八年級-專題-超級資料+各類競賽題匯集

八年級-奧數(shù)-專題-超級資料+各類競賽題匯集

目錄

本內(nèi)容適合八年級學生競賽拔高使用。注重中考與競賽的有機結(jié)合，重點落

實在中考中難以上題、奧賽方面的基礎(chǔ)知識和基本技能培訓和提高。本內(nèi)容難度

適中，講練結(jié)合，由淺入深，講解與練習同步，重在提高學生的數(shù)學分析能力與

解題能力。另外在本次培訓中，內(nèi)容的編排大多大于120分鐘的容量，因此在實

際教學過程中可以根據(jù)學生的具體狀況和層次，由任課教師適當?shù)恼{(diào)整順序和選

擇內(nèi)容（如專題復習可以提前上）。

注：有（*）標注的為選做內(nèi)容。

本次培訓具體計劃如下，以供參考：

第一講如何做兒何證明題

第二講平行四邊形（一）

第三講平行四邊形（二）

第四講梯形

第五講中位線及其應(yīng)用

第六講一元二次方程的解法

第七講一元二次方程的判別式

第八講一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

第九講一元二次方程的應(yīng)用

第十講專題復習一：因式分解、二次根式、分式

第十一講專題復習二：代數(shù)式的恒等變形

第十二講專題復習三：相似三角形

第十三講結(jié)業(yè)考試（未裝訂在內(nèi)，另發(fā)）

第十四講試卷講評

第一講：如何做幾何證明題

【知識梳理】

1、幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學生邏輯思維能力有著很大作用。幾

何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類

問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補的問題。

2、掌握分析、證明幾何問題的常用方法：

（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前

推進，直到問題的解決；

（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具各的條件，然后再把所

需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止；

（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達,

因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達

到證明目的。

3、掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復雜圖形

分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往需要添加輔助線，

以達到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。

【例題精講】

【專題一】證明線段相等或角相等

兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它

問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角

形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常

用到。

【例1】已知：如圖所示，中，ZC=90°,AC=BC,AD=DBfAE=CF.

求證：DE=DF

【鞏固】如圖所示，已知&CC為等邊三角形，延長8c到D,延長84到E,并且使4￡=

BD,連結(jié)C￡、DE。

求證：EC=ED

【例2】已知：如圖所示，AB=CD,AD=BC,AE=CF.

求證：N￡=NF

【專題二】證明直線平行或垂直

在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、

內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直

線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個角等于90°,或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”

來證。

【例3】如圖所示，設(shè)8P、CQ是□勺內(nèi)角平分線，AH、4K分別為A至l」8P、CQ的垂

線。

求證：KH//BC

BC

【例4】已知：如圖所示，AB=AC,

求證：FD1ED

【專題三】證明線段和的問題

（一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法）

【例5】如圖，四邊形488中，AD〃8C,點E是八8上一個動點，若/B=60°,AB=BC,

且NDEC=60°；

求證：BC=AD-\~AE

【鞏固】已知：如圖，在“fi匚中，ABAC.NBC4的角平分線AD、CE相交

于。。

求證：AC=AE+CD

,4

C

(-)延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證

明該線段等于較長線段。(補短法)

【例6】已知：如圖7所示，正方形48CD中，F(xiàn)在DC上，E在8c上，

求證：EF=8E+DF

【專題四】證明幾何不等式：

【例7】已知：如圖所示，在&中，AD平分N8NC,AB>AC.

求證：

［拓展］AVT中，D,求證:

A

BDC

第二講：平行四邊形（一）

【知識梳理】

1、平行四邊形：

平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質(zhì)：

（1）平行四邊形對角相等；

（2）平行四邊形對邊相等；

（3）平行四邊形對角線互相平分。

除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

（1）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

（4）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

2、特殊平行四邊形：

一、矩形

（1）有一角是直角的平行四邊形是矩形

（2）矩形的四個角都是直角；

（3）矩形的對角線相等。

（4）矩形判定定理L有三個角是直角的四邊形是矩形

（5）矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形

二、菱形

（1）把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

（2）定理1:菱形的四條邊都相等

（3）菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角.

