滬教版2024-2525學(xué)年六年級數(shù)學(xué)上冊同步講義第20講角及其度量角的比較與應(yīng)用(六大題型)(學(xué)生版+解析)

第20講角及其度量角的比較與應(yīng)用（六大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解角的概念、表示與分類；2.知道角度制及其換算；3、掌握角的大小比較的方法。一、角的概念角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．要點(diǎn)：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：要點(diǎn)：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．二、角的比較與運(yùn)算1.角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要點(diǎn)：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計算時，要按級進(jìn)行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于等于60時要向高一位進(jìn)位．2.角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【即學(xué)即練1】以廣場為觀測點(diǎn)，學(xué)校在廣場北偏西的方向上，圖中正確的是（

）A．B．C．D．【即學(xué)即練2】用度、分、秒表示為（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練3】如圖，鐘表上的時間下午時，時針與分針?biāo)M成的小于平角的角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練4】如圖，AB是直線，是直線上一點(diǎn)，、是兩條射線，則圖中小于平角的角有(

)A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【即學(xué)即練5】如圖，，，則的大小為（

）A． B． C． D．題型1：角的概念與表示、分類【典例1】．下列說法中，正確的是（

）A．兩條射線組成的圖形叫做角B．有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角C．角可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形D．角的邊越長，角越大【典例2】．如圖，下列說法正確的是（

）A．與表示同一個角 B．C．與表示同一個角 D．圖中只有兩個角，即和【典例3】．下列各角中，是鈍角的是（

）A．周角 B．平角 C．2銳角 D．直角【典例4】．下列說法正確的是（

）．A．大于且小于的角是銳角 B．大于的角是鈍角C．大于且小于的角是銳角或鈍角 D．直角既是銳角也是鈍角【典例5】．如圖所示,小于平角的角有()A．9個 B．8個 C．7個 D．6個題型2：鐘面角、方位角及其應(yīng)用【典例6】．一節(jié)課45分鐘，分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度是（

）A． B． C． D．【典例7】．12點(diǎn)15分，鐘表上時針與分針?biāo)傻膴A角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【典例8】．如圖，鐘表上顯示的時間是，此時，時針與分針的夾角是（

）A． B． C． D．【典例9】．【真實(shí)問題情境】如圖，有一個燈塔，測得燈塔在海島的南偏西方向上，在海島的南偏西方向上，則燈塔的位置可能是（

）

A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【典例10】．如圖，下列說法中正確的是（

）

方向是北偏東 B．方向是北偏西 C．方向是南偏西 D．方向是南偏東【典例11】．一艘運(yùn)輸船在處遇險后，向位于處的救生船報警，處的救生船相對于處的位置是（

）

A．北偏東，50nmile B．南偏西，50nmileC．南偏西，50nmile D．北偏東，50nmile【典例12】．如圖，甲從O地出發(fā)向北偏東方向走到A處，乙從O地出發(fā)向南偏東方向走到B處，則的度數(shù)是（

）A．90° B．100° C．105° D．110°【典例13】．如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，甲船沿北偏西方向，以每小時12海里的速度航行；乙船沿北偏東方向，以每小時16海里的速度航行．1小時后兩船分別位于點(diǎn)A與B處，此時兩船相距（）A．12海里 B．16海里 C．20海里 D．24海里題型3：角的單位與角度制【典例14】．（角的換算）把用度、分、秒表示，正確的是（

）A． B． C． D．【典例15】．若，則用度、分、秒表示為（

）A． B． C． D．【典例16】．等于'，等于''，等于°【典例17】．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．題型4：角的大小比較【典例18】．若，則（

）A．B． C． D．【典例19】．若，，，則（

）A． B． C． D．【典例20】．如圖，利用一副三角板比較與的大小，兩角頂點(diǎn)均與三角板某一頂點(diǎn)重合．已知圖1中射線經(jīng)過角的一邊，圖2中射線經(jīng)過角的一邊，則下列判斷正確的是（

）

A． B． C． D．無法判斷【典例21】．如圖，與之間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．與的大小無法比較【典例22】．如圖，，則與的大小關(guān)系是（

）

A． B．C． D．與無法比較大小題型5：與三角板有關(guān)的計算題【典例23】．只利用一副（兩塊）三角尺不能直接拼出的角度是（

）A． B． C． D．【典例24】．將一副直角三角尺按如圖所示的不同方式擺放，則圖中與相等的是（

）A． B．C． D．題型6：角的四則運(yùn)算、幾何圖形中的角度計算【典例25】．把兩塊三角板按如圖所示那樣拼在一起，則∠ABC等于（）A．70° B．90° C．105° D．120°【典例26】．如圖，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【典例27】．如圖，點(diǎn)在直線上，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【典例28】．計算：的值為（

