(人教A版數(shù)學必修一講義)第4章第01講4.1指數(shù)(知識清單+4類熱點題型講練+分層強化訓練)(學生版+解析)

第01講4.1指數(shù)課程標準學習目標①理解根式和分數(shù)指數(shù)冪的含義，并且能進行兩者之間的互化。②掌握根式的性質(zhì)，并能運用根式的運算性質(zhì)進行根式的運算。③掌握實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，學會化簡較復雜的運算式子。通過本節(jié)課的學習，能將初中的根式與本節(jié)課根式進行順利對接與延伸，條件的擴充使指數(shù)的運算性質(zhì)內(nèi)容更充實，條件更充分，運算更徹底，因此本節(jié)課的內(nèi)容具有承上啟下的作用，通過本節(jié)課的學習要求掌握根式和分數(shù)指數(shù)冪的具體運算，并能進行兩者的互化，運用實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行化簡.知識點01：整數(shù)指數(shù)冪1、正整數(shù)指數(shù)冪的定義：，其中，2、正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則：①（）②（，，）③（）④（）⑤（）知識點02：根式1、次根式定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特別的：①當是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù).這時，的次方根用符號表示.②當是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，叫做的次算術根；負的次方根用符號表示.正的次方根與負的次方根可以合并寫成().③負數(shù)沒有偶次方根；④的任何次方根都是，記作2、根式：式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．在根式符號中，注意：①，②當為奇數(shù)時，對任意都有意義③當為偶數(shù)時，只有當時才有意義.3、與的區(qū)別：①當為奇數(shù)時，（）②當為偶數(shù)時，（）③當為奇數(shù)時，且，④為偶數(shù)時，且，【即學即練1】（23-24高一上·云南昭通·期末）.知識點03：分式指數(shù)冪1、正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是（，，）于是，在條件，，下，根式都可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.2、正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定，（，，）.3、的正分數(shù)指數(shù)冪等于，的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.【即學即練2】（23-24高一上·湖南株洲·階段練習）下列關于的形式的運算正確的是（

）A． B．C． D．知識點04：有理數(shù)指數(shù)冪①（，）②（，）③（，）知識點05：無理數(shù)指數(shù)冪①（，）②（，）③（，）【即學即練3】（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，則的值(

)A． B． C． D．題型01根式的概念【典例1】（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知且，則有（）A． B． C． D．【典例2】（多選）（23-24高一上·山西太原·階段練習）下列說法中正確的是（

）A．16的4次方根是 B．C． D．【典例3】（23-24高一上·江蘇連云港·開學考試）化簡的結(jié)果為.【變式1】（23-24高一上·新疆·階段練習）的運算結(jié)果是（

）A．3 B． C． D．以上都不對【變式2】（2023高一·江蘇·專題練習）等于（）A．4 B． C． D．【變式3】（23-24高一上·上海靜安·期中）16的8次方根是.題型02根式的化簡(求值)【典例1】（23-24高一·全國·單元測試）化簡的結(jié)果是（

）A．0 B． C．0或 D．【典例2】（2024高一·上?！ｎ}練習），則實數(shù)a的取值范圍【典例3】（2023高三·全國·專題練習）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式1】（多選）（23-24高一上·湖南婁底·期末）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2024高三下·全國·專題練習）計算：(1)；(2)；(3).【變式3】（23-24高一·全國·課堂例題）化簡下列各式：(1)（，且）；(2)．題型03分數(shù)指數(shù)冪的簡單計算【典例1】（23-24高一上·湖南長沙·階段練習）計算（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·北京·期中）求值：－＋＝．【典例3】（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）化簡求值：(1)(2)；【變式1】（2024高一上·全國·專題練習）.【變式2】（23-24高一上·重慶·期末）化簡：.【變式3】（23-24高一上·甘肅蘭州·期末）求值：．題型04條件求值【典例1】（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知，求的值．【典例3】（23-24高一上·江蘇無錫·期中）（1）計算:．（2）若，求下列式子的值：①②【變式1】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）若，則（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一上·遼寧丹東·期中）已知正實數(shù)滿足.(1)求的值；(2)求的值.【變式3】（23-24高一上·河北唐山·期中）化簡求值：(1)；(2)若，求的值.A夯實基礎B能力提升A夯實基礎1．（23-24高一上·陜西漢中·期末）下列各式正確的是（