（4）菱形的面積等于菱形的對角線相乘除以2

（5）菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

（6）菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

三、正方形

（1）有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形

（2）性質(zhì)：①四個角都是直角，四條邊相等

②對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

（3）判定：①一組鄰邊相等的矩形是正方形

②有一個角是直角的菱形是正方形

【例題精講】

【例1】填空題:

在下列特征中，

(1)四條邊都相等平行四邊形具有的是：_________

(2)對角線互相平分

(3)對角線相等矩形具有的是：_______________

(4)對角線互相垂直

(5)四個角都是直角菱形具有的是：_______________

(6)每一條對角線平分一組對角

(7)對邊相等且平行正方形具有的是：______________

(8)鄰角互補

【鞏固】

1、下列說法中第送的是（）

A四個角相等的四邊形是矩形8.四條邊相等的四邊形是正方形

C.對角線相等的菱形是正方形D.對角線互相垂直的矩形是正方形

2、如果一個四邊形的兩條對角線互相平分，互相垂直且相等，那么這個四邊形是（）

A矩形8.菱形C.正方形D.菱形、矩形或正方形

3、下面結(jié)論中，正確的是（）

A對角線相等的四邊形是矩形8.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

4、如圖，在△A8C中，點D、E、F分別在邊A8、BC、C4上，且OE〃C4,。/〃AA.下

列四種說法：

①四邊形AEDF是平行四邊形；

②如果NBAC=90,那么四邊形AEDF是矩形；

③如果A。平分/84C,那么四邊形A瓦廠是菱形；

④如果A￡>_LBC且A8=4C,那么四邊形AE3P是菱形.

其中，正確的有.（只填寫序號）

BDC

【例2】如圖，在平行四邊形48C。中，點E,F分別是4D,8c的中點.

求證：四邊形8FDE是平行四邊形.

【鞏固】己知，如圖9,￡、F是四邊形48CD的對角線47上的兩點，AF=CE,DF=BE,DF

//BE.

四邊形A8C。是平行四邊形嗎？靖說明理由.

【例3】如圖，梯形八8c。中，AB//CD,AC平分NBA。，CE〃人。交48于點E.

求證：四邊形AECD是菱形.

【例4】如圖，在等邊AA8c中，點D是8c邊的中點，以A。為邊作等邊△ADE.

(1)求NCAE的度數(shù)；

(2)取A8邊的中點F,連結(jié)CF、CE,試證明四邊形6CE是矩形.

BD

【鞏固】如圖，。為矩形48CD對角線的交點，DE//AC,CE//BD.

(1)試判斷四邊形OCE。的形狀，并說明理由；

(2)若48=6,8c=8,求四邊形OCED的面積.

【例5】如圖所示，在△A8C中，分別以48、AC.8c為邊在8c的同惻作等邊△48D、等邊

△ACE、等邊△8CF.

(1)求證：四邊形DAEF是平行四邊形;

(2)探究下列問題：(只填滿足的條件，不需證明)

①當△ABC滿足條件時，四邊形DAEF是矩形；

②當△48C滿足條件時，四邊形DAEF是菱形；

③當△48C滿足條件時，以。、4、￡、F為頂點的四邊形不存在.

第三講：平行四邊形(二)

【知識梳理】

由平行四邊形的結(jié)構(gòu)知，平行四邊形可以分解為一些全等的三角形，并且包含著平行線

的有關(guān)性質(zhì)，因此，平行四邊形是全等三角形知識和平行線性質(zhì)的有機結(jié)合，平行四邊形包

括矩形、菱形、正方形。

另一方面，平行四邊形有許多很好的性質(zhì)，使得構(gòu)造平行四邊形成為解幾何題的有力工

具。

【例題精講】

【例1】四邊形四條邊的長分別為陽、小p、夕，且滿足加2=2〃掰+2〃q,

則這個四邊形是()

A平行四邊形8.對角線互相垂直的四邊形

C.平行四邊形或?qū)蔷€互相垂直的四邊形。對角線相等的四邊形

【例2】如圖①，四邊形48CD是正方形，點G是8c上任意一點，DELAG于點E,BF±AG

于點F.

(1)求證：DE—BF=EF.

