專題57 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析解析版-2025版高中數(shù)學一輪復習講義知識梳理、考點突破和分層檢測

Page專題57成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 4【考點突破】 14【考點1】成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性 14【考點2】回歸分析 17【考點3】獨立性檢驗 25【分層檢測】 35【基礎篇】 35【能力篇】 43考試要求：1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義.2.了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，會運用這些方法解決簡單的實際問題.3.會利用統(tǒng)計軟件進行數(shù)據(jù)分析.知識梳理知識梳理1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負相關(guān).(3)線性相關(guān)一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān)，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān).一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).2.樣本相關(guān)系數(shù)(1)相關(guān)系數(shù)r的計算變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計算公式如下：(2)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)①當r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當r<0時，成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)；當r＝0時，成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系.②樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1].當|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.3.一元線性回歸模型(1)經(jīng)驗回歸方程與最小二乘法我們將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線.這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估計，其中(2)利用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果，R2越大，即擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差.4.列聯(lián)表與獨立性檢驗(1)2×2列聯(lián)表一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為xy合計y＝y(tǒng)1y＝y(tǒng)2x＝x1aba＋bx＝x2cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)臨界值χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).忽略χ2的實際分布與該近似分布的誤差后，對于任何小概率值α，可以找到相應的正實數(shù)xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立.我們稱xα為α的臨界值，這個臨界值就可作為判斷χ2大小的標準.(3)獨立性檢驗基于小概率值α的檢驗規(guī)則是：當χ2≥xα時，我們就推斷H0不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當χ2＜xα時，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認為X和Y獨立.這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗.下表給出了χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8281.求解經(jīng)驗回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，應充分利用回歸直線過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))).2.根據(jù)經(jīng)驗回歸方程計算的eq\o(y,\s\up6(^))值，僅是一個預報值，不是真實發(fā)生的值.3.根據(jù)χ2的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度，若χ2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間2．（2023·全國·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種二、多選題3．（2023·全國·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標準差不小于的標準差D．的極差不大于的極差三、解答題4．（2024·全國·高考真題）某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，設為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果，則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.8285．（2023·全國·高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5(1)計算試驗組的樣本平均數(shù)；(2)（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表對照組試驗組（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.6356．（2023·全國·高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(2)實驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對照組實驗組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.6357．（2023·全國·高考真題）某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗結(jié)果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．(1)求，；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）8．（2023·全國·高考真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．參考答案：題號123答案CDBD1．C【分析】計算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計算出低于1100kg的頻數(shù)，再計算比例即可判斷B；根據(jù)極差計算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計算公式即可判斷D.【詳解】對于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知,,所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于,故A錯誤；對于B，畝產(chǎn)量不低于的頻數(shù)為，所以低于的稻田占比為，故B錯誤；對于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為，最小為，故C正確；對于D，由頻數(shù)分布表可得，平均值為，故D錯誤.故選；C.2．D【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.故選：D.3．BD【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標準差以及極差的概念逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：設的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因為沒有確定的大小關(guān)系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯誤；對于選項B：不妨設，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對于選項C：因為是最小值，是最大值，則的波動性不大于的波動性，即的標準差不大于的標準差，例如：，則平均數(shù)，標準差，，則平均數(shù)，標準差，顯然，即；故C錯誤；對于選項D：不妨設，則，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：BD.4．(1)答案見詳解(2)答案見詳解【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算，并與臨界值對比分析；（2）用頻率估計概率可得，根據(jù)題意計算，結(jié)合題意分析判斷.【詳解】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030可得，因為，所以有的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異.（2）由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為，用頻率估計概率可得，又因為升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，則，可知，所以可以認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.5．(1)(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能【分析】（1）直接根據(jù)均值定義求解；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.【詳解】（1）試驗組樣本平均數(shù)為：（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計對照組61420試驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.6．(1)分布列見解析，(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能【分析】（1）利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學期望；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計對照組61420實驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.7．(1)，；(2)認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.【分析】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計算出，再得到所有的值，最后計算出方差即可；（2）根據(jù)公式計算出的值，和比較大小即可.【詳解】（1），，，的值分別為:，故（2）由（1）知:，，故有,所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.8．(1)，；(2)，最小值為．【分析】（1）根據(jù)題意由第一個圖可先求出，再根據(jù)第二個圖求出的矩形面積即可解出；（2）根據(jù)題意確定分段點，即可得出的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出．【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．（2）當時，；當時，,故，所以在區(qū)間的最小值為．考點突破考點突破【考點1】成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性一、單選題1．（2024·四川成都·二模）對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖1；對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖2.表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 B．變量與呈現(xiàn)負相關(guān)，且C．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 D．變量與呈現(xiàn)負相關(guān)，且2．（2024·四川涼山·三模）調(diào)查某校高三學生的身高和體重得到如圖所示散點圖，其中身高和體重相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．學生身高和體重沒有相關(guān)性B．學生身高和體重呈正相關(guān)C．學生身高和體重呈負相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是二、多選題3．（22-23高三上·江蘇無錫·期末）已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個樣本，得到經(jīng)驗回歸方程為，且，去除兩個樣本點和后，得到新的經(jīng)驗回歸方程為．在余下的8個樣本數(shù)據(jù)和新的經(jīng)驗回歸方程中（

