專(zhuān)題05 五類(lèi)圓錐曲線題型-2025年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)（新高考專(zhuān)用）（解析版）

專(zhuān)題05五類(lèi)圓錐曲線題型2025年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)（解析版）圓錐曲線問(wèn)題一般分為五類(lèi)：類(lèi)型1：圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題；類(lèi)型2：圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題；類(lèi)型3：圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題；類(lèi)型4：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題；類(lèi)型5：圓錐曲線中的向量問(wèn)題；下面給大家對(duì)每一個(gè)類(lèi)型進(jìn)行秒殺處理.類(lèi)型1：圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題；1、曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個(gè)關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；②以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．此時(shí)，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．2、求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫(xiě)出等式；（4）用坐標(biāo)表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)；（5）確定化簡(jiǎn)后的式子中點(diǎn)的范圍．上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍．3、求軌跡方程的方法：3.1定義法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。3.2直接法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)滿(mǎn)足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)所滿(mǎn)足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。3.3代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。3.4點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程.圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別在軸，軸上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交軌跡于點(diǎn)兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)由得①由得所以代入①式得整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）①當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為（i）當(dāng)切線方程為時(shí)，以為直徑的圓的方程為②（ii）當(dāng)切線方程為時(shí)，以為直徑的圓的方程為，③由②③聯(lián)立，可解得交點(diǎn)為.②當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則，故由聯(lián)立并消去整理得因?yàn)樗郧芯€與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則所以所以，即以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)綜上所述，以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).2．已知雙曲線與直線：有唯一的公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸，軸于，兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.【答案】(1)(2)且，軌跡是去掉頂點(diǎn)的雙曲線.【詳解】（1）由題設(shè)，，令，則，令，則，所以，，故，所以，可得，即且過(guò)，則，所以，代入并整理得，則，即，又，所以，，故.（2）由（1）聯(lián)立雙曲線與直線，則，所以，則，整理得，故，，而，令，則，令，則，所以，顯然，故點(diǎn)的軌跡方程為，即且（注意：的斜率存在），所以軌跡是去掉頂點(diǎn)的雙曲線.3．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到的距離之和為4.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)已知點(diǎn)，若點(diǎn)是曲線上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，記的面積為，問(wèn)是否定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值為1【詳解】（1）由題意易知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：.（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)的方程為：聯(lián)立得：，設(shè)，則得：，，由可設(shè)的方程為,，聯(lián)立得：，，，，法1：,故為定值1，法2：的方程為：，即，到的距離為，，后同解法1.4．已知，直線相交于，且直線的斜率之積為2.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)是點(diǎn)軌跡上不同的兩點(diǎn)且都在軸的右側(cè)，直線在軸上的截距之比為，求證：直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)，則直線的斜率是，直線的斜率是，所以，化簡(jiǎn)整理得：，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.（2）設(shè)直線在軸上的截距為，則直線在軸上的截距為，顯然，直線的方程為，即，直線的方程為，即，又雙曲線的漸近線方程為，顯然直線與雙曲線兩支各交于一點(diǎn)，直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，則有，且，于是，由消去化簡(jiǎn)整理得：，設(shè)點(diǎn)，則，解得，有，由消去化簡(jiǎn)整理得：，設(shè)點(diǎn)，則，解得，有，，，于是，設(shè)直線上任意一點(diǎn)，則，顯然，因此，即，整理得，顯然直線恒過(guò)定點(diǎn)，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，為的左右頂點(diǎn)，直線交于點(diǎn)（異于），直線交于點(diǎn)（異于），交于，過(guò)作軸的垂線分別交?于，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得.【答案】(1)(2)存在常數(shù)，使得.【詳解】（1）因?yàn)?、，，所以點(diǎn)的軌跡以為焦點(diǎn)的橢圓，這里，，，所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，代入，得，即，得：，設(shè)，代入，得，即，得：，，由得，得，得.代入，得，代入，得，因?yàn)?，所?所以存在常數(shù)，使得.類(lèi)型2：圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題1、相交弦中點(diǎn)（點(diǎn)差法）直線與曲線相交，涉及到交線中點(diǎn)的題型，多數(shù)用點(diǎn)差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實(shí)際情況處理該式子。主要有以下幾種問(wèn)題：（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求中點(diǎn)軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點(diǎn)，，2、點(diǎn)差法設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為的中點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)且平行于的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在；【詳解】（1）由題意，得，又，所以，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2），，若直線的斜率不存在，則，，由，得，若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去，得，，設(shè)，，則，，由題意，，所以由題意知，直線的方程為，由消去，得，設(shè)，則，所以，由，得，綜上，存在實(shí)數(shù)，使得成立．7．已知斜率為的直線l與拋物線相交于P，Q兩點(diǎn)．(1)求線段PQ中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；(2)已知點(diǎn)，直線TP，TQ分別與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)（異于P，Q）．則在y軸上是否存在一定點(diǎn)S，使得直線MN恒過(guò)該點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，的坐標(biāo)為【詳解】（1）設(shè)，，其中．由，得．化簡(jiǎn)得．

