《線性代數(shù)》課件第1章

1.1全排列、逆序數(shù)與對換1.2行列式的定義

1.3行列式的性質(zhì)1.4行列式按行（列）展開1.5克萊姆法則1.1.1排列與逆序

定義1.1.1

把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列(也簡稱排列)。n個不同元素的所有排列的個數(shù)，通常用pn表示.

pn=n·(n-1)·…·3·2·1=n!1.1全排列、逆序數(shù)與對換

定義1.1.2

在一個n階排列i1i2…it…is…in中，若數(shù)it>is，則稱數(shù)it與is構(gòu)成一個逆序。一個n階排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù).排列i1，i2，…，in的逆序數(shù)記做:

t(i1，i2，…，in)

例1.1.1

求排列32514的逆序數(shù)，判斷此排列的奇偶性。

解在排列32514中，

3排在首位，逆序數(shù)為0；

2的前面比2大的數(shù)有一個(3)，故逆序數(shù)為1；

5是最大數(shù)，逆序數(shù)為0；

1的前面比1大的數(shù)有三個(3，2，5)，故逆序數(shù)為3；

4的前面比4大的數(shù)有一個(5)，故逆序數(shù)為1，于是這個排列的逆序數(shù)為

t=0+1+0+3+1=5

例1.1.2

求t(1，2，3，…，n)，t(n，n-1，…，2，1)。

解易知在n階排列1，2，3，…，n中沒有逆序，所以

t(1，2，3，…，n)=0

在n，n-1，…，2，1中，只有逆序，沒有順序，故

t(n，n-1，…，2，1)=0+1+2+…+(n-1)=1.1.2對換

定義1.1.3

在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素不動，這種做出新排列的變換叫做對換。將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換。

定理1.1.1

一個排列中的任意兩個元素對換，排列的奇偶性改變。

證先證相鄰對換的情形.排列

a1…alabb1…bm

(1.1.1)對換a與b，變?yōu)?/p>

a1…albab1…bm

(1.1.2)

再證一般對換的情形。設(shè)排列為

a1…alab1…bmbc1…cn

(1.1.3)

把它作m次相鄰對換，式(1.1.3)調(diào)成

a1…alabb1…bmc1…cn

(1.1.4)

再作m+1次相鄰對換，式(1.1.4)調(diào)成

a1…albb1…bmac1…cn

(1.1.5)1.2.1二階行列式

定義1.2.1

由4個元素aij(i=1，2；j=1，2)排成兩行兩列，并定義1.2行列式的定義

例1.2.1

計算行列式

解1.2.2三階行列式

定義1.2.2

由9個元素aij(i=1，2，3；j=1，2，3)排成三行三列，并定義

式稱為三階行列式。為便于記憶，給出圖1.1所示的方法，此方法稱為對角線法則(顯然，二階行列式也適用對角線法則)。圖1.1中實線上三元素的乘積冠正號，虛線上三元素的乘積冠負(fù)號。

圖1.1對角線法則

例1.2.2

計算三階行列式。

解按對角線法則，有

D=1×2×(-2)+2×1×(-3)+(-3)×(-2)×4-1×1×4

-2×(-2)×(-2)-(-3)×2×(-3)=-4-6+24-4-8-18=-16

例1.2.3

求解方程

解

方程左端的三階行列式

D=3x2+4x+18-9x-2x2-12=x2-5x+6所以，三階行列式可以寫成1.2.3n階行列式

定義1.2.3

n階行列式等于所有取自不同行、不同列的n個元素的乘積，即

，并冠以符號(-1)t，即的代數(shù)和，記做

定理1.2.1

n階行列式也可定義為

例1.2.4

證明對角線行列式(其中對角線上的元素是b，未寫出的元素都是0)(1.2.1)(1.2.2)

證式(1.2.1)顯然成立，下面只證式(1.2.2)。

若記bi=ai，n-i+1，則依行列式定義

例1.2.5

若(-1)t(i432j)a1ia24a33a42a5j是5階行列式det(aij)的一項，則i，j應(yīng)取何值?此時該項的符號是什么?

解由行列式定義，每一項中的元素取自不同行不同列，故若i=1，則j=5,或者i=5時，j=1。

當(dāng)i=1，j=5時，t(14325)=3，所以此時該項為-a11a24a33

a42a55。

當(dāng)i=5，j=1時，t(54321)=10，所以此時該項為a15a24a33

a42a51。

例1.2.6

證明下三角行列式

證由于當(dāng)j>i時，aij=0，故D中可能不為0的元素其下標(biāo)應(yīng)有pi≤i,即

p1≤1，p2≤2，p3≤3，…，pn≤n

在所有排列p1p2…pn中，能滿足上述關(guān)系的排列只有一個自然排列12…n,所以D中可能不為0的項只有一項(-1)ta11a22…ann，此項的符號(-1)t=(-1)0=1，所以

D=a11a22…ann

這就是說，下三角行列式等于其主對角線上n個元素的乘積。

同理，上三角行列式也有當(dāng)行列式階數(shù)較大時，使用行列式定義計算行列式工作量很大.本節(jié)討論的行列式的性質(zhì)，不僅可以用來簡化行列式的計算，而且在行列式理論研究中發(fā)揮著重要的作用。

記1.3行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即DT=D。

證記D=det(aij)的轉(zhuǎn)置行列式而由定理1.2.1有故

性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列)，行列式變號。

證設(shè)行列式

第i行

第j行

第i行第j行

D1是由行列式D=det(aij)變換i，j兩行得到的，則設(shè)排列p1…pj…pi…pn的逆序數(shù)為t1，則故

推論1

如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式等于零。

證把這兩行互換，有

D=-D

故D=0。

性質(zhì)3

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。

第i行(列)乘以k，記做ri×k(或ci×k).