）A． B． C． D．【典例29】．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【典例30】．已知，都是鈍角，甲，乙，丙，丁四位同學(xué)計算的結(jié)果依次是50°，26°，72°，90°，其中計算結(jié)果正確的同學(xué)是：．一、單選題1．下列說法錯誤的是（）A．角是由兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形B．周角的一半叫平角C．可轉(zhuǎn)化為D．直線是平角2．如果一個角為，用10倍的放大鏡觀察這個角應(yīng)是（

）A． B． C． D．不能確定3．下列四個圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的是（

）A． B．C． D．4．如圖，貨船A與港口B相距40海里，港口B相對貨船A的位置可描述為（

）A．南偏西方向，相距40海里處 B．北偏西方向，相距40海里處C．北偏東方向，相距40海里處 D．北偏東方向，相距40海里處5．已知，，，則相等的兩個角是（）A． B． C． D．無法確定6．兩直角三角板按如圖所示方式擺放，若，則等于（

）A． B． C． D．7．如圖，，，則的大小為（

）A． B． C． D．8．如圖所示，下列表示角的方法錯誤的是（

）A．與表示同一個角B．表示的是C．也可用表示D．圖中共有三個角，，9．用疊合的方法比較和兩個角的大小，先將的頂點(diǎn)與的頂點(diǎn)O重合，邊與邊重合，邊落在了的內(nèi)部，則和的關(guān)系是（）A． B．C． D．不確定10．已知是兩個鈍角，計算的值，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)算出了四種不同的答案，分別為，，，．其中，只有一個答案是正確的，正確的答案是（

）A． B． C． D．二、填空題11．下列說法中，正確的有個①小于的角是銳角；②等于的角是直角；③大于的角是鈍角；④平角等于；⑤周角等于．12．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．13．鐘表上10時15分，時針與分針?biāo)鶌A的角是度．14．周角=平角=直角．15．如圖，，，則的度數(shù)為．(1)超市在百貨大樓的正北方向米處；(2)醫(yī)院在百貨大樓北偏西度方向米處．22．把下圖中小于平角的角用三個大寫字母的形式表示出來：23．（1）因為OA與OA是公共邊，邊OC在∠AOB的，所以∠AOC∠AOB；（2）因為OA與OA是公共邊，邊OD與邊OC疊合，所以∠AOC∠AOD；（3）因為OB與OB是公共邊，邊OA在的，所以∠BOC∠BOA．24．（1）如圖，四邊形，在四邊形內(nèi)找一點(diǎn)，使得線段、、、的和最小．（畫出即可，不寫作法）（2）用度、分、秒表示______°______′______″（3）計算：______．（4）比較大?。篲_____．（填“”“”或“”）25．將一副三角尺疊放在一起：（1）如圖①，若∠1＝4∠2，請計算出∠CAE的度數(shù)；（2）如圖②，若∠ACE＝2∠BCD，請求出∠ACD的度數(shù)．26．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，小聰同學(xué)擺弄著自己剛購買的一套三角板，將兩塊直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，然后轉(zhuǎn)動三角板，在轉(zhuǎn)動過程中，請解決以下問題：（1）如圖（1）：當(dāng)∠DCE=30°時，∠ACB+∠DCE等于多少？若∠DCE為任意銳角時，你還能求出∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系嗎？若能，請求出；若不能，請說明理由．（2）當(dāng)轉(zhuǎn)動到圖（2）情況時，∠ACB與∠DCE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．第20講角及其度量角的比較與應(yīng)用（六大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解角的概念、表示與分類；2.知道角度制及其換算；3、掌握角的大小比較的方法。一、角的概念角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．要點(diǎn)：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：要點(diǎn)：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．二、角的比較與運(yùn)算1.角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要點(diǎn)：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計算時，要按級進(jìn)行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于等于60時要向高一位進(jìn)位．2.角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【即學(xué)即練1】以廣場為觀測點(diǎn)，學(xué)校在廣場北偏西的方向上，圖中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題主要考查了方向角的應(yīng)用，根據(jù)地圖上的方向：上北下南，左西右東及角度依次判斷即可．【解析】解：A、學(xué)校在廣場北偏東的方向上，不符合題意；B、學(xué)校在廣場北偏東的方向上，不符合題意；C、學(xué)校在廣場北偏西的方向上，符合題意；D、學(xué)校在廣場北偏西的方向上，不符合題意；故選：C．【即學(xué)即練2】用度、分、秒表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查度、分、秒的換算：，．先將先化成，再將化成，進(jìn)而得出答案．【解析】解：∵，，∴，∴將用度分秒表示為．故選：A．【即學(xué)即練3】如圖，鐘表上的時間下午時，時針與分針?biāo)M成的小于平角的角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是鐘表表盤與角度相關(guān)的特征．因為鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12等份，每一份是，借助圖形，找出時針和分針之間相差的大格數(shù)，用大格數(shù)乘即可．【解析】解：∵在時，時針位于3與4中間，分針指到6上，中間夾份，∴時針與分針的夾角是．故選：D．【即學(xué)即練4】如圖，AB是直線，是直線上一點(diǎn)，、是兩條射線，則圖中小于平角的角有(

