2024-2025學年新教材高中數(shù)學第1章集合與常用邏輯用語1.2常用邏輯用語1.2.3第2課時充要條件學案含解析新人教B版必修第一冊

PAGE6-第2課時充要條件學習目標核心素養(yǎng)1.理解充要條件的概念．(難點)2．能夠判定條件的充分、必要、充要性．(重點、易混點)3．會進行簡潔的充要條件的證明．(重點、難點)1.通過充要條件的推斷，提升邏輯推理素養(yǎng)．2．通過充分、必要、充要性的應用，培育數(shù)學運算素養(yǎng)．主子邀請張三、李四、王五三個人吃飯，時間到了，只有張三、李四準時赴約，王五打電話說：“臨時有急事，不能去了．”主子聽了，隨口說了句：“該來的沒有來．”張三聽了臉色一沉，起來一聲不吭地走了．主子愣了片刻，又道了句：“不該走的又走了．”李四聽了大怒，拂袖而去．問題請你用邏輯學原理說明二人離去的緣由．1．充要條件的概念一般地，假如既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．2．充要條件的推斷概括地說，假如p?q，那么p與q互為充要條件．(1)若p?q，但qp，則稱p是q的充分不必要條件．(2)若q?p，但pq，則稱p是q的必要不充分條件．(3)若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．思索：(1)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題，這種說法對嗎？(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)分在哪里？[提示](1)正確．若p是q的充要條件，則p?q，即p等價于q.(2)①p是q的充要條件說明p是條件，q是結論．②p的充要條件是q說明q是條件，p是結論．[拓展]充要條件的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若p是r的充要條件，r是s的充要條件，則s是p的充要條件． ()(2)設x∈R，則x＞1是x3＞1的充要條件． ()(3)不等式(2x＋1)(x－3)≥0成立的充要條件是x≥3. ()[答案](1)√(2)√(3)×2.設x∈R，則x>2的一個必要不充分條件是()A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3A[∵x>2?x>1，但x>1x>2，∴選A.]3．“a＝0且b＝0”是“a2＋b2＝0，a，b是實數(shù)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件C[a＝0且b＝0可以推出a2＋b2＝0，a2＋b2＝0可以推出a＝0且b＝0.]4．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，則A∩B＝的充要條件是________．0≤a≤2[A∩B＝?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2≤4，,a－2≥－2))?0≤a≤2.]充要條件的推斷【例1】(教材P34例3改編)下列各題中，哪些p是q的充要條件？(1)p：x>0，y>0，q：xy>0；(2)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(3)p：x>5，q：x>10；(4)p：a>b，q：a2>b2.[解]命題(1)中，p?q，但qp，故p不是q的充要條件；命題(2)中，p?q，且q?p，即p?q，故p是q的充要條件；命題(3)中，pq，但q?p，故p不是q的充要條件；命題(4)中，pq，且qp，故p不是q的充要條件．充要條件推斷的兩種方法(1)要推斷一個條件p是否是q的充要條件，須要從充分性和必要性兩個方向進行，即推斷兩個命題“若p，則q”為真且“若q，則p”為真．(2)在推斷的過程中也可以轉化為集合的思想來推斷，推斷p與q的解集是相同的，推斷前必需分清晰充分性和必要性，即搞清晰由哪些條件推證到哪些結論．提示：推斷時肯定要留意，分清充分性與必要性的推斷方向．eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．在下列四個結論中，正確的有()①設x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分條件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC③“a2>b2”是“a>b④若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”A．①② B．③④C．①④ D．②③C[對于結論①，∵x＞2?x＞1，但x>1x＞2，故①正確；對于結論④，由a2＋b2≠0?a，b不全為0，反之，由a，b不全為0?a2＋b2≠0，故④正確．]充分條件、必要條件、充要條件的應用[探究問題]1．記集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要條件，則集合A，B的關系是什么？若p是q的必要不充分條件呢？[提示]若p是q的充分不必要條件，則AB；若p是q的必要不充分條件，則BA.2．記集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，則p是q的什么條件？若N?M，M＝N呢？[提示]若M?N，則p是q的充分條件；若N?M，則p是q的必要條件；若M＝N，則p是q的充要條件．【例2】已知命題p：－2≤x≤10，命題q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為________．[思路點撥]eq\x(\a\al(p是q的充分,不必要條件))→eq\x(\a\al(p代表的集合是q代,表的集合的真子集))→eq\x(\a\al(列不等式,組求解))[9，＋∞)[因為p是q的充分不必要條件，所以p?q且qp，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9.所以實數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞).]利用充分、必要、充要條件的關系求參數(shù)范圍(1)化簡p，q兩命題；(2)依據(jù)p與q的關系(充分、必要、充要條件)轉化為集合間的關系；(3)利用集合間的關系建立不等式；(4)求解參數(shù)范圍．eq\a\vs4\al([跟進訓練])2．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．[解]因為“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，所以Q?P.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－4≤1，,a＋4≥3，))解得－1≤a≤5，即a的取值范圍是[－1，5].有關充要條件的證明或求解【例3】已知a＋b≠0，證明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要條件是a＋b＝1.[證明]先證充分性：若a＋b＝1，則a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立，必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，則(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0，∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1成立，綜上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要條件是a＋b＝1.充要條件的證明要分充分性、必要性兩個方面分別證明，留意證明方向不要反了(易錯點).eq\a\vs4\al([跟進訓練])3．求證：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.[證明]假設p：方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1，q：a＋b＋c＝0.①證明p?q，即證明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②證明q?p，即證明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一個根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.學問：充要條件的證明與探求(1)充要條件的證明分充分性和必要性的證明，在證明時要留意兩種敘述方式的區(qū)分：①p是q的充要條件，則由p?q證的是充分性，由q?p證的是必要性；②p的充要條件是q，則p?q證的是必要性，由q?p證的是充分性．(2)探求充要條件，可先求出必要條件，再證充分性；假如能保證每一步的變形轉化過程都可逆，也可以干脆求出充要條件．方法：充要條件的推斷有三種方法：定義法、等價命題法、集合法．1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件A[當x＝1時，x2－2x＋1＝0.由x2－2x＋1＝0,解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0成立的充要條件”.]2．設實數(shù)a，b滿意|a|＞|b|，則“a－b＞0”是“a＋b＞0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C[由a－b＞0，得a＞b.又|a|＞|b|，得a＋b＞0；由a＋b＞0，得a＞－b.又|a|＞|b|，得a－b＞0.故“a－b＞0”是“a＋b＞0”的充要條件．]3．假如A是B的必要不充分條件，B是C的充要條件，D是C的充分不必要條件，那么A是D的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[依據(jù)題意得，AB，B?A，B?C，D?C，CD，所以D?C