專題51 定點(diǎn)問(wèn)題解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)P(yáng)age專題51定點(diǎn)問(wèn)題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 5【考點(diǎn)1】直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題 5【考點(diǎn)2】其它曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題 16【分層檢測(cè)】 28【基礎(chǔ)篇】 28【能力篇】 42【培優(yōu)篇】 48真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2022·全國(guó)·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．2．（2021·全國(guó)·高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過(guò)，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過(guò)點(diǎn).②若過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.2．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由離心率公式可得，進(jìn)而可得，即可得解；（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過(guò)點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題一、解答題1．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)與的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為．(1)求的方程．(2)不過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為．（i）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）求面積的最大值．2．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與圓內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；(2)設(shè)軌跡C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為軌跡C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PB交直線于點(diǎn)T，連接AT交軌跡C于點(diǎn)Q；直線AP，AQ的斜率分別為，.（i）求證：為定值；（ii）設(shè)直線，證明：直線PQ過(guò)定點(diǎn).3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，平面上有動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.(2)過(guò)點(diǎn)A的直線與交于點(diǎn)（在第一象限），過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.4．（2024·江西宜春·三模）已知以點(diǎn)M為圓心的動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓心為的圓相切，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若動(dòng)直線l與曲線C交于，兩點(diǎn)（其中），點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為A'，且直線BA'經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（ⅰ）求證：直線l過(guò)定點(diǎn)；（ⅱ）若，求直線l的方程．5．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知拋物線，其焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且．(1)求拋物線的方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，（i）求證直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）求與面積之和的最小值．6．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，動(dòng)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)作拋物線的切線和，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn),和相交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，的外接圓的面積是．(1)求拋物線的方程；(2)若直線的方程是，點(diǎn)是拋物線上在，兩點(diǎn)之間的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)，），求的取值范圍；(3)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，證明：若恒成立，則直線過(guò)定點(diǎn)反思提升：圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn).(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).參考答案：1．(1)；(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得.（2）（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面積建立函數(shù)關(guān)系，再求出最大值.【詳解】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，解得，由三角形面積為，得，則，，所以的方程是.（2）（i）由（1）知，點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去x得：，則，直線與的斜率分別為，，于是，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不符合題意，因此，直線：恒過(guò)定點(diǎn).（ii）由（i）知，，則，因此的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問(wèn)題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動(dòng)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.2．(1)；(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的定義求出軌跡C的方程.（2）（i）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式計(jì)算即得；（ii）聯(lián)立直線與軌跡C的方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合（i）的結(jié)論計(jì)算即得.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，圓的圓心，半徑，顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，則，于是，因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，則短半軸長(zhǎng)，所以軌跡C的方程為.