)A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】A【分析】利用角的定義以及結(jié)合圖形得出即可．【解析】解：圖中小于平角的角有：，，，，，共個．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了角的定義，掌握角的定義是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練5】如圖，，，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了角的計算，余角相關(guān)計算，準(zhǔn)確識圖，熟練掌握角的計算是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)余角的定義可求出，再根據(jù)即可得出的度數(shù)．【解析】解：，，，．故選：C．題型1：角的概念與表示、分類【典例1】．下列說法中，正確的是（

）A．兩條射線組成的圖形叫做角B．有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角C．角可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形D．角的邊越長，角越大【答案】A【分析】根據(jù)角的動態(tài)定義和角的靜態(tài)定義解答．【解析】解：A、有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項不符合題意；B、有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項不符合題意；C、角可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，故此選項符合題意；；D、角度的大小與邊的長短無關(guān)，故此選項不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了角的動態(tài)定義，解題關(guān)鍵是熟練掌握角的動態(tài)定義：一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形叫做角．所旋轉(zhuǎn)射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊．角的靜態(tài)定義：具有公共端點(diǎn)的兩條不重合的射線組成的圖形叫做角．這個公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的兩條邊．【典例2】．如圖，下列說法正確的是（

）A．與表示同一個角 B．C．與表示同一個角 D．圖中只有兩個角，即和【答案】D【分析】根據(jù)角的概念和表示方法可知，當(dāng)角的頂點(diǎn)處只有一個角時這個角可以用頂點(diǎn)來表示，由此可得結(jié)論．【解析】A．與表示同一個角，故該選項正確；B.不一定成立，故該選項錯誤；C.與表示同一個角，故該選項錯誤；D.圖中有三個角，為、和，故該選項錯誤．【點(diǎn)睛】此題考查了角的表示方法，根據(jù)圖形特點(diǎn)將每個角用合適的方法表示出來是解題的關(guān)鍵．【典例3】．下列各角中，是鈍角的是（

）A．周角 B．平角 C．2銳角 D．直角【答案】C【分析】根據(jù)周角、平角、直角的度數(shù)計算出各角，再根據(jù)鈍角定義判定即可．【解析】解：A、周角是直角，故此選項不符合題意；B、平角是鈍角，故此選項符合題意；C、∵銳角，當(dāng)銳角時，2銳角，2銳角是銳角；當(dāng)銳角時，2銳角，2銳角是直角；當(dāng)銳角時，2銳角，2銳角是鈍角；故此選項不符合題意；D、∵直角是銳角，故此選項不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角的分類，熟練掌握大于90度且小于180度的角叫鈍角是解題的關(guān)鍵．【典例4】．下列說法正確的是（