）．A．相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系B．新的經(jīng)驗回歸方程為C．隨著自變量x值增加，因變量y值增加速度變小D．樣本的殘差為4．（2024·湖南衡陽·模擬預測）為了研發(fā)某種流感疫苗，某研究團隊收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值，抗體藥物攝入量為x（單位：mg），體內(nèi)抗體數(shù)量為y（單位：AU/mL）．根據(jù)散點圖，可以得到回歸直線方程為：．下列說法正確的是（

）A．回歸直線方程表示體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量之間的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線方程表示體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量之間的函數(shù)關(guān)系C．回歸直線方程可以精確反映體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量的變化趨勢D．回歸直線方程可以用來預測攝入抗體藥物后體內(nèi)抗體數(shù)量的變化三、填空題5．（23-24高三上·浙江·開學考試）已知成對樣本數(shù)據(jù)中互不相等，且所有樣本點都在直線上，則這組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)．參考答案：題號1234答案CBABDAD1．C【分析】利用散點圖，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的知識可得答案.【詳解】由題意可知，變量的散點圖中，隨的增大而增大，所以變量與呈現(xiàn)正相關(guān)；再分別觀察兩個散點圖，圖比圖點更加集中，相關(guān)性更好，所以線性相關(guān)系數(shù).故選：C.2．B【分析】由散點圖的特點可分析相關(guān)性的問題，從而判斷選項，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可判斷選項.【詳解】由散點圖可知，散點的分布集中在一條直線附近，所以學生身高和體重具有相關(guān)性，不正確；又身高和體重的相關(guān)系數(shù)為，相關(guān)系數(shù)，所以學生身高和體重呈正相關(guān)，正確，不正確；從樣本中抽取一部分，相關(guān)性可能變強，也可能變?nèi)?，所以這部分的相關(guān)系數(shù)不一定是，不正確.故選：.3．ABD【分析】根據(jù)線性回歸方程的求法、意義可判斷ABC，再由殘差的概念判斷D.【詳解】，x新平均數(shù)，．y新平均數(shù)，∴，∴．新的線性回歸方程，x，y具有正相關(guān)關(guān)系，A對．新的線性回歸方程：，B對．由線性回歸方程知，隨著自變量x值增加，因變量y值增加速度恒定，C錯；，，，D對．故選：ABD．4．AD【分析】根據(jù)回歸方程的意義判斷即可.【詳解】回歸直線方程只能表示體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量之間的線性相關(guān)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系，A正確，B錯誤，回歸直線方程不能精確反映體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量的變化趨勢，但可以用來預測攝入抗體藥物后體內(nèi)抗體數(shù)量的變化，C錯誤，D正確.故選：AD.5．【分析】根據(jù)給定條件，利用相關(guān)系數(shù)的定義求解作答.【詳解】因為所有樣本點都在直線上，顯然直線的斜率，所以樣本數(shù)據(jù)成負相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為.故答案為：反思提升：判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法：(1)散點圖法：如果樣本點的分布從整體上看大致在某一曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果樣本點的分布從整體上看大致在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.(2)決定系數(shù)法：利用決定系數(shù)判定，R2越趨近1，擬合效果越好，相關(guān)性越強.【考點2】回歸分析一、單選題1．（2024·四川綿陽·二模）已知變量x，y之間的線性回歸方程為，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，x2468y58.213m則下列說法正確的是（

）A．B．變量y與x是負相關(guān)關(guān)系C．該回歸直線必過點D．x增加1個單位，y一定增加2個單位2．（2024·全國·模擬預測）2023年第19屆亞運會在杭州舉行，亞運會的吉祥物琮琮、蓮蓮、宸宸深受大家喜愛，某商家統(tǒng)計了最近5個月銷量，如表所示：若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（

