第5章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（知識考點）解析版

第5第5章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)知識點一：根式、分數(shù)指數(shù)冪及其運算1．根式(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.①正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時a的n次方根用符號eq\r(n,a)表示．②當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)．這時，正數(shù)a的正的n次方根用符號eq\r(n,a)表示，負的n次方根用符號－eq\r(n,a)表示．正的n次方根與負的n次方根可以合并寫成±eq\r(n,a)．③負數(shù)沒有偶次方根．④0的n(n∈N*)次方根是0，記作eq\r(n,0)＝0．(2)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(3)根式的性質(zhì)：n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a；n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|.2．冪的有關(guān)概念及運算(1)零指數(shù)冪：a0＝1.這里a≠0.(2)負整數(shù)指數(shù)冪：a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n∈N*)．(3)正分數(shù)指數(shù)冪：(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(4)負分數(shù)指數(shù)冪：aeq\s\up6(-\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(5)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．(6)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)①；②；③．知識點二：指數(shù)函數(shù)及其圖像和性質(zhì)1．定義：一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)．2．指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)時圖象時圖象圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時，，圖象都經(jīng)過點③，即時，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)④在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時，時，⑤時，時，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)知識點三：對數(shù)及其運算1．對數(shù)(1)對數(shù)：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN.其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．(2)兩類重要的對數(shù)①常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把log10N記作lgN；②自然對數(shù)：以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN記作lnN．注：(i)無理數(shù)e＝2.71828…；(ii)負數(shù)和零沒有對數(shù)；(iii)loga1＝0，logaa＝1.(3)對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系當a＞0，a≠1時，ax＝N?x＝logaN.(4)對數(shù)運算的性質(zhì)如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM；一般地，＝eq\f(n,m)logaM；(5)換底公式及對數(shù)恒等式①對數(shù)恒等式：＝N；②換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特別地，logab＝eq\f(1,logba).知識點四：對數(shù)函數(shù)及其圖像和性質(zhì)1．定義：函數(shù)（，且）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域為．2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當時，，當時，當時，，當時，考點一根式、分數(shù)指數(shù)冪及其運算1．化簡：（1）（）；（2）；（3）.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因為，所以，所以；（2）；（4）.2．計算：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）5（2）（3）【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.3．用分數(shù)指數(shù)冪形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）（2）；（3）；4．化簡下列各式（，，，）：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）.【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.考點二指數(shù)函數(shù)及其圖像和性質(zhì)5．函數(shù)，，，，其中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因為形如的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，所以和是指數(shù)函數(shù)，故選：B．6．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A．或B．C．D．且【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)定義知，同時，且，所以解得，故選：C7．已知函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則______.【答案】【解析】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，由是指數(shù)函數(shù)，所以，所以.8．已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，則________.【答案】【解析】設(shè)（且），則，得，故，因此，.9．若函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過定點P，則點P的坐標是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以當，即時，函數(shù)值為定值0，所以點P坐標為.10．若函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】根據(jù)圖象，函數(shù)是單調(diào)遞減的，所以指數(shù)函數(shù)的底，根據(jù)圖象的縱截距，令，解得，即，故選：D.11．已知，則它們的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，所以.故選：B12．已知函數(shù)，則不等式的解集為()A.B.C.D.【答案】B【解析】可知函數(shù)為減函數(shù)，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集為．故選B.13．函數(shù)的值域為_______.【答案】【解析】的值域為，所以函數(shù)的值域為，故答案為：.考點三對數(shù)及其運算14．使有意義的實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C． D．【答案】C【解析】由題意知，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是，故選C.15．已知方程的兩根為，，則（）A． B．1 C．2 D．【答案】D【解析】∵方程的兩根為，，∴，∴，故選D．16．方程的解是_________．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)，即可求解.【詳解】由對數(shù)的運算性質(zhì)，可得，可得，解得．故答案為：.17．計算：（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)對數(shù)恒等式及對數(shù)的運算法則計算可得；【詳解】解：；故選：B18．已知，，試用，表示.【答案】【解析】解：，，，．考點四對數(shù)函數(shù)及其圖像和性質(zhì)19．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】對數(shù)函數(shù)（且），其中為常數(shù)，為自變量．對于選項A，符合對數(shù)函數(shù)定義；對于選項B，真數(shù)部分是，不是自變量，故它不是對數(shù)函數(shù)；對于選項C，底數(shù)是變量，不是常數(shù)，故它不是對數(shù)函數(shù)；對于選項D，底數(shù)是變量，不是常數(shù)，故它不是對數(shù)函數(shù)．20．對數(shù)函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點，則此函數(shù)的解析式_____．【答案】【解析】由已知條件可得，可得，因為且，所以，，因此，所求函數(shù)解析式為，故答案為：.21．已知對數(shù)函數(shù)，則______．【答案】2【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義，可得，解得．22．函數(shù)的圖象一定過定點__________.【答案】【解析】令，則，所以，所以過定點，故答案為：23．設(shè)，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，，，又由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):當時，底數(shù)越大，圖像越低，可得，所以，故選:D.24．函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，