(2)當點G為BC邊中點時，試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)若點G為CB延長線上一點，其余條件不變.請你在圖②中畫出圖形，寫出此時?！辍?F、

EF之間的數(shù)量關(guān)系(不需要證明).

圖②

【鞏固】如圖1,在邊長為5的正方形48co中，點E、尸分別是6C、0c邊上的點，

且AE_LM,BE=2.

(1)求EC:b的值；

(2)延長所交正方形外角平分線CP于點P(如圖13-2),試判斷AE與EP的大小

關(guān)系，并說明理由；

(3)在圖2的邊上是否存在一點使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，

請給予證明；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

【例3】如圖，在矩形488中，已知40=12,48=5,P是AD邊上任意一點，PE_L8。于

E,PF上AC于F,求PE+PF的值。

【例4】如圖，在△48C中，ZBAC=90°,AD±BC,BE、"分別是N48C、ND4C的平分

線，8￡和4)交于6,求證：GF//AC.

【例5】如圖所示，RtZLABC中，^BAC=90°,40J_8c于。，8G平分NA8C,EF〃8c且交

AC于F。求證：AE=CF0

【鞏固】如圖,在平行四邊形ABC。中./A/O的平分線分別交對邊干點￡、F.交四邊

形的對角線4c于點G、Ho求證：AH=CGO

第四講：梯形

【知識梳理】

與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地

位，木講就來研究它們的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。

?組對邊平行而另?組對邊不平行的四邊形叫梯形，等腰梯形是?類特殊的梯形，其判

定和性質(zhì)定理與等腰三角形的判定和性質(zhì)類似。

通過作輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，這是解梯形問題的基本思路，常用

的輔助線的作法是:

1、平移腰：過一頂點作一腰的平行線;

2、平移對角線：過一頂點作一條對角線的平行線;

3、過底的頂點作另一底的垂線。

熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論:

從一底的兩端作另一底的垂線

平移對角線延長兩腰交于一點連結(jié)上底一端和腰中點并延

長，與下底的延長線交于一點

中位線概念：

(1)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

⑵梯形中位線定義：連結(jié)梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線.

三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半。

梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并等于兩底和的一半。

【例題精講】

【例1】如圖所示，在梯形A8C。中，AD//BC,45=8,DC=6,ZB=45°,8c=10,求梯

形上底4D的長.

BC

【例2】如圖所示，在直角梯形4BC。中，N4=90°,AB//DC,AD=15,48=16,BC=17.

求CD的長.

【例3】如圖所示，在等腰梯形A8CO中，AD//BC,對角線ACJ_8。，BD-6cm.求梯形A8CD

的面積.

【例4】如圖所示，四邊形48CD中，AD不平行于8C,AC=BD,AD=BC.判斷四邊形48CD

的形狀，并證明你的結(jié)論.

【鞏固】

1、如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60°,它的兩底分別為15cm和49cm,求它的腰長.

BC

2、如圖所示，已知等腰梯形48CD中，AD//BC,ACLBD,8c=10,DE_L8C于E,求

DE的長.

3、如圖所示，梯形48CD中，AB//CD,ZD=2Zfi,AD+DC=8,求48的長.

【例5】己知：如圖，在梯形48CD中，AD//BC,￡是CD的中點，且4￡_L8￡

求證：AD-\-BC=AB

BC

【鞏固】如圖所示，梯形48CD中，AD//BC,E是CD的中點，且4。+8c=48

求證：DELAE.

［例6］如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,E、F分別是AD、BC的中點，若N8+NC

=90°/0=7,8C=15,求EF.

第五講：中位線及其應(yīng)用

【知識梳理】

1、三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

2、中位線性質(zhì)定理的結(jié)論，兼有位置和大小關(guān)系，可以用它判定平行，計算線段的長度,

確定線段的和、差、倍關(guān)系。

3、運用中位線性質(zhì)的關(guān)鍵是從出現(xiàn)的線段中點，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。

4、中位線性質(zhì)定理，常與它的逆定理結(jié)合起來用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理

及推論，

①一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等

②經(jīng)過三角形一邊中點而平行于另一邊的直線，必平分第三邊

③經(jīng)過梯形一腰中點而平行于兩底的直線，必平分另一腰

5、有關(guān)線段中點的其他定理還有：

①直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半

②等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合

③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

④線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等

因此如何發(fā)揮中點作用必須全面考慮。

【例題精講】

【例1】已知8c中，。是A8上^,AD^AC,AE±CDJ'￡,F是8c的中點，試說明BD=2EF。

【鞏固】已知在8c中，Z8=2ZC,AD_L8c于D,M為8c的中點.