）．A．大于且小于的角是銳角 B．大于的角是鈍角C．大于且小于的角是銳角或鈍角 D．直角既是銳角也是鈍角【答案】D【分析】根據(jù)銳角、直角、鈍角的概念逐個判斷即可．【解析】解：A、大于且小于的角是銳角，故A選項正確；B、大于且小于的角是鈍角，故B選項錯誤；C、大于且小于的角是銳角、直角或鈍角，故C選項錯誤；D、直角既不是銳角也不是鈍角，故D選項錯誤，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角、直角、鈍角的概念，熟練掌握相關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵．【典例5】．如圖所示,小于平角的角有()A．9個 B．8個 C．7個 D．6個【答案】A【分析】分別根據(jù)以A，B，C，D，E為頂點(diǎn)得出角的個數(shù)即可．【解析】解：符合條件的角中以A為頂點(diǎn)的角有1個，以B為頂點(diǎn)的角有2個，以C為頂點(diǎn)的角有1個，以D為頂點(diǎn)的角有1個，以E為頂點(diǎn)的角有2個，故有1+2+1+1+2=7個角．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角的定義，根據(jù)已知分別得出角的個數(shù)是解題關(guān)鍵．題型2：鐘面角、方位角及其應(yīng)用【典例6】．一節(jié)課45分鐘，分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用鐘表表盤的特征解答．表盤共被分成60小格，每一小格所對角的度數(shù)為．【解析】解：分針經(jīng)過45分鐘，那么它轉(zhuǎn)過的角度是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查鐘表時針與分針的夾角．在鐘表問題中，常利用時針與分針轉(zhuǎn)動的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動時針轉(zhuǎn)動；兩個相鄰數(shù)字間的夾角為，每個小格夾角為，并且利用起點(diǎn)時間時針和分針的位置關(guān)系建立角的圖形．【典例7】．12點(diǎn)15分，鐘表上時針與分針?biāo)傻膴A角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】從12時到12時15分，利用分針每分鐘走，時針每分鐘所走，計算出分針走過的角度，減去時針走過的角度，即可得到時針與分針?biāo)傻膴A角的度數(shù)．【解析】解：分針走一圈用時60分鐘，則每分鐘分針?biāo)叨葦?shù)為，時針走一圈用時12時=720分鐘，則每分鐘時針?biāo)叨葦?shù)為，則分針12時開始從0分到15分，走了，時針開始從12時到12時15分，走了，則12點(diǎn)15分，時針與分針?biāo)鶌A的小于平角的角為.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查分針每分鐘走，時針每分鐘所走，時針每小時走都是常用的，記憶理解結(jié)論是解題的關(guān)鍵．【典例8】．如圖，鐘表上顯示的時間是，此時，時針與分針的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)時針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)，分針每分鐘轉(zhuǎn)，然后分別求出時針、分針轉(zhuǎn)過的角度，即可得到答案．【解析】解：∵時針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)，分針每分鐘轉(zhuǎn)，∴鐘表上12時20分鐘時，時針轉(zhuǎn)過的角度為，分針轉(zhuǎn)過的角度為，所以時分針與時針的夾角為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了鐘面角，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握時針和分針每分鐘所轉(zhuǎn)過的角度是多少．【典例9】．【真實(shí)問題情境】如圖，有一個燈塔，測得燈塔在海島的南偏西方向上，在海島的南偏西方向上，則燈塔的位置可能是（

）

A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)方向角的定義解答可得，也可作出以A為基準(zhǔn)的南偏西、以點(diǎn)B為基準(zhǔn)的南偏西方向的交點(diǎn)即為燈塔所在位置．【解析】解：由題意知，若燈塔位于海島A的南偏西、海島B的南偏西的方向上，如圖所示，燈塔的位置可以是點(diǎn)，

【點(diǎn)睛】本題主要考查方向角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方向角確定物體的位置．【典例10】．如圖，下列說法中正確的是（

）

A．方向是北偏東 B．方向是北偏西 C．方向是南偏西 D．方向是南偏東【答案】D【分析】根據(jù)方向角的定義，即可解答．【解析】解：A、的方向是北偏東，原說法錯誤，本選項不符合題意；B、的方向是北偏西，原說法錯誤，本選項不符合題意；C、的方向是南偏西，原說法錯誤，本選項不符合題意；D、的方向是南偏西，正確，本選項符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了方向角的定義，解決本題的關(guān)鍵是熟記方向角的定義．【典例11】．一艘運(yùn)輸船在處遇險后，向位于處的救生船報警，處的救生船相對于處的位置是（

）

A．北偏東，50nmile B．南偏西，50nmileC．南偏西，50nmile D．北偏東，50nmile【答案】D【分析】根據(jù)方位角的概念以及確定位置的方法，可得答案．【解析】解：由圖知，遇險船B相對于救生船A的位置是北偏東，50nmile，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了方向角的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是理解確定一個點(diǎn)的位置需要兩個量：一個是方向角，一個是距離．【典例12】．如圖，甲從O地出發(fā)向北偏東方向走到A處，乙從O地出發(fā)向南偏東方向走到B處，則的度數(shù)是（

