2024-2025學(xué)年黑龍江省佳木斯市樺南縣高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省佳木斯市樺南縣高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C．3 D．3．已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥m，α∥β，，則l⊥αC．若l⊥α，α∥β，，則l⊥m D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β4．平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)在下圖分布形態(tài)中，a，b，c分別對(duì)應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．5．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)器采用的是“一用兩備”（即一臺(tái)常用設(shè)備，兩臺(tái)備用設(shè)備）的配置．這三臺(tái)設(shè)備中，只要有一臺(tái)能正常工作，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷線．如果一臺(tái)常用設(shè)備正常工作的概率為，兩臺(tái)備用設(shè)備正常工作的概率均為，且它們之間互不影響，則該計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)不會(huì)斷線的概率為（

）A． B． C． D．7．已知定義在上的偶函數(shù)滿足：①對(duì)任意的，且，都有成立；②.則不等式的解集為（

）A． B．C． D．8．設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“點(diǎn)數(shù)為4”，事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“點(diǎn)數(shù)小于4”，事件“點(diǎn)數(shù)大于3”，則（

）A．與互斥 B．與互斥C．與對(duì)立 D．與對(duì)立10．已知圓和圓，則（

）A．圓的半徑為4B．軸為圓與的公切線C．圓與公共弦所在的直線方程為D．圓與上共有6個(gè)點(diǎn)到直線的距離為111．如圖，正四棱柱中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱CD，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．B．平面AEFC．D．點(diǎn)D到平面AEF的距離為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為．13．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入男子羽毛球單打決賽，假設(shè)比賽打滿3局，贏得2局或3局者勝出，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1～5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2，3時(shí)，表示一局比賽甲獲勝；否則，乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為；14．在邊長為的菱形中，，沿對(duì)角線折起，使二面角的大小為，這時(shí)點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，四面體中，，分別為，上的點(diǎn)，且，，設(shè)，，.(1)以為基底表示；(2)若，且，，，求.16．已知兩直線：，：，是和的交點(diǎn).（1）求過點(diǎn)且垂直于直線的直線的方程．（2）求過點(diǎn)且平行于直線：的直線的方程.17．已知集合，，．(1)求為一次函數(shù)的概率；(2)求為二次函數(shù)的概率．18．已知圓C：，直線l過定點(diǎn)．（1）若直線l與圓C相切，求直線l的方程；（2）若直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．19．如圖，四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)，且．(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值．

答案1．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋?，又，所以所以．故選：B．2．【正確答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)定義及運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以的虛部?，故選：C.3．【正確答案】C采用逐一驗(yàn)證法，結(jié)合線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】對(duì)A，l∥α，l∥β，α與β不一定平行，也可能相交，故A錯(cuò)對(duì)B，一條線要垂直平面內(nèi)的兩條相交直線才會(huì)得到線面垂直，故l不會(huì)垂直β，由于α∥β，所以也不會(huì)垂直α，故B錯(cuò)對(duì)C，由l⊥α，α∥β，所以l⊥β，又，則l⊥m，故C正確對(duì)D，α⊥β，l∥α，l與β可以相交，也可以在平面內(nèi)，故D錯(cuò)故選：C4．【正確答案】A【分析】利用數(shù)據(jù)分布圖左拖尾，即平均數(shù)小于中位數(shù)，再利用眾數(shù)是用最高矩形的中點(diǎn)值來估計(jì)，可判斷眾數(shù)大于中位數(shù)，即可作出判斷.【詳解】由數(shù)據(jù)分布圖知，眾數(shù)是最高矩形下底邊的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)為右起第二個(gè)矩形下底邊的中點(diǎn)值，直線左右兩邊矩形面積相等，而直線左邊矩形面積大于右邊矩形面積，則，又?jǐn)?shù)據(jù)分布圖左拖尾，則平均數(shù)小于中位數(shù)，即，所以.故選：A5．【正確答案】B【詳解】解：因?yàn)?，由余弦定理得，，由為三角形?nèi)角得，，因?yàn)?，則為銳角，，所以，，則．故選：B．6．【正確答案】A【詳解】由題意所求概率為．故選：A．7．【正確答案】A【詳解】由題意得，偶函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，在?∞,0上單調(diào)遞減，且,作出函數(shù)的大致圖像如下：不等式等價(jià)于或，數(shù)形結(jié)合可知不等式的解集為：故選：A.8．【正確答案】A【詳解】由題設(shè)知：，，又，故兩條動(dòng)直線相互垂直，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：A.9．【正確答案】ABD【詳解】事件“點(diǎn)數(shù)為4”與“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”不能同時(shí)發(fā)生，所以與互斥，A正確.事件“點(diǎn)數(shù)為4”與“點(diǎn)數(shù)小于4”不能同時(shí)發(fā)生，所以與互斥，B正確.事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”的對(duì)立事件是“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，不是“點(diǎn)數(shù)大于3”，C錯(cuò)誤.事件“點(diǎn)數(shù)小于4”的對(duì)立事件是“點(diǎn)數(shù)不小于4”，即“點(diǎn)數(shù)大于3”，與對(duì)立，D正確.故選：ABD.10．【正確答案】BD【詳解】