（2）（i）設(shè)，，，由（1）知，，顯然，，而，則，，又，即，所以，為定值.（ii）由消去x得，，由（i）得，又，則，解得，滿足，因此直線PQ的方程為，所以直線PQ過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：①“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；②“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；③求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.3．(1)(2)是，定值為【分析】（1）設(shè)Px,y（2）分析可知，設(shè)直線和相關(guān)點(diǎn)，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理分析可得直線過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得面積之比.【詳解】（1）設(shè)Px,y，，由題意可得：，整理得，故求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由題意可知：，且，可得，顯然直線MN的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，Mx1,y1聯(lián)立方程，消去x得，則，，可得，則，整理可得，則，因?yàn)?，則，可得，整理可得，所以直線方程為，即直線過(guò)定點(diǎn)，則，此時(shí)，，所以為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.4．(1)(2)（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)動(dòng)圓M與圓相切，由，利用雙曲線的定義求解；（2）（?。┰O(shè)直線l的方程為（顯然l與x軸不平行），與聯(lián)立，由求解；（ⅱ）由（?。┲?，當(dāng)時(shí)，，，然后由求解.【詳解】（1）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑．動(dòng)圓M與圓相切有兩種情況，即內(nèi)切或外切，所以，所以點(diǎn)M在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，且該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，，所以，所以曲線C的方程是．（2）（?。┰O(shè)直線l的方程為（顯然l與x軸不平行），與聯(lián)立，得，由題意知，，，即，由韋達(dá)定理得，．因?yàn)辄c(diǎn)A與A'關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨設(shè)A，B分別在第一、二象限，如圖所示．

易知，即，化為，即，化為，當(dāng)m變化時(shí)，該式恒成立，所以，故直線l過(guò)定點(diǎn)（-3，0）．（ⅱ）由（ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，，．由，，，，化為，解得或（舍去），故，此時(shí)直線l的方程為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（ⅱ）的關(guān)鍵是由直線BA'經(jīng)過(guò)點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為A'，得到，從而將，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達(dá)定理而得解.5．(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）【分析】（1）利用焦半徑公式建立方程，解出參數(shù)，得到拋物線方程即可.（2）（i）設(shè)出，利用給定條件建立方程求出，最后得到定點(diǎn)即可.（ii）利用三角形面積公式寫出面積和的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.【詳解】（1）拋物線，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，可得，且，解得（另一個(gè)根舍去），，則拋物線的方程為；（2）（i）如圖，設(shè)的方程為，，聯(lián)立，可得，則，又，，由，可得，解得（另一個(gè)根舍去），所以直線恒過(guò)定點(diǎn)；（ii）由上小問(wèn)可得，不妨設(shè)，則與面積之和為，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，上式取得等號(hào)，則與面積之和的最小值為．6．(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)外接圓的半徑為，，由已知可得，在中可得，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)即可求解；（2）直線的方程與拋物線方程聯(lián)立可得，坐標(biāo)，設(shè)Px,y，，可得，設(shè)，通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值即可求解；（3）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，的方程，聯(lián)立可得的坐標(biāo)，由得，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，設(shè)外接圓的半徑為，，則，，在中有，，，則，，即，，設(shè)直線，與聯(lián)立得，令，又，得，所以拋物線方程為；（2）聯(lián)立，整理得，解得或，不妨設(shè)，，設(shè)Px,y，，則，，所以，又，，，設(shè)，，則，故φx在上單調(diào)遞減，在2,3上單調(diào)遞增，故，而，故的取值范圍是；（3）由得，設(shè)Ax1,y1直線，，即，令，得，同理，，所以，直線與直線兩方程聯(lián)立解得，得，又，由得，得，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，則，所以，則直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵利用導(dǎo)數(shù)得到切線方程，從而求出，再計(jì)算出，再設(shè)直線方程，將其與拋物線聯(lián)立，得到，從而解出值，得到定點(diǎn)坐標(biāo).【考點(diǎn)2】其它曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題一、解答題1．（2024·西藏拉薩·二模）已知拋物線上的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為.(1)求拋物線的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，問(wèn)：以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.2．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，直線∶與相交于兩點(diǎn)，過(guò)分別向的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為.(1)設(shè)的面積分別為，求證：；(2)若直線，分別與相交于，試證明以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).3．（2024·新疆喀什·三模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是直線：（其中是實(shí)半軸長(zhǎng)，是半焦距）上不同于原點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)．