專題2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（4類必考點(diǎn)）（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

專題2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點(diǎn)1：利用不等式的性質(zhì)判斷不等關(guān)系】 1【考點(diǎn)2：作差法比較大小】 4【考點(diǎn)3：作商法比較大小】 7【考點(diǎn)4：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】 7【考點(diǎn)1：利用不等式的性質(zhì)判斷不等關(guān)系】【知識(shí)點(diǎn)：不等式的性質(zhì)】性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱性a>b?b<a?傳遞性a>b，b>c?a>c?可加性a>b?a＋c>b＋c?可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bc注意c的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d?同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd>0?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)a，b同為正數(shù)可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)【知識(shí)點(diǎn)：倒數(shù)的性質(zhì)】①a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).②a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).③a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).④0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).【知識(shí)點(diǎn)：有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)】若a>b>0，m>0，則：①eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．②eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．1．（2021秋?河北區(qū)期末）鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm，設(shè)攜帶品的外部尺寸長、寬、高分別為a，b，c（單位：cm），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（）A．a(chǎn)+b+c＞130 B．a(chǎn)+b+c＜130 C．a(chǎn)+b+c≥130 D．a(chǎn)+b+c≤130【分析】根據(jù)題意列出不等式即可．【解答】解：由題意可知a+b+c≤130．故選：D．2．（2022?安徽模擬）已知a＞b＞c＞d＞0，且a+d＝b+c，則以下不正確的是（）A．a(chǎn)+c＞b+d B．a(chǎn)c＞bd C．a(chǎn)d＜bc D．a(chǎn)【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷選項(xiàng)A、B，利用平方法判斷選項(xiàng)C，進(jìn)而判斷選項(xiàng)D即可．【解答】解：∵a＞b＞c＞d＞0，∴a+c＞b+d，ac＞bd；即選項(xiàng)A、B正確；∵a﹣d＞b﹣c＞0，∴（a﹣d）2＞（b﹣c）2，即（a+d）2﹣4ad＞（b+c）2﹣4bc，即ad＜bc，故選項(xiàng)C正確；∵ad＜bc，∴ab即選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：D．3．（2021秋?賀州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．1a＜1b B．a(chǎn)b＜b2 C．a(chǎn)b＞a【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合題意，判斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可．【解答】解：因?yàn)閍＜b＜0，所以ab＞0，所以1b＜1a＜因?yàn)閍＜b＜0，所以ab＞b2＞0，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)閍＜b＜0，所以a2＞ab＞0，即ab＜a2，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)閍＜b＜0，所以1b＜1a＜0，所以?故選：D．4．（2021秋?玉林期末）如果ac＞bc，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．a(chǎn)c2＞bc2 B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)+c＞b+c D．a(chǎn)【分析】直接利用不等式的性質(zhì)的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【解答】解：對(duì)于ac＞bc，則：對(duì)于A和B：當(dāng)c＜0，則a＜b，故ac2＜bc2，a＜b，故A、B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)c＜0時(shí)，a+c＜b+c，對(duì)于D：由于ac＞bc等價(jià)于ac＞b故選：D．