專題2.5 一元二次函數(shù)、方程和不等式（能力提升卷）（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

專題2.5一元二次函數(shù)、方程和不等式（能力提升卷）考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時(shí)150分鐘，試卷緊扣教材，細(xì)分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎(chǔ)，提能力！一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（2022?孝義市開學(xué)）已知1aA．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)+b＜ab C．|a|＞|b| D．a(chǎn)b＞b2【分析】由1a＜1b＜0【解答】解：∵1a∴b＜a＜0，∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2，故選項(xiàng)B正確，故選：B．2．（2022春?甘孜州期末）若不等式ax2+bx﹣2＜0?的解集為{x|﹣2＜x＜1}?，則a+b?＝（）A．﹣2? B．0 C．1 D．2【分析】根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系解之．【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2＜0?的解集為{x|﹣2＜x＜1}，∴方程ax2+bx﹣2＝0根為﹣2、1，則?ba=?1?2a=?2，解得，a故選：D．3．（2022春?尖山區(qū)校級(jí)期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，則x+2y的最小值為（）A．8 B．82 C．9 D．【分析】由條件可得1x+2y=1，x+2y＝（x+2y【解答】解：x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，可得：1x則x+2y＝（x+2y）（1x+2y=）＝5+2xy故選：C．4．（2022?連云區(qū)校級(jí)開學(xué)）若不等式2kx2+kx?38＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)xA．﹣3＜k＜0 B．﹣3≤k≤0 C．﹣3＜k≤0 D．k＜﹣3或k≥0【分析】由2kx2+kx?38＜【解答】解：2kx2+kx?38＜①k＝0時(shí)，?3②k≠0時(shí)，k＜0Δ=解可得，﹣3＜k＜0，綜上可得，﹣3＜k≤0，故選：C．5．（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足4a+b+1b+1=1A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根據(jù)a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b【解答】解：∵正實(shí)數(shù)a，b滿足4a+b∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1）﹣1＝5+4(b+1)a+b+a+bb+1故選：B．6．（2022春?愛民區(qū)校級(jí)期末）已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2A．{m|m≥9} B．{m|m≤?3} C．{m|m≥1} D．{m|﹣9＜m＜1}【分析】由基本不等式“1”的用法得x+y≥9，進(jìn)而解不等式m2+8m＜9即可得答案．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且且1x∴x+y＝（x+y）（1x+4y）＝5當(dāng)且僅當(dāng)yx=4xy，即∴（x+y）min＝9，由x+y＞m2+8m恒成立，即m2+8m＜（x+y）min＝9，解得：﹣9＜m＜1，故選：D．7．（2022春?營口期末）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b＝4，且1a+1bA．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜2【分析】利用“乘1法”，可得1a【解答】解：1a+1b=14（a+b）（1a+1b）=因?yàn)閍≠b，所以1a又1a+1b故選：A．8．（2022春?南崗區(qū)校級(jí)期末）下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①a+b≥2ab②若a＞b＞0，c＜d＜0，則ac＜bd；③不等式1+1x＞0成立的一個(gè)充分不必要條件是x④若ai、bi、ci（i＝1，2）是全不為0的實(shí)數(shù)，則“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用基本不等式的解法和不等式的性質(zhì)，充分條件和必要條件，不等式的解法的應(yīng)用判斷①②③④的結(jié)論．【解答】解：對(duì)于①，a+b≥2ab（a＞0，b＞0），故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若a＞b＞0，c＜d＜0，則﹣c＞﹣d＞0，故﹣ac＞﹣bd，故ac＜bd，故②正確；對(duì)于③，使不等式1+1x＞0，整理得x+1x＞0，故x＞0或x＜﹣1，所以不等式1+1x對(duì)于④，不等式x2+x+1＞0與x2+x+2＞0的解集都為R，但是11若1?1=1?1=1?1，則不等式x2+故若ai、bi、ci（i＝1，2）是全不為0的實(shí)數(shù)，則“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1＞0和a故選：B．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（2022春?