2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(十)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(建議用時(shí)：60分鐘)一、選擇題1．已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，動點(diǎn)M滿意|MA|－|MB|＝6，則點(diǎn)M的軌跡方程是()A．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x≥4)C．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)D[由題意知，軌跡應(yīng)為以A(－5,0)，B(5,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P點(diǎn)的軌跡方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)．]2．動圓與圓x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，則動圓圓心的軌跡為()A．雙曲線的一支 B．圓C．拋物線 D．雙曲線A[設(shè)動圓半徑為r，圓心為O，x2＋y2＝1的圓心為O1，圓x2＋y2－8x＋12＝0的圓心為O2，由題意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由雙曲線的定義知，動圓圓心O的軌跡是雙曲線的一支．]3．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為(eq\r(5)，0)和(－eq\r(5)，0)，點(diǎn)P在雙曲線上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面積為1，則雙曲線的方程為()A．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,4)＝1C[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|·|PF2|＝2，,|PF1|2＋|PF2|2＝2\r(5)2，))?(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝eq\r(5)，所以b＝1，故選C．]4．已知雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，點(diǎn)A，B在雙曲線的右支上，線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F2，|AB|＝m，F(xiàn)1為另一焦點(diǎn)，則△ABF1的周長為()A．2a＋2m B．4C．a(chǎn)＋m D．2a＋B[由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|AF1|－|AF2|＝2a，,|BF1|－|BF2|＝2a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|AF1|＝2a＋|AF2|，,|BF1|＝2a＋|BF2|，))且|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝m，所以△ABF1的周長為|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m5．設(shè)P為雙曲線x2－eq\f(y2,12)＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，則△PF1F2的面積為()A．6eq\r(3) B．12eq\r(3)C．12 D．24C[由已知易得2a|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4．由|F1F2|＝2c＝2eq\r(13)，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(62＋42－2\r(13)2,2×6×4)＝0，∴△PF1F2∴Seq\s\do5(△PF1F2)＝eq\f(1,2)×6×4＝12．]二、填空題6．已知定點(diǎn)A，B且|AB|＝4，動點(diǎn)P滿意|PA|－|PB|＝3，則|PA|的最小值為________．eq\f(7,2)[如圖所示，點(diǎn)P是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上的點(diǎn)，當(dāng)P在M處時(shí)，|PA|最小，最小值為a＋c＝eq\f(3,2)＋2＝eq\f(7,2)．]7．以橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1長軸的兩端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(3，eq\r(10))的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1[由題意得，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且c＝2eq\r(2)．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則有a2＋b2＝c2＝8，eq\f(9,a2)－eq\f(10,b2)＝1，解得a2＝3，b2＝5．故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1．]8．一動圓過定點(diǎn)A(－4,0)，且與定圓B：(x－4)2＋y2＝16相外切，則動圓圓心的軌跡方程為________．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x≤－2)[設(shè)動圓圓心為P，由題意知|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4<|AB|，則動圓圓心P的軌跡是以點(diǎn)A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，又a＝2，c＝4，則b2＝12，故動圓圓心的軌跡方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x≤－2)．]三、解答題9．如圖所示，在以點(diǎn)O為圓心，|AB|＝4為直徑的半圓ADB中，OD⊥AB，P是半圓弧上一點(diǎn)，∠POB＝30°，曲線C是滿意||MA|－|MB||為定值的動點(diǎn)M的軌跡，且曲線C過點(diǎn)P．建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程．[解]法一：以O(shè)為原點(diǎn)，AB，OD所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－2,0)，B(2,0)，D(0，2)，P(eq\r(3)，1)，依題意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝eq\r(2＋\r(3)2＋12)－eq\r(2－\r(3)2＋12)＝2eq\r(2)<|AB|＝4．∴曲線C是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線．則c＝2,2a＝2eq\r(2)，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2．∴曲線C的方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1．法二：同法一建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|<|AB|＝4．∴曲線C是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線．設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)2,a2)－\f(1,b2)＝1，,a2＋b2＝4，))解得a2＝b2＝2．∴曲線C的方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1．10．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－2eq\r(2)，0)和(2eq\r(2)，0)，且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P(3,1)．(1)求雙曲線的方程；(2)若F是雙曲線的右焦點(diǎn)，Q是雙曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，且eq\o(MQ,\s\up7(→))＋2eq\o(QF,\s\up7(→))＝0，求直線l的斜率．[解](1)依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝c2＝8，,\f(9,a2)－\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝6，,b2＝2.))于是，所求雙曲線的方程為eq\f(x2,6)－eq\f(y2,2)＝1．(2)因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)為(2eq\r(2)，0)，所以可設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2eq\r(2))，令x＝0，得y＝－2eq\r(2)k，即M(0，－2eq\r(2)k)．設(shè)Q(x0，y0)，由eq\o(MQ,\s\up7(→))＋2eq\o(QF,\s\up7(→))＝0，得(x0，y0＋2eq\r(2)k)＋2(2eq\r(2)－x0，－y0)＝(0,0)，即(4eq\r(2)－x0,2eq\r(2)k－y0)＝(0,0)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4\r(2)，,y0＝2\r(2)k.))又Q是雙曲線上的一點(diǎn)，所以eq\f(x\o\al(2,0),6)－eq\f(y\o\al(2,0),2)＝1，即eq\f(4\r(2)2,6)－eq\f(2\r(2)k2,2)＝1，解得k2＝eq\f(13,12)，所以k＝±eq\f(\r(39),6)．故直線l的斜率為±eq\f(\r(39),6)．1．設(shè)θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，則關(guān)于x，y的方程eq\f(x2,sinθ)＋eq\f(y2,cosθ)＝1所表示的曲線是()A．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線B．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B[由題意，知eq\f(x2,sinθ)－eq\f(y2,－cosθ)＝1，因?yàn)棣取蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，所以sinθ＞0，－cosθ＞0，則方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．故選B．]2．已知P為雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M為△PF1F2的內(nèi)心，若Seq\s\do5(△PMF1)＝Seq\s\do5(△PMF2)＋8，則△MF1F2的面積為()A．2eq\r(7) B．10C．8 D．6B[設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為R，由題意，知a＝4，b＝3，c＝5．∵Seq\s\do5(△PMF1)＝Seq\s\do5(△PMF2)＋8，∴eq\f(1,2)(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，∴R＝2，∴Seq\s\do5(△MF1F2)＝eq\f(1,2)·2c·R＝10，故選B．]3．已知雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線上的點(diǎn)P到F1的距離為12，則點(diǎn)P到F2的距離為________．22或2[設(shè)F1為左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上時(shí)，|PF2|－|PF1|＝10，所以|PF2|＝22；當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的右支上時(shí)，|PF1|－|PF2|＝10，所以|PF2|＝2．]4．已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是________．(－1,3)[由題意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，又由該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即5．已知雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2．(1)若點(diǎn)M在雙曲線上，且eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0，求M點(diǎn)到x軸的距離；(2)若雙曲線C與已知雙曲線有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3eq\r(2)，2)，求雙曲線C的方程．[解](1)如圖所示，不妨設(shè)M在雙曲線的右支上，M點(diǎn)到x軸的距離為h，eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0，則MF1⊥MF2，設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，由雙曲線定義，知m－n＝2a＝8，