求證：DM=-AB

2

【例2】已知￡、F、G、H是四邊形48co各邊的中點

則①四邊形EFGH是形

②當4C=8D時，四邊形EFG〃是形

③當4?_L8D時，四邊形EFG〃是形

④當4c和8。時，四邊形EFGH是正方形。

【鞏固】如圖，等腰梯形A8CD中，AD//BC,M、N分別是4D、8c的中點，￡、F分別是8M、

CM的中點。

(1)求證：四邊形MENF是菱形；

(2)若四邊形ME/VF是正方形，請?zhí)剿鞯妊菪蜛8C。的高和底邊8c的數(shù)量關(guān)系，并證明

你的結(jié)論。

【例3】梯形4BCD中，AB//CD,M./V分別是4C、8D的中點。求證：MN=-CAB-CD)

2

【鞏固】如圖，在四邊形48CD中，AB>CD,E、F分別是對角線8。、4c的中點。

求證：EF>-(AB-CD)

E

BC

【拓展】E、F為四邊形48CD的一組對邊AD、8c的中點，若"=’(48+CO),問：四

邊形4BC。為什么四邊形？請說明理由。

【例4】四邊形A8CD中，G>〃分別是4D、8c的中點，AB=CD.BA.CD的延長線交HG的

延長線于￡、F。求證：ZBEH=ZCFH.

【例5】如圖，△48C的三邊長分別為AB=14,BC=16,AC=26,P為NA的平分線4。上

一點，且8P_LA。，M為BC的中點，求PM的長。

BDMC

【鞏固】已知：△ABC中，分別以48、AC為斜邊作等腰直角三角形A8M和CAN,P是8c

的中點。求證：PM=PN

第六講：一元二次方程的解法

【知識梳理】

形如這/+c=()(〃。())的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是

解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式X二_竺￡內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學過的全部代數(shù)運算：

2a

它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實根、實根的個數(shù)、何時有實根等基本問題；它展示了

數(shù)學的簡潔美。

【例題精講】

【例1］選用恰當?shù)姆椒ń夥匠?基礎(chǔ)題)：

(1)x2-2x=0(2)x2-9=0(3)(l-3x)2

=1;

(4)Ct-2)(t+1)=0(5)x2+8x=2(6)

X2-7X+6=0

(7)X2-4X-21=0(8)X2-2X-15=0(9)

4x2-12x4-9=0

(10)—a2—4?+21=0(11：)X2+11X+18=0(12)

2X2-X-3=0

(13)x(x-6)=2(14)(2x+l)2=3(2x4-1)(15)

2Z?2+7Z?-15=0

(16)3/+4。-4=0(17)3"+1助=5(18)

2V3X2+X-V3=0

(19)X4-X2-20=0(20)(3X+5)2-5(3X+5)-6=0；

【例2】用適當?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于x的方程(提高題):

(1)(3x-2)(4x+3)=5；(2)-A:2-2X-3327=0；

3

(3)(5x-3)2-12=4(5x-3)；(4)(3X-1XX-1)=(4X+1XJV-1)；

(5)(2-73)r2-2(V3-l)r-6=0o

【鞏固】用適當?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于x的方程:

22

(1)(x-2)-9(x+1)=0；(2)x2-6ax=b2-9a2；

(3)2，+(2&-母-遙=0。（4）（2x+11工-3）=（41-1*3-4）。

【拓展】解方程:（6x+7）2（3x+4，x+1）=6：

【例3】解方程:X2-3|A|-4=0O

【鞏固】解方程:

(1)x2-|x-l|1=0；(2)胭一工一2=0。

【例4】解關(guān)于X的方程：(加一1卜2+(2加-1)工+相一3二0。

【鞏固】解關(guān)于X的方程：x2-4/7X+4/72+5%-10〃-6=0。

【例5】已知方程Y一攵工一7=0與Y—6%一卜+1）=0有公共根。

（1）求2的值;