性質(zhì)4

行列式中如果有兩行元素成比例，則此行列式等于零。

例如，有行列式，因為第一列與第

二列對應(yīng)元素成比例，根據(jù)性質(zhì)4，可直接得到

性質(zhì)5

若行列式的某一行(列)的元素都是兩元素之和，則此行列式可以寫成兩個行列式之和。

例如，某行列式第j列的元素都是兩數(shù)之和:則D等于下列兩個行列式之和:

性質(zhì)6

把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變，即(1.3.1)

例1.3.1

設(shè)解利用行列式性質(zhì)，有

例1.3.2

計算解例1.3.3

計算

解這個行列式的特點是各列4個數(shù)之和都是6?，F(xiàn)把第2，3，4行同時加到第1行，提出公因子6，然后各行減去第一行:

例1.3.4

計算

解根據(jù)行列式的特點，可將第1列加至第2列，然后將第2列加至第3列，再將第3列加至第4列，目的是使D4中的零元素增多.

例1.3.5

計算n階行列式

解該行列式具有各行元素之和相等的特點，可將第2，3，…，n列都加到第1列，則第1列的元素相等，再進(jìn)一步化簡.例1.3.6

設(shè)

證對D1作運算ri+krj，把D1化為下三角形行列式，有對D2作運算ci+kcj，把D2化為下三角形行列式，有于是，對D的前k行作運算ri+krj，再對后n列作運算ci+kcj，把D化為下三角形行列式

例1.3.7

計算

解設(shè)，由例1.3.6的結(jié)論得

例1.3.8

計算n階行列式

解由于行列式每行(或列)各元素之和相等，故可將各列都加到第1列，然后考慮化為上三角形行列式.定義1.4.1

在n階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫元素aij的余子式，記做Mij，記

Aij=(-1)i+jMij

Aij叫做元素aij的代數(shù)余子式。1.4行列式按行(列)展開

例如中第一行元素的余子式分別是對應(yīng)的代數(shù)余子式為

定理1.4.1

行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1，2，…，n)

(1.4.1)

或

D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1，2，…，n)(1.4.2)

證即得

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1，2，…，n)這個定理叫做行列式按行(列)展開法則.利用這一法則并結(jié)合行列式的性質(zhì)，可以簡化行列式的計算。例如，

三階行列式可以通過二階行列式表示:現(xiàn)在再考慮另一種情形，把a(bǔ)j1，…，ajn換成ai1，…，ain(i≠j)，其他的行不改變，從而得到一個新的行列式，即顯然D1=0，但把D1按第j行展開，有

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i≠j)(1.4.3)

同樣，把第j列換成第i列，按第j列展開，有

a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(i≠j)(1.4.4)

推論行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i≠j)

或a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(i≠j)

綜合上述定理和推論，有下列結(jié)果或

例1.4.1

試按第三列展開計算行列式

解將D按第三列展開，則有D=a13A13+a23A23+a33A33

+a43A43，其中a13=3，a23=1，a33=-1，a43=0。所以D=3×19+1×(-63)+(-1)×18+0×(-10)=-24。

例1.4.2

計算行列式解

例1.4.3

設(shè)D中元素aij的余子

式和代數(shù)余子式依次記做Mij和Aij，求A11+A12+A13+A14及M11+M21+M31+M41。

解

注意到A11+A12+A13+A14等于用1，1，1，1代替D的第1行所得的行列式，即又按定義知

例1.4.4

計算

解

按第1行展開，有以此做遞推公式，即得

例1.4.5

計算n階行列式(其中xi≠0，i=1，2，…，n)。

解方法一

方法二

構(gòu)造n+1階行列式

例1.4.6

證明范德蒙德(Vandermonde)行列式(1.4.6)證用數(shù)學(xué)歸納法.因為為此，設(shè)法把Dn降階，即從第n行開始，后行減去前行的x1倍，有按第1列展開，并把每列的公因子(xi-x1)提出，就有上式右端的行列式是n-1階范德蒙德行列式，按歸納法假設(shè)，它等于所有(xi-xj)因子的乘積，其中n≥i≥j≥2.故

例1.4.7

求方程

的根。

解由行列式的定義知，D=0是x的三次方程，又是四階范德蒙德行列式的轉(zhuǎn)置，D=0的充要條件是D中有兩行元素相同，所以D=0的三個根分別是x=-1，2，1。

形如

(1.5.1)1.5克萊姆法則1.5.1非齊次線性方程組

n元線性方程組與二、三元線性方程組相類似，它的解可以用n階行列式表示，即有