）時間x12345銷售量y/萬只54.543.52.5A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負相關(guān)B．當時，殘差為0.2C．可以預測當時銷量約為2.1萬只D．線性回歸方程中二、多選題3．（23-24高三上·廣東揭陽·期末）2023年入冬以來，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計了一周中連續(xù)5天的流感就診人數(shù)y與第天的數(shù)據(jù)如表所示．x12345y2110a15a90109根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知x，y具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗回歸方程為，則（

）A．樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi) B．當時，殘差為-2C．點一定在經(jīng)驗回歸直線上 D．第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預測值為1304．（2024·全國·模擬預測）為了預測某地的經(jīng)濟增長情況，某經(jīng)濟學專家根據(jù)該地2023年1～6月的GDP的數(shù)據(jù)y（單位：百億元）建立了線性回歸模型，得到的經(jīng)驗回歸方程為，其中自變量x指的是1～6月的編號，其中部分數(shù)據(jù)如表所示：時間2023年1月2023年2月2023年3月2023年4月2023年5月2023年6月編號x123456y/百億元11.107參考數(shù)據(jù)：．則下列說法正確的是（

）A．經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點B．C．根據(jù)該模型，該地2023年12月的GDP的預測值為14.57百億元D．相應于點的殘差為0.103三、填空題5．（2024·江蘇·一模）已知變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，對表中數(shù)據(jù)作分析，發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，利用最小二乘法，計算得到經(jīng)驗回歸直線方程為，據(jù)此模型預測當時的值為.567893.54566.56．（2024·陜西渭南·一模）已知一組數(shù)據(jù)點，用最小二乘法得到其線性回歸方程為，若，則．四、解答題7．（2024·山東日照·二模）某公司為考核員工，采用某方案對員工進行業(yè)務技能測試，并統(tǒng)計分析測試成績以確定員工績效等級．(1)已知該公司甲部門有3名負責人，乙部門有4名負責人，該公司從甲、乙兩部門中隨機選取3名負責人做測試分析，記負責人來自甲部門的人數(shù)為，求的最有可能的取值：(2)該公司統(tǒng)計了七個部門測試的平均成績（滿分100分）與績效等級優(yōu)秀率，如下表所示：324154687480920.280.340.440.580.660.740.94根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點圖，初步判斷，選用作為回歸方程．令，經(jīng)計算得，（ⅰ）已知某部門測試的平均成績?yōu)?0分，估計其績效等級優(yōu)秀率；（ⅱ）根據(jù)統(tǒng)計分析，大致認為各部門測試平均成績，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．經(jīng)計算，求某個部門績效等級優(yōu)秀率不低于的概率．參考公式與數(shù)據(jù)：①．②線性回歸方程中，，．③若隨機變量，則，，．8．（22-23高三上·山東青島·期末）由個小正方形構(gòu)成長方形網(wǎng)格有行和列.每次將一個小球放到一個小正方形內(nèi)，放滿為止，記為一輪.每次放白球的頻率為，放紅球的概率為q，.(1)若，，記表示100輪放球試驗中“每一列至少一個紅球”的輪數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：n12345y7656423026求y關(guān)于n的回歸方程，并預測時，y的值；（精確到1）(2)若，，，，記在每列都有白球的條件下，含紅球的行數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；(3)求事件“不是每一列都至少一個紅球”發(fā)生的概率，并證明：.附：經(jīng)驗回歸方程系數(shù)：，，，.參考答案：題號1234答案CBADAC1．C【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)及回歸方程求出樣本中心點，再逐項判斷即可得解.【詳解】依題意，，由，解得，A錯誤；回歸方程中，，則變量y與x是正相關(guān)關(guān)系，B錯誤；由于樣本中心點為，因此該回歸直線必過點，C正確；由回歸方程知，x增加1個單位，y大約增加2個單位，D錯誤.故選：C2．B【分析】對于選項A，利用表中數(shù)據(jù)變化情況或看回歸方程的正負均可求解；對于選項B，利用樣本中心點求出線性回歸方程，再利用回歸方程即可求出預測值，進而可求出殘差；對于選項C，利用回歸方程即可求出預測值；對于選項D，利用回歸方程一定過樣本中心點即可求解.【詳解】對于選項A，從數(shù)據(jù)看，隨的增大而減小，所以變量與負相關(guān)，故A正確；對于選項B，由表中數(shù)據(jù)知，，所以樣本中心點為，將樣本中心點代入中得，所以線性回歸方程為，所以，殘差，故B錯誤；對于選項C，當時銷量約為（萬只），故C正確．對于選項D，由B選項可知，故D正確.故選：B.3．AD【分析】x，y具有較強的正相關(guān)關(guān)系，可判斷相關(guān)系數(shù)的范圍，判斷A；計算x，y的平均值，代入回歸直線方程求出a的值，即可求出時的預測值，求得殘差，判斷B；看是否適合回歸直線方程，判斷C；將代入回歸直線方程，求出預測值，判斷D.【詳解】由題意可知x，y具有較強的正相關(guān)關(guān)系，故樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi)，A正確；根據(jù)題意得，故，解得，故當時，，殘差為，B錯誤；點即點，當時，，即點不在經(jīng)驗回歸直線上，C錯誤；當時，，即第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預測值為130，D正確，故選：AD4．