(1)求的值；(2)若直線，，，的斜率分別為，，，，問(wèn)是否存在點(diǎn)，滿足，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，離心率為2，右焦點(diǎn)為，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，(1)若點(diǎn)在雙曲線右支上，在軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)．使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)過(guò)作圓的兩條切線，若切線分別與相交于另外的兩點(diǎn)、，證明：三點(diǎn)共線．5．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求的方程；(2)直線交于兩點(diǎn).（i）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線的斜率為，證明：為定值；（ii）若上存在點(diǎn)使得在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線的方程.6．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的右焦點(diǎn)為點(diǎn)F，橢圓上頂點(diǎn)為點(diǎn)A，右頂點(diǎn)為點(diǎn)B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)是否存在過(guò)原點(diǎn)O的直線l，使得直線l與橢圓在第三象限的交點(diǎn)為點(diǎn)C，且與直線AF交于點(diǎn)D，滿足，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：1．(1)(2)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為原點(diǎn)【分析】（1）設(shè)出兩點(diǎn)，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式構(gòu)造方程求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，直線的斜率分別為.聯(lián)立拋物線，運(yùn)用韋達(dá)定理，得到，則，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，所以，則，解得，所以拋物線的方程為.（2）由題意，知直線的斜率存在，設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，直線的斜率分別為.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).以下證明當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).由，消去，得，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，所以，所以以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).綜上，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).2．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析，和【分析】（1）將點(diǎn)代入得拋物線方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，韋達(dá)定理，然后用坐標(biāo)表示三個(gè)三角形的面積，化簡(jiǎn)即可證明.（2）先求出直線的方程，令得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出以為直徑的圓，令得圓恒過(guò)的定點(diǎn).【詳解】（1）將代入，得，所以拋物線方程為，由題意知，設(shè)，由得，，，所以，所以，即.（2）直線的斜率，故直線的方程為，令得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則=，又=，所以以為直徑的圓為，即，令得或，故以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)0,1和.3．(1)-3(2)存在，，或【分析】（1）設(shè)，利用斜率公式求解；（2）設(shè)，直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得到，，結(jié)合求解.【詳解】（1）由題可得雙曲線E：，則，∴左、右焦點(diǎn)分別為，，直線l的方程為：設(shè)，，同理可得．∴；（2）設(shè)，如圖，直線方程為，代入雙曲線方程可得：，所以，則，則，，，．同理，即，即，∴或，又，若．無(wú)解，舍去．∴，解得，，或，，若，，由A在直線上可得，，∴．此時(shí)，若，，由A在直線上可得，，∴此時(shí)∴存在點(diǎn)，或，滿足．4．(1)存在，.(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先求出雙曲線的方程，將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線的斜率關(guān)系，從而列出不等式，斜率不存在的情況單獨(dú)討論，即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo).（2）先根據(jù)P點(diǎn)的位置判斷能否作出切線，再將切線分為斜率存在和不存在兩種情況討論，表達(dá)出兩條切線的方程，斜率存在時(shí)，再根據(jù)切線與圓的位置關(guān)系，找出兩條切線的斜率的關(guān)系，再把切線方程代入雙曲線，表達(dá)出點(diǎn)E、G的坐標(biāo)并找出坐標(biāo)關(guān)系，從而證出E、O、G三點(diǎn)共線.【詳解】（1）根據(jù)題意，有，所以雙曲線的方程為.設(shè)，且，①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，即時(shí)，因?yàn)?，所以，，從而，化?jiǎn)整理得，，，所以在x軸負(fù)半軸上存在點(diǎn)使得；②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即時(shí)，若，則，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為2,3，所以，則，又，所以，此時(shí)，綜上，滿足條件的M點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為.（2）設(shè)Px0,①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，直線PG的斜率不存在，直線PE的斜率為0，此時(shí)易得，此時(shí)點(diǎn)E、G關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，故E、O、G三點(diǎn)共線.②當(dāng)，且或，且時(shí)，此時(shí)直線PE、PG的斜率存在且不為零，分別設(shè)為，設(shè)經(jīng)過(guò)Px0,所以，即由韋達(dá)定理得，又，所以，由直線PE與圓的位置關(guān)系可知，，同理直線PG的方程為，有，聯(lián)立，消去y并整理得，，即，即，令，根據(jù)韋達(dá)定理得，所以設(shè)，又，所以，所以，又，兩式相減得，，由圖可知，，所以，即.所以點(diǎn)E、G關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，此時(shí)E、O、G三點(diǎn)共線，綜上得，E、O、G三點(diǎn)共線.5．(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率為，且過(guò)點(diǎn)可得；（2）（i）由點(diǎn)差法可得，進(jìn)而有；（ii）聯(lián)立可得，故由重心坐標(biāo)公式可得，由在上的投影向量相等可知在的垂直平分線上，根據(jù)其方程，可得，由在上進(jìn)而可得.