微分幾何2-4知識(shí)研討

單擊此處編輯母版副標(biāo)題樣式單擊此微處分編幾輯母何版標(biāo)題樣式*1第二章曲面:局部理論第一節(jié) 參數(shù)曲面和第一基本形式第二節(jié) Gauss映射和第二基本形式第三節(jié) G-C方程和曲面基本定理第四節(jié) 協(xié)變微分,平行移動(dòng)和測(cè)地線第二章曲面:局部理論第四節(jié) 協(xié)變微分，平行移動(dòng)和測(cè)地線曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何概念之一：“平行移動(dòng)”。 如何比較曲面上任意兩點(diǎn)的切向量?怎么判斷它們是否平行？第二章曲面:局部理論定義:給定正則參數(shù)曲面 ，向量函數(shù)稱為 上一個(gè)（切）向量場(chǎng)，如果它滿足（1）（2）對(duì)于曲面任意的正則參數(shù)表示函數(shù) 都是連續(xù)可微的。第二章曲面:局部理論的切向量例1 單位球面 上任意一個(gè)大圓場(chǎng) 是單位切向量場(chǎng),恰好是指向球心,所以球面上大圓的切向量場(chǎng)沿著大圓平行。另外常向量場(chǎng) 沿著球面的赤道平行。第二章曲面:局部理論例2

曲面

上參數(shù)曲線上對(duì)應(yīng)的切向量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)恰好可以由Christoffel記號(hào)表示。在給定局部參數(shù)表示

下第二章曲面:局部理論命題

設(shè)線,且存在唯一的平行向量場(chǎng)使得是曲面 上一條參數(shù)曲,切向量 。則沿著。證明:不妨設(shè)曲線 包含在某個(gè)參數(shù)表示中，有 。進(jìn)一步假設(shè)第二章曲面:局部理論由于 ,我們計(jì)算第二章曲面:局部理論是沿著 的平行向量場(chǎng)當(dāng)且僅當(dāng)是下列方程組的解:由微分方程解的存在唯一性定理,只要取定了,使得 ,我們就得到唯一的平行向量場(chǎng) 滿足。第二章曲面:局部理論線,且起始點(diǎn)為定義

設(shè)

是曲面

上一條參數(shù)曲。是沿 的平行向量場(chǎng),則向量稱為沿

到點(diǎn)

的平行移動(dòng)?！ぶ暗拿}的存在唯一性結(jié)論保證了平行移動(dòng)定義的合理性。·如果曲線不依賴于是正則的,則平行移動(dòng)的參數(shù)表示。第二章曲面:局部理論例3

單位球面上緯線圓,考慮向量 從點(diǎn)出發(fā)沿著緯線逆時(shí)針的平行移動(dòng)。第二章曲面:局部理論解:將單位球面Christoffel記號(hào)的計(jì)算結(jié)果帶入方程(eq-1)中得到加上初始值條件,解得。平行移動(dòng)保持切向觀察到量的長(zhǎng)度不變？第二章曲面:局部理論命題

假設(shè)

和

是沿行向量場(chǎng),則內(nèi)積的兩個(gè)平為常數(shù)。推論

平行移動(dòng)保持向量的長(zhǎng)度和夾角。沿 平行,則 與證明:向量場(chǎng)平行，則同理第二章曲面:局部理論平面中“直線”在曲面的推廣－－“測(cè)地線”。曲面上兩點(diǎn)之間的最短連線是什么？定義 曲面 上一條非常值參數(shù)曲線稱為測(cè)地線（geodesic），如果切向量場(chǎng)沿 平行，即測(cè)地線滿足以引進(jìn)弧長(zhǎng)參數(shù),參數(shù)曲線正則,可。第二章曲面:局部理論曲面上以弧長(zhǎng)為參數(shù)的測(cè)地線的曲率向量在曲面的切平面上投影為零,即測(cè)地線在每點(diǎn)的主法向量與曲面的法向量平行。這里曲線的曲率向量在曲面法向量上的投影恰好是曲線的法曲率。第二章曲面:局部理論曲面 上一條弧長(zhǎng)參數(shù)曲線在考慮法曲率時(shí),我們實(shí)際上引入了有別于Frenet標(biāo)架的另一個(gè)標(biāo)架 （Darboux標(biāo)架）。第二章曲面:局部理論此時(shí),曲率向量可以分解為是曲率其中法曲率 是曲率的法分量,而的切分量,稱為曲面上曲線的測(cè)地曲率（geodesic curvature)?！で€是曲面測(cè)地線當(dāng)且僅當(dāng)它的測(cè)地曲率為零。例1證明球面上的大圓是測(cè)地線。第二章曲面:局部理論定理（Liouville公式）假設(shè)上的正交參數(shù)表示,是曲面是

上的一條曲線,其中 是弧長(zhǎng)參數(shù)。假定曲線 與曲線的夾角為 ,則曲線

的測(cè)地曲率為第二章曲面:局部理論證明: 曲線和 曲線的單位切向量為曲線 的切向量夾角 滿足Darboux標(biāo)架中第二章曲面:局部理論曲率向量計(jì)算測(cè)地曲率得到其中第二章曲面:局部理論曲線的測(cè)地于是定理成立。特別的, 曲線和曲率分別為因此Liouville公式可以改寫成■第二章曲面:局部理論一般情況,利用(eq-1),其中我們得出測(cè)地線滿足方程由常微分方程組解的存在唯一性得到以下推論第二章曲面:局部理論命題

在曲面

上給定點(diǎn)

和非零切向量存在

和唯一的測(cè)地線

滿足由上面命題中的唯一性可推出球面上測(cè)地線只能是大圓；平面上的測(cè)地線只能是直線。第二章曲面:局部理論定理

測(cè)地線在局部上使得弧長(zhǎng)極小。證明思路:曲面 上取定任意一點(diǎn) 和過點(diǎn)并且與的測(cè)地線

。假設(shè)

是

上過點(diǎn)正交的曲線。我們可以構(gòu)造曲面局部參數(shù)表示滿足

,并且曲線都是與

正交的測(cè)地線；曲線與

曲線正交。第二章曲面:局部理論第二章曲面:局部理論對(duì)于曲線 上任意一點(diǎn) ,考察曲面上 和 的連線,不妨設(shè)其有參數(shù)表示曲面的第一基本量在此構(gòu)造下滿足（習(xí)題2）第二章曲面:局部理論則

的弧長(zhǎng)滿足其中

是連接

和

的測(cè)地線