）A．90° B．100° C．105° D．110°【答案】C【分析】首先求得與正東方向的夾角的度數(shù)，再求得與正東方向的夾角的度數(shù)，然后等于這兩個角的和，即可得到答案．【解析】解：與正東方向的夾角的度數(shù)是：，與正東方向的夾角的度數(shù)是：，則，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了方位角，角的和差運(yùn)算，解決此題時，能準(zhǔn)確找到方位角是解題的關(guān)鍵．【典例13】．如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，甲船沿北偏西方向，以每小時12海里的速度航行；乙船沿北偏東方向，以每小時16海里的速度航行．1小時后兩船分別位于點(diǎn)A與B處，此時兩船相距（）A．12海里 B．16海里 C．20海里 D．24海里【答案】A【分析】先求出，再根據(jù)勾股定理求解即可．【解析】解：由題意得，，，∴．∵海里，海里，∴海里．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，勾股定理，求出是解答本題的關(guān)鍵．題型3：角的單位與角度制【典例14】．（角的換算）把用度、分、秒表示，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)1度等于60分，1分等于60秒，由大單位轉(zhuǎn)換成小單位乘以60，按此轉(zhuǎn)化即可．【解析】解：；故選：A【點(diǎn)睛】考查了度分秒的換算，分秒化為度時用除法，而度化為分秒時用乘法．【典例15】．若，則用度、分、秒表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用度分秒之間的換算關(guān)系進(jìn)行計算即可求解．【解析】解：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了度分秒的換算，掌握，是關(guān)鍵．【典例16】．等于'，等于''，等于°【答案】2475【分析】根據(jù)進(jìn)行換算即可得．【解析】解：，，，故答案為：24，75，．【點(diǎn)睛】本題考查了角的單位與角度制，熟練掌握角度制的換算關(guān)系是解題關(guān)鍵．【典例17】．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）6；0.1（2）720；0.2（3）57；10；48（4）74.325【分析】根據(jù)度分秒的進(jìn)率進(jìn)行計算即可．【解析】解：（1）∵，，∴，故答案為：6；0.1．（2）∵，，∴，故答案為：720；0.2．（3）∵，，∴，故答案為：57；10；48．（4）∵，，∴，故答案為：74.325．【點(diǎn)睛】本題考查度分秒的互換，解題關(guān)鍵是熟練掌握，．題型4：角的大小比較【典例18】．若，則（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】將統(tǒng)一化成“度、分、秒”的形式，即可比較大?。窘馕觥俊撸喙蔬x：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的比較大小，解題的關(guān)鍵是將角度的度量單位化成統(tǒng)一的形式．【典例19】．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先∠1、∠2已經(jīng)是度、分、秒的形式，故將∠3化為度、分、秒的形式；再根據(jù)三個角的度數(shù)進(jìn)行大小比較，即可得到結(jié)論．【解析】∵，，=25°，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的大小比較，熟練掌握同一角的單位比較角的大小并靈活運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．【典例20】．如圖，利用一副三角板比較與的大小，兩角頂點(diǎn)均與三角板某一頂點(diǎn)重合．已知圖1中射線經(jīng)過角的一邊，圖2中射線經(jīng)過角的一邊，則下列判斷正確的是（

）

A． B． C． D．無法判斷【答案】C【分析】根據(jù)兩個圖得到角在內(nèi)，角在外，即可比較大?。窘馕觥拷猓河蓤D1可知：角在內(nèi)，由圖2可知：角在外，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了角的大小比較，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，利用已知角作為中間量．【典例21】．如圖，與之間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．與的大小無法比較【答案】C【分析】利用度量法測量各角，故可求解．【解析】用度量法測得∠1=24°，∠2=24°∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查角度的大小比較，解題的關(guān)鍵是熟知量角器的使用．【典例22】．如圖，，則與的大小關(guān)系是（