【詳解】（1）由題意，得，解得，所以的方程為；（2）依題意可設(shè)點(diǎn)，且，（i）證明：因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，所以，即，因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為所以，即為定值；（ii）設(shè)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為的重心的坐標(biāo)為，由，得，所以，且，因?yàn)榈闹匦脑谳S上，所以，所以，所以，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄肯嗟?，所以，且，所以直線的方程為，所以，所以點(diǎn)，又點(diǎn)在上，所以，即又因?yàn)?，所以，所以直線的方程為.6．(1)(2)因此存在直線滿足條件．【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解，即可結(jié)合的關(guān)系求解，（2）聯(lián)立方程可得坐標(biāo)，即可根據(jù)根據(jù)，即可求解.【詳解】（1）依題意，，解得，又因?yàn)椋裕?）設(shè)直線的方程為，橢圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理得，解得，①，直線AF方程為，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程組，解得，②，又因?yàn)?，設(shè)，則有，即，所以，所以．所以，則有，代入①②有，解得，由題意得，所以，因此存在直線滿足題中條件．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強(qiáng)化有關(guān)直線與曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．反思提升：(1)定點(diǎn)問(wèn)題，先猜后證，可先考慮運(yùn)動(dòng)圖形是否有對(duì)稱性及特殊(或極端)位置猜想，如直線的水平位置、豎直位置，即k＝0或k不存在時(shí).(2)以曲線上的點(diǎn)為參數(shù)，設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，利用點(diǎn)在曲線f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消參.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2021·山東濱州·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，左右頂點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．直線與直線的斜率之積為C．存在點(diǎn)滿足 D．若△的面積為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．（2021·浙江溫州·三模）如圖，點(diǎn)A，B，C在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)F在上，與x軸交于點(diǎn)D，，，則（

）A． B．4 C． D．33．（2021·廣西·二模）已知橢圓的上頂點(diǎn)為為橢圓上異于A的兩點(diǎn)，且，則直線過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．4．（2023·河南·二模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在雙曲線C：上，雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為，，則下列結(jié)論：①C的離心率為2；

②C的焦點(diǎn)弦最短為6；③動(dòng)點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為定值；④當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時(shí)，的最大值為．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、多選題5．（2021·湖北黃岡·三模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在雙曲線上，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的漸近線與圓相切B．滿足的點(diǎn)共有2個(gè)C．直線與雙曲線的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是D．若，則6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，P為C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線方程為 B．若，則的最小值為C．若，則的周長(zhǎng)的最小值為11 D．在x軸上存在點(diǎn)E，使得為鈍角7．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線Γ:，過(guò)點(diǎn)作直線，直線與Γ交于A，C兩點(diǎn)，A在x軸上方，直線與Γ交于B，D兩點(diǎn)，D在x軸上方，連接，若直線過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線的斜率為1，則直線的斜率為B．直線過(guò)定點(diǎn)C．直線與直線的交點(diǎn)在直線上D．與的面積之和的最小值為三、填空題8．（2021·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）汽車前照燈主要由光源、反射鏡及配光片三部分組成，其中經(jīng)過(guò)光源和反射鏡頂點(diǎn)的剖面輪廓為拋物線，而光源恰好位于拋物線的焦點(diǎn)處，這樣光源發(fā)出的每一束光線經(jīng)反射鏡反射后均可沿與拋物線對(duì)稱軸平行的方向射出.某汽車前照燈反射鏡剖面輪廓可表示為拋物線.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線，拋物線的準(zhǔn)線記為，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于，且滿足此條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則9．（2024·四川宜賓·二模）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別是，則直線過(guò)定點(diǎn).10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角的正切值為.若直線（且）與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，直線，的斜率的倒數(shù)和為，則直線恒經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為.四、解答題11．（22-23高三上·山西·階段練習(xí)）已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，且直線的斜率之和為，證明：點(diǎn)在一條定拋物線上．12．（2021·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)）已知P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上．(1)求拋物線C的方程；(2)A，B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)．參考答案：題號(hào)1234567答案DBDBACDBCABD1．D【分析】根據(jù)橢圓的概念和幾何性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，設(shè)，則，，，，則，故B錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)闄E圓，，，，所以以為直徑的圓與橢圓無(wú)交點(diǎn)，故不存在點(diǎn)滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，，則，則，解得，故D正確.