（2）求二方程的所有公共根和所有相異根。

【鞏固】是否存在某個實數(shù)機，使得方程/+如+2=0和/+2刀+”=0有且只有一

個公共的實根？如果存在，求出這個實數(shù)機及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理

由O

第七講：一元二次方程的判別式

【知識梳理】

一、一元二次方程ar?+bx+。=0（。/0）根的情況：令△二/一公6。

1若△>()則方程有兩個不相等的實數(shù)根

—b+ylb~-4〃c—b-ylb~-4〃c

2、若△=（）,則方程有兩個相等的實數(shù)根：X,=X;

22a

3、若△＜（）,則方程無實根（不代表沒有解）。

二、1、利用判別式，判定方程實根的個數(shù)、根的特性；

2、運用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍;

3、通過判別式，證明與方程有關(guān)的代數(shù)問題；

4、借助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最值問

題。

【例題精講】

【例1】已知方程以2+4%-1=0；則①當。取什么值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根?

②當〃取什么值時，方程有兩個相等的實數(shù)根？③當〃取什么值時，方程沒有實數(shù)根？

【鞏固】1、已知關(guān)于x的方程￡+2（2-〃z）x+3-6，〃=0。

求證：無論團取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根；

2、已知關(guān)于工的一元二次方程（1-2。/-2JTTTx-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，求2

的取值范圍。

【拓展】關(guān)于x的方程Ax2-伊-1卜+1=0有有理根，求整數(shù)Z的值。

【例2】己知關(guān)于x的方程x之一(k+2)x+2Z=0。

(1)求證：無論左取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；

(2)若等腰三角形48c的一邊長。=1,另兩邊長從C恰好是這個方程的兩個根，求AA8C

的周長。

【鞏固】1、等腰三角形A8C中，8c=8,AB.AC的長是關(guān)于X的方程/-10工+根=0的兩

根，則加=。

2、在等腰三角形48c中，NA、N8、NC的對邊分別為。、b、c,已知。=3,b和c是

關(guān)于X的方程1+的+2-工〃2=0的兩個實數(shù)根，求三角形48c的周長。

2

【拓展】已知對于正數(shù)〃、b、C,方程02x2+(42-62-02,+〃=0沒有實數(shù)根，求證:

以長。、b、C的線段為邊能組成一個三角形。

【例3】設(shè)方程,+國=4有三個不相等的實數(shù)根，求。的值和相應(yīng)的3個根。

【鞏固】已知關(guān)于x的方程/+(l-a)V-2公+/=0有且只有一個實根，則實數(shù)a的

取值范圍是，

【例4】設(shè)a,b,cfd>0,證明在方程

-x2+-Jia+bx+4cd=0；

2

-x2+yhb+cx+4ad=0；

2

12

—X+J2c+dx+>!'ab=0；

2

12

—X+J2d+ax+4bc=0,

2

中，至少有兩個方程有不相等的實數(shù)根。

第八講：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

【知識梳理】

一元二次方程辦2+縱+。=0(。工())的根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)

bc

設(shè)方程的兩個根X1,x,則工］+32=-一，XX=-0

2a12'a

韋達定理用途比較廣泛，運用時，常需要作下列變形:

222

(1)Xj+X2=(X1+x2)-2^X2;

222

x2X1_X1+x2_(%1+X2)-2x^2

(2)

X]x2XxX2X]X2

+X3=(^1+X)[(X+.)2-3*々]；

(3)221

22

(4)(xj-X2)=(X[+x2)-4x^2;

2(2

(5)|x(-X2|7UI-X2)=JX]+X2)-4X^2O

【例題精講】

【例1】求下列方程的兩根之和，兩根之積。

(1)f-2x+l=o：(2)/一9%+10=0；

解：X)+x2=,X]Xj=解：x1+x2=,xtx2=

(3)2r2-9x+5=o；(4)4x2-7x+l=0；

解：X)+x2=,x}x2=解：Xl+X2=,X]/=

(5)工一5尸0；(6)/一1=0

解：Xt+X2=,XjX2=解：x1+x2=,x{x2=

【例2】設(shè)汨，及是方程2?+4彳-3=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值:

(1)5+1)(X2+1)=；(2)X12X2+X1X22=⑶強+±=

(4)(X1+42)2=(5)(Xi—X2)2=(6)婷+及3=

【例3】解答下列問題：

(1)設(shè)關(guān)于人的一元二次方程/一4%一2心-1)=0有兩個實數(shù)根不、/，問是否存在

xt+x2<X]?％2的情況?