紹興期末）已知a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是（）A．a(chǎn)+b2≥ab B．a(chǎn)2+b2C．ba+a【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合特殊值法，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：對(duì)于A，令a＝﹣1，b＝﹣1，滿足ab＞0，但a+b2＜ab對(duì)于B，a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，故a2+b2≥2ab，故B選項(xiàng)中的不等式恒成立；對(duì)于C，∵ab＞0，∴ba＞0，∴ba+ab≥2b對(duì)于D，若a＞0，b＞0，可得a+1a≥2，b+1b≥2，所以（a+1a）（b+1b）≥4，當(dāng)且僅當(dāng)若a＜0，b＜0，則（a+1a）（b+1b）＝（|a|+1|a|）（|b|+1故選：BCD．（多選）10．（2022?常熟市校級(jí)開學(xué)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b＝mab+n，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若m＝1，n＝0，則ab≥4 B．若m＝1，n＝0，則a+b≤4 C．若m＝0，n＝1，則12a+bD．若m＝1，n＝﹣1，則a+b≥2【分析】把m，n的相應(yīng)值代入，結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可．【解答】解：當(dāng)m＝1，n＝0時(shí)，a+b＝ab≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，解得ab≥4，故A正確；a+b＝ab≤（a+b2）2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b解得a+b≥4，故B錯(cuò)誤；當(dāng)m＝0，n＝1時(shí)，a+b＝1，則2a+b+b+1＝3，所以12a+b+2=13（3+b+12a+b+當(dāng)且僅當(dāng)b+12a+b=4a+2b當(dāng)m＝1，n＝﹣1時(shí)，a+b＝ab﹣1≤(a+b2)2?解得a+b≥2+22（舍負(fù)）故，故D正確．故選：ACD．（多選）11．（2022春?邢臺(tái)期末）已知a＞0，b＞0，a2+b2＝1，則（）A．a(chǎn)b的最大值為12B．2ab+3a+b的最小值為2C．a(chǎn)2（1+2b2）的最大值為94D．1a【分析】利用基本不等式判斷A、B、D的正誤，注意等號(hào)成立條件，將a2（1+2b2）化為關(guān)于a2的二次函數(shù)形式求最值判斷C．【解答】解：因?yàn)閍＞0，b＞0，a2+b2＝1，所以1≥2ab，即ab≤12ab+3a+b=(a+b)2當(dāng)且僅當(dāng)a＝b=22時(shí)等號(hào)成立，則A，a2（1+2b2）＝a2[1+2（1﹣a2）]＝3a2﹣2a4＝﹣2（a2?34當(dāng)a2=34時(shí)取得最大值1a2+4b2=（a2+b2當(dāng)且僅當(dāng)b2=2a故選：ABD．（多選）12．（2022春?新興區(qū)校級(jí)期末）下列關(guān)于基本不等式的說法正確的是（）A．若0＜x＜13，則x（1﹣3x）的最大值為B．函數(shù)y=x2C．已知x+y＝1，x＞0，y＞0，則1x+2D．若正數(shù)x，y滿足x2+xy﹣2＝0，則3x+y的最小值是3【分析】根據(jù)基本不等式求出最值即可判斷．【解答】解：對(duì)A，若0＜x＜13，則1﹣3所以x（1﹣3x）=13×3x（1﹣3x當(dāng)且僅當(dāng)3x＝1﹣3x，即x=16時(shí)等號(hào)成立，所以最大值為112對(duì)B，因?yàn)閤＞﹣1，所以x+1＞0，所以y=x2+3x+3x+1=（x當(dāng)且僅當(dāng)x+1=1x+1，即x＝0等號(hào)成立，故函數(shù)最小值為3，故對(duì)C，因?yàn)閤+y＝1，x＞0，y＞0，所以1x+2y=（1x+2y）（x當(dāng)且僅當(dāng)2xy=yx，即x=2?1，y＝2對(duì)D，由x2+xy﹣2＝0可得y=2x?x，因?yàn)閤＞0，y＞0，可得0＜則3x+y＝2x+2x≥22x?2x=4所以最小值是4，故D錯(cuò)誤．故選：AC．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期末）若直角三角形斜邊長等于10cm，則直角三角形面積的最大值為．【分析】根據(jù)題意，設(shè)直角三角形的直角邊為a，b，面積為S，由勾股定理得a2+b2＝100，利用基本不等式的性質(zhì)可得S=12ab≤14【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)直角三角形的直角邊為a，b，面積為S，∵直角三角形斜邊長等于10cm，∴a2+b2＝100，則S=12ab≤14故答案為：25．14．（2022?桂林開學(xué)）已知x，y是正實(shí)數(shù)，且滿足1x+4y+1=3，則x【分析】根據(jù)條件，由x+y＝x+y+1﹣1=13（x+y+1）（【解答】解：因?yàn)閤，y是正實(shí)數(shù)，且滿足1x則x+y＝x+y+1﹣1=13（x+y+1）（=13（5+y+1x+當(dāng)且僅當(dāng)y+1x=4xy+1且1x所以x+y的最小值為2．故答案為：2．15．（2022春?京口區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集為{x|1＜x＜3}，則cx2﹣bx+a＞0的解集是．【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集得到a、b、c的關(guān)系，即可解之．