）

A． B．C． D．與無法比較大小【答案】A【分析】先根據(jù)得出，故可得出結(jié)論．【解析】解：，，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的大小比較，熟知角比較大小的法則是解答此題的關(guān)鍵．題型5：與三角板有關(guān)的計算題【典例23】．只利用一副（兩塊）三角尺不能直接拼出的角度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用三角板角度相加減法，根據(jù)選項逐一分析，排除錯誤答案即可．【解析】解：A、，能拼出角，故A不符合題意；B、，能拼出的角，故B不符合題意；C、，能拼出角，故C不符合題意；D、三角尺不能直接拼出角，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了用三角板直接畫特殊角，用三角板直接畫特殊角步驟：先畫一條射線，再把三角板所畫角的一邊與射線重合，頂點(diǎn)與射線端點(diǎn)重合，最后沿另一邊畫一條射線，標(biāo)出角的度數(shù)．【典例24】．將一副直角三角尺按如圖所示的不同方式擺放，則圖中與相等的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】A、由圖形可得兩角互余，不合題意；B、由圖形得出兩角的關(guān)系，即可做出判斷；C、根據(jù)圖形可得出兩角都為的鄰補(bǔ)角，可得出兩角相等；D、由圖形得出兩角的關(guān)系，即可做出判斷．【解析】解：A、由圖形得：，不合題意；B、由圖形得：，，可得，不合題意；C、由圖形可得：，符合題意；D、由圖形得：，可得，不合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了角的計算，弄清圖形中角的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【典例25】．把兩塊三角板按如圖所示那樣拼在一起，則∠ABC等于（）A．70° B．90° C．105° D．120°【答案】D【分析】∠ABC等于30度角與直角的和，據(jù)此即可計算得到．【解析】解：∠ABC＝30°+90°＝120°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計算，理解三角板的角的度數(shù)是關(guān)鍵．題型6：角的四則運(yùn)算、幾何圖形中的角度計算【典例26】．如圖，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】是直線，是平角，，據(jù)此可求得答案．【解析】∵，∴．∵是平角，∴．∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的運(yùn)算，牢記角的運(yùn)算的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【典例27】．如圖，點(diǎn)在直線上，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平角定義可得，然后再利用度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計算即可解答．【解析】】解：∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的換算，角的計算，熟練掌握平角定義是解題的關(guān)鍵．【典例28】．計算：的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先進(jìn)行度、分、秒的乘法除法計算，再算減法．【解析】．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了度、分、秒的四則混合運(yùn)算，是角度計算中的一個難點(diǎn)，注意以60為進(jìn)制即可．【典例29】．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】°【分析】根據(jù)角的四則運(yùn)算及度、分、秒的換算法則逐個計算即可求解．【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了角的四則運(yùn)算及度、分、秒的換算法則，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則及換算法則．【典例30】．已知，都是鈍角，甲，乙，丙，丁四位同學(xué)計算的結(jié)果依次是50°，26°，72°，90°，其中計算結(jié)果正確的同學(xué)是：．【答案】甲【分析】根據(jù)鈍角的取值范圍，得到兩個鈍角和的取值范圍，除以6后看所給的哪個角在這個范圍內(nèi)即可．【解析】解：∵，都是鈍角，∴，，∴，∴，∴算得正確的是甲．故答案為：甲．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的有關(guān)計算的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到所求角的取值范圍．一、單選題1．下列說法錯誤的是（）A．角是由兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形B．周角的一半叫平角C．可轉(zhuǎn)化為D．直線是平角【答案】D【分析】本題考查了角的相關(guān)概念及度分秒的換算，熟練掌握角的相關(guān)概念及度分秒的換算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角的相關(guān)概念及度分秒的換算逐項分析判斷，即可判斷答案．【解析】A、角是由有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，此說法正確，不符合題意；B、周角的一半是平角，此說法正確，不符合題意；C、，所以此說法正確，不符合題意；D、直線不是平角，此說法不正確，符合題意．2．如果一個角為，用10倍的放大鏡觀察這個角應(yīng)是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】D【分析】此題主要考查角的含義，角的度數(shù)的大小，只與兩邊張開的大小有關(guān)，所以用一個10倍的放大鏡看一個30度的角，仍然是30度，放大鏡放大的只是兩邊的長短．【解析】解：用一個10倍的放大鏡看一個30度的角，那么看到的仍然是30度的角，故選：A．3．下列四個圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了角的表示方法的應(yīng)用，根據(jù)角的表示方法和圖形逐個判斷即可，解題的關(guān)鍵正確理解角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示，其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．【解析】解：、因為頂點(diǎn)處有四個角，所以這個角不能用，，表示，故本選項錯誤；、因為頂點(diǎn)處只有一個角，所以這個角能用，，表示，故本選項正確；、因為頂點(diǎn)處有三個角，所以這個角不能用，，表示，故本選項錯誤；、因為頂點(diǎn)處有兩個角，所以這個角不能用，，表示，故本選項錯誤；故選：．4．如圖，貨船A與港口B相距40海里，港口B相對貨船A的位置可描述為（