(2)已知：為、々是關(guān)于x的方程/+(2〃-l)x+/=o的；兩個實數(shù)根，且

(%1+2X^2+2)=11,求a的值。

【鞏固】

1、已知關(guān)于X的方程/+4x+a=0有兩個實數(shù)根，且2否一馬=7，則

2、已知a、夕是方程;一o的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式。2+&儼-2）的值為

【例4】已知關(guān)于x的方程：x2-（/n-2）x--=0o

4

（1）求證：無論相取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根；

（2）若這個方程的兩個實根不、馬滿足卜2|=|工1|+2，求根的值及相應(yīng)的玉、X2o

【鞏固】已知關(guān)于x的方程一一（2%-3）工+%2+1=0。

（1）當欠為何值時，此方程有實數(shù)根；

（2）若此方程的兩個實數(shù)根七、々滿足四|+卜2|=3,求％的值。

【例4】CD是RtZ\A8C斜邊上的高線，AD.8。是方程，—6x+4=0的兩根，貝"△48C的

面積是多少？

［鞏固］已知△ABC的兩邊48、AC的長是關(guān)于X二次方程/一(2k+3)X+氏2+3Z+2=0

的兩個實數(shù)根，第三邊8c的長為5。

(1)左為何值時，△A8C是以8c為斜邊的直角三角形；

(2)%為何值時，△48C是等腰三角形，并求△ABC的周長。

第九講：一元二次方程的應(yīng)用

【知識梳理】

方程是刻畫現(xiàn)實問題的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，許多實

際問題可轉(zhuǎn)化為解一元二次方程、研究一元二次方程根的性質(zhì)而獲解。

列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟基本相

同，解題的關(guān)鍵是恰當設(shè)未知數(shù)、分析數(shù)量關(guān)系，將實際問題中內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系抽象為數(shù)

學問題，建立二次方程模型解決問題。

【例題精講】

【例1】要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，為了節(jié)省材料，雞場的一邊靠著原有的一

條墻，墻長am,另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長為35m。

（1）求雞場的長和寬各為多少？

（2）題中墻的長度am對題目的解起著怎樣的作用？

【例2】某博物館每周都吸引大量中外游客參觀，如果游客過多，對館中的珍貴文物會產(chǎn)生

不利影響；但同時考慮文物的修繕和保存費用問題，還要保證一定的門票收入，因此博物館

采用了漲浮門票的價格來控制參觀人數(shù)，在該方法實施過程中發(fā)現(xiàn)：每周參觀人數(shù)與票價之

間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，在這樣的情況下，如果確保每周4萬元的門票收入，那

么每周應(yīng)限定參觀人數(shù)是多少？門票價格應(yīng)是多少元？個人數(shù)（人）、

\

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

101520票價（元）

【例3】將進貨單價為40元的商品按50元售出時，就能賣出500個，已知這種商品每個漲

價1元，其銷售量就減少10個，問為了賺得8000元的利潤，售價應(yīng)定為多少？這時應(yīng)進貨

多少個？

【例4】甲、乙二人同時從同一地點相背而行，1小時后分別到達各自的終點4與8,若讓

他們?nèi)詮脑爻霭l(fā)，互換彼此到達的目的地，則甲將在乙到達人之后35分鐘到達B,求甲

與乙的速度之比。

【例5】一支士兵隊伍長1200米，在行軍途中，隊伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊伍

的排頭兵，并在到達排頭后立即回到末尾，然后再立即返回隊伍正中間，在他完成任務(wù)時，

隊伍已經(jīng)前進了1200米，如果行軍途中隊伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了

