第8章 排列組合（知識考點）-【中職專用】高中數(shù)學單元復習講與測（高教版2021·拓展模塊一下冊）解析版

第8第8章排列組合知識點一：計數(shù)原理1．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理基本形式一般形式分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．注意：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法種數(shù)．它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關，各方法相互獨立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關，各步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成．2．應用兩個原理解題的一般思路注意：(1)明白要完成的事情是什么；(2)分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；(3)有無特殊條件的限制；(4)檢驗是否有重復或遺漏．知識點二：排列與組合1．排列與排列數(shù)(1)一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．(2)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Peq\o\al(m,n)表示．(3)排列數(shù)公式的兩種形式①Peq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.②Peq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).(4)全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，全排列數(shù)為Peq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的階乘)．規(guī)定：0?。?.2．組合及組合數(shù)的定義(1)組合一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．(2)組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．(3)排列與組合的關系相同點兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素不同點排列問題中元素有序，組合問題中元素無序關系組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)與排列數(shù)Peq\o\al(m,n)間存在的關系:Peq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Peq\o\al(m,m)(4)組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1.(5)組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).知識點三：二項式定理1．二項式定理(1)定義一般地，對于任意正整數(shù)，都有：.這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，其中的系數(shù)叫做二項式系數(shù)(2)二項式的展開式的特點：①項數(shù)：共有項，比二項式的次數(shù)大1；②二項式系數(shù)：第項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到0；字母升冪排列，次數(shù)從0到，每一項中，a，b次數(shù)和均為；(3)二項展開式的通頂公式公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同；2．二頂式系數(shù)及其性質(zhì)(1)的展開式中各項的二頂式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：①對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離"的兩項的二項式系數(shù)相等，即；②增減性與最大值：二項式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值．其中，當為偶數(shù)時，二項展開式中間一項的二項式系數(shù)最大；當為奇數(shù)時，二項展開式中間兩項的二項式系數(shù)相等，且最大．(2)各二項式系數(shù)之和為，即；(3)二項展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即．(4)二項式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別二項展開式中，第項的二項式系數(shù)是組合數(shù)，展開式的系數(shù)是單項式的系數(shù)，二者不一定相等．考點一計數(shù)原理1．書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法有__________種.【答案】9【解析】由題意，若從第一層取書，則有4種不同的取法，若從第二層取書，則有3種不同的取法，若從第三次取書，則有2種不同的取法，所以不同的取法有種，故答案為：9.2．用1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)，這樣的兩位數(shù)個數(shù)為（

）A．6 B．12 C．16 D．24【答案】B【解析】先排個位，有4種排法，再排十位，有3種排法，因此共有種排法，故選：B.3．如圖，從甲村到乙村有3條路可走，從乙村到丙村有2條路可走，從甲村不經(jīng)過乙村到丙村有2條路可走，則從甲村到丙村的走法種數(shù)為（

）A．3 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】由圖可知，從甲村直接到到丙村的走法有種，從甲村到乙村再到丙村的走法有種，所以從甲村到丙村的走法共有種.故選:D.4．用數(shù)字0，1，2，3組成沒有重復數(shù)字的3位數(shù)，其中比200大的有（

）A．24個 B．12個 C．18個 D．6個【答案】B【解析】由題意可知，百位上的數(shù)字為2或3，十位上的數(shù)字可在剩余3個數(shù)字中選擇1個數(shù)字，個位上的數(shù)字再在剩下的2個數(shù)字中任選1個，故比200大的3位數(shù)的個數(shù)為，故選：B.5．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是（

）A．26B．60C．18D．1080【答案】A【解析】由分類加法計數(shù)原理知有（種）不同走法.故選：A6．3名大學生利用假期到2個山村參加扶貧工作，每名大學生只能去1個村，則不同的分配方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．10種【答案】C【解析】每個大學生都有種選擇方法，所以不同的分配方案共有種，故選：C.7．“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，節(jié)約糧食是我國的傳統(tǒng)美德．已知學校食堂中午有2種主食、6種素菜、5種葷菜，小華準備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的選取方法有（

