2024-2025學(xué)年江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分．）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是A． B． C． D．2．（3分）用配方法解一元二次方程，配方正確的是A． B． C． D．3．（3分）的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為2，若點(diǎn)在外，則A． B． C． D．4．（3分）關(guān)于的一元二次方程的根的情況是A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能判斷5．（3分）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在A．的三條中線的交點(diǎn) B．三條高所在直線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．以上都不對(duì)6．（3分）如圖，在長(zhǎng)為100米，寬為80米的矩形場(chǎng)地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進(jìn)行綠化，要使綠化面積為7644米，則道路的寬應(yīng)為多少米？設(shè)道路的寬為米，則可列方程為A． B． C． D．7．（3分）如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．8．（3分）有下列結(jié)論：（1）三點(diǎn)確定一個(gè)圓；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；（4）弧長(zhǎng)相等的弧是等?。渲姓_結(jié)論的個(gè)數(shù)有A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)9．（3分）“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”此問(wèn)題即：“如圖所示，垂直平分弦，寸，寸，求圓的直徑”尺寸）根據(jù)題意直徑長(zhǎng)為A．10寸 B．20寸 C．13寸 D．26寸10．（3分）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)是以為直徑的上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則的最大值為A．3 B． C．6 D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需要寫出解答過(guò)程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）11．（3分）已知是方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)的值是．12．（3分）寫出一個(gè)根為的一元二次方程：．13．（3分）一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為13，底面圓的半徑為5，則此圓錐的側(cè)面積是．14．（3分）已知三角形的邊長(zhǎng)分別是3，4，5，則它的外接圓的半徑是．15．（3分）如圖，是的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，切于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為．16．（3分）如圖，用一個(gè)半徑為的定滑輪拉動(dòng)重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了，假設(shè)繩索粗細(xì)不計(jì)，且與滑輪之間沒有滑動(dòng)，則重物上升了．（結(jié)果保留17．（3分）已知，，3分別是等腰三角形三邊的長(zhǎng)，且，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．18．（3分）如圖，在扇形中，，，點(diǎn)在半徑上，將△沿著翻折，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在弧上，再將弧沿著翻折至?。c(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)），那么的長(zhǎng)為．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）19．（8分）解方程：（1）；（2）．20．（8分）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若方程有一個(gè)根為，求的值及另一個(gè)根．21．（10分）如圖，點(diǎn)是內(nèi)一定點(diǎn)．（1）過(guò)點(diǎn)作弦，使點(diǎn)是的中點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若的半徑為13，，①求過(guò)點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度范圍；②過(guò)點(diǎn)的弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的弦有條．22．（10分）如圖，已知、、均在上，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺作圖．（1）若，求作一個(gè)的角；（2）、分別是、邊中點(diǎn)，求作的內(nèi)心．23．（10分）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若，則陰影部分的面積？24．（10分）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，，垂足為，點(diǎn)與點(diǎn)在直徑的兩側(cè)，且，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）判斷△的形狀，并說(shuō)明理由．（2）若的半徑為5，，求的長(zhǎng)．25．（10分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元個(gè)？26．（10分）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)實(shí)數(shù)根是另一個(gè)實(shí)數(shù)根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的兩個(gè)根是，，則方程是“倍根方程”．（1）根據(jù)上述定義，一元二次方程（填“是”或“不是”“倍根方程”；（2）若是“倍根方程”，求與的關(guān)系；（3）若關(guān)于的一元二次方程是“倍根方程”，求，，之間的關(guān)系．27．（10分）【給出問(wèn)題】如圖1，正方形內(nèi)接于，是的中點(diǎn)，連接，．求證：；【深入思考】如圖2，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接、、，請(qǐng)?zhí)骄俊?、三者之間有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【拓展應(yīng)用】如圖3，若四邊形是矩形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，，，試求矩形的面積．28．（10分）已知線段，射線垂直于，點(diǎn)在射線上，設(shè)，點(diǎn)在經(jīng)過(guò)點(diǎn)且平行于的直線上運(yùn)動(dòng)，的平分線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓．（1）判斷與的位置關(guān)系：；（2）已知的半徑為3，當(dāng)所在直線與相切時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)時(shí)，若與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的半徑的取值范圍是多少？

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項(xiàng)標(biāo)號(hào)涂黑）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是A． B． C． D．解：．該方程是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；．該方程是二元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；．該方程是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；．該方程是分式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．2．（3分）用配方法解一元二次方程，配方正確的是A． B． C． D．解：，移項(xiàng)，得，配方，得，即，故選：．3．（3分）的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為2，若點(diǎn)在外，則A． B． C． D．解：點(diǎn)在外，，的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為2，．故選：．4．（3分）關(guān)于的一元二次方程的根的情況是A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能判斷解：由題意得，△，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：．5．（3分）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在A．的三條中線的交點(diǎn) B．三條高所在直線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．以上都不對(duì)解：三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在三條角平分線的交點(diǎn)．故選：．6．（3分）如圖，在長(zhǎng)為100米，寬為80米的矩形場(chǎng)地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進(jìn)行綠化，要使綠化面積為7644米，則道路的寬應(yīng)為多少米？