時，方程為，不是拋物線，故D錯誤.故選：AB.4．ABD【分析】A選項(xiàng)，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，得到答案；B選項(xiàng)，由拋物線焦半徑公式可得B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)直線與拋物線相切時，的斜率取得最大值．設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)根的判別式得到方程，求出直線斜率的最大值；D選項(xiàng)，設(shè)，根據(jù)焦半徑公式得到方程，求出，求出三角形面積.【詳解】A選項(xiàng)，易知，準(zhǔn)線，所以到直線的距離為2，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，由拋物線的定義，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于，所以以為圓心，為半徑的圓與相切，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)直線與拋物線相切時，的斜率取得最大值．設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立可得：，令得：，所以直線斜率的最大值為1，C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)，，設(shè)，則，解得，所以的面積為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD．5．/0.5【分析】借助拋物線的性質(zhì)及其定義計(jì)算即可得.【詳解】由拋物線準(zhǔn)線方程為，故，則，，由在拋物線上，故，由，可得，即，即.故答案為：；.6．/【分析】由題意求出拋物線方程，進(jìn)而求出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，求得，，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)A，所以，解得，所以拋物線的方程為，則F0,1，得直線的方程為，與聯(lián)立整理得，設(shè)Ax1,y1故的面積為．故答案為：；反思提升：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【考點(diǎn)2】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用一、單選題1．（2022·江蘇·一模）是拋物線的焦點(diǎn)，以為端點(diǎn)的射線與拋物線相交于，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，若，則A． B．32 C． D．2．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知拋物線，圓，P為E上一點(diǎn)，Q為C上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．3二、多選題3．（2023·廣東佛山·二模）如圖拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于、兩點(diǎn)，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點(diǎn)，則（

）A． B．四邊形的面積為100C． D．的取值范圍為4．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知曲線上的點(diǎn)滿足：到定點(diǎn)1,0與定直線軸的距離的差為定值，其中，點(diǎn)，分別為曲線上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)恒在點(diǎn)的右側(cè)，則（

）A．若，則曲線的圖象為一條拋物線B．若，則曲線的方程為C．當(dāng)時，對于任意的，，都有D．當(dāng)時，對于任意的，，都有三、填空題5．（22-23高三上·江蘇南通·期中）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點(diǎn)，向圓作兩條切線和，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍是．6．（22-23高三上·湖南益陽·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓與交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，記.①當(dāng)時，有；②當(dāng)時，有；③可能是等腰直角三角形；其中命題中正確的有.參考答案：題號1234答案DBACDAC1．D【詳解】由題意，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則由拋物線的定義，可得．則．所以．所以．故本題答案選．2．B【分析】設(shè)，利用兩點(diǎn)距離公式結(jié)合點(diǎn)在拋物線上有，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)和圓的半徑即可得到答案.【詳解】由題意知,設(shè)，則,所以當(dāng)時,，又因?yàn)閳A的半徑為1，所以.故選：B.

