D1-4無窮小無窮大(外)

第二章第四節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束無窮小與無窮大二、無窮小三、無窮小與無窮大的關(guān)系一、無窮大四.無窮小量的階

無限增大,則稱該變量為其變化過程中的無窮大量.

例如是當(dāng)時(shí)的無窮大量是當(dāng)時(shí)的無窮大量是當(dāng)時(shí)的無窮大量等等.注意幾點(diǎn)

(1)無窮大量并不是很大的數(shù),而是其絕對(duì)值可以無限增大的量;

(2)說一個(gè)量是不是無窮大量,也必須指出其變化過程;一.無窮大量(描述定義)1.無窮大量的定義如果一個(gè)變量在它的變化過程中,其絕對(duì)值可以

(3)無窮大量包括:正無窮大量和負(fù)無窮大量.

例如當(dāng)時(shí)變量就是一負(fù)無窮大量.

(4)無窮大量的記號(hào)如:“當(dāng)時(shí)是一無窮大量”可記為“當(dāng)時(shí)是一無窮大量”可記為等等.一、無窮大*定義2.8(p63)

若任給

E>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大,

使對(duì)若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注意1:1.無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例如,

函數(shù)當(dāng)?shù)詴r(shí),不是無窮大!機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

記f(x)是無窮大，只是為了書寫的方便，同時(shí)也表明了當(dāng)時(shí)f(x)雖然無極限，但還是有明確趨向的.無窮大量是一個(gè)絕對(duì)值可無限增大的變量，不是絕對(duì)值很大很大的固定數(shù).注意2函數(shù)f(x)當(dāng)時(shí)無窮大，則極限是不存在的.利用記號(hào)例.證明證:

任給正數(shù)

M,要使即只要取則對(duì)滿足的一切x,有所以若則直線為曲線的鉛直漸近線.漸近線說明:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例:(2)(3)(4)在自變量的同一變化過程中(1)有限個(gè)無窮大的乘積仍是無窮大；(2)無窮大與有界量的和仍是無窮大.2.無窮大的性質(zhì)

注意:兩個(gè)無窮大量的和未必還是無窮大量;有界量與無窮大量的乘積也未必還是無窮大量.

注意:兩個(gè)無窮大量的和未必還是無窮大量;

有界量與無窮大量的乘積也未必還是無窮大量.例如當(dāng)時(shí)均為無窮大但例如(當(dāng)為有界量但為無窮大當(dāng)二、無窮小(1)定義1.若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)例如:函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮小;函數(shù)時(shí)為無窮小;函數(shù)當(dāng)為時(shí)的無窮小

.時(shí)為無窮小.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:除0以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小

!因?yàn)楫?dāng)時(shí),顯然C

只能是0!CC機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例如函數(shù)時(shí)的無窮小,但當(dāng)時(shí)不是無窮小。當(dāng)時(shí),的極限不為零,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)不是無窮小,而當(dāng)時(shí)是無窮小量。應(yīng)該注意無窮小量是在某一過程中,以零為極限的變量,而不是絕對(duì)值很小的數(shù)。因此應(yīng)明確指出其變化過程。

(1)一般,說一個(gè)變量是無窮小量,必須指出其變化過程.因同一個(gè)變量在不同的變化過程中會(huì)有不同的變化趨勢(shì),即不同的極限值.

(2)由于無論在什么樣的變化過程中,數(shù)0的極限永遠(yuǎn)為零,所以它是無窮小量,且只有它可以不指出變化過程.

(3)不能把無窮小量理解為是很小的數(shù),關(guān)鍵是要看其極限是否為零.其中

為時(shí)的無窮小量.定理2.5.(p64)無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:當(dāng)時(shí),有對(duì)自變量的其它變化過程類似可證.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)定理

在自變量的同一變化過程中

(1)

有界量與無窮小的乘積仍為無窮小.(P64定理2.6)(2)常量與無窮小的乘積仍為無窮小.(P64推論)(4)有限個(gè)無窮小的乘積仍為無窮小.(P67.推論1)無窮小的性質(zhì)(3)有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍為無窮小(P67.定理2.8)