故選：D2．B【分析】設(shè)出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，利用直線AB，AC，BC斜率的關(guān)系建立等式即可得解.【詳解】依題意設(shè)，則直線AB，AC，BC斜率分別為：，因，則，即，則，因F(1，0)在直線AB上，則，而，有，即，點(diǎn)A在直線上，又是等腰三角形，點(diǎn)F，點(diǎn)D關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)D坐標(biāo)為(5，0)，|FD|=4.故選：B3．D【分析】設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示可解得或，然后分類討論可得答案【詳解】設(shè)直線的方程為，，則由整理得，所以，，因?yàn)?，，，所以解得或，?dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)0,1點(diǎn)而，而不在同一直線上，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)，符合題意.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用韋達(dá)定理表示，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及計(jì)算能力.4．B【分析】①由性質(zhì)可得；②用特殊值可判定；③設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算化簡(jiǎn)即可，④利用雙曲線的焦半徑辦公計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，即①正確；顯然當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)弦過(guò)左、右焦點(diǎn)時(shí)，該弦長(zhǎng)為實(shí)軸，長(zhǎng)度為2＜6，即②錯(cuò)誤；易知雙曲線的漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，則，且到兩條雙曲線的距離之積為是定值，故③正確；對(duì)于④，先推下雙曲線的焦半徑公式：對(duì)雙曲線上任意一點(diǎn)及雙曲線的左右焦點(diǎn)，則，同理，所以，此即為雙曲線的焦半徑公式.設(shè)點(diǎn)，由雙曲線的焦半徑公式可得，故，其中，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得，故④錯(cuò)誤；綜上正確的是①③兩個(gè).故選：B5．ACD【分析】對(duì)于A，由已知條件求出漸近線方程和圓的圓心和半徑，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直的距離進(jìn)行判斷即可；對(duì)于B，由雙曲線的性質(zhì)求出的最小值判斷；對(duì)于C，由于直線恒過(guò)點(diǎn)，所以分或，或和進(jìn)行判斷；對(duì)于D，利用雙曲線的定義和已知條件可得，從而可判斷，從而可求出【詳解】解：由題意得，，則，所以，漸近線方程為，對(duì)于A，圓的圓心為，半徑為，而到直線的距離為，所以雙曲線的漸近線與圓相切，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)在左支上時(shí)，的最小值為，所以左支上有2個(gè)點(diǎn)滿足，當(dāng)在右支上時(shí)，的最小值為為，所以右支上有2個(gè)點(diǎn)滿足，綜上滿足的點(diǎn)共有4個(gè)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)楹氵^(guò)點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，直線與漸近線平行，與右支有1個(gè)交點(diǎn)，與左支無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，與右支有兩個(gè)交點(diǎn)，與左支無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D，不妨設(shè)點(diǎn)在右支上，則，而，所以，而，所以，所以，所以，所以，所以D正確，故選：ACD6．BC【分析】根據(jù)題意求出，即可求出準(zhǔn)線，即可判斷A；設(shè)點(diǎn)，，則，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；過(guò)點(diǎn)P作垂直于C的準(zhǔn)線，垂足為N，連接MN，再結(jié)合圖象，即可求得的周長(zhǎng)的最小值，即可判斷C；設(shè)，再判斷是否有解即可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以拋物線C的方程為，所以C的準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)，，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故B正確；C選項(xiàng)：過(guò)點(diǎn)P作垂直于C的準(zhǔn)線，垂足為N，連接MN，則，易知，，所以，所以的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，N三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以的周長(zhǎng)的最小值為11，故C正確；D選項(xiàng)：設(shè)，則，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在C上，所以，即，所以，所以，故不可能為鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：BC.7．ABD【分析】分別聯(lián)立曲線與直線方程，表示出韋達(dá)定理，解方程組可得B正確；由斜率的定義結(jié)合選項(xiàng)B可得A正確；當(dāng)軸時(shí)，求出四點(diǎn)坐標(biāo)，得到兩直線方程，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)可判斷C錯(cuò)誤；由三角形的面積公式結(jié)合選項(xiàng)B和基本不等式可得D正確.【詳解】設(shè)，設(shè)直線交x軸于點(diǎn)，，直線的方程為：，聯(lián)立，消去可得，，所以，同理，設(shè)直線，聯(lián)立，消去可得，，所以，設(shè)直線，聯(lián)立，消去可得，，所以，聯(lián)立方程組，可得，故B正確；對(duì)于A，由B可得，所以當(dāng)時(shí)，有，故A正確；當(dāng)軸時(shí)，可知，，求得直線的方程為，直線的方程為，將這兩方程聯(lián)立方程組，解得，故C錯(cuò)誤；設(shè)與的面積分別為，則，又，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確．故選：ABD.8．【分析】設(shè)出，根據(jù)條件可得出，由題意方程只有一個(gè)解，所以其判別式為0，可得出答案.【詳解】拋物線，則準(zhǔn)線的方程為,焦點(diǎn)，設(shè)由點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于，則所以化簡(jiǎn)可得：由滿足此條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，時(shí)符合題意，若不等于1，則即，則由，所以故答案為：9．【分析】設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)，從而可確定直線的方程，進(jìn)而可得出答案.【詳解】設(shè)，由，得，則，則拋物線在點(diǎn)處得切線方程為，即，又，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，①同理可得，②由①②可得直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn).