）A． B．C． D．C． D．三、填空題11．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）計算.12．（2023高一上·全國·專題練習）已知，則的值為．四、解答題13．（23-24高一上·四川樂山·期中）解答以下兩個小題：(1)求的值；(2)若，求的值．14．（23-24高一上·湖北武漢·階段練習）求值：(1)(2)B能力提升1．（23-24高一下·云南·期中）已知（且），則．（結(jié)果用表示）2．（2024高三·全國·專題練習）化簡下列各式：（1）=

（2）（=（3設，則的值為3．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）（1）計算：.（2）化簡：且.第01講4.1指數(shù)課程標準學習目標①理解根式和分數(shù)指數(shù)冪的含義，并且能進行兩者之間的互化。②掌握根式的性質(zhì)，并能運用根式的運算性質(zhì)進行根式的運算。③掌握實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，學會化簡較復雜的運算式子。通過本節(jié)課的學習，能將初中的根式與本節(jié)課根式進行順利對接與延伸，條件的擴充使指數(shù)的運算性質(zhì)內(nèi)容更充實，條件更充分，運算更徹底，因此本節(jié)課的內(nèi)容具有承上啟下的作用，通過本節(jié)課的學習要求掌握根式和分數(shù)指數(shù)冪的具體運算，并能進行兩者的互化，運用實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行化簡.知識點01：整數(shù)指數(shù)冪1、正整數(shù)指數(shù)冪的定義：，其中，2、正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則：①（）②（，，）③（）④（）⑤（）知識點02：根式1、次根式定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特別的：①當是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù).這時，的次方根用符號表示.②當是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，叫做的次算術根；負的次方根用符號表示.正的次方根與負的次方根可以合并寫成().③負數(shù)沒有偶次方根；④的任何次方根都是，記作2、根式：式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．在根式符號中，注意：①，②當為奇數(shù)時，對任意都有意義③當為偶數(shù)時，只有當時才有意義.3、與的區(qū)別：①當為奇數(shù)時，（）②當為偶數(shù)時，（）③當為奇數(shù)時，且，④為偶數(shù)時，且，【即學即練1】（23-24高一上·云南昭通·期末）.【答案】1【分析】由根式的運算性質(zhì)求解即可.【詳解】.故答案為：1知識點03：分式指數(shù)冪1、正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是（，，）于是，在條件，，下，根式都可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.2、正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定，（，，）.3、的正分數(shù)指數(shù)冪等于，的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.【即學即練2】（23-24高一上·湖南株洲·階段練習）下列關于的形式的運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算法則，一一判斷各選項，即得答案.【詳解】由于，A正確，B，C錯誤；，由于無意義，D錯誤，故選：A知識點04：有理數(shù)指數(shù)冪①（，）②（，）③（，）知識點05：無理數(shù)指數(shù)冪①（，）②（，）③（，）【即學即練3】（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，則的值(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)即可求得.【詳解】因為，所以.故選：D.題型01根式的概念【典例1】（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知且，則有（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)根式運算性質(zhì)，得到，即可求解.【詳解】因為，可得，又因為，解得.故選：A.【典例2】（多選）（23-24高一上·山西太原·階段練習）下列說法中正確的是（

）A．16的4次方根是 B．C． D．【答案】ACD【分析】利用根式的定義即可求解.【詳解】對于A，令，解得，即16的4次方根是，故A正確；對于B，負數(shù)的立方根是負數(shù)，所以，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，是非負數(shù)，所以，故D正確.故選：ACD.【典例3】（23-24高一上·江蘇連云港·開學考試）化簡的結(jié)果為.【答案】【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)化簡即可.【詳解】.故答案為：.【變式1】（23-24高一上·新疆·階段練習）的運算結(jié)果是（

）A．3 B． C． D．以上都不對【答案】A【分析】直接根據(jù)指數(shù)的運算即可得結(jié)果.【詳解】，故選：A.【變式2】（2023高一·江蘇·專題練習）等于（）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)根式與分數(shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化求解.【詳解】.故選：B【變式3】（23-24高一上·上海靜安·期中）16的8次方根是.【答案】【分析】根據(jù)根式運算的性質(zhì)求解即可【詳解】16的8次方根即：，故答案為：題型02根式的化簡(求值)【典例1】（23-24高一·全國·單元測試）化簡的結(jié)果是（