多少路程？

【例6】象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分,

如果平局，兩個選手各記1分，今有4個同學統(tǒng)計了比賽中全部選手的得分總數(shù)，分別是

1980、1981、1993、1994,經(jīng)核實確實有一位同學統(tǒng)計無誤，試計算這次比賽中共有多少

名選手參加。

【鞏固】

1、在青島市開展的創(chuàng)城活動中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻（墻長15m）的空地上修建一個

矩形花園A8CD,花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成（如圖所示），若設(shè)花

園的8c邊長為xm,花園的面積為ym?。

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍：

（2）滿足條件的花園面積能達到200m2嗎？若能，求出此時x的值；若不能，說明理由；

（3）當x取何值時，花園的面積最大？最大面積為多大？

/////////

AD

BC

2、某水果批發(fā)商場有一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場

調(diào)杳發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，口銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商

場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？

3、甲乙兩條船分別從河的兩岸同時出發(fā)，它們的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸700

米處，然后繼續(xù)前進，都到達對岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸400米處，如果認

為船到岸調(diào)轉(zhuǎn)方向時不耽誤時間，問河有多寬？

4.一支士兵隊伍長100米，在行軍途中，隊伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊伍排頭，

并在到達排頭后立即回到隊伍的末尾，然后再立即返回隊伍正中間，在他完成任務(wù)時，隊伍

已前進了100米，如果行軍途中隊伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路

程？

5、象棋比賽共有奇數(shù)個選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤，記分辦法是勝一盤得

1分，和一盤各得0.5分，負一盤得。分，已知其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為

整數(shù)，求參加此次比賽的選手共有多少人？

第十講：專題復習：因式分解、分式和根式

【知識梳理】

一、因式分解：

1、常用的公式：

平方差公式:a1-b2=(a+b\a-b)；

完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b^;

a1+b2+c2+lab+2bc+2ca=(a+b+cf\

a2+b2+c2+2ab-2bc-2ca=(a+b-cf；

a2+b2+c2-lab+2bc-2ca=（a-b-c^；

立方和（差）公式：a3+by=（a-\-b^a2-ab+b2）^

a3-b3=（a-b^a~+ab+b2）；

2、許多多項式分解因式后的結(jié)果在解題中經(jīng)常用到，我們應(yīng)熟悉以下的常用結(jié)果:

(1)ab±b±a+l=(a±i\b±\)；

(2)ab±a+b-[=(a+lXZ?±l)；

(3)a"+4—(.2+2a+2]</2—2a+2)；

(4)4/+1=(2。2+2。+1)(2a2-2。+1)；

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+lac=(a+b+cf；

(6)a3+/+d_3abc=(a+Z?+c^a1+b2+c2-ab-bc-ac)0

二、分式:

1、分式的意義

A

形如一（A、8為整式），其中8中含有字母的式子叫分式。

B

當分子為零且分母不為零時，分式的值為零，而當分母為零時，分式?jīng)]有意義。

2、分式的性質(zhì)

（1）分式的基本性質(zhì):

A_AxM_A+M

（其中M是不為零的整式）。

萬一BxM-B+M

（2）分式的符號法則:

分子、分母與分式本身的符號，改變其中的任何兩個，分式的值不變。

（3）倒數(shù)的性質(zhì)：

^.1=](￡Z^0)，V^-=1(?>0)；若。,=1,則=1(awO,〃是整數(shù));

ay/aaya)

ciH—N2(a>0)o

a

3、分式的運算

分式的運算法則有：型,%￡=@￡；

cccbdbd

4、分式的變形

分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論根據(jù)之一，分式變形的常用方法有：設(shè)參法（主要用

于連比式或連等式），拆項法（即分離變形），因式分解法，分組通分法和換元法等。

三、二次根式:

1、當。之0時，稱右為二次根式，顯然620。

2、二次根式具有如下性質(zhì)：

當aNOW，

(1)(&j=>0)；(2)=14="

,當。＜（M；

(3)4cib=4a-4b(a>0,Z?>0)；(4)>0,Z?>0)o

3、二次根式的運算法則如下：

(1)a4c±by/c=(a±b\j'c(c>0)；

(2)=4cF(a>0)o

4、設(shè)4,b,c,d,msQ,且機不是完全平方數(shù)，則當且僅當a=c,Z?=d時,

a+by[m=c+dy[m。

【例題精講】

【例1】分解因式：x1+xy-6y1+x+\3y-6

【鞏固】分解因式：

1、x2-xy-2y2-x+5y-2；2^3/+59-2y2+x+9y-4；

【例2】已知a、b、C是一個三角形的三邊，則。4+/+。4-2/加一32。2一2。2/的值

是()

