2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)2.4.1函數(shù)的奇偶性課時(shí)分層作業(yè)含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(十八)函數(shù)的奇偶性(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1<x≤1))的奇偶性是()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)[答案]C2．已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x－1，則當(dāng)x<0時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))等于()A．x＋1 B．x－1C．－x－1 D．－x＋1[答案]A3．設(shè)偶函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝0，則不等式eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),x)>0的解集為()A．(－2，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2，0)∪(0，2)B[eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),x)>0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))<0)).又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在(0，＋∞)上為減函數(shù)，故x∈(0，2)∪(－∞，－2).]4.已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝ax2＋bx是定義在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－1，2a))上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是()A.－eq\f(1,3)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)B[依題意b＝0，且2a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1))，∴b＝0，且a＝eq\f(1,3)，∴a＋b＝eq\f(1,3).]5．已知y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))的圖象的對(duì)稱軸是()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝eq\f(1,2) D．x＝－eq\f(1,2)B[y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))的圖象是由y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的圖象向左平移一個(gè)單位得到的，而y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的圖象的對(duì)稱軸為x＝0，故選B.]二、填空題6．已知函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))為偶函數(shù)，其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，則方程feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝0的全部實(shí)根之和是________．0[由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以偶函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱，因此，四個(gè)交點(diǎn)中，有兩個(gè)在x軸的負(fù)半軸上，另外兩個(gè)在x軸的正半軸上，所以四個(gè)實(shí)根的和為0.]7．已知函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R))為奇函數(shù)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＋1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))等于________．eq\f(3,2)[令x＝－1，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＋1＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＋1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝eq\f(1,2).令x＝1，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＋1＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).]8．已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝______．－1[因?yàn)閥＝f(x)＋x2為奇函數(shù)，所以f(－x)＋x2＝－f(x)－x2，所以f(－x)＝－f(x)－2x2，g(1)＝f(1)＋2＝3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)－2＋2＝－f(1)＝－1.]三、解答題9．推斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)y＝eq\r(2x－1)＋eq\r(1－2x)；(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x>0,0，x＝0,－x2－2，x<0))[解](1)∵函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴該函數(shù)不具有奇偶性．(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x>0時(shí)，－x＜0，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0，也滿意f(－x)＝－f(x).故該函數(shù)為奇函數(shù)．10．已知函數(shù)f(x)定義在R上，對(duì)隨意x，y∈R，有f(y＋x)＋f(y－x)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠(1)求證：f(0)＝1；(2)求證：y＝f(x)是偶函數(shù)．[解](1)令x＝y(tǒng)＝0，得2f(0)＝2f2(0)，又f(0)≠0，所以f(2)令y＝0，得f(x)＋f(－x)＝2f(x)f(0)由(1)知，f(0)＝1，所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)所以f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是偶函數(shù)．11．定義在R上的函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))滿意：對(duì)于隨意α，β∈R，總有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β))))＝2010，則下列說法正確的是()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))－1是奇函數(shù)B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＋1是奇函數(shù)C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))－2010是奇函數(shù)D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＋2010是奇函數(shù)D[依題意，取α＝β＝0，得f(0)＝－2010；取α＝x，β＝－x，得f(0)－f(x)－f(－x)＝2010，f(－x)＋2010＝－[f(x)－f(0)]＝－[f(x)＋2010]，因此函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＋2010是奇函數(shù)，選D.]12．已知y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()①y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))))；②y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))；③y＝xfeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))；④y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＋x.A．①③ B．②③C．①④ D．②④D[由奇函數(shù)的定義驗(yàn)證可知②④正確．]13．函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|x－1|為()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)A[feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的定義域?yàn)镽，對(duì)于隨意x∈R，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))為奇函數(shù)．又f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(－1)≠f(1)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))不是偶函數(shù)．]14．已知函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≤0,ax2＋bx，x>0))為奇函數(shù)，則a＋b＝_____．0[由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝0，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝a＋b，所以a＋b＝0.]15．函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的定義域是D＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠0))))，若對(duì)于隨意x1，x2∈D，有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1·x2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))，試推斷feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的奇偶性并證明你的結(jié)論．[解]feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))是偶函數(shù)，證明如下：令x1＝x2＝1，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝0.令x1＝x2＝－1，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\