AC【分析】求得數(shù)據(jù)的樣本中心點，即可判斷A；結(jié)合回歸直線方程求出可判斷B；將代入回歸直線方程求得預測值，可判斷C；根據(jù)殘差的計算可判斷D.【詳解】選項A：由題意得：，因為，，所以，得，因此該經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過樣本點的中心，故A正確；選項B：由A知，，得，故B錯誤；選項C：由B得，則當時，，故該地2023年12月的GDP的預測值為14.57百億元，故C正確；選項D：當時，，相應于點的殘差為，（相應于點的殘差），故D錯誤，故選：AC5．7.4【分析】經(jīng)驗回歸直線方程過樣本點的中心，所以把代入求得的值，再代入求解即可.【詳解】由已知得，即樣本點中心，因為經(jīng)驗回歸直線方程過樣本點的中心，所以，解得.所以，當時，.故答案為：.6．【分析】根據(jù)回歸方程必過樣本中心點，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意可知該組數(shù)據(jù)點，所以，所以，故答案為：7．(1)(2)（?。áⅲ痉治觥浚?）依題意的可能取值為，，，，求出所對應的概率，即可判斷；（2）（?。蛇吶?shù)，由參考數(shù)據(jù)可知，根據(jù)樣本中心點求出，即可求出回歸方程，再將代入計算可得；（ⅱ）依題意可得，，再令，求出的取值范圍，再由正態(tài)分布的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）依題意，隨機變量服從超幾何分布，且的可能取值為，，，，則，，，．由此可得最大，即的可能性最大，故最有可能的取值為；（2）（?。┮李}意，兩邊取對數(shù)，得，即，其中，由提供的參考數(shù)據(jù)，可知，又，故，所以，由提供的參考數(shù)據(jù)，可得，故，當時，，即估計其績效等級優(yōu)秀率為；（ⅱ）由（?。┘疤峁┑膮⒖紨?shù)據(jù)可知，，，又，即，可得，即．又，且，由正態(tài)分布的性質(zhì)，得，記“績效等級優(yōu)秀率不低于”為事件，則，所以績效等級優(yōu)秀率不低于的概率等于．8．(1)；3.(2)分布列見解析；.(3)；證明見解析.【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，結(jié)合經(jīng)驗回歸方程系數(shù)公式，即可求得回歸方程，繼而求得預測值；（2）確定X的取值可能為，根據(jù)條件概率的概率公式求得每一個值對應的概率，即可得分布列，繼而求得期望;（3）求得每一列都至少一個紅球的概率，根據(jù)對立事件的概率公式可得事件“不是每一列都至少一個紅球”發(fā)生的概率，再求得“每一行都至少一個白球”的概率，結(jié)合兩事件的關(guān)系可得其概率大小關(guān)系，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意知,故，所以，所以線性回歸方程為：，所以，估計時，.（2）由題意知：，，，，則X的取值可能為，記“含紅球的行數(shù)為k”為事件，記“每列都有白球”為事件B，所以，，，所以X的分布列為：012所以數(shù)學期望為.（3）證明：因為每一列至少一個紅球的概率為,記“不是每一列都至少一個紅球”為事件A，所以，記“每一行都至少一個白球”為事件B，所以，顯然，，所以，即，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答要首先能正確的理解題意，弄清楚題目的要求是什么，比如第二文中的條件概率的計算，要弄清每種情況的含義，第三問難點在于正確計算出“不是每一列都至少一個紅球”以及“每一行都至少一個白球”的概率，并能進行判斷二者之間的關(guān)系，從而比較概率大小，證明結(jié)論.反思提升：(1)求經(jīng)驗回歸方程：利用公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)求eq\o(b,\s\up6(^))；利用eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))求eq\o(a,\s\up6(^))，寫出經(jīng)驗回歸方程.(2)經(jīng)驗回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)|r|判斷，當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關(guān)性越強.或利用決定系數(shù)R2判斷，R2越大，擬合效果越好.(3)非線性經(jīng)驗回歸方程轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗回歸方程的方法①若eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))eq\r(x)，設t＝eq\r(x)，則eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t；②若滿足對數(shù)式：eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))lnx，設t＝lnx，則eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t；③若滿足指數(shù)式：y＝c1ec2x，兩邊取對數(shù)解lny＝lnc1＋c2x，設z＝lny，a＝lnc1，b＝c2，則z＝a＋bx.【考點3】獨立性檢驗一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）針對2025年第九屆亞冬會在哈爾濱舉辦，校團委對“是否喜歡冰雪運動與學生性別的關(guān)系”進行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生中喜歡冰雪運動的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡冰雪運動的人數(shù)占女生人數(shù)的，若依據(jù)的獨立性檢驗，認為是否喜歡冰雪運動與學生性別有關(guān)，則被調(diào)查的學生中男生的人數(shù)不可能是（