A恒正8.恒負C.可正可負D.非負

3、&為何值時，多項式爐一2孫，+左丁+3工一5》+2能分解成兩個一次因式的積？

【例3】已知°、"是實數(shù)，且(Jl+/+4.1+。2+)=],問外》之間有怎樣的關(guān)系？

請推導。

【專題訓練】

1、已知。力+。+力+1=13,求a+Z?的值為

2、多項式f+ary+〃y2-5%+了+6的一個因式是1+y-2,試確定a+b的值為

3、設(shè)3力=a+2c,求。2—9從+4c"+4ac,的值。

舟,八門、幾。+〃b+cc+a(a+btb+cYc4-a)

4、若"c#0,且設(shè)-----=------------，則n?il^-----△----4-------

cababc

5、已知1=且，2=上，3=上，則/_______________

x+yy+zz+x

6、已知〃+工2=1991,Z?+x2=1992,c+x2=1993,且aZ?c=24,則

abclll

—+—+--------------=_______________________

becaababc

7、當x變化時，分式3「+6x+5的最小值為

-X2+X+1

2

Xr

8、設(shè)——=1,則1―笄丁

x-mx+Xx-mx+1

9、已知實數(shù)。滿足|1992-4+//-1993=〃，則。―

r

10、化簡「9拿廠

V2+V3+V5

11、已知五一石，則“x+M=

12、設(shè)而二詬5的整數(shù)部分為。，小數(shù)部分為b，則一」11

a+ba+4-b

13、設(shè)等式+=M=在實數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a,x,y兩

兩不同，則3[+盯）；=_______________；

x-xy+y

14、使等式五+6=回成立的整數(shù)對（居y）的個數(shù)為

15、設(shè)正整數(shù)a,，〃，〃滿足Ja?-4\歷=Jm-冊，則這樣的a,m,〃的取值有

組；

1?22”

16^求和:S------1------H-----T-1----1------

1+X1+X21+X41+”

11

17、已知a+Z?+c=O,化簡F——；——7++

b+c-ac2+a2_b2a2+b2_c2

18、若々+6+C="CH0,計算(l.*lc2)+(l「)(lc2)+(L-a2,—/)的值。

beacab

1111

19、計算:

3+V356+3石7V5+5V749歷+47屈

20、設(shè)M=（4+2百］,它的小數(shù)部分為P,求M（l—P）的值。

第十一講：專題復習：代數(shù)式的恒等變形

【知識梳理】

1、恒等式的意義

兩個代數(shù)式，如果對于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個代

數(shù)式恒等。

2、代數(shù)式的恒等變形

把一個代數(shù)式變換成另一個與它恒等的代數(shù)式叫做代數(shù)式的恒等變形。恒等式的證明，

就是通過恒等變形證明等號兩邊的代數(shù)式相等。

3、基本思路

（1）由繁到簡，即從比較復雜的一邊入手進行恒等變形推到另一邊;

（2）兩邊同時變形為同一代數(shù)式；

左邊-右邊=0,或^^二匕

（3）證明:此時右邊聲0。

4、基本方法

在恒等變形的過程中所用的方法有配方法、消元法、拆項法、綜合法、分析法、比較法、

換元法、待定系數(shù)法、設(shè)參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法。

【例題精講】

【例1】已知求證：--—+--—+―--=1O

ab+a+\be+b+\ac+c+\

思路點撥：由繁到簡，化簡左邊，使左邊等于右邊。

【鞏固】已知x、y、z為三個不相等的實數(shù)，且x+L=y+,=z+4，求證：i/z?=1。

yzx

【拓展】若4+y+zHOC〃l—一^9uh—-^—，c—求證：

y+zx+zx+y

abc.

---+----+----=1o

a+1b+\<7+1

■gc..-rnXZ1113

【例2】證明n：------7H----y--7H-------=-----1------1-----1--o

ax-aay-a"az-a'x-ay-az-aa

思路