）A．0 B． C．0或 D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算化簡，然后根據(jù)的大小關系討論即可.【詳解】．當時，原式；當是，原式．故選:C．【典例2】（2024高一·上?！ｎ}練習），則實數(shù)a的取值范圍【答案】【分析】由二次根式的化簡求解【詳解】由題設得，，所以所以，．故答案為：【典例3】（2023高三·全國·專題練習）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)10(3)(4)【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)，進行化簡求值，即可求得各小題答案.【詳解】（1）．（2）．（3）．（4）．【變式1】（多選）（23-24高一上·湖南婁底·期末）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】直接借助根式的運算法則計算即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，，故D錯誤；故選：AC.【變式2】（2024高三下·全國·專題練習）計算：(1)；(2)；(3).【答案】(1)1(2)0(3)【分析】（1）（2）（3）運用指數(shù)冪的性質(zhì)公式求解計算即可．【詳解】（1）原式.（2）原式（3）（3）原式【變式3】（23-24高一·全國·課堂例題）化簡下列各式：(1)（，且）；(2)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】利用根式的性質(zhì)求解.【詳解】（1）解：當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，．（2）．當時，；當時，．題型03分數(shù)指數(shù)冪的簡單計算【典例1】（23-24高一上·湖南長沙·階段練習）計算（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)運算及根式運算計算即得.【詳解】.故選：C【典例2】（23-24高一上·北京·期中）求值：－＋＝．【答案】【分析】根據(jù)根式、分數(shù)指數(shù)冪運算、零指數(shù)冪運算得出結(jié)果.【詳解】－＋＝故答案為：【典例3】（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）化簡求值：(1)(2)；【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)冪的運算，代入計算，即可求解.【詳解】（1）.（2）.【變式1】（2024高一上·全國·專題練習）.【答案】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.【詳解】.故答案為：.【變式2】（23-24高一上·重慶·期末）化簡：.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則，直接計算即可得出結(jié)果.【詳解】.故答案為：【變式3】（23-24高一上·甘肅蘭州·期末）求值：．【答案】【分析】利用分式指數(shù)冪的運算公式，即可化簡求值.【詳解】原式，.故答案為：題型04條件求值【典例1】（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，對所求式子平方后即可求解.【詳解】由，可得.故選：B.【典例2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）已知，求的值．【答案】2【分析】先由平方求得，再利用立方和公式展開計算，代入所求式即得.【詳解】因為，所以所以，所以故【典例3】（23-24高一上·江蘇無錫·期中）（1）計算:．（2）若，求下列式子的值：①②【答案】（1）-1；（2）①，②.【分析】（1）利用分數(shù)指數(shù)冪與根式的關系化簡求值即可；（2）①：由求解；②：由，結(jié)合隱含的條件即可求解.【詳解】（1）原式=；（2）①：，所以；②：，由題意知，所以.【變式1】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將兩邊平方得代入所求的式子可得答案.【詳解】將兩邊平方，得，即，所以.故選：A.【變式2】（23-24高一上·遼寧丹東·期中）已知正實數(shù)滿足.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）將兩邊平方得.（2）根據(jù)平方關系可得，進而結(jié)合立方差公式運算求解.【詳解】（1）將兩邊平方得，所以.（2）因為是正實數(shù)，令，則，所以，可得，所以.【變式3】（23-24高一上·河北唐山·期中）化簡求值：(1)；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)逐步計算，即可解得答案；（2）利用完全平方公式逐步計算，即可得到本題答案.【詳解】（1）.（2），.A夯實基礎B能力提升A夯實基礎1．（23-24高一上·陜西漢中·期末）下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)冪的計算公式及根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化計算即可.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C.2．（2023·廣東珠?！つM預測）已知且，下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】ABC選，利用指數(shù)冪的運算法則判斷，D選項，由分數(shù)指數(shù)冪的定義得到D正確.【詳解】A選項，且，故，A錯誤；B選項，且，故，B錯誤；C選項，，C錯誤；D選項，且，故，D正確.故選：D3．（23-24高一上·云南昭通·期中）下列各式中正確的一項是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)冪的運算性質(zhì)，逐項判斷即可.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C.4．（23-24高一下·遼寧撫順·開學考試）已知，則等于（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】給平方后再開方求解即可.【詳解】，所以.故選：A.5．（23-24高一上·四川德陽·階段練習）（

）A．110 B．109 C．108 D．100【答案】A【分析】根據(jù)根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化結(jié)合指數(shù)冪運算性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意可得：原式.故選：A.6．（多選）（23-24高一上·安徽淮南·階段練習）下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用根數(shù)與指數(shù)冪的運算可判斷各選項的正確.【詳解】對于A選項，，故A正確；對于B選項，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確．故選：ACD．7．（23-24高一上·湖北荊州·期中）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由指數(shù)冪的運算規(guī)則化簡求值.【詳解】.故選：C8．（23-24高一上·甘肅酒泉·期中）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)冪的運算法則即可得解.【詳解】.故選：A.二、多選題9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)根式與分數(shù)指數(shù)