）附:.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．48 B．54 C．60 D．662．（2024·寧夏銀川·一模）有甲、乙兩個班級進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30合計附：P（K2≥k0）0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是（

）A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關(guān)系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關(guān)系”二、多選題3．（2024·山東臨沂·一模）下列結(jié)論正確的是（

）A．一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為B．已知隨機變量，若，則C．在列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)均變成原來的2倍，則也變成原來的2倍（，其中）D．分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的點數(shù)是奇數(shù)”，“2枚骰子正面向上的點數(shù)相同”，則互為獨立事件4．（22-23高三下·浙江·開學考試）下列結(jié)論中，正確的有（

）A．數(shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8的第60百分位數(shù)為5B．若隨機變量，則C．已知經(jīng)驗回歸方程為y=bx+1.8，且D．根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到χ2=9.632，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001三、填空題5．（21-22高二下·福建福州·期末）為了考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下列聯(lián)表：藥物疾病合計未患病患病服用a50未服用50合計8020100若在本次考察中得出“在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為藥物有效”的結(jié)論，則a的最小值為．（其中且）（參考數(shù)據(jù)：，）附：，α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8286．（2024·上海金山·二模）為了考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下圖所示列聯(lián)表：藥物疾病合計未患病患病服用50未服用50合計8020100取顯著性水平，若本次考察結(jié)果支持“藥物對疾病預防有顯著效果”，則()的最小值為．(參考公式：；參考值：）四、解答題7．（2023·廣東深圳·二模）飛盤運動是一項入門簡單，又具有極強的趣味性和社交性的體育運動，目前已經(jīng)成為了年輕人運動的新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運動是否與性別有關(guān)，對該地區(qū)的年輕人進行了簡單隨機抽樣，得到如下列聯(lián)表:性別飛盤運動合計不愛好愛好男61622女42428合計104050(1)在上述愛好飛盤運動的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為愛好飛盤運動與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表中所有數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷愛好飛盤運動與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請解釋其中的原因.附:，其中.0.10.010.0012.7066.63510.8288．（2024·吉林·模擬預測）短視頻已成為當下宣傳的重要手段，東北某著名景點利用短視頻宣傳增加旅游熱度，為調(diào)查某天南北方游客來此景點旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點對當天前來旅游的500名游客調(diào)查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來的280名游客中南方游客有200人.(1)依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析南北方游客來此景點旅游是否與收看短視潁有關(guān)聯(lián)：單位：人游客短視頻合計收看未看南方游客北方游客合計(2)為了增加游客的旅游樂趣，該景點設置一款5人傳球游戲，每個人得到球后都等可能地傳給其余4人之一，現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.（i）求經(jīng)過次傳遞后球回到甲的概率；（ii）記前次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為，求的數(shù)學期望.參考公式：，其中；附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考答案：題號1234答案ACBCDBC1．A【分析】根據(jù)已知條件設男生人數(shù)為，結(jié)合獨立性檢驗公式得出不等式，根據(jù)的取值，即可求解.【詳解】設男生人數(shù)為，因為被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，所以女生人數(shù)也為，根據(jù)題意列出列聯(lián)表：男生女生合計喜歡冰雪運動不喜歡冰雪運動合計則，因為依據(jù)的獨立性檢驗，認為是否喜歡冰雪運動與學生性別有關(guān)，所以，即，解得，又，所以B、C、D正確，A錯誤.故選：A2．C【分析】根據(jù)題中條件計算可判斷選項A、B；根據(jù)列聯(lián)表計算出的值，即可判斷選項C,D.【詳解】由題意知，成績優(yōu)秀的學生數(shù)是，成績非優(yōu)秀的學生數(shù)是75，所以，選項A、B錯誤；根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到因此有97.5%的把握認為“成績與班級有關(guān)系”.故C正確，D錯誤，故選：C.3．BCD【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念判斷A，根據(jù)正態(tài)分布的方差公式及方差的性質(zhì)判斷B，根據(jù)卡方公式判斷C，根據(jù)相互獨立事件的定義判斷D.