3．ACD【分析】根據(jù)拋物線的定義可得判斷A，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可得拋物線的方程為，可得，進(jìn)而判斷B，利用拋物線的定義結(jié)合條件可得可判斷C，利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可判斷D.【詳解】設(shè)直線與直線分別交于，由題可知，所以，，故A正確；如圖以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以拋物線的方程為，連接，由拋物線的定義可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四邊形的面積為，故B錯誤；連接，因?yàn)?，所以，所以，故，故C正確；根據(jù)拋物線的對稱性不妨設(shè)點(diǎn)在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時，，當(dāng)與重合時，最小，最小值為，當(dāng)與重合，點(diǎn)在拋物線上時，因?yàn)?，直線，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以；當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時，設(shè)，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，當(dāng)，即時取等號，故此時；當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時，根據(jù)拋物線的對稱性可知，；綜上，，故D正確.故選：ACD.4．AC【分析】設(shè)曲線上的點(diǎn)Px,y，由題意求出的方程，分、化簡后逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對于A，若，設(shè)曲線上的點(diǎn)Px,y，由題意可得，化簡得，當(dāng)時，為拋物線，當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，而，顯然不成立，綜上，若，則曲線的圖象為一條拋物線，故A錯誤；對于B，若，設(shè)曲線上的點(diǎn)Px,y，由題意可得，化簡得，當(dāng)時，為拋物線，當(dāng)時，為一條射線，故B錯誤；對于C，若，設(shè)曲線上的點(diǎn)Px,y，由題意可得，化簡得，因?yàn)椋?dāng)時，，為開口向右，頂點(diǎn)為的拋物線的一部分，，當(dāng)時，，為開口向左，頂點(diǎn)為的拋物線的一部分，，且與關(guān)于對稱,其圖象大致如下，因?yàn)?，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)對稱性可得，故C正確；對于D，若，設(shè)曲線上的點(diǎn)Px,y，由題意可得，化簡得，因?yàn)?，?dāng)時，，為開口向左，頂點(diǎn)為的拋物線的一部分，當(dāng)時，，為開口向右，頂點(diǎn)為的拋物線的一部分，且與關(guān)于對稱,其圖象大致如下，因?yàn)?，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)對稱性可得，故D錯誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)曲線上的點(diǎn)Px,y，求出點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合求出答案.5．【分析】設(shè)點(diǎn)，由已知關(guān)系，可用點(diǎn)坐標(biāo)表示出.在，有，進(jìn)而可推出，根據(jù)的范圍，即可得到結(jié)果.【詳解】由已知，，.如圖，設(shè)點(diǎn)，則，，在中，有，易知，則，則，因?yàn)?，，所以?dāng)時，取得最大值，又，所以，.所以，的取值范圍是.故答案為：.6．①②【分析】聯(lián)立方程求得，結(jié)合可得，當(dāng)時，點(diǎn)三點(diǎn)共線，求得，即可求得，判斷①；當(dāng)時，由，求得的值，判斷②；分情況討論為等腰直角三角形情況，判斷③.【詳解】由圓與，聯(lián)立方程，解得或（舍），當(dāng)時，，所以，從而，即，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動，所以，則，①當(dāng)時，點(diǎn)三點(diǎn)共線，由于，所以，所以，由題意知，所以，故①正確；②當(dāng)時，即，所以，即，解得，又，得，所以②正確；③若是等腰直角三角形，則或或?yàn)橹苯?，因?yàn)椋?dāng)時，則，得，此時，不是等腰直角三角形，由對稱性可知當(dāng)時，也不是等腰直角三角形，；當(dāng)時，因?yàn)槭紫仁堑妊切?，由拋物線的對稱性可知點(diǎn)在軸上，此時，，,,即，故不是等腰直角三角形，綜上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③錯誤，故答案為：①②.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：題目中涉及到向量的運(yùn)算即，因此要利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，表示出，則①②即可判斷；判斷是否為等腰直角三角形，要討論直角頂點(diǎn)可能的位置，即分類討論，結(jié)合拋物線的對稱性進(jìn)行解答.反思提升：與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決.【考點(diǎn)3】直線與拋物線的綜合問題一、解答題1．（2024·廣西南寧·一模）已知曲線．(1)若點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，直線，判斷直線與的位置關(guān)系并證明．(2)若是直線上的動點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)．①試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．②若直線與軸分別交于點(diǎn)，證明：．2．（2024·江蘇南京·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)若拋物線不經(jīng)過第二象限，且經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于，，兩點(diǎn)（），過作軸的垂線交線段于點(diǎn).①當(dāng)經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時，求直線的方程；②求點(diǎn)A到直線的距離的最大值.3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)且，直線經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)①若與相切，且切點(diǎn)在第一象限，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；②若與在第一象限內(nèi)的兩個不同交點(diǎn)為，且關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，證明：直線的傾斜角之和為．4．（2024·山西太原·二模）已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)且斜率為1的直線經(jīng)過點(diǎn)F．(1)求拋物線C的方程；(2)若A，B是拋物線C上兩個動點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O），使得當(dāng)直線AB經(jīng)過點(diǎn)M時，滿足？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，，，均在拋物線：上，，關(guān)于軸對稱，直線，關(guān)于直線對稱，點(diǎn)在直線的上方，直線交軸于點(diǎn)，直線斜率小于2.(1)求面積的最大值；(2)記四邊形的面積為，的面積為，若，求.6．（2025·四川巴中·模擬預(yù)測）已知動圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率為正的直線交曲線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），的中點(diǎn)為，①過作直線的垂線，垂足分別為，試證明：；②設(shè)線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，若的面積為4，求直線的方程．參考答案：1．(1)相切，證明見解析(2)①為定值；；②證明見解析【分析】（1）利用點(diǎn)在曲線上，結(jié)合聯(lián)立方程，利用判別式，即可得出結(jié)論并證明之；（2）①設(shè)，可得切線，的方程，進(jìn)而求得E點(diǎn)縱坐標(biāo)，結(jié)合是直線上的動點(diǎn)，即可得結(jié)論；②設(shè)Ax1,y1,Bx2,y【詳解】（1）由題意知點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，則，聯(lián)立，得，則，故直線與相切；（2）①：為定值設(shè)，由（1）知切線AE為，切線BE為，聯(lián)立得，則，又E點(diǎn)在直線上，故，則，故，即為定值；②證明：設(shè)Ax1,y1,Bx則，