故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.10．【分析】先根據(jù)漸近線的傾斜角算出，然后聯(lián)立直線和雙曲線，結(jié)合題目條件和韋達(dá)定理找到的關(guān)系，從而得到定點(diǎn).【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為一條漸近線的傾斜角的正切值為.所以，解得，所以雙曲線方程為.設(shè)，，聯(lián)立得，.由韋達(dá)定理得，.因?yàn)?，所?所以，由題意知，此時(shí).所以直線方程為，恒經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為.故答案為：11．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求法，列方程組解決即可；（2）設(shè)直線的斜率分別為，，，．將代入，得，，根據(jù)韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得即可解決.【詳解】（1）依題意設(shè)的方程為，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，，所以，解得，故的方程為．（2）證明：設(shè)直線的斜率分別為，，，．將代入，得．由題設(shè)可知，，，所以，所以，所以．因?yàn)椋?，所以，故點(diǎn)在拋物線上，即點(diǎn)在一條定拋物線上．12．(1)y2＝4x(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求得參數(shù)，即得拋物線方程；(2)設(shè)AB：x＝my+t，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入得參數(shù)值，從而可得定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得4＝2p，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x．（2）證明：設(shè)AB：x＝my+t，將AB的方程與y2＝4x聯(lián)立得y2﹣4my﹣4t＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，所以Δ＞0?16m2+16t＞0?m2+t＞0，，同理：，由題意：，∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1，故直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(﹣1，0)．【能力篇】一、單選題1．（2021·浙江紹興·三模）過(guò)點(diǎn)的兩條直線，分別與雙曲線：相交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，滿足，（且）.若直線的斜率，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．二、多選題2．（2023·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，由直線上任一點(diǎn)向橢圓作切線，切點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在軸的上方，則（）A．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，B．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，直線的斜率為C．存在點(diǎn)，使得為鈍角D．存在點(diǎn)，使得三、填空題3．（2024·河南·二模）直線與拋物線：相交于兩點(diǎn)，若在軸上存在點(diǎn)使得，則的最小值為.四、解答題4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，直線：與的漸近線相交于點(diǎn)，，且的面積為.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作直線與C的右支相交于M，N兩點(diǎn)，若x軸上的點(diǎn)G使得等式恒成立，求證：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.參考答案：題號(hào)12答案DAD1．D【分析】設(shè)，由，，可得，，再利用點(diǎn)差法可得，，從而可得，進(jìn)而可求出離心率【詳解】解：設(shè)，則,因?yàn)?，，所以∥，所以，所以，，所以，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以，則同理得，，則所以，因?yàn)榍?，所以，即所以離心率，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的離心率的求法，解題的關(guān)鍵是設(shè)，由，，可得，，再利用點(diǎn)差法可得，，從而可得，進(jìn)而可求出離心率，考查計(jì)算能力，屬于中檔題2．AD【分析】設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2，先證明出橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，可得出橢圓在點(diǎn)【詳解】設(shè)點(diǎn)Ax1,先證明出橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，由題意可得，聯(lián)立可得，即，即方程組只有唯一解，因此，橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，同理可知，橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)為直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則有，即，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，此時(shí)直線的方程為，由可得，即點(diǎn)，此時(shí)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，直線的斜率為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，同理，所以，，因此，恒為銳角，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，則軸，此時(shí)，所以，點(diǎn)不是橢圓的上頂點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，所以，，，存在點(diǎn)，使得，則，則，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)?，，所以，，即，因?yàn)椋獾?，因此，存在點(diǎn)，使得，D對(duì).故選：AD.3．【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，引入?yún)?shù)，結(jié)合韋達(dá)定理以及可得關(guān)于應(yīng)該滿足的條件式，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】聯(lián)立方程得，令，而由題意，所以.設(shè)，由韋達(dá)定理得.設(shè)，則，，即，顯然，否則，但這是不可能的，即，因?yàn)?，所以（否則時(shí)，有，但這與已知矛盾），由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.4．(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用坐標(biāo)表示的面積，即可求解雙曲線方程；（2）首先由幾何關(guān)系確定，再利用坐標(biāo)表示，代入韋達(dá)定理，即可求解.【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，直線與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，不妨設(shè)，，，則，即，所以，且，得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由可知，，根據(jù)正弦定理可知，，而，所以，所以，則，所以,設(shè)直線，，聯(lián)立，得，，，，，，所以，即，則，解得：，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【培優(yōu)篇】一、解答題1．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為，左、右端點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上不同于的一點(diǎn)，且滿足.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，，分別與橢圓交于點(diǎn)和點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？如果過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；如果不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.2．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線C：的離心率為，點(diǎn)在C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)圓O：上任意一點(diǎn)P處的切線交C于M、N兩點(diǎn)，證明：以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).3．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于點(diǎn)，，如圖．

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，．證明：直線過(guò)定點(diǎn)．參考答案：1．(1)(2)過(guò)，.【分析】（1）利用可得，再利用即可得橢圓的方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線的方程，聯(lián)立橢圓方程可得，同理得