【詳解】對于A：若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為，故A錯誤；對于B：如，則，又，即則，故B正確；對于C：在列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)均變成原來的2倍，則，即也變成原來的倍，故C正確；對于D：分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件總數(shù)為個，事件“第一枚骰子正面向上的點數(shù)是奇數(shù)”，則事件包含的基本事件數(shù)為個，事件“2枚骰子正面向上的點數(shù)相同”，則事件包含的基本事件數(shù)為個，所以，，又包含的基本事件有個，所以，所以，則、互為獨立事件，故D正確；故選：BCD4．BC【分析】第60百分位數(shù)為第五位數(shù)據(jù)6，所以選項A錯誤：，所以選項B正確；，所以選項C正確；此推斷犯錯誤的概率大于0.001，所以選項D錯誤.【詳解】解：數(shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8整理為1，2，4，5，6，8，9，，則數(shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8的第60百分位數(shù)為第五位數(shù)據(jù)6，所以選項A錯誤：隨機變量，則，所以選項B正確；經(jīng)驗回歸方程為y=bx+1.8，且，則，所以選項C根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到χ2=9.632，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率大于0.001，所以選項D錯誤.故選：BC．5．46【分析】根據(jù)公式列不等式求解．【詳解】由題意可得，整理得，所以或，解得或，又因為且，所以，所以a的最小值為46.故答案為：46.6．【分析】由題意列出不等式，結(jié)合近似計算求出m的取值范圍，即可得答案.【詳解】由題意可知，則，解得或，而，故m的最小值為44.故答案為：44.7．(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】(1)分別寫出對相應概率列分布列求數(shù)學期望即可；(2)先求再根據(jù)數(shù)表對應判斷相關(guān)性即可，對比兩次的值可以得出結(jié)論說明原因.【詳解】（1）樣本中愛好飛盤運動的年輕人中男性16人，女性24人，比例為，按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，則抽取男性4人，女性6人.隨機變量的取值為:.,,隨機變量的分布列為隨機變量的數(shù)學期望.（2）零假設為:愛好飛盤運動與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表重的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即認為愛好飛盤運動與性別無關(guān)聯(lián).列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍后，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為愛好飛盤運動與性別有關(guān)聯(lián).所以結(jié)論不一樣，原因是每個數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，相當于樣本量變大為原來的10倍，導致推斷結(jié)論發(fā)生了變化.8．(1)列聯(lián)表見解析，無關(guān)(2)（i）；（ii）【分析】（1）利用已知條件，完成列聯(lián)表，利用獨立性檢驗公式求解判斷即可；（2）（i）設經(jīng)過次傳遞后回到甲的概率為，求出關(guān)系式，得到通項公式；（ii）方法一：設第次傳遞時甲接到球的次數(shù)為，則服從兩點分布，，設前次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為，利用公式求期望即可.方法二：設第次傳遞時，乙接到球的概率和次數(shù)分別為與，則服從兩點分布，，利用公式求期望即可.【詳解】（1）將所給數(shù)據(jù)進行整理，得到如下列聯(lián)表：游客短視頻合計收看未看南方游客200100300北方游客80120200合計280220500零假設：南北方游客來此景點旅游與短視頻無關(guān)聯(lián)．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為南北方游客來此景點旅游與收看短視頻有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001（2）（i）設經(jīng)過次傳遞后回到甲的概率為，，，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（ii）（方法一）設第次傳遞時甲接到球的次數(shù)為，則服從兩點分布，，設前次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為，，因為，所以.（方法二）設第次傳遞時，乙接到球的概率和次數(shù)分別為與，則服從兩點分布，，由題可知，，又，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，，，，故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第2問（ii）的解決關(guān)鍵是，根據(jù)題意得到的關(guān)系，利用構(gòu)造法分析出是首項為，公比為的等比數(shù)列，由此得解.反思提升：1.在2×2列聯(lián)表中，如果兩個變量沒有關(guān)系，則應滿足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，說明兩個變量之間關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個變量之間關(guān)系越強.2.解決獨立性檢驗的應用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結(jié)論.獨立性檢驗的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表：(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)計算χ2；(3)通過比較χ2與臨界值的大小關(guān)系來作統(tǒng)計推斷.分層分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2024·浙江寧波·二模）某校數(shù)學建模興趣小組為研究本地區(qū)兒子身高與父親身高之間的關(guān)系，抽樣調(diào)查后得出與線性相關(guān)，且經(jīng)驗回歸方程為.調(diào)查所得的部分樣本數(shù)據(jù)如下：父親身高164166170173173174180兒子身高165168176170172176178則下列說法正確的是（