的斜率存在，不妨設(shè)為，傾斜角為，的斜率存在，不妨設(shè)為，傾斜角為，則，，由題意知為銳角，則，又，故∽，所以.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系以及定值和線段成比例問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，難點(diǎn)在于（2）中，要證明線段成比例，即證明∽，其中計(jì)算過程比較復(fù)雜，計(jì)算量大，且基本都是有關(guān)字母參數(shù)的運(yùn)算，要十分細(xì)心.2．(1)或(2)①；②【分析】（1）分類討論焦點(diǎn)所在位置，結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意可得.①求得，進(jìn)而可得直線，聯(lián)立求點(diǎn)得坐標(biāo)，即可得方程；②聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可證直線經(jīng)過定點(diǎn)，即可得結(jié)果.【詳解】（1）若拋物線的焦點(diǎn)在軸上時，可設(shè)拋物線的方程為，且拋物線過點(diǎn)，所以，解得；若拋物線的焦點(diǎn)在軸上時，可設(shè)拋物線的方程為，且拋物線過點(diǎn)，所以，解得；綜上所述：拋物線的方程為或.（2）因?yàn)閽佄锞€不經(jīng)過第二象限，由（1）可知，拋物線的方程為，

且F1,0,，①當(dāng)經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時，令，得，在中，令，得，又因?yàn)?，則，可得直線，由，解得或，即，所以直線，即；②設(shè)，，，由，消去整理得，所以，，，且，即，則，令，得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，所以當(dāng)，即點(diǎn)A以直線的距離取得最大值，為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法（1）動直線l過定點(diǎn)問題．解法：設(shè)動直線方程(斜率存在)為，由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動直線過定點(diǎn)；（2）動曲線C過定點(diǎn)問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．3．(1)(2)①；②證明見解析【分析】（1）由化簡得，再根據(jù)定義得，代入即可的拋物線方程；（2）①設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，通過導(dǎo)數(shù)求出切線方程，將點(diǎn)代入即可；②設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，，然后計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，又P是C上一點(diǎn)，所以，所以，解得，所以拋物線C的方程為．（2）①設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，切線的斜率為，所以切線方程為，將代入上式，得，所以，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為．