5．（2021秋?閻良區(qū)期末）若a＜0，﹣1＜b＜0，則下列各式中正確的是（）A．a(chǎn)＞ab＞ab2 B．a(chǎn)b＞a＞ab2 C．a(chǎn)b2＞ab＞a D．a(chǎn)b＞ab2＞a【分析】利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解∵a＜0，﹣1＜b＜0，∴ab＞0，ab2＜0，又﹣1＜b＜0，∴0＜b2＜1，兩邊同乘以負(fù)數(shù)a，可知ab2＞a，∴ab＞0＞ab2＞a．故選：D．6．（2021秋?臨渭區(qū)期末）已知b＜0＜a，則下列不等式正確的是（）A．b2＜a2 B．1b＜1a C．﹣b＜﹣a D．a(chǎn)﹣b【分析】，利用舉實(shí)例判斷ACD，利用不等式的基本性質(zhì)即判斷B．【解答】解：當(dāng)a＝2，b＝﹣3時(shí)，滿足b＜0＜a，但b2＞a2，﹣b＞﹣a，a﹣b＞a+b，∴A，C，D錯(cuò)誤，∵b＜0＜a，∴1b＜0，1a＞0，∴故選：B．（多選）7．（2022?汕頭二模）已知a，b，c滿足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立的是（）A．a(chǎn)c（a﹣c）＞0 B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2 D．a(chǎn)b＞ac【分析】利用不等式的基本性質(zhì)求解．【解答】解：因?yàn)閍，b，c滿足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a﹣c＞0，b﹣a＞0，所以ac（a﹣c）＜0，c（b﹣a）＜0，cb2＜ab2，ab＞ac，故選：BCD．9．（2021秋?昌平區(qū)校級(jí)期中）用“＞、＜”填空；若a＜b＜0，則a2＞b2，1a＞1【分析】由a，b的大小關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由題意，a＜b＜0，舉例說明，令a＝﹣2，b＝﹣1，則（﹣2）2＞（﹣1）2，則a2＞b2，又?1則1a故答案為：a2＞b2，1a10．（2021秋?察右前旗校級(jí)期中）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b、c，有下列命題①若a＞b，則ac＜bc；②若ac2＞bc2，則a＞b；③若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，則ac?a＞bc?b；⑤若a＞b，1a＞1b，則【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)2和性質(zhì)3，我們分別判斷題目中的五個(gè)命題的真假性，即可得到答案．【解答】解：當(dāng)c＝0時(shí)，若a＞b，則ac＝bc，故①為假命題；若ac2＞bc2，則c≠0，c2＞0，故a＞b，故②為真命題；若a＜b＜0，則a2＞ab且ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故③為真命題；若c＞a＞b＞0，則ca＜cb，則c?aa若a＞b，1a＞1b，即bab＞aab，故a?故答案為：②③④⑤【考點(diǎn)2：作差法比較大小】【知識(shí)點(diǎn)：作差法比較大小】作差法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>ba，b∈R，,a－b＝0?a＝ba，b∈R，,a－b<0?a<ba，b∈R.))1．（2021春?烏蘇市校級(jí)期中）已知x＜a＜0，下列不等式一定成立的是（）A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2 C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax【分析】根據(jù)題意，利用作差法比較x2，xa以及xa，a2的大小，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，x＜a＜0，則x﹣a＜0，則x2﹣xa＝x（x﹣a）＞0，則有x2＞xa，同時(shí)，xa﹣a2＝a（x﹣a）＞0，則有xa＞a2，必有x2＞xa＞a2，故選：B．2．（2022春?安徽期中）已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，則x，y的大小關(guān)系為（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y(tǒng) D．無法確定【分析】利用作差法直接化簡判斷即可．【解答】解：x﹣y＝a3﹣b﹣a2b+a＝a2（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+1），又a＜b，則a﹣b＜0，又a2+1＞0，則x﹣y＝（a﹣b）（a2+1）＜0，故x＜y．故選：B．3．（2021秋?伊州區(qū)校級(jí)期末）已知t＝2a+2b，s＝a2+2b+1，則（）A．t＞s B．t≥s C．t≤s D．t＜s【分析】利用作差法，可求得答案．【解答】解：由t＝2a+2b，s＝a2+2b+1，s﹣t＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，所以s≥t，故選：C．4．（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）設(shè)a＞b＞1，y1=b+1a+1，y2=ba，yA．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1【分析】利用作差法先比較y1，y2，再比較y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小關(guān)系．