福建省廈門市多校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)廈門市多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年上高二數(shù)學(xué)考試內(nèi)容：選擇性必修一選擇性必修二等差數(shù)列作答時(shí)間:120分鐘一、單選題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．2．在等差數(shù)列中，，且，則等于（）A．－3 B．－2 C．0 D．13．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和且a3＝－6，a7＝6，則（)A．S4＝S5B．S5＝S6C．S4>S6D．S5>S64．如圖，正四棱錐中，為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影，為側(cè)棱的中點(diǎn)，且，則直線與平面的夾角是（）A．45° B．90° C．30° D．60°5．若雙曲線的漸近線與已知圓相切，則（

）A． B．3 C．2 D．6．若拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成長(zhǎng)為m和n兩部分，則m與n的關(guān)系式為（

）A．B．C．D．7．過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)(異于坐標(biāo)原點(diǎn)),若，則該直線的方程為（）A． B． C． D．8．在一個(gè)數(shù)列中，如果，都有（為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，，公積為，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（

）A．與垂直 B．與平面C．與所成的角為 D．平面10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為B．過(guò)點(diǎn)且在x、y軸截距相等的直線方程為C．曲線過(guò)點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為；D．直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍11．若數(shù)列滿足，則稱為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是“平方遞推數(shù)列” D．是“平方遞推數(shù)列”三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，則=．13．已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線在第一象限與雙曲線相交于點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，且，，則雙曲線的離心率為.14．已知為正方體外接球的球心，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為.四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15．本小題13分如圖所示，三個(gè)正方形的邊AB、BC、CD的長(zhǎng)組成等差數(shù)列，且AD＝21cm，這三個(gè)正方形的面積之和是179cm2.（1）求AB、BC、CD的長(zhǎng)；（2）以AB、BC、CD的長(zhǎng)為等差數(shù)列的前三項(xiàng)，以第10項(xiàng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積是多少？本小題15分已知橢圓，焦距為2，離心率.(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的左焦點(diǎn)為，橢圓上A點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)及的面積.本小題15分如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，平面平面ABCD.(1)求證：；(2)直線PB與平面APD所成角的正弦值；(3)求平面APD與平面PCD夾角的余弦值.本小題17分等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為，，其中成等比數(shù)列，且數(shù)列{an（1）求數(shù)列通項(xiàng)；（2）設(shè)，的前項(xiàng)和記為，求證：.本小題17分已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上（1）求的方程（2）直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.廈門市多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年上高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)考試內(nèi)容：選擇性必修一選擇性必修二等差數(shù)列一、單選題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．B【詳解】觀察數(shù)字規(guī)律可知：每項(xiàng)的符號(hào)是交替出現(xiàn)，故有，除去符號(hào)則為一個(gè)以為公比，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以通項(xiàng)公式為：，故整個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為：，故選：B.A【詳解】根據(jù)題意,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,首項(xiàng)為a1，若,則有+4d=9，又由,則2(+2d)=(+d)+6，解可得d=3,=?3；故選A.A解析：∵a3＋a7＝2a5＝0，∴a5＝0，∴S4＝S5.答案：AC【詳解】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，以為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，則A（0，﹣a，0），C（0，a，0），D（﹣a，0，0），S（0，0，a），P（，0，），則（0，﹣2a，0），（，a，），（﹣a，﹣a，0），設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，則，，∴，可?。?，0，1），設(shè)直線與平面的夾角為，則，由，，故選：C5．A【分析】先解出雙曲線的漸近線方程，進(jìn)而用點(diǎn)到直線距離解出即可.【詳解】雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑r=1，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）.所以.故選：A.6．C【詳解】令過(guò)焦點(diǎn)的弦為，與拋物線交點(diǎn)分別為A、B，聯(lián)立拋物線整理得：，則，，故，，若，，所以，，故.故選：CB【詳解】設(shè)直線的方程為聯(lián)立整理化簡(jiǎn)可得：，，也即

（*）因?yàn)椋?，則，或

滿足（*）但是當(dāng)直線方程為時(shí)，與拋物線的交點(diǎn)其中一個(gè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，不滿足，故舍去．∴，該直線的方程為

即，故選：.8．B【詳解】由題意可知，則對(duì)任意的，，則，，由，得，，，，因此，.故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．ABD【詳解】對(duì)A：連接，，則交于，又為中點(diǎn)，可得，由平面，平面，可得，故，故A正確；對(duì)B：連接，，由正方體性質(zhì)可知平面，可得平面，故B正確；對(duì)C：與所成角就是，連接，由正方體性質(zhì)可知，即為等邊三角形，故，即與所成的角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由，平面，平面，故平面，故D正確．故選：ABD．10．AC【詳解】A：與直線垂直的直線斜率為，故所求直線為，即，對(duì)；B：若截距不為0時(shí)，令直線為，則，此時(shí)直線方程為，錯(cuò)；C：由，是焦點(diǎn)為的拋物線，故過(guò)點(diǎn)的最短弦為通徑，長(zhǎng)度為，對(duì)；D：由過(guò)定點(diǎn)，是圓上半部分，如下圖，當(dāng)動(dòng)直線與半圓的左上方相切時(shí)，有，即，得，當(dāng)動(dòng)直線過(guò)半圓左側(cè)端點(diǎn)時(shí)，即，結(jié)合圖知，，D錯(cuò).故選：AC11．BC【詳解】對(duì)A，因?yàn)槭恰捌椒竭f推數(shù)列”，所以.又，所以，則，所以不是等差數(shù)列，A不正確.對(duì)B，因?yàn)?，所以是等比?shù)列，B正確.對(duì)C，因?yàn)?，所以以是“平方遞推數(shù)列”，C正確.對(duì)D，因?yàn)?，所以不是“平方遞推數(shù)列”，D不正確.故選：BC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．813．【詳解】因?yàn)榍遥稍O(shè)，則，由雙曲線的定義，可得，所以，所以，，，分別在和中，可得，整理得：，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.

14．【詳解】解：如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則所以設(shè)異面直線與所成角為，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：四、解答題15．本小題13分【詳解】（1）設(shè)公差為，，則，.2分由題意得，解得或(舍去)．6分所以，，．7分（2）正方形的邊長(zhǎng)組成首項(xiàng)是，公差是的等差數(shù)列，9分所以，12分所求正方形的面積為.13分16.本小題15分【詳解】（1）由題意得，解得3分故，5分故橢圓方程為；7分（2）由題意得F1?1,0，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，11分

將代入中得，，13分不妨設(shè)，顯然⊥軸，故.15分17．本小題15分【詳解】（1）如圖，取CD的中點(diǎn)，連接OP，，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以，在菱形ABCD中，，則為等邊三角形，所以，2分又，，平面OPB，所以平面OPB，又平面OPB，所以；5分（2）由（1）得，，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面PCD，所以平面ABCD，6分如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因，則，，，8分設(shè)平面PAD的法向量為，則有，令，則，，所以，10分所以PB與平面APD所成角的正弦值為；12分（3）因?yàn)檩S平面PCD，所以可取平面PCD的法向量為，13分由（2）得平面PAD的法向量為，則，所以平面APD與平面PCD夾角的余弦值為.15分本小題17分【詳解】解：（1）因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，2分即，解得或（舍去），所以.6分由（1）知：.8分則11分14分.17分本小題17分詳解：（Ⅰ