②由①得，直線的斜率都存在，要證：直線的傾斜角之和為，只要證明：直線的斜率之和為．

設(shè)直線的方程為，，，,則，，

由得，所以，，，即，

所以，即直線的傾斜角之和為．

【點(diǎn)睛】4．(1)(2)存在；【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，即可求解焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得，（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）由題意過點(diǎn)且斜率為1的直線方程為，即，令，則，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為1,0，∴，∴．拋物線C的方程為．（2）由（1）得拋物線C：，假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)直線AB的方程為（），Ax1,y1由，得，∴，，，∵，∴，∴，∴或（舍去），當(dāng)時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，滿足，，∴存在定點(diǎn)．5．(1)16(2)【分析】（1）設(shè)，則，令可得的坐標(biāo)，由韋達(dá)定理可表示出，從而可求得面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可求解；（2）設(shè)的面積為，由題意，由韋達(dá)定理以及同理思想可得，由公式可知也可以用表示，進(jìn)而可以得出關(guān)于的方程，解出，結(jié)合二倍角公式、平方關(guān)系即可求解.【詳解】（1）由題意，解得，所以拋物線：，因?yàn)?，關(guān)于軸對稱，直線，關(guān)于直線對稱，所以斜率互為相反數(shù)，不妨設(shè)，則，設(shè)與軸交于點(diǎn)，而直線交軸于點(diǎn)，所以，聯(lián)立與拋物線：，化簡并整理得，，設(shè)Ax則，設(shè)面積為，則，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以面積的最大值為16；（2）由（1）可知，解得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得，所以，設(shè)的面積為，而四邊形的面積為，的面積為，由題意，所以，而，而，所以，即，解得，由題意軸，且，設(shè)，所以，所以.6．(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）由拋物線的定義知P點(diǎn)軌跡是拋物線，方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦參數(shù)可得；（2）①設(shè)直線的方程為，，可求得，進(jìn)而可得，，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，進(jìn)而可得，可證結(jié)論；②求得的中點(diǎn)，進(jìn)而可得線段的垂直平分線方程為，進(jìn)而可得，結(jié)合已知可得，可求直線的方程.【詳解】（1）依題意可得圓心到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離相等，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，又到直線的距離為，所心拋物線的方程為；（2）①設(shè)直線的方程為，，則的中點(diǎn)，由（1）可知，，聯(lián)立方程組x=my+1y2=4x，消去可得所以，，所以，又，所以，所以；②由①可得，代入，可得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，又線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，令，可得，所以，所以，所以，又的面積為4，所以，所以，解得，所以直線的主程為，即.反思提升：1.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn).若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式.2.涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·北京西城·三模）點(diǎn)F拋物線的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．3 D．2．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若，則（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（2024·河南駐馬店·二模）已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．124．（2024·山東聊城·二模）點(diǎn)在拋物線上，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、多選題5．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A． B．C． D．6．（2024·河北保定·二模）若直線與拋物線只有1個公共點(diǎn)，則的焦點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（

）A． B． C． D．7．（2023·湖南常德·模擬預(yù)測）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，設(shè)直線，的斜率分別為，，則（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）已知等腰梯形ABCD的四個頂點(diǎn)在拋物線上，且，則原點(diǎn)到AB的距離與原點(diǎn)到CD的距離之比為．9．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個頂點(diǎn)，則的值為10．（2021·青海西寧·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，拋物線Ｍ與雙曲線交于，兩點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，則雙曲線的離心率為．四、解答題11．（2021·陜西漢中·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線:與拋物線交于兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過定點(diǎn).12．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程．(2)將曲線C向上平移4個單位得到曲線E，已知斜率為3的直線l與曲線E有兩個不同的交點(diǎn)且滿足，求直線l的方程．參考答案：題號1234567答案CDAAACBCABD1．C【分析】設(shè)，根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再由可得為的重心，從而可求出，再根據(jù)拋物線的定義可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由，得，所以，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)?，所以為的重心，所以，所以，所以，故選：C2．D【分析】寫出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，利用拋物線的定義化簡已知式并將韋達(dá)定理代入計(jì)算即得.【詳解】如圖，，直線的方程為：代入中，消去，可整理得，，顯然設(shè)，由韋達(dá)定理可得：（*）因，由，將（*）代入可得，，解得.故選：D.3．A【分析】由拋物線的定義列方程可得.【詳解】拋物線，準(zhǔn)線，,由拋物線的定義可知，解得.故選：A.4．A【分析】由拋物線的定義知，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合點(diǎn)和準(zhǔn)線的位置，求點(diǎn)到軸的距離.【詳解】拋物線開口向右，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，點(diǎn)在y軸右邊，所以點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4．故選：A．5．AC【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的定義和余弦定理，即可求解.【詳解】由，可得，即y02=聯(lián)立方程組，解得或，所以A正確，B不正確；又由拋物線的定義，可得，所以C正確；在中，可得，由余弦定理得，所以D錯誤．故選：AC.