【解答】解：∵x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集為{x|1＜x＜3}，∴a＞0ca=3?ba=4，不等式cx2﹣bx+a＞0化為3x2+4故答案為：{x|x＜﹣1或x＞?116．（2022春?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）已知a＞0，b＞0，下面四個(gè)結(jié)論：①2aba+b②若a＞b＞0，則ab+4③若a＞b，則c2④若1a+1+1b+1=1，則a其中正確結(jié)論的序號(hào)是．（把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）【分析】轉(zhuǎn)化為整式不等式，利用不等式性質(zhì)判定；均值不等式求最小值．【解答】解：①交叉相乘等價(jià)化為：4ab≤（a+b）2，等價(jià)化為（a﹣b）2≥0，成立，①正確；②ab+4b2+1b(a?b)=ab﹣b2+b2++4b2+1b(a?b)=b（a﹣b③兩邊同乘ab，可等價(jià)化為bc2≤ac2，（b﹣a）c2≤0，成立，③正確；④a+2b＝（a+1）+2（b+1）﹣3＝[（a+1）+2（b+1）]（1a+1+1b+1）﹣3＝1+a+1b+1+2(b+1)a+1故答案為：①③④．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（2021秋?普寧市期末）設(shè)a∈R，關(guān)于x的二次不等式ax2﹣2x﹣2a＞0的解集為A，集合B＝{x|1＜x＜2}，滿足A∩B≠?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】根據(jù)關(guān)于x的二次不等式ax2﹣2x﹣2a＞0的解集為A知a≠0，求出對(duì)應(yīng)方程的解，討論a＞0和a＜0時(shí)，求出A，根據(jù)A∩B≠?求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的二次不等式ax2﹣2x﹣2a＞0的解集為A，集合B＝{x|1＜x＜2}，所以a≠0，且對(duì)應(yīng)方程ax2﹣2x﹣2a＝0的解為x1=1a?2+1a2，x2=①當(dāng)a＞0時(shí)，A＝{x|x＜x1或x＞x2}，因?yàn)锳∩B≠?的充要條件是x2＜2，即1a+2+1a＜2，解得0＜②當(dāng)a＜0時(shí)，A＝{x|x1＜x＜x2}，因?yàn)锳∩B≠?的充要條件是x2＞1，即1a+2+綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a＜﹣2或0＜a＜5?174或18．（2022春?青銅峽市校級(jí)期末）（1）已知x＞3，求4x?3（2）已知x，y是正實(shí)數(shù)，且x+y＝1，求1x【分析】（1）配湊可得4x?3（2）利用基本不等式中的“乘1法”，即可得解．【解答】解：（1）∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴4x?3當(dāng)且僅當(dāng)4x?3=x?3，即∴4x?3（2）∵x，y∈R+，∴1x當(dāng)且僅當(dāng)y=3x，即x=3∴1x+319．（2022春?東城區(qū)校級(jí)月考）請(qǐng)回答下列問題：（1）若關(guān)于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集為{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．（2）求關(guān)于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．【分析】（1）由題意可是1和b為方程x2﹣3x+2a2＝0的兩根，利用韋達(dá)定理得以方程組，解得即可；（2）不等式為ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，討論a＝0，a＞0，a＝﹣3，a＜﹣3，﹣3＜a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集為{x|x＜1或x＞b}，∴1和b為方程x2﹣3x+2a2＝0的兩根，∴1+b=31×b=2a2（2）關(guān)于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R），即ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式解集為{x|x＜﹣1}；當(dāng)a≠0時(shí)，方程（ax﹣3）（x+1）＝0的根為x1=3∴①當(dāng)a＞0時(shí)，3a＞?1，∴原不等式的解集為{x|x＞3②當(dāng)﹣3＜a＜0時(shí)，3a＜?1，∴原不等式的解集為{x|3③當(dāng)a＝﹣3時(shí)，3a=?1，∴原不等式的解集為④當(dāng)a＜﹣3時(shí)，3a＞?1，∴原不等式的解集為{x|﹣1＜x20．（2022春?廣安期末）已知不等式（a+1）x2﹣4x﹣6＜0的解集是{x|﹣1＜x＜3}．（1）求常數(shù)a的值；（2）若關(guān)于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集為R，求m的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系求之；（2）根據(jù)一元二次不等式的解法直接求之．【解答】解：（1）∵不等式（a+1）x2﹣4x﹣6＜0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，∴﹣1和3是方程（a+1）x2﹣4x﹣6＝0的解，∴2=4a+1?3=?（2）由a＝1不等式ax2+mx+4≥0化為x2+mx+4≥0，∴不等式x2+mx+4≥0的解集為R，則Δ＝m2﹣16≤0，∴﹣4≤m≤4，∴m的取值范圍是{m|﹣4≤m≤4}．21．（2021秋?涼州區(qū)期末）如圖，計(jì)劃用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長為x，寬為y．（1