，即．線段PQ中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為．（2）設(shè)y軸上存在定點(diǎn)，由題意，直線MN斜率存在且不為0，設(shè)直線，，，，．由，消去x，得．，．，．

，T，M三點(diǎn)共線，．解得．同理，可得．

又，

．解得．

直線MN恒過(guò)定點(diǎn)．8．已知斜率為k的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為.(1)若，，求k的值；(2)若線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)，且，求直線l的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題設(shè)，作差可得，又，故，所以.（2）由題意，直線斜率一定存在，令直線為，若時(shí)且，，此時(shí)中垂線與y軸重合，與題設(shè)中，垂直平分線與y軸交于矛盾，不合要求；若，由（1）知：，則，則中垂線為，即，又在該直線上，所以，得或，當(dāng)時(shí)不滿(mǎn)足要求，故，故，即，聯(lián)立橢圓得：，整理得，所以，，則，而，由，則，解得，所以.綜上，直線l的方程為.9．已知?jiǎng)狱c(diǎn)T為平面內(nèi)一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，T到點(diǎn)的距離比點(diǎn)T到y(tǒng)軸的距離大1．設(shè)點(diǎn)T的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l：，過(guò)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，過(guò)M且與y軸垂直的直線依次交直線OA，OB，l于點(diǎn)N，P，Q，直線OB與l交于點(diǎn)E．記的面積為，△的面積為，判斷，的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)，由題意得，化簡(jiǎn)得y2＝4x，故所求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程C：．（2），的大小相同，證明如下：設(shè)直線，，，由得：，，則，．線段AB的中點(diǎn)為M，則，，又直線，令，則，故，同理，則，，所以．又直線，令，則，即，綜上，．10．已知橢圓的下頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)為為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)與橢圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若存在過(guò)點(diǎn)的直線，使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)題意得:，∴，∴∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）根據(jù)題意得:的中垂線過(guò)點(diǎn)，由,化簡(jiǎn)得:，，設(shè)，，，的中點(diǎn)，，∴的中垂線方程為:，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得:，故，代入且.類(lèi)型3：圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題1、弦長(zhǎng)公式（最常用公式，使用頻率最高）2、三角形面積問(wèn)題直線方程：3、焦點(diǎn)三角形的面積直線過(guò)焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)4、平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).5、范圍問(wèn)題首選均值不等式，其實(shí)用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)均值不等式變式：作用：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的和的最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的積的最大值注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時(shí)，應(yīng)注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立(5)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練11．已知雙曲線T：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．若拋物線C：的焦點(diǎn)F與雙曲線T的右焦點(diǎn)相同．(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為正的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)（A在M，B之間），點(diǎn)N滿(mǎn)足：，求與面積之和的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由題意得：，解之得，即雙曲線的右焦點(diǎn)為，，所以；（2）根據(jù)題意不妨設(shè)直線l的方程為，，，，則由得∴∵，∴，又，同理，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，“＝”成立，即，此時(shí)，直線l的方程為．12．雙曲線，最早由門(mén)奈赫莫斯發(fā)現(xiàn)，后來(lái)阿波羅尼茲進(jìn)行了總結(jié)和完善.在他的著作中，雙曲線也被稱(chēng)作“超曲線”.已知雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為2，左?右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.(1)若軸時(shí)，，設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖所示，法一：因?yàn)?，所以，令得，所以，解得，所以的方程為，顯然直線與軸不垂直，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線與的方程，消去得，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則.因?yàn)?，所?法二：由題意得，解得，雙曲線的方程為.設(shè)方程為，聯(lián)立，可得，，，，.（2）法一：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即，將代入得，因?yàn)樵谳S上方，所以，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或（舍），所以，代入，得，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或，所以的面積為.法二：設(shè)，由，可得，，解得，方程，聯(lián)立，可得，解得，同理聯(lián)立，解得，.13．設(shè)拋物線方程為，過(guò)點(diǎn)的直線分別與拋物線相切于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸下方，點(diǎn)在軸上方.(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求；(2)點(diǎn)在拋物線上，且在軸下方，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且.若的重心在軸上，求的最大值.（注：表示三角形的面積）【答案】(1)；(2).【詳解】（1）解法一：設(shè)，，，由，可得，當(dāng)，當(dāng)，所以，直線的斜率，直線：，又∵在上，，所以，又，所以，同理可得，∴，∴；解法二：設(shè)，，，由，可得，所以，直線的斜率，直線：，又∵在上，故，即，因?yàn)?，所以，同理可得，故直線的方程為，聯(lián)立消去，得，故，故（2）設(shè)，由條件知，∴，∵

∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值.14．已知A，B是拋物線E：上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸下方，PA與拋物線E交于點(diǎn)C，PB與拋物線E交于點(diǎn)D，且滿(mǎn)足，其中λ是常數(shù)，且．(1)設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，證明：MN垂直于x軸；(2)若點(diǎn)P為半圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，求四邊形ABDC面積的最大值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，且P，A，C共線，P，B，D共線，所以，所以直線AB和直線CD的斜率相等，即，設(shè)，，，，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，由，得，因式分解得，約分得，所以，即，所以MN垂直于x軸．（2）設(shè)，則，且，當(dāng)時(shí)，C為PA中點(diǎn)，則，，因?yàn)镃在拋物線上，所以，整理得，當(dāng)時(shí)，D為PB中點(diǎn)，同理得，所以是方程的兩個(gè)根，因?yàn)?，由韋達(dá)定理得，，所以，所以PM也垂直于x軸，所以，因?yàn)?，所以，，?dāng)時(shí)，取得最大值，所以，所以四邊形ABDC面積的最大值為．15．已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)A（2，），且C的離心率為.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l交C于不同于點(diǎn)A的M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN的傾斜角分別為，，若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)2.【詳解】（1）因?yàn)镃過(guò)點(diǎn)A（2，），所以設(shè)C的焦距為2c，由得，所以，.代入上式，解得，所以C的方程為.（2）設(shè)，易知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，由得，則，，由得，，又，所以，則，由題意知直線AM，AN的斜率存在，所以，則0，..所以，則即，整理得，又知l不過(guò)點(diǎn)A（2，），則，所以，所以直線l的方程為，則，所以則點(diǎn)A（2，）到直線l的距離為|則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故面積的最大值為2.類(lèi)型4：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題①定點(diǎn)問(wèn)題1.求解(或證明)直線和曲線過(guò)定點(diǎn)的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就是對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于，的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)．2.常用方法：一是引進(jìn)參數(shù)法，引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn)；二是特殊到一般法，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).②定值問(wèn)題1.解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值．常見(jiàn)定值問(wèn)題的處理方法：（1）確定一個(gè)（或兩個(gè)）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示（有的甚至就是核心變量），然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，看能否得到一個(gè)常數(shù).2.定值問(wèn)題的處理技巧：（1）對(duì)于較為復(fù)雜的問(wèn)題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)而給后面一般情況的處理提供一個(gè)方向.（2）在運(yùn)算過(guò)程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡(jiǎn)化運(yùn)算③定直線問(wèn)題定直線問(wèn)題是證明動(dòng)點(diǎn)在定直線上，其實(shí)質(zhì)是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練16．已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸和軸，且雙曲線過(guò)點(diǎn)，.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別交的左、右支于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足.證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意可知：雙曲線焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)雙曲線方程為.將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得，所以，即雙曲線方程為.（2）直線過(guò)定點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，設(shè)點(diǎn)，直線方程為，由題意知：直線的方程為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，從而，，若，化簡(jiǎn)得①又因?yàn)?，代入①式得②?lián)立，化簡(jiǎn)得，則，.代入②式左邊得，由于，，，從而②式左邊等于0成立，直線過(guò)定點(diǎn).17．已知拋物線C：y2=2px（p>0），M是其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，y0）時(shí)，有．(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)P，證明：直線BP過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．【詳解】（1）如圖，設(shè)，由，得B為線段MA的中點(diǎn)．因?yàn)?，所以，所以，即，把代入中，得，把代入中，得，所以．又p>0，所以p=4，所以?huà)佄锞€C的方程為.（2）由題意，知直線l的斜率存在且不為0，因?yàn)镸（-2，0），所以可設(shè)直線l的方程為x=my-2．設(shè)，，則點(diǎn)．由，消去x，得，所以，,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，．直線BP的斜率，所以直線BP的方程為，所以，即直線BP的方程可表示為．所以直線BP過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．