設(shè)道路的寬為米，則可列方程為A． B． C． D．解：由題意有，故選：．7．（3分）如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．解：四邊形內(nèi)接于，，而，，．故選：．8．（3分）有下列結(jié)論：（1）三點(diǎn)確定一個(gè)圓；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；（4）弧長(zhǎng)相等的弧是等?。渲姓_結(jié)論的個(gè)數(shù)有A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)解：（1）不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故不符合題意；（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故不符合題意；（3）三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，故符合題意；（4）在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧是等弧，故不符合題意．故選：．9．（3分）“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”此問(wèn)題即：“如圖所示，垂直平分弦，寸，寸，求圓的直徑”尺寸）根據(jù)題意直徑長(zhǎng)為A．10寸 B．20寸 C．13寸 D．26寸解：連接，，垂直平分弦，寸，寸，寸，在中，，即，解得：，故圓的直徑為26寸，故選：．10．（3分）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)是以為直徑的上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則的最大值為A．3 B． C．6 D．解：連接，，，，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，，點(diǎn)在以為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，令，則，要求值最大，越往上越大，當(dāng)直線于相切時(shí)，最大，設(shè)直線于軸交于點(diǎn)，切點(diǎn)為，連接，則，由直線比例系數(shù)可知，直線與坐標(biāo)軸所夾銳角為，△為等腰直角三角形，，即，最大值為，故選：．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需要寫出解答過(guò)程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）11．（3分）已知是方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)的值是2．解：是方程的一個(gè)根，，解得：，故答案為：2．12．（3分）寫出一個(gè)根為的一元二次方程：（答案不唯一）．解：因?yàn)橐辉畏匠痰囊粋€(gè)根為，所以這個(gè)方程可以為：（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．13．（3分）一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為13，底面圓的半徑為5，則此圓錐的側(cè)面積是．解：此圓錐的側(cè)面積．故答案為．14．（3分）已知三角形的邊長(zhǎng)分別是3，4，5，則它的外接圓的半徑是2.5．解：設(shè)中，，，，如圖1，，，是直角三角形，且，取邊的中點(diǎn)，，，，三點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，即是的外接圓，，的外接圓的半徑為2.5，故答案為：2.5．15．（3分）如圖，是的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，切于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為．解：如圖，連接，切于點(diǎn)，，，，，，故答案為：．16．（3分）如圖，用一個(gè)半徑為的定滑輪拉動(dòng)重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了，假設(shè)繩索粗細(xì)不計(jì)，且與滑輪之間沒有滑動(dòng)，則重物上升了．（結(jié)果保留解：由題意得，重物上升的距離是半徑為，圓心角為所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，即，故答案為：．17．（3分）已知，，3分別是等腰三角形三邊的長(zhǎng)，且，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為5或6．解：①當(dāng)、為腰時(shí)，，、是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，△，解得：；②當(dāng)和3（或和是腰時(shí)，，把代入方程得，解得：；所以或6．故答案為：5或6．18．（3分）如圖，在扇形中，，，點(diǎn)在半徑上，將△沿著翻折，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在弧上，再將弧沿著翻折至?。c(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)），那么的長(zhǎng)為．解：如圖，連接，由翻折的性質(zhì)可知，，，，，，，△是正三角形，，，設(shè)，則，，在△中，，，由勾股定理得，，即，解得或（舍去），．故答案為：．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）19．（8分）解方程：（1）；（2）．解：（1），，，；（2），，或，，．20．（8分）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若方程有一個(gè)根為，求的值及另一個(gè)根．解：（1）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，△，解得：．（2）將代入原方程，，解得：，原方程為，解得：，．的值為5，方程的另一個(gè)根為．21．（10分）如圖，點(diǎn)是內(nèi)一定點(diǎn)．（1）過(guò)點(diǎn)作弦，使點(diǎn)是的中點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若的半徑為13，，①求過(guò)點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度范圍；②過(guò)點(diǎn)的弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的弦有4條．解：（1）如圖1，連接并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作，則弦即為所求；（2）①過(guò)點(diǎn)的所有弦中，直徑最長(zhǎng)為26，與垂直的弦最短，連接，如圖2所示：，，，過(guò)點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度范圍為；②過(guò)點(diǎn)最長(zhǎng)的弦為直徑26，最短的弦24，長(zhǎng)度為25的弦有兩條，過(guò)點(diǎn)的弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的弦共有4條，故答案為：4．22．（10分）如圖，已知、、均在上，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺作圖．（1）若，求作一個(gè)的角；（2）、分別是、邊中點(diǎn)，求作的內(nèi)心．解：（1）如圖1，為所作；（2）如圖2，點(diǎn)為所作．23．（10分）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若，則陰影部分的面積？【解答】（1）證明：連接，，是的直徑，，，，，是的中位線，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，陰影部分的面積的面積的面積扇形的面積．24．（10分）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，，垂足為，點(diǎn)與點(diǎn)在直徑的兩側(cè)，且，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）判斷△的形狀，并說(shuō)明理由．（2）若的半徑為5，，求的長(zhǎng)．解：（1）△是等腰三角形，理由：，，，，，，是的直徑，，于點(diǎn)，，，，，△是等腰三角形．（2）的半徑為5，，，，，，，△△，，，，，，且，，，，，，，解得，的長(zhǎng)是．25．（10分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元個(gè)？解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為．（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)為元，依題意，得：，整理，得：，解得：（不合題意，舍去），，答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元．26．（10分）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)實(shí)數(shù)根是另一個(gè)實(shí)數(shù)根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的兩個(gè)根是，，則方程是“倍根方程”．（1）根據(jù)上述定義，一元二次方程是（填“是”或“不是”“倍根方程”；（2）若是“倍根方程”，求與的關(guān)系；（3）若關(guān)于的一元二次方程是“倍根方程”，求，，之間的關(guān)系．解：（1），，解得，，故該方程是倍根方程；故答案為：是；（2），或，解得，，是“倍根方程”，或，或；（3）；理由如下：一元二次方程是倍根方程，設(shè)方程的兩根分別為，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，