）A．南偏西方向，相距40海里處 B．北偏西方向，相距40海里處C．北偏東方向，相距40海里處 D．北偏東方向，相距40海里處【答案】D【分析】本題主要考查的是方向角的概念．根據(jù)方向角的概念即可解答．【解析】解：由圖形可知：港口B相對貨船A的位置可描述為南偏西方向，相距40海里處．故選：A．5．已知，，，則相等的兩個角是（）A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】本題考查角度的換算，根據(jù)，進(jìn)行求解判斷即可．【解析】解：∵，，，∴，故選：B．6．兩直角三角板按如圖所示方式擺放，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角板中角度計算問題，根據(jù)圖形得，則，計算得出答案即可，熟練掌握角度關(guān)系、正確計算是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵，∴，又∵，∴，故選：D．7．如圖，，，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了角的計算，余角相關(guān)計算，準(zhǔn)確識圖，熟練掌握角的計算是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)余角的定義可求出，再根據(jù)即可得出的度數(shù)．【解析】解：，，，．故選：C．8．如圖所示，下列表示角的方法錯誤的是（

）A．與表示同一個角B．表示的是C．也可用表示D．圖中共有三個角，，【答案】A【分析】本題考查角的表示方法，根據(jù)角的表示，數(shù)形結(jié)合即可得到答案，熟記角的表示方法是解決問題的關(guān)鍵．【解析】解：A、與表示同一個角，正確，不符合題意；B、表示的是，正確，不符合題意；C、也可用表示，錯誤，符合題意；D、圖中共有三個角，，，正確，符合題意；故選：C．9．用疊合的方法比較和兩個角的大小，先將的頂點(diǎn)與的頂點(diǎn)O重合，邊與邊重合，邊落在了的內(nèi)部，則和的關(guān)系是（）A． B．C． D．不確定【答案】D【分析】本題考查了角的比較，根據(jù)角的大小比較即可得到結(jié)論．【解析】解：如圖，∴，故選：A10．已知是兩個鈍角，計算的值，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)算出了四種不同的答案，分別為，，，．其中，只有一個答案是正確的，正確的答案是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】熟記鈍角的特點(diǎn)是解決此題的關(guān)鍵．主要利用鈍角的定義，鈍角都大于且小于計算．【解析】解：因為，是兩個鈍角（鈍角都大于且小于），所以一定大于且小于；則一定大于且小于，故正確．故選：B．二、填空題11．下列說法中，正確的有個①小于的角是銳角；②等于的角是直角；③大于的角是鈍角；④平角等于；⑤周角等于．【答案】3【分析】本題主要考查了銳角、直角、鈍角、平角以及周角的定義，屬于基礎(chǔ)題.掌握銳角、直角、鈍角、平角以及周角的定義是解答本題的關(guān)鍵．實(shí)際解答時，要學(xué)會舉反例．【解析】①小于的角也可能是，不一定是銳角，原說法錯誤；②等于的角是直角，說法正確；③平角大于但不是鈍角，原說法錯誤；④平角等于，說法正確；⑤周角等于，說法正確，故正確的有3個，故答案為：3．12．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】【分析】本題考查角的計算，解題關(guān)鍵是掌握度、分、秒之間的進(jìn)率及四測運(yùn)算法則：進(jìn)行角度的加減運(yùn)算時，同單位相加減，即度與度相加減、分與分相加減、秒與秒相加減．做加法時，秒夠進(jìn)分，分夠進(jìn)度；做減法時，不夠減的，從上一級借，再進(jìn)行減法運(yùn)算．在乘法運(yùn)算中，從最低位開始乘所給的因數(shù)，夠則進(jìn)；除法運(yùn)算中，按從高到低的順序相除，余數(shù)乘，再加到下一級單位中進(jìn)行計算．據(jù)此解答即可．【解析】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：；（3），故答案為：；（4），故答案為：．13．鐘表上10時15分，時針與分針?biāo)鶌A的角是度．【答案】【分析】本題考查了鐘面角，涉及角的和差運(yùn)算；先計算出10時時針與分針?biāo)鶌A的角為，過15分鐘，分針轉(zhuǎn)了，此時時針轉(zhuǎn)了，則10時15分，時針與分針?biāo)鶌A的角為10時時針與分針的夾角加上經(jīng)過15分鐘分針?biāo)D(zhuǎn)的角，再減去時針15分鐘所轉(zhuǎn)的角．