18．已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．(1)求線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；(2)已知點(diǎn)，直線分別與拋物線相交于兩點(diǎn)（異于）．求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)的坐標(biāo)為【詳解】（1）設(shè)，其中，由，得，化簡(jiǎn)得，，即，線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為；（2）證明：設(shè)，，直線的方程為，化簡(jiǎn)可得，在直線上，解得，同理，可得，，，又直線的方程為，即，直線恒過(guò)定點(diǎn)．19．已知直線l：與點(diǎn)，過(guò)直線l上的一動(dòng)點(diǎn)Q作直線，且點(diǎn)P滿(mǎn)足．(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作直線與C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，直線AM與直線l相交于點(diǎn)N．試問(wèn)：直線BN是否經(jīng)過(guò)x軸上一定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)過(guò)定點(diǎn)；定點(diǎn)【詳解】（1）解：由，可得，所以，設(shè)，代入上式得，平方整理即得C的方程為．（2）解：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方，則，，，則直線BN：，直線BN經(jīng)過(guò)點(diǎn)；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線AB：，，，則直線AM：，當(dāng)時(shí)，，故，由，得，則，，所以，，下面證明直線BN經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即證，即，即，由，，整理得，，即恒成立．即，即直線BN經(jīng)過(guò)點(diǎn)．綜上所述，直線BN過(guò)軸上的定點(diǎn)．20．已知雙曲線，點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)過(guò)點(diǎn)作的兩條漸近線的平行線分別交雙曲線于，兩點(diǎn).求直線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，，直線，與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)，.試問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)直線過(guò)定點(diǎn)【詳解】（1）由題意，得雙曲線的漸近線方程為，過(guò)與平行的直線方程為，由，解得，過(guò)與平行的直線方程為，由，解得，∴直線的方程為.（2）直線過(guò)定點(diǎn).由已知，易知過(guò)的直線斜率存在且不為，直線，斜率存在且不為，設(shè)直線，的直線方程分別為和，.由，得，解得，則.同理，則.又，，三點(diǎn)共線，而，故，解得.設(shè)，，則，，∴，即化簡(jiǎn)整理，得（*），易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程，由，消去整理，得，∴當(dāng)且時(shí)，有，，代入（*）化簡(jiǎn)，解得，即，故或.當(dāng)時(shí)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，滿(mǎn)足題意.因此直線過(guò)定點(diǎn).類(lèi)型5：圓錐曲線中的向量問(wèn)題（技巧）1.設(shè)為直線l的方向向量,若,則l斜率為k；若（m≠0）,則l斜率為；2.A、B、C是平面內(nèi)不重合的三點(diǎn),若有下列條件之一,則A、B、C共線:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=+且+=1;=3\*GB3③=(+)/(1+)；=4\*GB3④∥.3.A、B、C是平面內(nèi)不重合的三點(diǎn),若有下列條件之一,則C為線段AB的中點(diǎn):=1\*GB3①=;=2\*GB3②=(+).4.在四邊形ABCD中,若?=0,則ABAC;若∣+∣=∣-∣,則ABAD;若?=?,則ACBD.5.圓錐曲線中涉及向量相等,通常利用橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化,涉及向量共線問(wèn)題,通項(xiàng)利用非零向量共線轉(zhuǎn)化,涉及向量的數(shù)量積,通常利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化.圓錐曲線中的向量問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練21．設(shè)點(diǎn)，分別是橢圓:的左、右焦點(diǎn)，且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為.點(diǎn)M、N是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且向量與向量平行.（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求△的面積；（3）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】解：（1）點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，，解得，橢圓的方程為，（2）由（1）可得，，點(diǎn)、是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，可設(shè)，，，，，，，，解得，，，，，向量與向量平行，直線的斜率為，直線方程為，聯(lián)立方程組，解得，（舍去），或，，，，，點(diǎn)到直線直線的距離為，的面積，（3）向量與向量平行，，，，即，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，解得，或（舍去），，，，直線的方程為，即為22．已知橢圓：，，分別是橢圓短軸的上下兩個(gè)端點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上異于點(diǎn)，的點(diǎn)，若的邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；當(dāng)直線的一個(gè)方向向量是時(shí)，求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)點(diǎn)R滿(mǎn)足：，，求證：與的面積之比為定值．【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析【詳解】解：如圖，由的邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，得，且．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；解：直線的一個(gè)方向向量是，直線所在直線的斜率，則直線的方程為，聯(lián)立，