）A．兒子身高是關(guān)于父親身高的函數(shù)B．當父親身高增加時，兒子身高增加C．兒子身高為時，父親身高一定為D．父親身高為時，兒子身高的均值為2．（2024·天津河西·一模）隨著居民家庭收入的不斷提高，人們對居住條件的改善的需求也在逐漸升溫．某城市統(tǒng)計了最近5個月的房屋交易量，如下表所示：時間12345交易量（萬套）0.81.01.21.5若與滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗回歸方程為，則下列說法錯誤的是（

）A．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，變量與正相關(guān)B．經(jīng)驗回歸方程中C．可以預測時房屋交易量約為（萬套）D．時，殘差為3．（2024·天津·一模）下列說法正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為17；B．根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；C．兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0；D．若隨機變量滿足，則．4．（23-24高三上·天津北辰·期中）下列結(jié)論中，錯誤的是（

）A．數(shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8的第60百分位數(shù)為6B．若隨機變量，則C．已知經(jīng)驗回歸方程為，且，則D．根據(jù)分類變量與成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到χ2=9.632，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001二、多選題5．（2023·湖北·模擬預測）下列命題中正確的是（

）A．若樣本數(shù)據(jù)，，，的樣本方差為3，則數(shù)據(jù)，，，的方差為7B．經(jīng)驗回歸方程為時，變量x和y負相關(guān)C．對于隨機事件A與B，，，若，則事件A與B相互獨立D．若，則取最大值時6．（2024·山東棗莊·模擬預測）已知兩個變量y與x對應關(guān)系如下表：x12345y5m8910.5若y與x滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗回歸方程為，則（

