2024-2025學年高中數(shù)學第一章算法初步1.1.1算法的概念學案含解析新人教A版必修3

PAGE第一章算法初步1.1算法與程序框圖1．1.1算法的概念[目標]1.通過學習解二元一次方程組的方法，體會算法的基本思想；2.了解算法的含義和特征；3.會用自然語言表述簡潔的算法．[重點]用自然語言表述算法．[難點]算法的含義及思想的理解．學問點一算法的概念[填一填]1．算法的概念在數(shù)學中，算法通常是指依據(jù)肯定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟．現(xiàn)在，算法通?？梢跃幊捎嬎銠C程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題．2．算法的五個特征(1)確定性：算法中每一步都是確定的，并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果．(2)有限性：一個算法的步驟是有限的，不能無限地進行下去，它能在有限步的操作后解決問題．(3)有序性：算法從初始步驟起先，分為若干明確的步驟，每個步驟只能有一個確定的后續(xù)步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步．(4)不唯一性：解決一個問題可以有多種不同的算法．(5)普遍性：給出一個算法的程序步驟，它可以解決一類問題，并且能夠多次重復運用．[答一答]1．解決一個問題的算法是唯一的嗎？提示：不是．解決一個問題的算法可以有多個，如解二元一次方程組的算法有加減消元法和代入消元法．但一般算法有優(yōu)劣之分．結(jié)構(gòu)簡潔、步驟少、速度快的算法是較好的算法，如對于不同的方程組，有的加減消元簡潔，有的代入消元簡潔．2．是不是任何一個算法都有明確的結(jié)果？為什么？提示：是．算法中的每一步都是確定的，并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當模棱兩可．3．下列對算法的理解不正確的是(D)A．一個算法應(yīng)包含有限的步驟，而不能是無限的B．算法中的每一步都應(yīng)當是確定的，而不應(yīng)當是模糊、模棱的C．算法中的每一步驟都應(yīng)當有效地執(zhí)行，并得到確定的結(jié)果D．一個問題只能設(shè)計出一種算法解析：依據(jù)算法的概念及特征推斷．由算法的有限性知A正確；由算法的確定性可知B正確；由算法的邏輯性知C正確；由算法的不唯一性知D不正確．學問點二算法的設(shè)計[填一填]1．算法設(shè)計的目的設(shè)計算法的目的事實上是尋求一類問題的算法，它可以通過計算機來完成．設(shè)計算法的關(guān)鍵是把過程分解成若干個明確的步驟，然后用計算機能夠接受的“語言”精確地描述出來，從而達到計算機執(zhí)行的目的．2．算法設(shè)計的要求(1)寫出的算法必需能解決一類問題；(2)要使算法盡量簡潔、步驟盡量少；(3)要保證算法正確，且計算機能夠執(zhí)行．[答一答]4．描述算法的方式唯一嗎？提示：描述算法可以有不同的方式．例如，可以用自然語言和數(shù)學語言加以敘述，后面還會學習用程序設(shè)計語言給出精確的說明，或者用框圖直觀地顯示算法的全貌．5．將下面的算法補充完整．已知一個學生的語文成果為89分，數(shù)學成果為96分，外語成果為99分，求他的總分和平均成果的一個算法為：第一步，取A＝89，B＝96，C＝99.其次步，計算總分D＝A＋B＋C.第三步，計算平均成果E＝eq\f(D,3).第四步，輸出D，E.類型一算法的概念[例1]下列說法正確的是()A．算法就是某個問題的解題過程B．算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結(jié)果C．解決某一個詳細問題算法不同，則結(jié)果不同D．算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不行以很大，否則無法實施[解析]選項B正確，例如：推斷一個整數(shù)是否為偶數(shù)，結(jié)果為“是偶數(shù)”和“不是偶數(shù)”兩種；選項A，算法不能等同于解法；選項C，解決某一個詳細問題算法不同，但結(jié)果應(yīng)相同；選項D，算法可以為很多次，但不行以無限次．[答案]B1明確算法的含義及算法的五個特征.2推斷一個問題是否有算法，關(guān)鍵看是否有解決某一類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必需是明確和有效的，而且能夠在有限步驟之內(nèi)完成.3算法事實上是一種程序方法，在利用算法解決問題時，體現(xiàn)了特別與一般的數(shù)學思想.[變式訓練1]有人對哥德巴赫猜想“任何大于4的偶數(shù)都能寫成兩個奇質(zhì)數(shù)之和”設(shè)計了如下操作步驟：第一步，檢驗6＝3＋3.其次步，檢驗8＝3＋5.第三步，檢驗10＝5＋5.……利用計算機始終進行下去！請問：利用這種步驟能夠證明猜想的正確性嗎？