【解答】解：由a＞b＞1，有y1﹣y2=b+1a+1?ba=ab+a?ab?b由a＞b＞1，有y2﹣y3=ba?b?1a?1=ab?b?ab+a所以y1＞y2＞y3，故選：C．5．（2021秋?南昌縣校級(jí)期末）比較大?。?+7＞【分析】平方作差，可得（6+7）2﹣（22+5【解答】解：（6+7）2﹣（22+5）2＝13+242?（13+410）＝242?410故（6+7）2＞（22故6+故答案為：＞6．（2022春?慈利縣期中）比較大?。海▁﹣3）2＞（x﹣2）（x﹣4）．（填寫“＞”或“＜”）【分析】利用作差法比較大小即可．【解答】解：（x﹣3）2﹣（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+9﹣x2+6x﹣8＝1＞0，故（x﹣3）2＞（x﹣2）（x﹣4），故答案為：＞7．（2021秋?蒙城縣校級(jí)月考）（x+1）（x+5）與（x+3）2的大小關(guān)系為（x+1）（x+5）＜（x+3）2．【分析】作差，判斷差的符號(hào)，即可得到答案．【解答】解：（x+1）（x+5）﹣（x+3）2＝﹣4＜0，∴（x+1）（x+5）＜（x+3）2，故答案為：（x+1）（x+5）＜（x+3）28．（2021秋?黃陵縣校級(jí)期中）（1）已知a＞b＞0，c＜0求證：ca（2）比較（a+3）（a﹣5）與（a+2）（a﹣4）的大小．【分析】（1）由a＞b＞0，可得1b＞1（2）將（a+3）（a﹣5）與（a+2）（a﹣4）作差即可【解答】證明：（1）∵a＞b＞0，∴1b再由c＜0，可得ca故要證的不等式成立；解：（2）∵（a+3）（a﹣5）﹣（a+2）（a﹣4）＝a2﹣2a﹣15﹣（a2﹣2a﹣8）＝﹣7＜0，∴（a+3）（a﹣5）＜（a+2）（a﹣4）．【考點(diǎn)3：作商法比較大小】【知識(shí)點(diǎn)：作商法比較大小】作商法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1?a>ba∈R，b>0，,\f(a,b)＝1?a＝ba∈R，b>0，,\f(a,b)<1?a<ba∈R，b>0.))1．（2021?金安區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知P=1a2+a+1，Q＝a2﹣a+1，則A．P＞Q B．P＜Q C．P≤Q D．無法確定【分析】配方可得P和Q都大于0，作商法比較可得．【解答】解：∵P=1Q＝a2﹣a+1＝（a?12）2QP=（a2﹣a+1）（a2+a+1）＝（a2+1）2﹣＝（a2）2+a2+1≥1，故Q≥P當(dāng)且僅當(dāng)a＝0時(shí)取等號(hào)．故選：C．【考點(diǎn)4：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】1．（2021秋?天河區(qū)校級(jí)期中）已知2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，則2a﹣b的范圍是．【分析】利用同向不等式具有可加性，即可解出．【解答】解：∵2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，∴4＜2a＜6，1＜﹣b＜2，∴5＜2a﹣b＜8，故答案為：5＜2a﹣b＜8．2．（2021?雞冠區(qū)校級(jí)三模）已知1≤a+b≤3，﹣1≤a﹣b≤2，則z＝3a﹣b的取值范圍是．【分析】根據(jù)條件可求出∴﹣2≤2a﹣2b≤4，進(jìn)而可得出z＝3a﹣b的取值范圍．【解答】解：∵1≤a+b≤3，﹣1≤a﹣b≤2，∴﹣2≤2a﹣2b≤4，∴﹣1≤3a﹣b≤7，故答案為：﹣1≤3a﹣b≤7．3．（2021秋?三元區(qū)校級(jí)月考）已知﹣1＜α≤β≤2，設(shè)m＝α+β，n＝α﹣β，則m的取值范圍是，n的取值范圍是．【分析】利用不等式的基本性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵﹣1＜α≤β≤2，∴﹣2＜α+β≤4，∴﹣2＜m≤4，∵﹣1＜α≤β≤2，∴﹣2≤﹣β＜1，∴﹣3＜α﹣β≤0，∴﹣3＜n≤0，∴故答案為：﹣2＜m≤4，﹣3＜n≤0．4．（2021秋?武昌區(qū)校級(jí)月考）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范圍．【分析】根據(jù)題意需要配湊出4a﹣2b，所以結(jié)合題意，就用設(shè)未知數(shù)的方法求解即可．【解答】解：令4a﹣2b＝x（a+b）+y（a﹣b），所以4a﹣2b＝（x+y）a+（x﹣y）b．所以x+y=4，解得x=1，因?yàn)?≤a+b≤4，﹣3≤3（a﹣b）≤6，兩式相加，所以﹣2≤4a﹣2b≤10．5．（2021秋?普寧市校級(jí)月考）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，試求下列各式的取值范圍．（1）|a|；（2）a+b；（3）a﹣b；（4）2a﹣3b．【分析】根據(jù)絕對(duì)值運(yùn)算可解決（1）；根據(jù)不等式性質(zhì)可解決（2）（3）（4）．【解答】解：（1）0≤|a|≤3；（2）﹣1＜a+b＜5；（3）依題意得﹣2＜﹣b≤﹣1，又﹣2＜a≤3，相加得﹣4＜a﹣b≤2；（4）由﹣2＜a≤3得﹣4＜2a≤6①，由1≤b＜2得﹣6＜﹣3b≤﹣3②，①+②得，﹣10＜2a﹣3b≤3．6．（2017春?黃陵縣校級(jí)月考）設(shè)2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，求a+b，a﹣b，ab，ab，b【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可得到結(jié)論．【解答】解：∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴3＜﹣b＜4，?1∴﹣2＜a+b＜