）A．y與x正相關(guān) B．C．樣本數(shù)據(jù)y的第60百分位數(shù)為8 D．各組數(shù)據(jù)的殘差和為07．（2024·湖北武漢·二模）下列結(jié)論正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位數(shù)為17B．若隨機變量，滿足，則C．若隨機變量，且，則D．根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到．依據(jù)的獨立性檢驗，可判斷與有關(guān)三、填空題8．（23-24高三下·上海嘉定·階段練習）某產(chǎn)品的廣告支出費用x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：x24568y3040a5070已知y關(guān)于x的線性回歸方程為，則表格中實數(shù)a的值為．9．（23-24高二下·江西贛州·期中）甲、乙、丙、丁各自研究兩個隨機變量的數(shù)據(jù)，若甲、乙、丙、丁計算得到各自研究的兩個隨機變量的線性相關(guān)系數(shù)分別為，，，，則這四人中，研究的兩個隨機變量的線性相關(guān)程度最高.10．（2024·上海長寧·二模）收集數(shù)據(jù)，利用列聯(lián)表，分析學習成績好與上課注意力集中是否有關(guān)時，提出的零假設為：學習成績好與上課注意力集中（填：有關(guān)或無關(guān)）四、解答題11．（2024·四川成都·模擬預測）數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，某線下家電商場為提升人氣和提高營業(yè)額也開通了在線直播，下表統(tǒng)計了該商場開通在線直播的第x天的線下顧客人數(shù)y（單位：百人）的數(shù)據(jù)：x12345y1012151820(1)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，計算變量y與x的相關(guān)系數(shù)r，并用r判斷兩個變量y與x相關(guān)關(guān)系的強弱（精確到小數(shù)點后三位）；(2)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，試求出該線性回歸方程并估計該商場開通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù)．（參考公式：相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：回歸方程：，其中，）12．（2024·四川內(nèi)江·三模）2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024?內(nèi)江市中區(qū)新春極光焰火草地狂歡節(jié)”在川南大草原舉行，共舉行了8場精彩的煙花秀節(jié)目．前5場的觀眾人數(shù)（單位：萬人）與場次的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：場次編號12345觀眾人數(shù)0.70.811.21.3(1)已知可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請建立關(guān)于的線性回歸方程；(2)若該煙花秀節(jié)目分A、B、C三個等次的票價，某機構(gòu)隨機調(diào)查了該煙花秀節(jié)目現(xiàn)場200位觀眾的性別與購票情況，得到的部分數(shù)據(jù)如表所示，請將列聯(lián)表補充完整，并判斷能否有的把握認為該煙花秀節(jié)目的觀眾是否購買A等票與性別有關(guān)．購買A等票購買非A等票總計男性觀眾50女性觀眾60總計100200參考公式及參考數(shù)據(jù)：回歸方程中斜率與截距的最小二乘法估計公式分別為，其中．0.1000.0500.0102.7063.8416.635參考答案：題號1234567答案DDBDBCADCD1．D【分析】根據(jù)變量的線性相關(guān)、經(jīng)驗回歸方程特點逐項分析即可得結(jié)論.【詳解】由題意知父親身高與兒子身高具有線性相關(guān)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系，故A不正確；當父親身高增加時，兒子身高約增加，故B不正確；當兒子身高為時，代入可得，父親身高可能為，故C不正確；若某父親身高為，則其兒子的身高估計為，故D正確．故選：D．2．D【分析】首先求出、，根據(jù)回歸方程必過樣本中心點求出參數(shù)，從而得到回歸方程，再一一判斷即可.【詳解】對于B，依題意，，所以，解得，所以，故B正確；對于A，因為經(jīng)驗回歸方程，，所以變量與正相關(guān)，故A正確；對于C，當時，，所以可以預測時房屋交易量約為（萬套），故C正確；對于D，當時，，所以時，殘差為，故D錯誤.故選：D3．B【分析】A選項，由百分位數(shù)的定義得到答案；B選項，，得到結(jié)論；C選項，由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)得到C錯誤；D選項，由方差的性質(zhì)得到D錯誤.【詳解】A選項，，故從小到大排列，第8個數(shù)和第9個數(shù)的平均數(shù)作為第80百分位數(shù)，即，A錯誤；B選項，由于，得到與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，B正確；C選項，兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，C錯誤；D選項，若隨機變量滿足，則，D錯誤.故選：B4．D【分析】A選項，將數(shù)據(jù)排序后，根據(jù)百分位數(shù)的定義得到答案；B選項，由正態(tài)分布的對稱性得到答案；C選項，將樣本中心點代入回歸方程，求出；D選項，由得到D錯誤.【詳解】A選項，數(shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9，，故選取第5個數(shù)據(jù)作為第60百分位數(shù)，即為6，A正確；B選項，因為，根據(jù)對稱性可知，故，B正確；C選項，已知經(jīng)驗回歸方程為，且，則，解得，C正確；D選項，，故不能得到此結(jié)論，D錯誤故選：D5．BC【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)變量x，y的線性回歸方程的系數(shù)，可判斷B；利用條件概率及獨立事件的定義可判斷C；根據(jù)二項分布概率公式可判斷D.【詳解】對于A，數(shù)據(jù)，，…，的方差為，所以A錯誤；對于B，回歸方程的直線斜率為負數(shù)，所以變量x與y呈負的線性相關(guān)關(guān)系，所以B正確；對于C，由，得，所以事件A與事件B獨立，所以C正確；對于D，由，即，解得或，所以D錯誤．故選：BC．6．AD【分析】利用相關(guān)性的定義及線性回歸直線可判定A，根據(jù)樣本中心點在回歸方程上可判定B，利用百分位數(shù)的計算可判定C，利用回歸方程計算預測值可得殘差即可判定D.【詳解】由回歸直線方程知：，所以y與x正相關(guān)，即A正確；由表格數(shù)據(jù)及回歸方程易知，即B錯誤；易知，所以樣本數(shù)據(jù)y的第60百分位數(shù)為，即C錯誤；由回歸直線方程知時對應的預測值分別為，對應殘差分別為，顯然殘差之和為0，即D正確.故選：AD7．CD【分析】A應用百分位數(shù)求法判斷；B由方差性質(zhì)判斷；C根據(jù)正態(tài)分布對稱性求概率判斷