）A．13種 B．22種 C．30種 D．60種【答案】D【解析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有（種）不同的選取方法，故選：D．8．如圖，一條電路從A處到B處接通時，可以有_____________條不同的線路（每條線路僅含一條通路）．【答案】【解析】依題意按上、中、下三條線路可分為三類，上線路中有種，中線路中只有種，下線路中有（種．根據(jù)分類計數(shù)原理，共有（種,故答案為：．考點二排列與組合9．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）210（2）840（3）210（4）720【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）．10．下列問題是排列問題的是（

）A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構(gòu)成多少條線段？C．集合的含有三個元素的子集有多少個？D．從高三（19）班的54名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法？【答案】D【解析】A中握手次數(shù)的計算與次序無關，不是排列問題；B中線段的條數(shù)計算與點的次序無關，不是排列問題；C中子集的個數(shù)與該集合中元素的次序無關，不是排列問題；D中，選出的2名學生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是2種不同的選法，因此是排列問題．故選：D11．計算：（1）；（2）；【答案】（1）（2）330【解析】解：（1）原式．（2）原式．12．寫出從A，B，C，D，E5個元素中，依次取3個元素的所有組合．【答案】ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE．【解析】解：含A的三個元素有：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE，不含A含B的三個元素有：BCD、BCE、BDE，不含A、B的三個元素有：CDE，所以取3個元素的所有組合是ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE．13．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（

）A．24種 B．6種 C．4種 D．12種【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B．14．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為．【答案】2880【解析】先把4名女生捆綁在一起，看成一個整體，有種，再把這個整體與另外4名男生進行排列，有種，故不同的排法種數(shù)有種，故答案為：15．用數(shù)字組成個沒有重復數(shù)字并且是的倍數(shù)的五位數(shù).【答案】【解析】若末位為，則可組成個滿足題意的五位數(shù)；若末位為，則可組成個滿足題意的五位數(shù)；共可組成滿足題意的五位數(shù)有：個，故答案為：.16．現(xiàn)有8個人（5男3女）站成一排．(1)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？(2)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？【答案】（1）5040（2）4320（3）21600【解析】解：（1）根據(jù)題意，甲必須站在排頭，有1種情況，將剩下的7人全排列，有種情況，則甲必須站在排頭有種排法；（2）根據(jù)題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有種情況，將這個整體與5名男生全排列，有種情況，則女生必須排在一起的排法有種；（3）根據(jù)題意，將甲、乙兩人安排在中間6個位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，則甲、乙兩人不能排在兩端有種排法.17．已知有6本不同的書.(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？【答案】(1)15(2)60【解析】解：（1）6本書平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.（2）從6本書中，先取1本作為一堆，再從剩下的5本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.考點三二項式定理18．求展開式中的前4項.【答案】答案見解析【解析】解：展開式的第1項為，第2項為，第3項為，第4項為.19．（1）求展開式中的第8項；（2）求展開式中的第7項．【答案】答案見解析【解析】解：（1）展開式中的第8項為（2）展開式中的第7項20．的展開式中常數(shù)項為（用數(shù)字作答）．【答案】7【解析】因為，則其展開式的通項公式為，令，則，所以其常數(shù)項為.21．設，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）；【答案】答案見解析【解析】解：（1）在中，令，得．（2）令，得

①，則．（3）令，得

②，聯(lián)立①②，得．22．已知，設，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以由組合數(shù)的性質(zhì)得，所以，令，得，即．令，得，所以，故選：D．23．已知的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項.【答案】【解析】）解：的展開式的通項．因為展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，即，整理得，解得或．又因為，所以，所以第5項的二項式系數(shù)最大，所以二項式系數(shù)