對(duì)于A項(xiàng)，由圓配方得：知圓的半徑為2，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因圓心到軸的距離為1，等于圓的半徑，故圓與軸相切，同理圓心到軸的距離等于圓的半徑，圓與軸相切，故軸為圓與的公切線，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C項(xiàng)，只需要將與左右分別相減，即得圓與的公共弦所在的直線方程為：故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，如圖，因直線同時(shí)經(jīng)過兩圓的圓心，依題意可作兩條與該直線平行且距離為1的直線與，其中與和圓都相切，各有一個(gè)公共點(diǎn)，與和圓都相交，各有兩個(gè)交點(diǎn)，故圓與上共有6個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.11．【正確答案】ABD【詳解】以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，對(duì)于A，，，所以，即，所以，故A正確；對(duì)于B，，，，，，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，所以，即，令，則，所以，所以，，所以平面，故B正確；對(duì)于C，，，，，，，所以，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，平面的一個(gè)法向量為，，所以點(diǎn)D到平面的距離為，故D正確.故選：ABD，12．【正確答案】或【詳解】由于，所以，，解得或.故或13．【正確答案】/【分析】根據(jù)題意找出甲獲勝的情況，然后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】由題意得甲獲勝的情況有:423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13種，所以估計(jì)甲獲得冠軍的概率為.故14．【正確答案】【詳解】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：如圖分別取的中點(diǎn)，連接，則，，所以為二面角的平面角，即.由題知為等邊三角形，所以，.所以，即，所以.由圖形的對(duì)稱性可知：球心必在的延長線上，設(shè)球心為，連接，設(shè)半徑為，，，由題可知，為直角三角形，所以，所以，解得：，，所以，球的表面積為.故15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的加減數(shù)乘運(yùn)算，結(jié)合題設(shè)條件即可求得；（2）先求出平面的基底兩兩之間的數(shù)量積，再根據(jù)（1）中的表示式，兩邊取平方，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.【詳解】（1）由圖可得，;（2）由題意，，則，于是，由兩邊取平方，，故.16．【正確答案】（1）；（2）.【詳解】（1）聯(lián)立方程解得，，且，∴，∴：，整理得：；（2）令：,過，代入得：,∴.17．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）樣本空間有25個(gè)結(jié)果，為一次函數(shù)，即，，共4種情況，所以概率為；（2）樣本空間有25個(gè)結(jié)果，為二次函數(shù)，即，共20種情況，所以概率為．18．【正確答案】（1）或【分析】（1）通過直線的斜率存在與不存在兩種情況，利用直線的方程與圓C相切，圓心到直線的距離等于半徑即可求解直線的方程；（2）設(shè)直線方程為，求出圓心到直線的距離、求得弦長，得到的面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出面積的最大值時(shí)的距離，然后求出直線的斜率，即可得到直線的方程.【詳解】（1）①若直線l1的斜率不存在，則直線l1：x＝1，符合題意.②若直線l1斜率存在，設(shè)直線l1的方程為，即．由題意知，圓心（3，4）到已知直線l1的距離等于半徑2，即：，解之得.所求直線l1的方程是或.(2)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,設(shè)直線方程為，則圓心到直線l1的距離又∵△CPQ的面積＝∴當(dāng)d＝時(shí)，S取得最大值2.∴＝∴k＝1或k＝7所求直線l1方程為x－y－1＝0或7x－y－7＝0.本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及到直線與圓相切，圓的弦長公式，以及三角形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，其中熟記直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解