【解析】解：分針1分鐘轉(zhuǎn)，時針1分鐘轉(zhuǎn)；在10時，時針與分針?biāo)鶌A的角為，經(jīng)過15分鐘，分針轉(zhuǎn)了，時針轉(zhuǎn)了，∴10時15分，時針與分針?biāo)鶌A的角是；故答案為：．14．周角=平角=直角．【答案】/0.51【分析】根據(jù)周角、平角、直角的定義可知，1周角=360度，1平角=180度，1直角=90度，據(jù)此即可求解．【解析】解：1周角度，1平角度，1直角=90度，∴周角平角直角，故答案為：，1．【點(diǎn)睛】本題主要考查周角和平角．直角的定義，是需要熟記的內(nèi)容15．如圖，，，則的度數(shù)為．【答案】/54度【分析】本題主要考查了角的和差，熟練掌握角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形可得，求得，再由，即可求解．【解析】解：∵，，，，故答案為：．16．已知有公共頂點(diǎn)的三條射線，，，若，則．【答案】或90°【分析】此題考查了角的計算，解題關(guān)鍵：要根據(jù)射線的位置不同，分類討論，分別求出的度數(shù)．【解析】解：當(dāng)在內(nèi)部，∵，∴；當(dāng)在外部，∵，∴；∴為或90°．故答案為：或90°．17．（1）圖中可以用一個大寫字母表示的角有；（2）以A為頂點(diǎn)的角有；（3）圖中一共個角（不包括平角）．【答案】7【分析】本題主要考查了角的表示方法，角的個數(shù)問題：（1）頂點(diǎn)處只有一個角的可以用一個大寫字母表示即可；（2）以為頂點(diǎn)的角有三個，逐一寫出即可；（3）把圖中所有角（不包括平角）寫出數(shù)一數(shù)即可．【解析】解：（1）圖中可以用一個大寫字母表示的角有故答案為：．（2）以A為頂點(diǎn)的角有；故答案為：．（3）圖中的角為：，，共7個．故答案為：．18．如圖所示，∠BOD＝45°，那么不大于90°的角有個，它們的度數(shù)之和是．【答案】10450°【分析】(1)∠AOE＝90°，故圖中所有的角都是不大于90°的角；(2)將所有的角相加，發(fā)現(xiàn)有的角相加等于∠EOA，即和為90°，而有的角相加等于∠BOD，即和為45°，將這樣的角湊在一起計算，即可求出所有角的度數(shù).【解析】不大于90°的角有∠EOD，∠EOC，∠EOB，∠EOA，∠DOC，∠DOB，∠DOA，∠COB，∠COA，∠BOA共10個；它們的度數(shù)之和是(∠EOD＋∠DOA)＋(∠EOC＋∠COA)＋(∠EOB＋∠BOA)＋[(∠DOC＋∠COB)＋∠DOB]＋∠EOA＝90°＋90°＋90°＋(45°＋45°)＋90°＝450°.故答案為10；450°.【點(diǎn)睛】此題主要考查角的表示與和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知角的定義運(yùn)算法則.三、解答題19．分別用三種形式表示下圖中的角：【答案】∠ABC，∠1，∠B；∠MON，∠α，∠O；∠AOB，∠2，∠O【分析】根據(jù)角的三種表示方法寫出即可．【解析】解：圖1中的角可以表示為：∠ABC，∠1，∠B；圖2中的角可以表示為：∠MON，∠α，∠O；圖3中的角可以表示為：∠AOB，∠2，∠O．【點(diǎn)睛】此題考查的是角的表示，掌握角的三種表示方法是解決此題的關(guān)鍵．20．如圖，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，比小，求和的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)平角的定義以及角的和差關(guān)系解決此題．本題主要考查平角、角的和差關(guān)系，熟練掌握平角的定義、角的和差關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【解析】解：由題意得，∵比小，∴．，．．．21．在平面圖上標(biāo)出各建筑物的位置．(1)超市在百貨大樓的正北方向米處；(2)醫(yī)院在百貨大樓北偏西度方向米處．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了位置與方向．熟練掌握位置與方向是解題的關(guān)鍵．（1）（2）根據(jù)位置與方向作圖即可．【解析】（1）解：如圖1，超市即為所作；（2）解：如圖1，醫(yī)院即為所作．22．把下圖中小于平角的角用三個大寫字母的形式表示出來：【答案】∠AOC、∠AOD，∠COD，∠COB，∠DOB；∠MON，∠MOE，∠MOF，∠NOE，∠NOF，∠E