這是一個算法嗎？解：利用這種步驟不能證明猜想的正確性．此步驟不滿意算法的有限性，因此不是算法．類型二算法的設(shè)計命題視角1：數(shù)值性問題的算法設(shè)計[例2]寫出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一個算法．[解]法一：第一步，計算1＋2得到3.其次步，將第一步中的運算結(jié)果3與3相加得到6.第三步，將其次步中的運算結(jié)果6與4相加得到10.第四步，將第三步中的運算結(jié)果10與5相加得到15.第五步，將第四步中的運算結(jié)果15與6相加得到21.法二：第一步，將原式變形為(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7.其次步，計算3×7.設(shè)計詳細問題的算法的一般步驟(1)分析問題，找出解決問題的一般數(shù)學方法；(2)借助有關(guān)變量或參數(shù)對算法加以表述；(3)將解決問題的過程劃分為若干步驟；(4)用簡練的語言將這個步驟表示出來．[變式訓練2]求1×3×5×7×9×11的值的一個算法如下，請補充完整．第一步，求1×3得結(jié)果3.其次步，將第一步所得結(jié)果3乘以5，得到結(jié)果15.第三步，再將其次步所得結(jié)果15乘以7，得到結(jié)果105.第四步，再將第三步所得結(jié)果105乘以9，得到結(jié)果945.第五步，再將第四步所得結(jié)果945乘以11，得到結(jié)果10395，即為最終結(jié)果．解析：依據(jù)算法功能可知，第三步應(yīng)為“再將其次步所得結(jié)果15乘以7，得到結(jié)果105”命題視角2：非數(shù)值性問題的算法設(shè)計[例3]現(xiàn)有有限個正整數(shù)，試設(shè)計一個求這些正整數(shù)中的最大數(shù)的算法．[分析]先假定一個基礎(chǔ)數(shù)(如第一個數(shù))，讓它作為其中的最大的數(shù)，然后將其次個數(shù)與這個基礎(chǔ)數(shù)比較，將這兩者中的較大者再作為基礎(chǔ)數(shù)與第三個數(shù)比較，找出其中的較大者，將其作為基礎(chǔ)數(shù)與第四個數(shù)比較，依此類推，直到與最終一個數(shù)比較完畢，就能確定出有限個正整數(shù)中的最大數(shù)．[解]第一步，先假定這些正整數(shù)中的第一個數(shù)為“最大數(shù)”．其次步，將這些正整數(shù)中的下一個數(shù)與“最大數(shù)”比較．假如它大于此“最大數(shù)”，那么就假定它是“最大數(shù)”．第三步，假如還有其他正整數(shù)，那么重復其次步．第四步，始終到?jīng)]有可比較的數(shù)為止，這時假定的“最大數(shù)”就是這有限個正整數(shù)中的最大數(shù)．非數(shù)值型計算問題，如：排序、查找、變量變換、文字處理等需先建立過程模型，通過模型進行算法設(shè)計與描述.設(shè)計詳細的數(shù)學問題的算法，事實上就是尋求一類問題的算法，它可以通過計算機來完成.[變式訓練3]對隨意3個整數(shù)a，b，c，寫出求最大數(shù)的算法．解：算法步驟如下：第一步，令max＝a.其次步，比較max與b的大小，若b>max，則令max＝b；否則max不變．第三步，比較max與c的大小，若c>max，則令max＝c；否則max不變．第四步，max就是a，b，c中的最大數(shù)．1．算法的有窮性是指(C)A．算法的最終必包含輸出B．算法中每個操作步驟都是可執(zhí)行的C．算法的步驟必需有限D(zhuǎn)．以上說法均不正確解析：算法必需在有限步內(nèi)完成，故選C.2．下列各式中S值不行以用算法求解的是(D)A．S＝1＋2＋3＋4B．S＝12＋22＋32＋…＋1002C．S＝1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,10000)D．S＝1＋2＋3＋4＋…解析：D中的求和不符合算法步驟的有限性，所以它不行以用算法求解．3．下面是學生高智“出家門先打車去飛機場，再乘飛機去北京”的一個算法，請補充完整．第一步，出家門．其次步，打車去飛機場．第三步，乘飛機去北京．4．寫出求1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋100的一個算法，可運用公式1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)干脆計算．第一步：取n＝100；其次步：計算S＝eq\f(nn＋1,2)；第三步：輸出計算的結(jié)果．5．解關(guān)于x的方程ax＋2＝0(a∈R)，寫出算法．解：算法如下：第一步，移項，得ax＝－2.其次步，當a≠0時，x＝－eq\f(2,a)，輸出x，結(jié)束算法．當a＝0時，輸出方程無實根，結(jié)束算法．——本課須駕馭的三大問題1．算法與一般意義上數(shù)學問題的解法是一般與特別的關(guān)系，算法是“通用”的方法，是解決