6．BC【分析】根據(jù)題意，分和，兩種情況討論，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.【詳解】當(dāng)時，直線與只有一個公共點(diǎn)，滿足題意，此時的坐標(biāo)為12,0；當(dāng)時，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得或（舍去），此時對應(yīng)的的坐標(biāo)為1,0.故選：BC.7．ABD【分析】由點(diǎn)坐標(biāo)代入求出，即可求出拋物線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式判斷B，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示判斷C，根據(jù)斜率公式判斷D.【詳解】因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，故A正確；所以拋物線方程為，則焦點(diǎn)，設(shè)直線，則，消去整理得，則，所以，，則，，所以，故B正確；所以，，所以，故C錯誤；，故D正確；故選：ABD8．【分析】根據(jù)題意分析可知且軸，設(shè)設(shè)，，結(jié)合拋物線方程分析求解.【詳解】由題意可知，且軸，設(shè)，，則，可知，所以原點(diǎn)到AB的距離與原點(diǎn)到CD的距離之比為．故答案為：.9．8【分析】分別求出拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)，得，即可求解．【詳解】因?yàn)閽佄锞€（）的焦點(diǎn)為，且橢圓的右頂點(diǎn)為，由題意可得：，解得．故答案為：8.10．【分析】由拋物線和雙曲線的對稱性可以確定兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)既在拋物線又在雙曲線上，可建立的關(guān)系，從而求出離心率.【詳解】解：由拋物線和雙曲線的對稱性可知，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，且，因?yàn)?，所以，代入雙曲線方程有，所以，即，解得．故答案為：.11．(1)(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)焦點(diǎn)即可求出,從而寫出拋物線方程即可;(2)聯(lián)立直線方程和拋物線方程,由判別式大于0及韋達(dá)定理可求出,代入拋物線方程可求出,根據(jù),代入即可求出的值,代入直線方程中,即可證明過定點(diǎn).【詳解】（1）解:由題知拋物線的焦點(diǎn)為,,即,拋物線的方程為:;（2）證明:由(1)知拋物線的方程為:,聯(lián)立,整理可得,,,,,即,解得,符合，直線的方程為:,故直線恒過定點(diǎn).12．(1)(2)或【分析】（1）設(shè)點(diǎn)Mx,y，根據(jù)斜率之差的值整理可得曲線C的方程為；（2）易知曲線E為，聯(lián)立曲線E和直線l的方程并利用韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)Mx,y,根據(jù)題意可知，直線AM的斜率為，直線BM的斜率；即可得，整理可得.（2）如下圖所示：

將曲線C向上平移4個單位得到曲線E為；設(shè)直線l的方程為，；聯(lián)立曲線E和直線l整理可得，所以；因此，即，解得或；當(dāng)時，方程的根為，符合題意；當(dāng)時，方程的根為，符合題意；因此可知，直線l的方程為或.【能力篇】一、單選題1．（2024·陜西西安·三模）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，，，則（

）A．1 B．2 C．4 D．22二、多選題2．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)在上，若定點(diǎn)滿足，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為 B．周長的最小值為5C．四邊形可能是平行四邊形 D．的最小值為三、填空題3．（2024·廣東廣州·一模）已知曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)與到定直線的距離之和等于的點(diǎn)的軌跡，若點(diǎn)在上，對給定的點(diǎn)，用表示的最小值，則的最小值為.四、解答題4．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為C的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)，直線MF的斜率為，的面積為4．(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作y軸的垂線交直線AO于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作直線DF的垂線與C的另一交點(diǎn)為E，AE的中點(diǎn)為G，證明：G，B，D三點(diǎn)縱坐標(biāo)相等．參考答案：題號12答案BBD1．B【分析】設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx【詳解】設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，Ax1,y1聯(lián)立，可得，所以，，則．因?yàn)?，，所以，，則，解得或．因?yàn)?，所以．故選：B2．BD【分析】首先表示出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，由距離公式得到方程，即可求出，求出拋物線方程，即可判斷A；根據(jù)拋物線的定義判斷B，求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷C；設(shè)，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算分析求解.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)滿足，則，整理得，解得或（舍去），即拋物線，所以準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為F1,0，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義可知，則周長，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時取等號，所以周長的最小值為，故B正確；對于選項(xiàng)C：過點(diǎn)作的平行線，交拋物線于點(diǎn)，即，解得，即，則，所以四邊形不是平行四邊形，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：設(shè)，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為，故D正確；故選：BD3．2【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合圖形并借助到兩點(diǎn)距離的和不小于這兩點(diǎn)間距離求出最小值即得.【詳解】設(shè)Px,y，當(dāng)時，，則，化簡得：，即；當(dāng)時，，則，化簡得，，即，對于曲線上的任意一點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與曲線的交點(diǎn)時取等號，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)時取等號，因此，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)重合于時取等號，所以的最小值為2.故答案為：2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．4．(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為N，根據(jù)直線MF的斜率為，得到，再根據(jù)的面積為1求出，即可得解.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，再將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出直線的方程，將代入直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，根據(jù)直線與直線垂直，可得，然后列出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出G，B，D三點(diǎn)縱坐標(biāo)相等.【詳解】（1）設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為N，∵直線MF的斜率為，∴，又，∴