注意:有界量包括①常量;②有界函數(shù);③在無窮小量的變化過程中有極限的函數(shù).例如

常量

有界函數(shù)有極限的函數(shù)有界量例5解注意這個(gè)極限不能用后面學(xué)的極限的四則運(yùn)算法則求得，因?yàn)椴淮嬖?所以時(shí)的無窮小量.為有界變量,三、無窮小與無窮大的關(guān)系(1)若為無窮大,為無窮小;(2)若為無窮小,且則為無窮大.則(自證)據(jù)此定理,關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.定理2.7

在自變量的同一變化過程中,說明:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束四.無窮小量的階兩個(gè)無窮小的和、差、積都是無窮小，那么，兩個(gè)無窮小的商是否仍是無窮小呢？請(qǐng)看下面的例子.這些情形表明,同為無窮小,但它們趨于0的速度有快有慢,為了比較不同的無窮小趨于0的速度,我們引入無窮小量階的概念.如何比較無窮小量趨向于零的速度的快慢?定義2.10.P66若則稱

是比

高階的無窮小,若若*若若或設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱

是比

低階的無窮小;則稱

是

的同階無窮小;則稱

是關(guān)于

的k階無窮小;則稱

是

的等價(jià)無窮小,記作機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例如

,

當(dāng)～時(shí)～～又如,故時(shí)是關(guān)于x的二階無窮小,～且機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.證明:當(dāng)時(shí),～證:～機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

因?yàn)樗砸驗(yàn)樗砸驗(yàn)樗詞

注意:當(dāng)兩個(gè)無窮小量的變化過程不同時(shí),則顯然是不能比較階的高低的;即使兩個(gè)無窮小量的變化過程相同,也未必一定能夠比較.如和均是時(shí)的無窮小量,但不能比較其階的高低.例

設(shè)當(dāng)時(shí)~

求解因?yàn)閪

所以有即無窮小量階的比較小結(jié)1.無窮小的比較設(shè)

,

對(duì)同一自變量的變化過程為無窮小,且

是

的高階無窮小

是

的低階無窮小

是

的同階無窮小

是

的等價(jià)無窮小

是

的k階無窮小機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束補(bǔ)充定理.設(shè)且存在,則證:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束應(yīng)用等價(jià)無窮小計(jì)算極限在求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí),若此極限不好求,可用分子、分母各自的等價(jià)無窮小來代替,如果選擇適當(dāng),可簡(jiǎn)化運(yùn)算.用定理求極限,需要預(yù)先知道一些等價(jià)無窮小.當(dāng)時(shí)一些常用的等價(jià)無窮小如下:例1求解:例2解例3解例4解注:相乘(除)的無窮小都可用各自的等價(jià)無窮小代換,但是相加(減)的無窮小的項(xiàng)不能作等價(jià)代換,例如是完全錯(cuò)誤的注意:1.討論函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì).練習(xí):1.答案:2.求下列數(shù)列的極限:（2）（3）

（4）3.試用圖形上說明:不存在.,求在是的左、右極限,并說明

在點(diǎn)極限是否存在.（1）4設(shè)3.（1）0；（2）發(fā)散；（3）1；（4）0.5.因?yàn)?所以,函數(shù)在,處左、右極限存在但不相等,故函數(shù)在0點(diǎn)的極限不存在4.答案:5

設(shè),求,并討論6.分析函數(shù)的變化趨勢(shì),并求極限.

（2）

（3）

（

4）7.當(dāng)時(shí)，下列變量中哪些是無窮小量？

是否存在.（1）5.,因?yàn)楹瘮?shù)在處左、右極限存在但不相等,所以6.（1）0；（2）0；（3）0；（4）1不存在7.答案:8.當(dāng)時(shí)，下列變量中是無窮小量的有:

（2）（3）（4）9.函數(shù)在什么變化過程中是無窮大量？又在什么變化過程中是無窮小量？（1）答案:8.9.當(dāng)時(shí),為無窮大量,當(dāng)時(shí),為無窮小量.內(nèi)容小結(jié)1.無窮小與無窮大的定義2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系3.無窮小